2019-2020学年江西省上饶市高一上学期期末考试 数学

2019-2020学年江西省上饶市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|x ≤5}，B ＝{x|x ≤2}，则∁A B ＝（ ）A.[2, 5]B.(2, 5]C.(1, 2]D.(1, 2)2. 函数f(x)=√x log2(x−2)的定义域为（ ） A.(2, +∞)B.[1, 2)C.[1, 2]D.(2, 3)∪(3, +∞)3. 已知函数f(x)={2x−3,x ≥0lg (−x),x <0，则f[f(−10)]＝（ ） A.14B.12C.1D.−44. 设a ＝30.2，b ＝0.23，c ＝log 0.23，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a >c >bB.b >c >aC.b >a >cD.a >b >c5. 已知f(√x)=x 2−2x ，则函数f(x)的解析式为（ ）A.f(x)＝x 4−2x 2(x ≥0)B.f(x)＝x 4−2x 2C.f(x)=x −2√x(x ≥0)D.f(x)=x −2√x6. 过点A(1, 2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）A.x −y +1＝0B.x +y −3＝0C.2x −y ＝0或x +y −3＝0D.2x −y ＝0或x −y +1＝07. 函数f(x)=(12)√−x2+x+1的单调递增区间为（ ） A.(−∞,12]B.(−∞,1−√52]C.[12,1+√52]D.[12,+∞)8. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则以下结论正确的是（ ）A.若m ⊥α，n // β，α⊥β，则m ⊥nB.若m // α，n // β，α // β，则m // nC.若m // α，n ⊥β，α // β，则m ⊥nD.若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m // n9. 已知函数f(x)＝log 3(1−ax)，若f(x)在(−∞, 2]上为减函数，则a 的取值范围为（ ）A.(0, +∞)B.(0,12)C.(1, 2)D.(−∞, 0)10. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0, +∞)上单调递增，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围是（ ）A.[12,23)B.(12,23)C.[13,23)D.(13,23)11. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段CC 1的中点，若平面AMN 截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得的截面为五边形，则线段BM 的取值范围是（ ）A.(0,12]B.(12,1)C.[13,1)D.[13,12]12. 若函数f(x)=lg a x +1在(0, +∞)内存在两个互异的x ，使得f(x +1)＝f(x)+f(1)成立，则a 的取值范围是（ ）A.(3−√5,3+√5)B.(3−√5,1)C.(1,3+√5)D.(2,3+√5) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.已知全集U ＝{1, 2, 3, 4, 5}，集合A ＝{x|x 2−3x +2＝0}，B ＝{x|x ＝2a, a ∈A}，则集合∁U (A ∪B)的子集个数为________．已知幂函数f(x)＝(m 2−3m −3)x m−1是偶函数，则m 的值为________．在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC =√3，BB 1＝2，则该三棱柱的外接球表面积为________．已知二次函数f(x)，对任意的x ∈R ，恒有f(x +2)−f(x)＝−4x +4成立，且f(0)＝0．设函数g(x)＝f(x)+m(m ∈R)．若函数g(x)的零点都是函数ℎ(x)＝f （f(x)）+m 的零点，则ℎ(x)的最大零点为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.求下列函数的值域：（1）y=2x+1x+1（2）y=x+2√x−1+2已知集合A＝{x|x2−2x−3<0}，B＝{x|x2−x−a2−a<0}．（1）当a＝2时，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．BC=1，PA=√5，如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥BC，AD // BC，AD=AB=12△PBC是正三角形．（1）求证：AB⊥平面PBC；（2）求点P到平面ABC的距离．在△ABC中，B(−9, 0)，C(6, 0)，AD为角A的角平分线，直线AD的方程为3x−y−3＝0．记△ABD的面积为S△ABD，△ADC的面积为S△ADC．（1）求S△ABD:S△ADC；（2）求A点坐标．已知二次函数f(x)＝ax2+bx+1满足以下条件：①f(1)＝4；②对任意的x∈R，都有f(−1−x)＝f(−1+x)．（1）求f(x)的解析式；（2）若对任意的x∈(1, +∞)，不等式f(x)≥(λ+2)x−2λ−3恒成立，求实数λ的取值范围．