2021高考数学复习专题 圆锥曲线的综合问题(文 精练)

第 1 页 共 13 页 专题9.8 圆锥曲线的综合问题

1．(2020·山西大同模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c成等比数列．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．

2．（2020·广东佛山模拟模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．

(1)若AF→＝2FB→，求直线AB的斜率；

(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

3．（2020·湖南湘潭模拟）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，左焦点为F1，点 A是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，当直线AF1的斜率为1时，|AF1|＝2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线AF1与椭圆C的另外一个交点为B，点A关于x轴的对称点为A′，求△F1A′B面积的最大值．

4．(2020·山东威海模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.

(1)求p的值；

(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为－83，证明直线MN过定点，并求出定点的坐标．

5．(2020·河南郑州模拟)已知F是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，点M是抛物线上的定点，且MF→＝(4,0)．

第 2 页 共 13 页 (1)求抛物线C的方程．

(2)直线AB与抛物线C分别相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且|x2－x1|＝3，直线l与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问△ABN的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

6．(2020·安徽黄山模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，设P，Q分别是椭圆C的上、下顶点，且四边形PF1QF2的面积为23，其内切圆周长为3π.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当b＞c时，A，B为椭圆C上的动点，且PA△PB，试问：直线AB是否恒过一定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．

7．(2020·福建福州模拟)设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线x＝p与E交于A，B两点，△ABF的面积为82.

(1)求E的方程；

(2)若M，N是E上的两个动点，|MF|＋|NF|＝8，试问：是否存在定点S，使得|SM|＝|SN|？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由．

8．(2020·河北衡水模拟)在直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4与抛物线C：x2＝2py(p>0)分别相交于A，B两点，且OA△OB.

(1)求抛物线C的方程；

(2)试问：在x轴的正半轴上是否存在一点D，使得△ABD的外心在抛物线C上？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．

专题9.8 圆锥曲线的综合问题

1．(2020·山西大同模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c成等比数列．

第 3 页 共 13 页 (1)求椭圆的方程；

(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．

【解析】(1)由已知可得 a＋c＝2＋1，1×4c＝2a2，a2＝b2＋c2，解得 a＝2，b＝1，c＝1，

所以椭圆的方程为x22＋y2＝1.

(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．

与椭圆方程联立得 x2＋2y2－2＝0，y＝kx－1，消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k21＋2k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝－2k1＋2k2.

可得线段AB的中点为N2k21＋2k2，－k1＋2k2.

当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.

当k≠0时，直线MN的方程为y＋k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2，

化简得ky＋x－k21＋2k2＝0.令y＝0，得m＝k21＋2k2.

所以m＝k21＋2k2＝11k2＋2△0，12.

综上所述，m的取值范围为0，12.

2．（2020·广东佛山模拟模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．

(1)若AF→＝2FB→，求直线AB的斜率；

第 4 页 共 13 页 (2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

【解析】(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.

将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.△

因为AF→＝2FB→，所以y1＝－2y2.△

联立△和△，消去y1，y2，得m＝±24.

所以直线AB的斜率是±22.

(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.

因为2S△AOB＝2·12·|OF|·|y1－y2|

＝y1＋y22－4y1y2

＝41＋m2，

所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.

3．（2020·湖南湘潭模拟）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，左焦点为F1，点 A是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，当直线AF1的斜率为1时，|AF1|＝2.

(1)求椭圆C的方程；

第 5 页 共 13 页 (2)若直线AF1与椭圆C的另外一个交点为B，点A关于x轴的对称点为A′，求△F1A′B面积的最大值．

【解析】 (1)△e＝ca＝22，△a2＝2c2.

又a2＝b2＋c2，△b＝c.

△当直线AF1的斜率为1时，直线AF1通过椭圆的上顶点，

△a＝|AF1|＝2.

又a2＝2c2，b＝c，△b＝1，椭圆C的方程为x22＋y2＝1.

