行程问题

华杯赛培训讲义

1 行 程 问 题

行程问题为小学和初中数学学习的重要应用问题，在行程问题中，除特别指出外，都假定速度是常数，即匀速运动，匀速运动的基本公式十分简单：

路程=时间速度

但是由于路程的多样化，时间前后的差别，以及速度的变化，使得行程问题变得复杂而丰富多彩。

行程问题虽然是实际问题的初级近似，但地，由于它的各色各样的变化，使得中小学的数学知识中的许多知识点能有趣而生动地融汇其中，而成为学生能力培养的有力工具。在各届华杯赛中，行程问题是各类问题出现频率最高的问题之一。

求解行程问题一般分如下步骤：

1。审题 2。画示意图 3。找关键要素 4。列关系式 5。分析 6。给出答案。

下面将通过具体的问题来解释这六个步骤。

 行程问题中的方程方法

列方程求解行程问题是最通常的方法，也是最为有效的方法。多数行程问题可以用列方程解方程的方法来求解。列方程就是上述步骤中第四步中建立一个或几个含有未知数的条件等式，而第五步中的分析就是解方程。

例1．甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇。如果二人的速度每小时个增加1千米，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人速度个多少？

解。设甲的速度为每小时v千米。因为，两人6小时相遇，所以，二人的速度和为10千米。乙的速度为每小时10-v千米。二人的速度个增加1千米，速度和为12千米，因此，需要小时）(51260相遇。第一次甲的行程为6v，第二次甲的行程为5（v+1）,相差1千米：

.6 ,1)1(56vvv

答。二人的速度分别为每小时6千米和每小时4千米。

例2． 快、中、慢三辆车同时从同一地出发， 沿一公路追赶前面一个骑自行车的人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑自行车的人。现知快车每小时走24千米，中车每小时走20千米。那么慢车每小时走多少千米？

解。设自行车速度为每小时v千米，慢车每小时a千米，三车出发时自行车在他们前面L千米。则

)(12)20(10)24(6vavvL。

由第二个等号，解得 v=14。

由第三个等号，解得 a=19。

例3．某城市东西路和南北路交汇于路口A,甲在路口A南边560米处的B点，乙在路口A处。甲向北，乙向东同时匀速行走。4分钟后二人距A的距离相等，在继续行走24分钟后，二人的距离A相等。问：甲、乙二人的速度各多少？

解。设甲的速度为21 ,vv乙的速度为。 华杯赛培训讲义

2 4分钟后，甲到达 C点，乙到达D点。则

(1) .140 ,560)(4,560,2121vvvvADBCBCACABADAC

24分钟后，甲到达E点，乙到达F点。

AE=AF.

28分钟内，甲从B到E，乙从A到F.

(2) .20),(285602121vvvvAFBEAEBE

（1） 和 (2)是和差问题，

.60,8021vv

例4．A, B两地相距125千米，甲、乙二人骑自行车分别从A, B两地同时出发，相向而行。丙骑摩托车每小时63千米与甲同时从A出发，在甲、乙二人之间穿梭（与甲相遇立即返回，与乙相遇立即返回）。若甲的车速为每小时9千米，且当丙第二次返回甲处时（甲、丙同时出发的那一次为第0次返回甲处），甲、乙二人相距45千米。问：当甲、乙二人相距20千米时，甲、丙相距多少千米？

解。

千米）。二人相距千米。此时，甲、乙千米，乙走了甲走了小时。在这段时间里，相遇的时间间隔是次与乙第千米。那么从这时到丙乙相距次返回到甲处时，甲、千米，丙第设乙的车速为每小时(63)9(63 6363631549vvvLvvviLiviiiiiLLivLLLi

丙第i+1次回到甲处，又用去时间)963)(63(54vLi小时，甲走了)963)(63(54vLi9千米；乙又走了

)963)(63(54vLiv千米。这时，甲、乙二人相距Li+1千米，

（千米）。)63(4)63(3)9(72)63(5463541vLvvvLvLLiiii （1）

由题设，

./(7 ,53)63(4-633 ,259)63(4-633 .125)63(4-633)63(4-633)63(4-63345 .45,1252202120小时）千米）（）（）（）（）（所以，vvvvvvvLvvLvvLL

由此，我们利用（1）计算：

,5116 ,27 ,45 ,75 ,12543210LLLLL，

当丙第三次返回到甲处时，甲、乙相距27千米，从这时到丙第四次与乙相遇的时间间隔为702776327华杯赛培训讲义

3 （小时）。在这段时间里，甲、乙二人的距离缩短了

千米。35827)79(7027此时，甲、乙二人相距。〉203529223582727而千米。距千米。因此，己、丙相）（、丙之间的距离缩短了在这段时间间隔里，甲小时，）（千米，用时需要缩短距离，因此，甲、乙二人还1011770261352920702619631635291635297935293529352920352920