已知定义在(0, +∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)+f(y)，f(2020)＝1，且当x>1时，f(x)>0．（1）求f(1)；（2）求证：f(x)在定义域内单调递增；．（3）求解不等式f(√x2−2019x)<12参考答案与试题解析2019-2020学年江西省上饶市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】B12.【答案】B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.【答案】4【答案】−1【答案】8π【答案】4三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】y=2x+1x+1=2−1x+1，∵1x+1≠0，∴y≠2，∴该函数的值域为{y|y≠2}；设√x−1=t(t≥0)，x＝t2+1，则y＝t2+2t+3＝(t+1)2+2(t≥0)，∵t≥0，∴t+1≥1，∴(t+1)2+2≥3，∴该函数的值域为[3, +∞)．【答案】A＝{x|x2−2x−3＝0}＝|x|−1<x<3}，当a＝2时，B＝{x|x2−x−6<0}＝{x|−2<x<3}，故A∩B＝(−1, 3)；B＝{x|x2−x−a2−a<0}＝{x|(x+a)(x−(a+1))<0}，由A∪B＝B，所以A⊆B，A＝{x|x2−2x−3＝0}＝|x|−1<x<3}，当a=−12时显然不符合题意．当a>−12时，B＝(−a, a+1)，由−a≤−1，a+1≥3，得a≥2；当a<−12时，B＝(a+1, −a)，由a+1≤−1，−a≥3，得a≤−3；综上所述：a≥2或a≤−3．【答案】证明：∵AB=12BC=1且△PBC是正三角形，∴PB＝2，又∵PA=√5，∴AB2+PB2＝PA2，得AB⊥PB，∵AB⊥BC且PB∩BC＝B，∴AB⊥平面PBC；设点P到平面ABC的距离为ℎ，由（1）知AB⊥平面PBC，∴由V P−ABC＝V A−PBC，得：13S△ABC⋅ℎ=13S△PBC⋅AB，即1 3×12×1×2×ℎ=13×12×2×2×√32×1，ℎ=√3，即点P 到平面ABC 的距离为√3．【答案】将y ＝0代入AD 方程，得D(1, 0)，∴ |BD|＝10，|DC|＝5，则S △ABD :S △ADC ；＝2:1；设点C 关于直线AD 对称的点为C′(x 0, y 0)，直线CC′与直线AD 的交点为M ． 则CC′的方程为y =−13(x −6)．联立直线AD 与CC′方程得{x +3y −6=03x −y −3=0， 解得x ＝y =32，即M(32,32)，根据中点坐标公式易得C′(−3, 3)． 则直线BC′的方程为x −2y +9＝0，联立直线BC′与AD 方程得， {x −2y +9=03x −y −3=0，解得{x =3y =6 ，即A(3, 6)． 【答案】对于二次函数f(x)＝ax 2+bx +1，由①f(1)＝4；②对任意的x ∈R ，都有f(−1−x)＝f(−1+x)；所以{f(1)=a +b +1=4−b 2a =−1 ，解得{a =1b =2， 所以f(x)＝x 2+2x +1；由f(x)≥(λ+2)x −2λ−3得x 2+2x +1≥(λ+2)x −2λ−3， 整理得：x 2−λx +2λ+4≥0；令g(x)＝x 2−λx +2λ+4，x ∈(1, +∞)，当λ2≤1即λ≤2时，g(x)在(1, +∞)上单调递增，令g(1)＝λ+5≥0，解得λ≥−5，所以−5≤λ≤2；当λ2>1即λ>2时，g(x)在(1, λ2)上单调递减，在[λ2, +∞)上单调递增， 令g(λ2)=−14λ2+2λ+4≥0，解得4−4√2≤λ≤4+4√2，所以2<λ≤4+4√2； 所以λ的取值范围是[−5, 4+4√2]．【答案】由题意，令x ＝y ＝1，则f(1)＝f(1)+f(1)，解得f(1)＝0．证明：设∀x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1<x 2，则x 2x 1>1，故f(x2x 1)>0． ∴ f(x 2)−f(x 1)＝f(x 2x 1⋅x 1)−f(x 1)＝f(x 2x 1)+f(x 1)−f(x 1)＝f(x2x 1)>0．∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在定义域内单调递增．由题意，1＝f(2020)＝f(√2020⋅√2020)＝f(√2020)+f(√2020)＝2f(√2020)，解得f(√2020)=1．2=f(√2020)，故f(√x2−2019x)<12∵由（2）知f(x)在(0, +∞)内单调递增．∴{x2−2019x>0，√x2−2019x<√2020解得x∈(−1, 0)∪(2019, 2020)．。

