专题42 圆锥曲线中的向量问题
一、题型选讲
题型一 、有向量关系求圆锥曲线的离心率
例1、〔2021届浙江省高中开展共同体高三上期末〕椭圆222210xyabab的内接ABC的顶点B为短轴的一个端点，右焦点F，线段AB中点为K，且2CFFK，那么椭圆离心率的取值范围是___________.
例2、〔2021届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试〕双曲线2222:10xyCabab的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，假设4AFFB，那么C的离心率为______.
例3、〔2021届全国100所名校最新高考模拟示范卷〕椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的右焦点为𝐹(𝑐,0)，直线𝑥−2√2𝑦=0与𝐶相交于𝐴、𝐵两点.假设𝐴𝐹⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅𝐵𝐹⃑⃑⃑⃑⃑ =0，那么椭圆𝐶的离心率为______.
题型二、求向量数量积的范围
例4、【2021年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
〔1〕求12AFF△的周长；
〔2〕在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；
〔3〕设点M在椭圆E上，记OAB△与MAB△的面积分别为S1，S2，假设213SS，求点M的坐标．
例5、(2021苏州暑假测试〕如图，椭圆O：x24＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.
(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2) ①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；
②求PB→·PM→的取值范围．
例6、(2021苏州暑假测试〕如图，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－2的直线l与AF平行且与圆C2相切．
Go the distance
【高考地位】 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻
辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定
值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了
一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．
【方法点评】
方法一 定点问题
求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方
程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，
这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通
过特例探求，再用一般化方法证明．
【例1】【四川省广安市2014年高2011级第三次诊断考试20】(本小题13分)已知A、B是椭圆1
222
yx
上的两点，且FBAF，其中F为椭圆的右焦点.
(1)求实数
的取值范围;
(2)在x轴上是否存在一个定点M，
使得MBMA为定值?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明
理由.
[来源:学科网]
Go the distance
【变式演练1】【2015届广东惠州市第二次调研】已知椭圆C
过点6
(1,)
2M
，点(2,0)F是椭圆的左焦
点，点P、Q是椭圆C
上的两个动点，且PF
、MF
、QF成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A
.
Go the distance
Go the distance
Go the distance
方法二 定值问题
解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小
或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值
问题常见的解题模板有两种：
题型一：弦的垂直平分线问题
题型二：动弦过定点的问题
题型三：过已知曲线上定点的弦的问题
题型四：向量问题
题型五：面积问题
题型六：弦或弦长为定值、最值问题
题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳
题型八：对称问题
题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直
角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)
题型一:弦的垂直平分线问题
1过点T(-1,0)作直线l与曲线N：y2=x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x
0,0)，使得ΔABE
是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。2024年高考数学专项复习圆锥
曲线九大题型归纳（解析版）
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中
点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关
问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后
才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平
分线上)、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于题型二:动弦过定点的问题
1已知椭圆C：x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)的离心率为3
2，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A
2(2,0)。
(I)求椭圆的方程；
(II)若直线l:x=t(t>2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA
1,PA
2分别与椭圆
交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A、B、C是椭圆E：x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线
BC过椭圆的中心O，且AC
圆锥曲线专题：调和点列-极点极线
一、问题综述
(一)概念明晰(系列概念)：
1.调和点列：如图，在直线l上有两基点A,B，则在l上存在两点C,D到A,B两点的距离比值为定值，即
AC
BC=AD
BD=λ，则称顺序点列A,C,B,D四点构成调和点列(易得调和关系2
AB=1
AC+1
AD)。
同理，也可以C,D为基点，则顺序点列A,C,B,D四点仍构成调和点列。所以称A,B和C,D称为调和共
轭。
2.调和线束：如图，若A,C,B,D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则直线OA,OC,OB,OD称为调
和线束。若另一直线截调和线束，则截得的四点A,C,B,D仍构成调和点列。
3.阿波罗尼斯圆：如图，A,B为平面中两定点，则满足AP
BP=λ(λ≠1)的点P的轨迹为圆O，A,B互为反
演点。由调和点列定义可知，圆O与直线AB交点C,D满足A,C,B,D四点构成调和点列。
4.极点极线：如图，A,B互为阿圆O反演点，则过B作直线l垂直AB，则称A为l的极点，l为A的极线.
·1·2024高考数学专项复习
5.极点极线推广(二次曲线的极点极线)：
(1).二次曲线Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0极点P(x
0,y
0)对应的极线为
Ax
0x+By
0y+Cx
0y+y
0x
2+Dx
0+x
2+Ey
0+y
2+F=0
x2→x
0x,y2→y
0y,xy→x
0y+y
0x2,x→x
0+x
2,y→y
0+y
2(半代半不代)
(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x2
a2+y2
b2=1
①极点P(x0,y
0)在椭圆外，PA,PB为椭圆的切线，切点为A,B
则极线为切点弦AB:x
0x
a2+y
0y
b2=1；
②极点P(x0,y
0)在椭圆上，过点P作椭圆的切线l，
则极线为切线l:x
0x
a2+y
0y
b2=1
；
③极点P(x0,y
0)在椭圆内，过点P作椭圆的弦AB，
分别过A,B作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x
0x
a2+y
0y
b2=1；
(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.