答。当甲、乙相距20千米时，甲、丙相距10117千米。

利用方程来解行程问题是大家所熟悉的方法，从以上例子来看，方程中的未知数可以不是一个，而是多个，并且，未知数不一定已开始解题时就设定，可以根据解体的需要随时设定，也不一定要按照问题的提问来设定未知数。

 行程问题中的比例方法

基本公式 s=tv

s—路程， t—时间， v—速度。

路程一定，速度与时间成反比；时间一定，路程与速度成正比；速度一定，路程与时间成正比。

例1． 一个爱斯基摩人乘坐套由5只狗的雪橇赶往朋友家，雪橇一爱斯基摩人规定的速度全速行驶。一天后，有2只狗扯断缰绳和狼群一起逃跑了。于是剩下的路程只好用3只狗拖着雪橇，前进速度之有原来的3/5。这使得他到达目的地的时间比预计的时间迟了2天。事后，爱斯基摩人说：“逃跑的狗如果再能拖雪橇60公里，那么我就能比预计的时间迟到一天”问：爱斯基摩人一共走了多少路程？

解。设5只狗拉雪橇的速度为每天v公里，预计到达目的地用t天时间。

一天后，余下的路程是一定的，这一段路程用5只狗用t-1天，用3只狗用t+1天，时间与速度成反比：

4. t,5852 ,15353 ,1153tttttvv

即预计4天到达目的地。

设用5只狗跑60公里用T天，则用3只狗跑60公里用T+1天。路程一定，速度与时间成反比。

.23 5T,33T ,153TTT

由此得到，402360v（公里），全程=160440（公里）。

从这一个例子可以看出，用比例方法求解行程问题的一般情况，原理简单，能否有效，在于运用比例华杯赛培训讲义

4 方法的熟练与巧妙。由于比例方法是求解行程问题最基本的方法，下面用更多的例子来学习这一方法。

例2． 自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追赶他们。在距离出发点9千米追上自行车队，然后通信员立即返回出发地点，到后又立即去追自行车队，在追上时，恰好距离出发点18千米。求自行车和摩托车的速度。

解。第一次追上后到第二次追上这一段时间里，自行车走了9千米，摩托车走了9+18=27千米。摩托车的速度是自行车的速度的3倍。

自行车走9千米的时间，摩托车可以走27千米，但摩托车晚出发12分钟，它追上自行车时，自行车距离出发点9千米，这说明，12分钟摩托车可以走27-9=18千米，摩托车的速度为每分钟18/12=3/2千米，自行车的速度为每分钟1/2千米。

例3． 如图，甲、乙、丙三个站，乙站到甲、丙两站的距离相等。小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小明过乙站100米与小强相遇，然后两人继续前进，小明走到一站立即返回，经过乙站300米又追上了小强。问：甲、丙两站的距离是多少？

解。设甲、丙两站的距离为2L米，则有

1）第一次相遇，走的时间相同，路程与速度成正比：

100100LL小强的速度小明的速度

2）第二次相遇，从第一次相遇到第二次相遇走的时间相同，路程与速度成正比：

.2001004002002300100300100LLLL小强的速度小明的速度

所以，300. L,200100100100LLL 即甲、丙两站相距600米。

例4． 有两班小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立即返回接第二班学生上车并直接开往少年宫。学生步行速度每小时4千米，在学生是车速每小时40千米，空车每小时50千米。问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的几分之几？

解。第一步—审题。

各班学生坐一段路程的车，走一段路，且同时到达，车速和步行速度都相同，因此，只能是走路的长度一样。

第二步—画示意图。

简单地用一直线代表全程，X点代表学校，Y点代表少年宫。

第三步—标出关键位置。

第一班坐车到B处，此时，第二班走到A处，车返回到C处接第二班学生上车。因此，第一班学生走的路程为BY，第二班走的路程为XC。 XC=BY. 华杯赛培训讲义

5 第四步—建立关系式。

在第一班坐车的一段时间中，车行驶的路程为XB，第二班学生走的路程为XA，时间已定，路程与速度成正比：

.101104XBXA （1）

车回头接第二班学生这一段时间里，车以每小时50千米的速度行驶从B到C，而第二班学生以每小时4千米的速度步行从A到C, 按比例关系

.504BCAC （2）

第五步—分析所建立的示意图和关系式。