2019-2020学年江西省上饶市高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．已知集合{}5A x x =≤，{}2B x x =≤，则AB =（ ）A ．[]2,5B ．(]2,5C ．(]1,2D ．()1,2【答案】B【解析】由补集定义可直接求解得到结果. 【详解】 由补集定义可得：(]2,5AB =故选：B 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题. 2．函数()2f x =的定义域为（ ）A ．()2,+∞B ．[)1,2C ．[]1,2D ．()()2,33,+∞【答案】D【解析】由偶次根式、分式和对数有意义的要求得到不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】由02021x x x ≥⎧⎪->⎨⎪-≠⎩得：2x >且3x ≠ ()f x ∴定义域为()()2,33,+∞故选：D 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，涉及到偶次根式、分式和对数有意义的要求，属于基础题. 3．已知函数()()32,0lg ,0x x f x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()10f f -=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．14B ．12C ．1D ．4-【答案】A【解析】将10x =-代入解析式可求得()101f -=，代入1x =求得结果. 【详解】()10lg101f -==()()2110124f f f -∴-===⎡⎤⎣⎦ 故选：A 【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题. 4．已知0.23a =，30.2b =，0.2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】A【解析】根据指数函数和对数函数单调性可求得10a b c >>>>，进而得到结果.【详解】0.20030.20.23310.20.20log 1log 3>==>>=>a b c ∴>>故选：A本题考查根据指数函数和对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过函数的单调性确定临界值，从而得到大小关系.5．已知22f x x =-，则函数()f x 的解析式为（）A ．()()4220f x x x x =-≥B ．()422f x x x =-C ．())0f x x x =-≥D ．()f x x =-【答案】A【解析】采用换元法，令t =.【详解】 令t =0t ≥2x t ∴= ()()4220f t t t t ∴=-≥()()4220f x x x x ∴=-≥故选：A 【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，关键是能够用换元法求得()f t ；易错点是忽略换元后参数的取值范围，造成定义域求解错误.6．过点(12)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A ．10x y -+= B ．30x y +-=C ．20x y -=或+30x y -=D ．20x y -=或10x y -+=【答案】D【解析】设直线方程为(1)2y k x =-+，计算截距得到2210k k--+=，计算得到答案.易知斜率不存在时不满足；设直线方程为(1)2y k x =-+，则截距和为：2210k k--+=解得1k =或2k =故直线方程为：1y x =+和2y x = 故选：D 【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.7．函数()12x f ⎛ ⎪⎝⎭= ）A ．12,⎛-∞⎤⎥⎝⎦ B ．1,2⎛-∞ ⎝⎦C ．1122,⎡+⎢⎣⎦D ．12,⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】根据偶次根式有意义的要求求得函数的定义域；依次判断21y x x =-++、t =12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，根据复合函数单调性的判断原则可求得结果. 【详解】由210x x -++≥得：x ≤≤ ()f x ∴定义域为⎣⎦21y x x =-++在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减t ∴1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,22⎡+⎢⎣⎦上单调递减又12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减 ()12f x ⎛∴= ⎪⎝⎭的单调递增区间为12⎡⎢⎣⎦故选：C 【点睛】本题考查指数型复合函数单调区间的求解问题，关键是明确复合函数单调性遵循“同增异减”原则；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则以下结论正确的是（ ）A ．若m α⊥，βn//，αβ⊥，则m n ⊥B ．若//m α，βn//，//αβ，则//m nC ．若//m α，n β⊥，//αβ，则m n ⊥D ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则//m n 【答案】C【解析】根据空间中平行与垂直关系的判定与性质定理和推论依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】m α⊥，αβ⊥ //m β∴或m β⊂，又βn// ,m n ∴可能互相平行，A 错误；当//m α，βn//，//αβ时，,m n 可能平行、相交或异面，B 错误；n β⊥，//αβ n α∴⊥，又//m α n m ∴⊥，C 正确；若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，,m n 可能相交或异面，D 错误.