2023年高考数学总复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线的位置关系

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2020年高考数学专题一 压轴选择题

第五关 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题

【名师综述】

近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理.

平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.

类型一 平面向量与解三角形的结合

典例1 ． 在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足222bcabc，0ABBC，32a，则bc的取值范围是（ ）

A．31 , 2 B．33 , 22 C．13 , 22 D．13( , ]22

【答案】B

【解析】∵bcacb222，由余弦定理可得2122cos222bcbcbcacbA，因为C是三角形内角，∴60A，23sinA．0ABBC，∴0cosBBCABBCAB，∴B是钝角．由正弦定理可得BBAabsinsinsin，同理CCsin．三角形ABC中，3A，∴32BC．

6sin3cos23sin32)32sin(sinsinsinBBBBBCBcb，∵322B，∴55,326B∴23,236sin3B，∴cb的取值范围为：33 , 22，故选项为B．

【名师指点】由余弦定理可得角A的大小，平面向量数量积向量式是实现向量和三角形边、2

角转化的桥梁，而正弦定理又是进行三角形边角转化的工具．最值将的取值范围问题转化为三角函数的值域问题处理．

新高考数学大一轮复习专题：

第6讲 定点问题 母题 已知椭圆C：x24＋y2＝1，点P(0,1)，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为－1，求证：l过定点．

思路分析

❶l斜率k存在时写出l的方程

↓

❷联立l，C的方程，设而不求

↓

❸计算kPA，kPB并代入kPA＋kPB＝－1

↓

❹分析直线方程，找出定点

证明 设直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为t，4－t22，t，－4－t22，

则k1＋k2＝4－t2－22t－4－t2＋22t＝－1，得t＝2，不符合题设．

从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.

而k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2

＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2

＝2kx1x2＋m－1x1＋x2x1x2.

由题设k1＋k2＝－1，

故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0， 即(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0，

解得k＝－m＋12.

当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－m＋12x＋m，

即y＋1＝－m＋12(x－2)，所以l过定点(2，－1)．

[子题1] 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，O是坐标原点．若点E(－2,0)，直线l不与坐标轴垂直，且∠AEO＝∠BEO，求证：直线l过定点．

证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可设直线l的方程为x＝ny＋b(n≠0)，

由 x＝ny＋b，y2＝4x，得y2－4ny－4b＝0，

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专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质，与弦有关的计算问题

1.若椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )

A.12 B.33 C.22 D.24

2.已知O是坐标原点，椭圆221259xy上的一点M到左焦点1F的距离为2，N是MF的中点，则ON的长为( )

A.8 B.6 C.5 D.4

3.若π0,2，方程22sincos1xy表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是( )

A.π0,4 B.π0,3 C.ππ,42 D.ππ,32

4.已知双曲线2222:1(0,0)xyTabab，直线yb与T交于A，B两点，直线7yb与T交于C，D两点，四边形ABCD的两条对角线交于点E，60AEB，则双曲线T的离心率为( )

A.704 B.233 C.2 D.4

5.已知双曲线22122:1(0,0)xyCabab的离心率为2，与1C同渐近线的双曲线2C过点(2,22)A，直线:40lxy与x轴、y轴分别交于B，C两点，且与双曲线2C交于D，若CDCB，则( )

A.2 B.58 C.38 D.3

6.双曲线E与椭圆22:162xyC焦点相同且离心率是椭圆C离心率的3倍，则双曲线E的标准方程为( )

A.2213yx B.2221yx C.22122xy D.2213xy

7.已知F为抛物线2:4Cyx的焦点，，过F作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与C交于A，B两点，直线2l与C交于D，E两点，则||||ABDE的最小值为( )

2

A.16 B.14 C.12 D.10

8.（多选）已知点P为双曲线2222:1(0,0)xyCabab所在平面内一点，12(,0),(,0)FcFc分别为C的左、右焦点，2121,4PFFFPFc,线段12,PFPF分别交双曲线于,MN两点,11PFMF, 22PFNF.设双曲线的离心率为e,则下列说法正确的有( )

1 第2课时 范围、最值问题

考点1 范围问题——综合性

(2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋22－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN距离的取值范围．

解：(1)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F2(c,0)，则以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆：(x－c)2＋y2＝a2，

所以圆心到直线x＋y＋22－1＝0的距离d＝|c＋22－1|12＋12＝a．

又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a＝2c，b＝3c，

解得a＝2，b＝3，c＝1，

所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1．

(2)设B(m，n)，设M，N的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点．

因为O为△BMN的重心，则BO＝2OD＝OA，所以D－m2，－n2，

即B到直线MN的距离是原点O到直线MN距离的3倍．

当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时B在长轴的端点处．

由|OB|＝2，得|OD|＝1，则O到直线MN的距离为1，B到直线MN的距离为3．

当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 x214＋y213＝1，x224＋y223＝1，

两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)4＋(y1＋y2)(y1－y2)3＝0． 2 因为D为M，N的中点，所以x1＋x2＝－m，y1＋y2＝－n，所以k＝y1－y2x1－x2＝－3m4n， 所以直线MN的方程为y＋n2＝－3m4nx＋m2，即6mx＋8ny＋4n2＋3m2＝0，

所以原点O到直线MN的距离d＝4n2＋3m264n2＋36m2．