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信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
第四章 Z 变换1 Z 变换的定义 (1) 序列)(n x 的ZT ：[]∑∞=-==0)()()(n nzn x n x Z z X(2) 复变函数)(z X 的IZT ：[])()(1z X Z n x -=，s e z =是复变量。
(3) 称)(n x 与)(z X 为一对Z 变换对。
简记为)()(z X n x ZT⇔或 )()(z X n x ⇔(4) 序列的ZT 是1-z 的幂级数。
n z -代表了时延，1-z 是单位时延。
(5) 单边ZT ：[]∑∞=-∆==0)()()(n nzn x z X n x Z(6) 双边ZT ：[]∑∞-∞=-∆==n nB B zn x z X n x Z )()()(2 ZT 收敛域ROC定义：使给定序列)(n x 的Z 变换)(z X 中的求和级数收敛的z 的集合。
∑∞-∞=-n nzn x )(收敛的充要条件是它∞<∑∞-∞=-n nzn x )((3) 有限长序列的ROC序列)(n x 在1n n <或2n n >(其中21n n <)时0)(=n x 。
收敛域至少是∞<<z 0。
序列的左右端点只会影响其在0和∞处的收敛情况： 当0,021><n n 时，收敛域为∞<<z 0(∞=,0z 除外)当0,021≤<n n 时，收敛域为∞<≤z 0(∞=z 除外) 当0,021>≥n n 时，收敛域为∞≤<z 0(=z 除外)右边序列的ROC序列)(n x 在1n n <时0)(=n x 。
如果01=n ，则序列为因果序列。
ROC 的情况：当01≥n 时，ROC 为∞≤<z R x 1； 当01<n 时，ROC 为∞<<z R x 1。
左边序列的ROC序列)(n x 在2n n >时0)(=n x 。
如果12-=n ，则序列为反因果序列。
常见序列的z变换什么是z变换？z变换是一种数学工具，用于分析和处理离散时间信号和系统。
它可以将离散时间信号从时域（时间）转换到z域（复平面），从而方便地进行频域分析和系统设计。
z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域中广泛应用。
z变换的定义对于一个离散时间序列x[n]，其z变换X(z)定义为：X(z)=∑x∞n=−∞[n]z−n其中，z是一个复数，x[n]是离散时间序列的值。
常见序列的z变换1. 单位序列单位序列u[n]是一个从n=0开始的离散时间序列，其值为1。
其z变换为：U(z)=∑u∞n=0[n]z−n=∑z−n∞n=0根据几何级数的公式，可以得到：U(z)=11−z−12. 单位阶跃序列单位阶跃序列u s[n]是一个从n=0开始的离散时间序列，其值在n≥0时为1，n< 0时为0。
其z变换为：U s(z)=∑u s∞n=0[n]z−n=∑z−n∞n=0根据几何级数的公式，可以得到：U s(z)=11−z−13. 指数序列指数序列x[n]=a n是一个常数a的离散时间序列。
其z变换为：X(z)=∑a n∞n=−∞z−n=∑(az−1)n∞n=−∞根据几何级数的公式，可以得到：X(z)=11−az−1,|az−1|<14. 正弦序列正弦序列x[n]=Asin(ωn+ϕ)是一个频率为ω、振幅为A、相位为ϕ的离散时间序列。
其z变换为：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn+ϕ)z−n根据正弦函数的性质，可以将其拆分为实部和虚部的和：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn+ϕ)z−n=∑A∞n=−∞sin(ωn)cos(ϕ)z−n+∑A∞n=−∞cos(ωn)sin(ϕ)z−n利用欧拉公式，可以将正弦函数转换为指数函数：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn)cos(ϕ)z−n+∑A∞n=−∞cos(ωn)sin(ϕ)z−n=12j∑A∞n=−∞(e jωn−e−jωn)cos(ϕ)z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn+e−jωn)sin(ϕ)z−n=12j∑A∞n=−∞(e jωn cos(ϕ)−e−jωn cos(ϕ))z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn sin(ϕ)+e−jωn sin(ϕ))z−n根据欧拉公式的性质，可以得到：X(z)=12j∑A∞n=−∞(e jωn cos(ϕ)−e−jωn cos(ϕ))z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn sin(ϕ)+e−jωn sin(ϕ))z−n=12j∑A∞n=−∞(cos(ϕ)(z−1)n−cos(ϕ)(z−1)−n)+12j∑A∞n=−∞(sin(ϕ)(z−1)n+sin(ϕ)(z−1)−n)整理得到：X(z)=Acos(ϕ)2j∑((z−1)n−(z−1)−n)∞n=−∞+Asin(ϕ)2j∑((z−1)n+(z−1)−n)∞n=−∞利用几何级数的公式，可以得到：X(z)=Acos(ϕ)2j11−z−1+Asin(ϕ)2jz−11−z−15. 脉冲序列脉冲序列x[n]=δ[n]是一个在n=0时取值为1，其他时刻取值为0的离散时间序列。
zz傅里叶变换，拉普拉斯变换和Z变换的意义2010-12-07 19:25:26来自: Brad(要理解递归，你先要理解递归)傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。
这都是一个信号的不同表示形式。
它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。
幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。
也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。
想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。
所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。
傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。
傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。
如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。
拉普拉斯变换，是工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。
对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。
这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。
拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