故选：C 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面相关命题的辨析，考查学生对于空间中的平行与垂直位置关系的相关定理的掌握情况.9．已知函数()()3log 1f x ax =-，若()f x 在(],2-∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+ B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．(),0-∞【答案】B【解析】利用复合函数法可得知内层函数1u ax =-在(],2-∞上为减函数，且10u ax =-≥在(],2-∞上恒成立，由此列出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】函数()()3log 1f x ax =-的内层函数为1u ax =-，外层函数为3log y u =，由于函数()()3log 1f x ax =-在(],2-∞上为减函数，且外层函数3log y u =为增函数，则内层函数1u ax =-在(],2-∞上为减函数，0a ∴-<，得0a >， 且10u ax =->在(],2-∞上恒成立，则min 120u a =->，解得12a <. 因此，实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭. 故选B. 【点睛】本题考查复合型对数函数的单调性问题，在利用复合函数法判断内层函数和外层函数的单调性时，还应注意真数在定义域上要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()12103f x f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的x 的取值范围（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】根据偶函数的性质及在区间[)0,+∞上单调递增,结合不等式即可求得x 的取值范围. 【详解】偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增 则()f x 在区间(],0-∞上单调递减 若满足()12103f x f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ 则1213x -<化简可得112133x -<-< 解不等式可得1233x <<,即12,33x ⎛⎫∈⎪⎝⎭故选:A 【点睛】本题考查了偶函数的性质及简单应用,根据函数单调性解不等式,属于基础题.11．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形，则线段BM 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据正方体体积得到棱长；取特殊位置M 为BC 中点，可根据平行关系得到截面为四边形，进而分析12BM <和12BM >时的截面图形，从而求得结果. 【详解】11111ABCD A B C D V -=∴正方体棱长为1 当12BM =，即M 为BC 中点时，1//MN AD截面为如下图所示的四边形1AMND当12BM <时，截面为如下图所示的四边形AMNE当12BM>时，截面为如下图所示的五边形AMNGFBM ∴的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查根据正方体截面的形状求解参数范围的问题，关键是能够根据平行关系确定平面截正方体所得截面的形状，对学生的空间想象能力有一定的要求.12．若函数()2lg 1af x x =+在()0,∞+内存在两个互异的x ，使得()()()11f x f x f +=+成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(35,35B ．()35,1-C ．(1,35+D ．(2,35+【答案】B【解析】根据函数解析式和对数运算法则将已知等式化为()221211x ax +=++，从而将问题转化为方程()()222220a x ax a -++-=在()0,∞+上有两个不等实根的问题；通过对二次函数的图象的讨论可最终求得结果. 【详解】由201ax >+知：0a >由()()()11f x f x f +=+得：()22lglglg 1211aa ax x =++++()()22221lg lg lg lg 121111aa x ax x x +∴-==+++++()221211x ax +∴=++即方程()()222220a x ax a -++-=在()0,∞+上有两个不等实根 当20a -=，即2a =时，方程为420x +=，解得：12x =-，不合题意当20a ->，即2a >时，()()()24422202022220a a a a a a ⎧∆=--->⎪⎪->⎨-⎪⎪->⎩，解集为∅ 当20a -<，即02a <<时，()()()24422202022220a a a a a a ⎧∆=--->⎪⎪->⎨-⎪⎪-<⎩，解得：31a <<综上所述：a的取值范围为()3-故选：B 【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围问题，涉及到对数运算法则的应用、根据一元二次方程在区间内根的个数求解参数范围的问题；解题关键是能够将一元二次方程在区间内根的个数问题转化为二次函数图象的讨论问题，讨论二次函数图象通常要根据判别式、对称轴位置、区间端点值符号几个方面来构造不等式.