切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
［学习目标］
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线
上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切
线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得
到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角
互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个）
4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段
定理图形已知结论证法
相交弦定
理
⊙O中，AB、CD为弦，交
于P.
PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：
△APC∽△DPB.
相交弦定
理的推论
⊙O中，AB为直径，CD⊥AB
于P.
PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.
切割线定
理
⊙O中，PT切⊙O于T，
割线PB交⊙O于A
PT2＝PA·PB连结TA、TB，证：
△PTB∽△PAT
切割线定
理推论
PB、PD为⊙O的两条割线，
交⊙O于A、C
PA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用
两次切割线定理
圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于
A，CD为弦
P'C·P'D＝r2－
OP'2
PA·PB＝OP2－r2
r为⊙O的半径
延长P'O交⊙O于M，延
长OP'交⊙O于N，用相交
弦定理证；过P作切线用
切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积
为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为
圆幂定理。
【典型例题】
例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切
点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
图1
解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE
设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
∴，，
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
图2
解：由相交弦定理，得
AE·BE＝CE·DE
∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，
，
∴，
即
∴CE＝3cm或CE＝4cm。
故应填3或4。
点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。
解：∵∠P＝∠P
∠PAC＝∠B，
∴△PAC∽△PBA，
∴，
∴。
又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得
∴，
即，
故应填PC。
点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
例4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3
解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4
∴PB＝4PA
又∵PC＝12cm
由切割线定理，得
∴
∴，
∴
∴PB＝4×6＝24（cm）
∴AB＝24－6＝18（cm）
设圆心O到AB距离为d cm，
由勾股定理，得
故应填。
例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
图4
点悟：要证，即要证△CED∽△CBE。
证明：（1）连结BE
（2）
。
又∵，
∴厘米。
点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。
图5
求证：
证明：连结BD，
∵AE切⊙O于A，
∴∠EAD＝∠ABD
∵AE⊥AB，又AB∥CD，
∴AE⊥CD
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝∠ADB＝90°
∴△ADE∽△BAD
∴
∴
∵CD∥AB
∴AD＝BC，∴