在数字信号处理中，Z变换是一种非常重要的分析工具。
但在通常的应用中，我们往往只需要分析信号或系统的频率响应，也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。
那么，为什么还要引进Z 变换呢？Z变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢？傅里叶变换的物理意义非常清晰：将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。
每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。
傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。
在自然界，频率是有明确的物理意义的，比如说声音信号，男同胞声音低沉雄浑，这主要是因为男声中低频分量更多；女同胞多高亢清脆，这主要是因为女声中高频分量更多。
对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。
那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。
若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无章，但在频域则解读非常方便。
在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。
信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。
正因为如此，在通常的信号与系统的分析过程中，我们非常关心傅里叶变换。
既然人们只关心信号的频域表示，那么Z变换又是怎么回事呢？要说到Z变换，可能还要先追溯到拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是以法国数学家拉普拉斯命名的一种变换方法，主要是针对连续信号的分析。
拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代，国力鼎盛。
在科学上也取代英国成为当时世界的中心，在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。
傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文，其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。
回到正题，傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。
拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。
在自然界，指数信号exp(-x)是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。
因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。
这种变换能将微分方程转化为代数方程，在18世纪计算机还远未发明的时候，意义非常重大。
从上面的分析可以看出，傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为exp(0)。
也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。
在进行信号与系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。
这种由普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。
Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换，由此我们就很容易理解Z变换的重要性，也很容易理解Z变换和傅里叶变换之间的关系。
Z变换中的Z平面与拉普拉斯中的S平面存在映射的关系，z=exp(Ts)。
在Z变换中，单位圆上的结果即对应离散时间傅里叶变换的结果。
Z变换维基百科，自由的百科全书汉漢▼Z在数学和信号处理上，把一连串离散的实数或复数信号，从时域转为频域表示。
[编辑]定义Z变换把离散时域的x[n]转为频域的X(Z)。
当中是整数，是复数变量，其表示方式为。
[编辑]一些常见的Z变换信号，Z变换，收敛区域1 所有234567891011121314151617181920[编辑]其他应用除数字信号处理领域外，Z-变换也是控制理论的重要基石。
此外，Z-变换亦可视为一种数列与连续函数间的对应关系的定义，更可将对数列运算映射为对连续函数的运算。
因此使用Z-变换可使一些数列相关问题得到简化（如排队论等）。
1、讨论了对离散时间信号和系统进行Z变换分析的方法，整个讨论方法及大部分结论与第九章相对应。
2、与拉氏变换的情况对照，可以发现S平面与Z平面之间存在着一种影射关系。
就是这种联系。
将连续时间信号采样，可以得到：，∴，∴,,图10.10.1 点击放大这种映射关系在数字信号处理，特别是数字系统设计中是非常重要的。
明确了这种关系就很容易对Z 变换与拉氏变换的差异之处有更清楚的认识。
3、利用Z 变换分析LTI系统较之DTFT具有更方便，更广泛适用的优点。
4、单边Z 变换是分析增量线性系统的有力工具。
傅里叶变换、拉氏变换、z变换的含义到底是什么？2011-05-17 23:47转载自ysuwjl最终编辑ysuwjl1。
关于傅里叶变换变换？（来自百度知道）答：fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域；它可以说是laplace变换的特例，laplace 变换是fourier变换的推广，存在条件比fourier变换要宽，是将连续的时间域信号变换到复频率域（整个复平面，而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴）；z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的laplace变换，再令z=e^sT时的变换结果（T为采样周期），所对应的域为数字复频率域，此时数字频率ω=ΩT。
——参考郑君里的《信号与系统》。
傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的。
所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。
对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示。
已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。
这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。
所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。
傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。