二、填空题13．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2320A x xx =-+=，{}2,B x x a a A ==∈，则集合()UAB 的子集个数为________.【答案】4【解析】解一元二次方程求得集合A ，从而得到集合B ；由并集和补集定义可求得()U A B ，根据元素个数可确定子集个数. 【详解】()(){}{}2101,2A x x x =--=={}2,4B ∴= {}1,2,4AB ∴=(){}3,5UA B ∴=，共包含2个元素 ()U AB ∴的子集个数为224=个 故答案为：4 【点睛】本题考查集合子集个数的求解问题，涉及到一元二次方程的求解、集合运算中的并集和补集运算问题；关键是能够明确对于含有n 个元素的集合，其子集个数为2n 个. 14．已知幂函数()()2133m f x m m x -=--是偶函数，则m 的值为________. 【答案】1-【解析】根据幂函数定义可构造方程求得m ，将m 的值代回解析式验证函数奇偶性可确定结果. 【详解】()f x 为幂函数2331m m ∴--=，解得：4m =或1m =-当4m =时，()3f x x =为奇函数，不合题意；当1m =-时，()2f x x -=为偶函数综上所述：1m =-本题考查根据幂函数的定义和性质求解参数值的问题；关键是明确幂函数的定义为形式定义，从而根据定义构造方程.15．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB =，3AC =，12BB =，则该三棱柱的外接球表面积为________.【答案】8π【解析】连接11,B C BC 交于点O ，根据垂直关系和棱柱特点可知O 为三棱柱外接球的球心，进而可知OB 即为半径，由勾股定理求得半径后，代入球的表面积公式即可得到结果. 【详解】连接11,B C BC 交于点O ，取BC 中点D ，连接,,OD OA ADAB AC ⊥，D 为BC 中点AD BD CD ∴== OA OB OC ∴==同理可知：111OA OB OC ==又棱柱为直三棱柱，四边形11BCC B 为矩形 1OB OC ∴=O ∴为三棱柱外接球球心 ∴外接球半径222112R OD BD =+=+=∴外接球表面积248S R ππ==本题考查棱柱外接球表面积的求解问题，关键是能够根据棱柱的结构特征确定外接球球心的位置，进而确定球的半径.16．已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________.【答案】4【解析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得,a b ，代入()00f =求得c ，从而得到()f x 解析式，进而得到()(),g x h x ；设0x 为()g x 的零点，得到()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此构造关于m 的方程，求得m ；分别在0m =和3m =-两种情况下求得()h x 所有零点，从而得到结果.【详解】 设()2f x axbx c =++()()()()2222244244f x f x a x b x c ax bx c ax a b x ∴+-=++++---=++=-+44424a a b =-⎧∴⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩又()00f = 0c ∴= ()24f x xx ∴=-+()24g x x x m ∴=-++，()()()222444h x x x x x m =--++-++设0x 为()g x 的零点，则()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()2002220000404440x x m x x x x m ⎧-++=⎪⎨--++-++=⎪⎩即240mm m --+=，解得：0m =或3m =-①当0m =时()()()()()()()22222244444442h x x x x x x x x x x x x =--++-+=-+-+=---()h x ∴的所有零点为0,2,4②当3m =-时()()()()()2222244434341h x x x x x x x x x =--++-+-=--+--+-()h x ∴的所有零点为1,3,2±综上所述：()h x 的最大零点为4 故答案为：4 【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.三、解答题17．求下列函数的值域. （1）211x y x +=+； （2）2y x =+.【答案】（1）()(),22,-∞+∞；（2）[)3,+∞【解析】（1）采用分离常数法可求得函数值域； （2）利用换元法将函数变为二次函数，根据二次函数值域求解方法即可求得结果. 【详解】 （1）211211x y x x +==-++ 101x ≠+ 2y ∴≠ ∴值域为()(),22,-∞+∞（2()0t t =≥，则()22230y x t t t =+=++≥当0t =时，min 3y = ∴值域为[)3,+∞ 【点睛】本题考查分式型、根式型函数值域的求解问题；求解分式型函数值域常采用分离常数法；求解根式型函数值域常采用换元法的方式，将问题转化为二次函数值域的求解；易错点是采用换元法时，忽略新参数的取值范围. 18．