弦切角定理课件

求证：∠BAC＝∠P
Q
C
P
O mP
C
Q
C
m
m O
O
P
A
B
( 1 ) 圆心O在∠BAC的外部
∵弦∠作BA切⊙Q＝O的角∠直A等C径Q＝A于Q9，0°所连结夹CQ ∴弧∠B对AC＝的90°圆－周∠C角AQ 。
A
(
3
)B
D
A
B
圆心O在∠BAC的内部
( 2 )圆心作O在⊙∠O的BA直C的径边AQA，C上
∵ A连B是结⊙CQO的切线，
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课堂练习：
1.如图，AC是⊙O的弦，BD切⊙O于C， 则图中弦切角有 4 个.
A O
若∠AOC=120 0,则∠ ACD = 600 .
∠ACD, ∠ACB, ∠OCD, ∠OCB.
BC D
2.如图，直线MN切⊙O 于C ，AB是⊙O 的直
径,若∠ BCM=40 0,则∠ ABC等于（ B ）
O
B
E
C
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6.如图,AB为⊙O的直径,BC 、CD为⊙O的切线, B 、D切点. 求证:(1) AD//OC; (2) 若⊙O 的半径等于1,求AD·OC 的值.
证明:(1)∵BC 、CD是⊙O 的切线， B 、D切点.
∴∠OBC= ∠ODC=90 0. 又∵OB=OD,OC=OC.
∴Rt △OBC ≌Rt △ODC.
4
A
B
∠1= 30o ∠4= 40o
；∠2= 70o ；∠3= 65o ； 。 弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.
7
2、选择： AB为⊙O直径，PC为⊙O的切线，C为切点，
若∠BPC=30°，则∠BCP=（ A）。
A、 30°B、 60°C、 15°D、22. 5°
C
PB
O
A
8
3、如图：四边形 ABCD 为圆内 接四边形，AB 是直径，MN 切⊙O于 C点，∠BCM=38 °，那么∠ABC 的
∴ 又∵
A∵︵m∠C∠B是BAAC半C＝＝圆910，8°0°－∠DAC
∴ ∠P∠＝P9＝0°180°－∠Q
∠Q＝90°－∠CAQ ∴ ∠BAC＝∠Q
∴ ∠B∠ACD＝AC∠＝P∠Q
6
∴ ∠BAC＝∠P
课堂练习：
1、已知AB是⊙O的切线A为切点,由图填空：
30o
O 70o
2
1
A
B
O
3
25o
A
B
O 80o
∠ DAB＝ ∠EAC
C
B O
E
A
D
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例题解析
例1：如图：已知 AB是⊙O的直
径，AC是弦，直线 CE和⊙O切于
点C，AD⊥CE于 D。
B
O
求证：(1)AC平分∠BAD
(2)AC 2=2AD ·AO
A
你还能用其他方法解答 吗？试试看！
E
C
D
有弦切角，常连结弦切角 所夹弧所对的圆周角 。
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例题解析(思路2)
? BAC为直角， 圆心在 AC上。
? BAC为锐角， ? BAC为钝角， 圆心在角外。 圆心在角内。
上图中? BAC所夹的弧分别是：半圆 、劣弧、优弧。
猜现想在分：别弦作切出角他?们B所AC对与的圆圆周周角角?? AAPPC的,如关上系图
5
︵ 已知：AC是⊙O的︵弦，AB是⊙O的切线，AmC 是弦切角∠BAC所 夹的弧，∠P是AmC所对的圆周角。
另一边与圆相切
m
的角叫做弦切角
A
P
A? mB 是弦切角∠PAB所夹的弧。
3
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边
与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？
C
B
A×
B
× C A
B C
×B
A C
C
×
A
√
A
B
4
从数学的角度看，弦切角能分成几大类？
C
.O P
P D AB
C .O
AB
C
.O
P DA B
弦切角
B
A
P
1
我们曾经学习过的有关于圆的角 ? PAB
A
点A运动到圆上
O(A) O
使
B
PA
P
与
A与圆心O重合 圆
? PAB为圆心角
相 A切
PA
B
绕 A 旋
P
? PAB为圆周角
转 此时? PAB是什么角？
P
O
答：? PAB是圆O的
B
弦切角
2
∠PAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样？
顶点在圆上，
B
一边与圆相交，
例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.
连结OC,由切线性质,
可得OC∥AD,于是
有∠2=∠3,又由于
B
∠1=∠3,可证得
∠1=∠2
E
·O 1A 32
CD
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例2: 如图,AD是△ABC中 ∠BAC的平分线,经过点A 的⊙O 与BC 切于点D,与AB、 AC分别相交于E、F. 求证： EF ∥BC.
1、概念的引入
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相 切的角叫做弦切角。
2、定理的发现 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 。
推论： 两个弦切角所夹的弧相等， 那么这两个弦切角相等。
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小结：
你掌握了吗？
3、定理的证明
4、应用与推论
一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是 通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联 系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切 角或添切点处的半径应用切线的性质。
∴ ∠BOC= ∠DOC. 又∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ODA.
而∵ ∠BOD= ∠OAD+∠ODA=2 ∠OAD, 且 ∠BOD＝2 ∠BOC.
∴ ∠OAD＝∠BOC , ∴ AD//OC. (2)连接BD, ∵ ∠OAD＝∠BOC,
A D
∴Rt △OBC ∽Rt △ADB.
O
B
C
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小结：
度数是（ B）。
A、38 °B 、52 °
C、68 ° D 、42 °
O
A
B
38°
M
C
D N9
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 推论：两个弦切角所夹的弧相等， 那么这两个弦切角相等。
如图， DE切⊙ O于点 A，AB、AC 是 ⊙O的弦，若 A? B=A? C，那么∠DAB
与∠EAC是否相等？为什么？
O
A
A.400 B. 500 C. 450 D.600 B
3.已知⊙O是△ABБайду номын сангаас的内切圆,D,E,F 为切点,若∠ A: ∠ B: ∠ C=4:3:2,
M
CN
则∠DEF = 500, ∠FEC= 700.
A
∵A=800,B=600,C=400.
D
F
∴∠DOF=100 0, ∴∠DEF= 500 . ∵C=400,CE=CF . ∴∠FEC= 700 .
证明：连结DF. ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠DAC. 又∵∠EFD= ∠BAD， ∴∠EFD= ∠DAC.
又∵⊙O切BC于D, ∴∠FDC= ∠DAC. ∴∠FDC= ∠EFD ∴ EF∥BC
A
O
E
F
B
D
C
变式练习 如上图，连结DE、DF， 你能找出图中有哪些相 等的角,哪些相似三角形?