2023年高考数学复习：圆锥曲线的方程与性质

第 1 页 共 17 页 2021年高考数学圆锥曲线的定义、方程与性质

(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．

(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．

考点一 圆锥曲线的定义与标准方程

[例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )

A.x22＋y2＝1

B.x23＋y22＝1

C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1

(2)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝( )

A．2 B．3

C．4 D．8

(3)(2019·郑州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )

A.2x±y＝0 B.x±2y＝0

C．x±2y＝0 D.2x±y＝0

1．椭圆x25＋y24＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( ) 第 2 页 共 17 页 A.55 B.655

C.855 D.455

2．(2019·福州模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA―→＝2AF―→，且|BF―→|＝4，则双曲线C的方程为(

)

A.x26－y25＝1 B.x28－y212＝1

C.x28－y24＝1 D.x24－y26＝1

第2讲 圆锥曲线的方程与性质——小题备考

微专题1 圆锥曲线定义的应用

『常考常用结论』

1．椭圆的定义与方程：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；

焦点在x轴上：＝1(a>b>0)，

焦点在y轴上：＝1(a>b>0)．

2．双曲线的定义与方程：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)；

焦点在x轴上：＝1(a>0，b>0)，

焦点在y轴上：＝1(a>0，b>0)．

3．抛物线定义与方程：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)

y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)

『保分题组训练』

1．已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝10，则|AB|＝( )

A．2 B．4

C．6 D．10

2．[2021·河北石家庄二模]抛物线y＝ax2经过点M(2，1)，则M到焦点F的距离为( )

A． B. 2

C. 3 D.

3．已知双曲线＝1(0

C．1 D．2

『提分题组训练』

1．[2021·山东滨州一模]如图，斜线段AB与平面α所成的角为，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB＝，则点P的轨迹为( )

A．圆 B．椭圆

C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

2．[2021·湖南永州模拟]已知F是抛物线y2＝4x的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到直线x＝－的距离为( )

A．2 B.

C. 3 D.

3．[2021·河北秦皇岛二模]已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，已知∠F1AF2＝90°，且△ABF1内切圆半径为1，则|AB|＝________．