已知集合{}2230A x xx =--<，{}220B x xx a a =---<.（1）当2a =时，求AB ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}13x x -<<；（2）(][),32,-∞-+∞【解析】（1）根据一元二次不等式的解法分别求得集合,A B ，由交集定义得到结果；（2）将集合B 整理为()(){}10B x x a x a ⎡⎤=+-+<⎣⎦，根据并集结果可知A B ⊆；分别在12a =-、12a >-和12a <-三种情况下求得集合B ，根据包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】（1）{}{}223013A x x x x x =--<=-<<当2a =时，{}{}26023B x xx x x =--<=-<<{}13A B x x ∴⋂=-<<（2）{}()(){}22010B x x x a a x x a x a ⎡⎤=---<=+-+<⎣⎦A B B = A B ∴⊆当1a a -=+，即12a =-时，B =∅，不合题意 当12a >-时，(),1B a a =-+ 113a a -≤-⎧∴⎨+≥⎩2a ∴≥ 当12a <-时，()1,B a a =+-113a a +≤-⎧∴⎨-≥⎩ 3a ∴≤-综上所述：a 的取值范围为(][),32,-∞-+∞ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算、根据并集运算结果求解参数范围的问题；关键是能够通过并集运算结果确定两个集合之间的包含关系，进而根据包含关系构造不等式. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BC ⊥，//AD BC ，112AD AB BC ===，5PA =，PBC 是正三角形.（1）求证：AB ⊥平面PBC ； （2）求点P 到平面ABC 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】（1）根据长度关系可验证得到AB PB ⊥，由线面垂直判定定理可证得结论；（2）设点P 到平面ABC 的距离为h ，采用体积桥的方式，由P ABC A PBC V V --=可构造方程求得结果. 【详解】 （1）112AB BC ==且PBC ∆是正三角形 2PB ∴=5PA = 222AB PB PA ∴+= AB PB ∴⊥AB BC ⊥，PB BC B ⋂=，,PB BC ⊂平面PBCAB ∴⊥平面PBC（2）设点P 到平面ABC 的距离为h 由（1）知：AB ⊥平面PBC 由P ABC A PBC V V --=得：1133ABC PBC S h S AB ∆∆⋅=⋅即11111222132322h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：h =即点P 到平面ABC【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、点到面的距离的求解问题；求解点到面的距离的常用方法是采用体积桥的方式，将问题转化为三棱锥的高的求解问题，结合棱锥体积公式构造方程求得结果. 20．在ABC 中，()9,0B -，()6,0C ，AD为角A 的角平分线，直线AD 的方程为330x y --=.记ABD △的面积为ABDS ，ADC的面积为ADC S △. （1）求:ABDADCSS；（2）求A 点坐标.【答案】（1）2:1；（2）()3,6【解析】（1）利用AD 方程可求得D 点坐标，从而得到,BD DC 的长度，进而得到所求面积比；（2）利用点关于直线对称点的求解方法可求得C 关于直线AD 的对称点()3,3C '-，联立直线BC '与AD 方程即可求得A 点坐标. 【详解】（1）将0y =代入AD 方程，得：()1,0D10BD ∴=，5DC =:2:1ABD ADC S S ∆∆∴=（2）设点C 关于直线AD 对称的点为()00,C x y '直线CC '与直线AD 的交点为M ，则CC '的方程为：()163y x =-- 联立直线AD 与CC '方程得：360330x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得：32x y ==，即33,22M ⎛⎫⎪⎝⎭根据中点坐标公式得：()3,3C '-，则直线BC '的方程为290x y -+=联立直线BC '与AD 方程得：290330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得：36x y =⎧⎨=⎩，即()3,6A【点睛】本题考查直线部分知识的综合应用，涉及到直线交点坐标的求解、点关于直线对称点的求解等知识；关键是能够明确两点关于直线对称的性质：①两点连线与对称轴垂直；②两点连线中点必在对称轴上. 21．已知二次函数()21f x axbx =++满足以下条件：①()14f =；②对任意的x ∈R ，都有()()11f x f x --=-+. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，不等式()()223f x x λλ≥+--恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）()221f x xx =++；（2）5,4⎡-+⎣【解析】（1）根据()()11f x f x --=-+确定函数的对称轴，由二次函数对称轴和()14f =可构造方程求得,a b ，进而得到函数解析式；（2）将问题转化为2240x x λλ-++≥在()1,+∞上恒成立问题的求解；分别在12λ≤和12λ>两种情况下，根据二次函数的单调性确定最小值点，利用()min 0g x ≥可构造不等式求得结果. 