(2)△A在x轴上方，△直线AB的斜率不为0.

设直线AB的方程为x＝my－1.

△F1，A′，B三点能构成三角形，

△直线AB不垂直于x轴，△m≠0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′的坐标为(x1，－y1)．

联立 x＝my－1，x22＋y2＝1，消去x得(my－1)2＋2y2＝2，即(2＋m2)y2－2my－1＝0，

△y1＋y2＝2m2＋m2，y1y2＝－12＋m2.

如图，S△F1A′B＝S△BAA′－S△F1AA′＝12|AA′||x2－xF1|＝y1|x2＋1|＝y1|my2|＝|my1y2|＝|m|2＋m2＝12|m|＋|m|≤122|m||m|＝24，

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当且仅当2|m|＝|m|，即|m|＝2时取等号．

△△F1A′B面积的最大值为24.

4．(2020·山东威海模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|＝2|PQ|.

(1)求p的值；

(2)已知点T(t，－2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为－83，证明直线MN过定点，并求出定点的坐标．

【解析】(1)设Q(x0,4)，由抛物线的定义，得|QF|＝x0＋p2，又|QF|＝2|PQ|，△2x0＝x0＋p2，解得x0＝p2，

将点Qp2，4代入抛物线C的方程，得p＝4.

(2)由(1)知抛物线C的方程为y2＝8x，

△点T的坐标为12，－2，

设直线MN的方程为x＝my＋n，点My218，y1，Ny228，y2，

由 x＝my＋n，y2＝8x得y2－8my－8n＝0，

△y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，

第 7 页 共 13 页 △kMT＋kNT＝y1＋2y218－12＋y2＋2y228－12＝8y1－2＋8y2－2

＝8y1＋y2－32y1y2－2y1＋y2＋4＝64m－32－8n－16m＋4＝－83，解得n＝m－1，

△直线MN的方程为x＋1＝m(y＋1)，过定点(－1，－1)．

5．(2020·河南郑州模拟)已知F是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，点M是抛物线上的定点，且MF→＝(4,0)．

(1)求抛物线C的方程．

(2)直线AB与抛物线C分别相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且|x2－x1|＝3，直线l与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问△ABN的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【解析】(1)设M(x0，y0)，由题知F0，p2，

所以MF→＝－x0，p2－y0＝(4,0)，

所以 －x0＝4，p2－y0＝0，则 x0＝－4，y0＝p2，

将其代入x2＝2py(p＞0)中，得16＝p2，解得p＝4或p＝－4(舍去)，

所以抛物线C的方程为x2＝8y.

(2)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋b.

联立 y＝kx＋b，x2＝8y，整理得x2－8kx－8b＝0，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，

所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝8k2＋2b，

第 8 页 共 13 页 设AB的中点为Q，则点Q的坐标为(4k,4k2＋b)，

由条件设切线的方程为y＝kx＋t(t≠b)，

联立 y＝kx＋t，x2＝8y，整理得x2－8kx－8t＝0.

因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝64k2＋32t＝0，所以t＝－2k2.

则x2－8kx＋16k2＝0，解得x＝4k，所以y＝2k2.

所以切点N的坐标为(4k,2k2)．又点Q的坐标为(4k,4k2＋b)．

所以NQ△x轴，所以|NQ|＝4k2＋b－2k2＝2k2＋b，

因为|x2－x1|＝3，

(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝64k2＋32b，

所以2k2＋b＝932.

所以S△ABN＝12|NQ|·|x2－x1|＝12(2k2＋b)·|x2－x1|＝2764，

所以△ABN的面积为定值，且定值为2764.

6．(2020·安徽黄山模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，设P，Q分别是椭圆C的上、下顶点，且四边形PF1QF2的面积为23，其内切圆周长为3π.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当b＞c时，A，B为椭圆C上的动点，且PA△PB，试问：直线AB是否恒过一定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．

【解析】(1)依题意，四边形PF1QF2的面积为23，