【技法领悟】

关于圆锥曲线定义的应用

ＮＯ．８　堕　ＴＩＭＥ　ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ　Ａ　析高考数学圆锥曲线与方程内容复习的抓本固基　谢春梅　张杰　摘要：本文结合高考中圆锥曲线与方程试题特点，通过具体模拟试题解法的对比，提出了抓本固基的复习方法。　关键词：梯度设计焦点三角形回归课本　中图分类号：Ｇ６４２　文献标识：Ａ　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－８１８１．２０１０．０８．０７８　数学高考试题的命制方向为注重能力立意，注重对能力的考　查，并且以思维能力为核心，全面考查各种能力要求学生对所学　内容融会贯通，要求学生牢固掌握双基，掌握分析问题进而解决　问题的能力。命题人本着这样的宗旨命制试题，因而高考试题体　现考查数学的主体内容，体现数学素质、反映运动变化等等。在　对数学内容的考查中，圆锥曲线与方程由于其是平面解析几何的　核心内容，同时也是学习高等数学的基础，无论在实施新课改之　前，还是已经实行新课改，一直是高考命题的热点之一。　统计２００５－－２００９年北京市５年高考卷中圆锥曲线与方程试　题，发现其特点如下：　１注重基础知识与基本技能的考查，且保持稳定　圆锥曲线在题型、题量、难度、与其他知识点结合等方面风格　独特，每年的试卷中，选择题或填空题占１～２道，为基础题，难度　不大，分值为５分，解答题一道，多为中等难度题，多位于倒数第　二大题的位置，分值ｌ４分，但由于题目问题的梯度设计，该题一　般层次分明，具有一定的区分度，既考查基础，又体现能力。例　如２００６—２００９年北京高考数学（理）卷１９题。　２交汇考查、重点突出　圆锥曲线试题中，圆锥曲线的内容大部分均涉及，考查的知　识点几乎占圆锥曲线总知识点的五分之四，而且最鲜明的特点是　与向量、数列、函数结合，通过这些试题整体意义和有关知识点的　重心，考查学生对数学知识的理解和对课程整体知识的内在联系　的掌握，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上，注重综合，整体　平衡。例如２００８年１９题。　３考查数学思维能力、探索创新能力　如上所言圆锥曲线主观试题具有一定的综合性，知识覆盖面　大，不仅考查学生基本知识、基本技能和基本思想的掌握情况，而　且重点考查学生正确作图、数形结合、点的运动变化、等价转换、　推理与证明、分类讨论、准确运算以及综合运用知识的能力。圆　锥曲线试题每年都在转换命题视角，考查思维的通透性和敏捷　性，在探索中求创新。　针对高考中圆锥曲线试题的以上命题特点，如何在高考复习　中做到抓本固基，如何领悟试题的实质，如何探索解答题的解题　方法，一直是每个考生所热切关注的问题，一直是承担高考教学　任务的教师所关心的问题。　例如：２００９年北京市西城区高三数学（理）二模试卷中考查　圆锥曲线与方程的试题：　已知ＡＡＯＢ的顶点Ａ在射线ｌ：ｙ－Ｊ　３　ｘ（ｘ＞ｏ）上Ａ，Ｂ两点关于ｘ　轴对称，０为坐标原点，且线段ＡＢ上有一点Ｍ满足ＩＡＭＩ・ＩＭＢＩ＝３．　当点Ａ在ｌ上移动时，记点Ｍ的轨迹为ｗ。　（Ｉ）求轨迹ｗ的方程；　（ｃ），设Ｐ（一１，０），Ｑ（２，ｏ），求证：　ＭＱＰ＝２　ＭＰＱ　这道题综合性较好，试题分开两问的梯度性设计，体现了该　类试题注重基础、逐步加深、考查内容上下相关联的特点，也有利　于学生思维的打开和解题信心的提高，同时也较好地体现了一定　的区分度。从试题答案和学生的解答情况可以进一步得到有益　的启示，试题答案第一问的解答如下：　解：因为Ａ，Ｂ两点关于Ｘ轴对称，所以ＡＢ边所在直线与Ｙ轴　平行。　设Ｍ（ｘ，Ｙ），由题意，得Ａ（ｘ，Ｊ３ｘ），Ｂ（ｘ，＿ｊ－３ｘ），　．・．ＩＡＭＩ：瓜一ｙ，ＩＭＢＩ＝ｙ＋　ｘ，　因为ＩＡＭＩＩＭＢＩ＝３　所以（Ｊ３ｘ—Ｙ）ｘ　３ｘ＋ｙ）＝３，即ｘ　－ｒａ－ａ＝１　所以点Ｍ的轨迹ｗ的方程为ｘ　一　：１（ｘ＞０）　在模拟考试卷评判中，发现中等偏下的同学会解第一问，不　会证明第二问。在会解第一问的同学中基本上又分为两种情　况：一种情况是解答不全面，应证了那句会而不全的老话，忽略了　题目射线的隐含条件的限制，因而得出的轨迹方程答案不加条件　限制。另一种情况是解答全面，抓住了圆锥曲线试题数形结合的　特点，对称条件的应用也简化了解题过称。这一问题的分值学生　能拿到。说明教学要求中对圆锥曲线基本知识的理解和基本技　能的掌握的目标能实现。但是第二问要求证明两个角度之间的　二倍关系，得分离散程度较大，部分学生没有思路，甚至感到无从　下手。有的学生作对了一部分。下面是试题第二问的一种解法。　（记作证法一）　（ｎ）　吲：蕾　（　，ｙｏ）（ｘ。＞ｏ）　湖艟　一　＝ｉ（ｘ＞Ｏ）天　州称　鳓　“　辅』　魄救　Ｐ＝２　帔　阿。　以下给ｍ“羔　『’　’　ｉＥＨＪ挝舞　点　一　＝ｌ　ｆ　匕，所　＞１．　．　２　山点　上，褥　濑（２，３），　上　ｌ　＝３ｌ　＝３’　＝　，　＝　，煲　≠　，　・　，　，　概　所　者≥０，　者≠ｌ＇　又ｔａｎ　∈（ｏ’　），　≠　，　２×　所以ｔａｎ２伽＝￣　２ｔａｎ　／＿ＭＰＱ　ｘｏ＋ｌ　Ｘｏ＋１　凶为点　在　上，所　一粤＝ｌ，＆　：　－３　所以ｔａｎ２ＺＭＱＰ＝　２丽ｙｏ（Ｘｏ＋１）＝一　，　因为ｔａｎ／－ＭＯＰ　ｆ，　所以ｔａｎＺＭＱＰ＝锄２ＺＭＰＱ，　一

1 高考数学圆锥曲线轨迹方程问题专题复习

解题方法荟萃

1. 直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法。

直接法一般有下列几种情况：

1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。

2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。

3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。

4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法。

例1、一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？

2. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，

则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

圆：到定点的距离等于定长轨迹集合。

椭圆：到两定点（焦点）的距离和等于定长（定长>两定点距离，否则为线段）的轨迹集合。

双曲线：到两定点（焦点）的距离差的绝对值（不加绝对值为双曲线一支）等于定长的轨迹集合。

抛物线：到定点（焦点）的距离等于到定直线（准线）的轨迹集合。

2 例2、已知ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin45sinsinCAB

求点C的轨迹。

3. 用参数法求曲线轨迹方程

参数法：如果采用直接法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为