【详解】 （1）()()11f x f x --=-+()f x ∴关于1x =-对称，又()14f =()11412f a b b a ⎧=++=⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩ ()221f x x x ∴=++（2）由()221223x x x λλ++≥+--得：2240x x λλ-++≥ 令()224g x x x λλ=-++①当12λ≤，即2λ≤时，()g x 在()1,+∞上单调递增()()150g x g λ∴>=+≥5λ∴≥- 52λ∴-≤≤②当12λ>即2λ>时，()g x 在1,2λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,2λ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增()2min 124024g x g λλλ⎛⎫∴==-++≥ ⎪⎝⎭24λ∴<≤+综上所述：λ的取值范围为5,4⎡-+⎣【点睛】本题考查二次函数解析式的求解、恒成立问题的求解；处理恒成立问题的关键是能够将问题转化为二次函数最值的求解问题，通过对二次函数单调性的讨论确定最值点，进而构造不等式求得结果.22．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()20201f =，且当1x >时，()0f x >.（1）求()1f ；（2）求证：()f x 在定义域内单调递增; （3）求解不等式12f<. 【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）()()1,02019,2020x ∈- 【解析】（1）取1x y ==，代入即可求得()1f ；（2）任取210x x >>，可确定()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，根据单调性定义得到结论； （3）利用12f=将所求不等式变为ff<，结合定义域和函数单调性可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）取1x y ==，则()()()111f f f =+，解得：()10f = （2）任取210x x >> 则()()()221111x f x f x f x f x x ⎛⎫-=⋅-= ⎪⎝⎭()()221111x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭210x x >>211x x ∴>210x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，即()()210f x f x ->第 21 页 共 21 页 ()f x ∴在定义域内单调递增（3）()20201f f f =+=12f ∴=12f f ∴<= 由（2）知()f x 为增函数220190x x ⎧->⎪∴<解得：()()1,02019,2020x ∈-【点睛】 本题考查抽象函数单调性的证明、利用单调性求解函数不等式的问题；关键是能够通过单调性的定义证明得到函数单调性，进而根据函数单调性将函数值的比较转化为自变量的比较；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.。

江西省上饶市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题(时间：120分钟 分值：150分)一、选择题(60分)1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x|(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝ A.{－1，0} B.{0，1} C.{－1，0，1} D.{0，1，2}2.已知向量a r ＝(1，m)，a r ＝(3，－2)，且(a r ＋b r )⊥b r，则m ＝A.－8B.－6C.6D.83.若将圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积 A.扩大到原来的2倍 B.缩小到原来的一半 C.不变 D.缩小到原来的164.直线xcosα＋y ＋b ＝0的倾斜角的取值范围是 A.[0，π) B.[4π，2π)∪(2π，34π] C.[4π，34π] D.[，4π]∪[34π，π)5.函数f(x)＝2x ＋log 2x －3的零点所在区间 A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)6.α是第二象限角，P(x ，5)为其终边上一点且cosα＝24x ，则x 的值为 A.3 B.3± C.3- D.－2 7.下列命题中错误的是A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ 8.函数f(x)＝2cosx 的一段图象大致为9.如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，该矩形所在的平面内一点P 满足1CP =u u u r，记123,,I AB AP I AC AP I AD AP =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则A.存在点P ，使得I 1＝I 2B.存在点P ，使得I 1＝I 3C.对任意的点P ，有I 1<I 2D.对任意的点P ，有I 1<I 3 10.存在函数f(x)满足对任意x ∈R 都有A.f(sinx)＝cosxB.f(sinx)＝x 2－πxC.f(x 2＋1)＝log 2|x|D.f(x 2＋1)＝2|x|11.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 分别为棱A 1D 1，C 1D 1的中点，N 为线段B 1C 的中点，若点P ，M 分别为线段D 1B ，EF 上的动点，则PM ＋PN 的最小值为 A.1 B.324 C.624 D.31212.已知函数1(0)()(0)x x m f x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩若方程3mf 2(x)－(2m ＋3)f(x)＋2＝0有5个解，则m 的取值范围是A.RB.(－∞，0)C.(0，1)D.(1，32)∪(32，＋∞) 二、填空题(20分)13.函数y ＝3sin(2x －5)的对称中心的坐标为 。

2019-2020学年度第一学期高一自招班期末考试数学答案答案：1-5ADBDB 6-10CBBCB 11-12BD 13.14.(x+1)2＋(y －2)2＝5 15.6 16.［-3π+k π, 6π+k π］(k ∈Z)解：（1）由得，，此时，解得；（2）最小正周期， 由，解得，所以单调递增区间18.(1)因为AB CA CA BC ⋅=⋅，所以()0=-⋅AB BC CA 又0=++CA BC AB所以()BC AB CA +-=，所以()()0=-⋅+-AB BC BC AB 所以022=-BC AB所以22BC AB =，即BC AB =，故ABC ∆为等腰三角形.（Ⅱ）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,3ππB ，所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21cos B 设，a BC AB ==因为2=+BC BA 所以42=+BC BA ，所以4cos 2222=++B a a a ，所以，Ba cos 122+=，所以B B B BC BA BC BA cos 1cos 2cos +=⋅=⋅B cos 122+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈32,2 19.解:(1)将的图象上所有点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图象,则, 又,则,所以当,即时取得最小值,当时即时取得最大值,所以函数的值域为. (2)因为,所以,则, 又,则,所以.20.（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥. 又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离， 由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E =，故1717CH =. 从而点C 到平面1C DE 417点B 到平面1C DE的距离为417∴sin θ=8585221.解：（Ⅰ） l 与m 垂直，且31-=m k ，3=∴l k ，又3=AC k ，所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C .（Ⅱ）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1-=x 符合题意②当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为)1(+=x k y ，即0=+-k y kx ， 因为32=PQ ，所以134=-=CM ，则由11|3|2=++-=k k CM ，得34=k∴直线l ：0434=+-y x . 从而所求的直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x （Ⅲ）因为CM ⊥MN, ()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅ ①当l 与x 轴垂直时，易得5(1,)3N --，则5(0,)3AN =-,又(1,3)AC =,5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，则由⎩⎨⎧=+++=063)1(y x x k y ，得N （36,13k k --+k k 315+-）,则55(,)1313kAN k k --=++AM AN AC AN ∴⋅=⋅=51551313k k k--+=-++ 综上，AN AM ⋅与直线l 的斜率无关，且5-=⋅AN AM . 22. (1) a=1 f(x)=01111=-+--x x ∴112-=--x x x∵),1(+∞∈x ∴①]2,1(∈x 2-x=(x-1)2∴251+=x 或251-=x （舍去） ②2)1(2),,2(-=-+∞∈x x x ∴x 2-3x+3=0φχ∈∴<∆,0综上所述：251+=x （2）ⅰ研究函数g(x)=a x --11与y=x-a 的图像在（1，+∞）上的公共点 当a=0时，不合题意。