初中数学解题中的隐含条件

知识文库 第5期

105 2018.3（上） 知识文库初中数学解题中的隐含条件

孙丹青

在数学解题过程中，学生往往因为没能挖掘题目中的

“隐含条件”而使解题陷入困境或者得到错误的答案。所以

在平时的教学中，教师要引导学生认真读题，仔细推敲，充

分挖掘题中的“隐含条件”从而找到解题的突破口。

数学题目中的“隐含条件”是指数学问题中那些隐蔽的

已知条件，或者从题设中不断挖掘并利用已知条件进行推理

和变形而重新发现的条件。解题时，常因未能挖掘题中的“隐

含条件”而使解题陷入困境或是得到错误的结论，解题过程

中应充分挖掘这些隐含条件，化未知为已知，引导学生找到

解题的突破口。

“隐含条件”存在的形式多样，需要学生有扎实的基础

知识、熟练的基本技能、灵活的思想方法和严谨的思维能力，

通过一定的方法逐步探索和转化。下面就教学实践对“隐含

条件”常见的表现形式进行探讨。

1 字母中的隐含条件

对于这类题目，题中的字母代表着任意实数，所以在解

题的过程中往往需要分类讨论，避免出现漏解。

例1、比较a与-a的大小

分析：题中的字母a可以是正数、负数、零，学生应根

据三种情况进行分类讨论。

例

2、若aa

，则a＿＿0

分析：此题把“零的相反数是它本身”作为“隐含条件”。

往往被遗漏，故出现a＜0的错解。

2 二次根式中的隐含条件

从二次根式的概念出发：(0)aa

表示算术平方根，

二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或

等于零。 （1）算术平方根是非负数即0a

例3、230xy则2013

xy

的值为＿＿ 分析：题目中隐含着20,30xy，又因为

230xy成立，所以20,30xy得到

2x

，3y

，则答案就迎刃而解了。

（2）被开方数大于等于0

例4、若211,xxxy则x-y的值为（ ）

A、 -1 B、1 C、2 D、3

分析：由“隐含条件”被开方数大于或等于0可得

10,10xx

，所以1,1xy

；答案应选择C。

3 分式中的隐含条件

分式的值为0的条件是分子为0而分母不为0，学生在

解题时容易忽视分母不为0的这一条件 例5、如果分式2327

3x

x

的值为0，则x的值为＿＿

分析：由23270x得3x

，但是当3x

时分

母为0，所以3x

。

4 函数中的隐含条件

一次函数、反比例函数的比例系数不能为零，二次函数

的二次项系数不能为零

例6、当m=＿＿ 时，函数23(2)3mymx是一次

函数。

分析：根据一次函数的定义，令m2-3=1，m-2≠0，解

答即可．

例7、函数22(1)mymx

的图像是双曲线，则m

的值是（ ）

A -1 B 0 C 1 D 2

分析：因为函数22(1)mymx

的图像是双曲线，

所以221m

，但必须注意的是同时要满足

10m

这个隐含条件。

例8、已知函数2(3)21ykxx

的图像与x轴

有交点，则k的取值范围是（ ）

A 4k

B 4k

C 4k

且4k

D

4k

且3k

分析：分为两种情况：①当k-3≠0时，（k-3）x2+2x+1=0，

求出△=b2-4ac=-4k+16≥0的解集即可；②当k-3=0时，得

到一次函数y=2x+1，与X轴有交点；即可得到答案B．

例9、抛物线243yaxxa

的图像的最低点在

x轴上，则a的值为＿＿

分析：由题意抛物线的最低点在x轴上，可得抛物线与

x轴相切，得△=0，但是这里不能忽视只有当抛物线开口向

上时图像才有最低点这个隐含条件，所以求得的a必须大于

0.

5 方程中的隐含条件

例9、已知关于x的一元二次方程

21210axx

有两个不相等的实数根，则a的取

值范围是（ ）

Ａ 2a

Ｂ 2a

Ｃ2a

且1a

Ｄ 2a

分析：对于20(0)axbxca

，令

24bac

，则有0

时方程有两个不相等的实数

根，但在运用判别式时，当ａ含有字母时，不要忽视0a

的这个隐含条件。 .com.cn. All Rights Reserved.知识文库 第5期

106 知识文库 2018.3（上） 6 实际问题中的隐含条件

例10、某水果批发商经销一高档水果，如果每千克盈利

10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价格

不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克。

现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实

惠，那么每千克水果应涨价多少元？

分析：本题学生往往解完一元二次方程就结束了，没有

验证所得的答案是否符合题目的要求，本题隐含着一个条件

“现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到

实惠”。所以容易出现多出一个不适合题意的解。

例11、一批重26吨的货物要运往某地，货主准备租用

汽车运输公司的甲乙两种货车。已知过去两次租用这两种货车的使用情况如表：

第一次 第二次

甲种货车辆数/辆 3 3

乙种货车辆数/辆 2 8

累计运货吨数/顿 17 32

货主想使这批货物既装完又刚好装满所租车辆，能行

吗？说说你的理由。

解：设甲车装x顿，乙车装y顿。 由题意，得 3x+2y=17 解得 x=4

3x+8y=32 y=2.5

设货主租a辆甲车，b辆乙车，则有42.526ab

，

因为a,b为整数，故有a=4时b=4.所以货主租4辆甲车和4

辆乙车就能满足货主要求。

分析：此题学生往往做到二元一次方程就停滞不前了，

究其原因就是没有挖掘题目中的隐含条件。

另外在解实际问题时，运算结果要符合实际的情况，例

如人数、物品的数量往往不能是分数、负数。

7 图像中的隐含条件 数形结合思想是初中数学的一个重要思想方法，“数”

与“形”就好比数学中的“左右腿”，我们应善于抓住形的

特征，挖掘关键信息来帮助解题。

例12、已知二次函数20yaxbxca

的图

像如图所示，则直线yaxb

与反比例函数ac

y

x

在

同一坐标系内的大致图象为（ ）

分析：由抛物线的性质得，图中隐含着三个条件①

0a

②0c

③0

2b

a

，得到0,0,0abc

。

于是直线yaxb

过二、三、四象限，反比例函数

ac

y

x

过二、四象限。故选B

数学题中的“隐含条件”常以多种形式巧妙地“藏匿”

于题目中，如能准确地发掘出这些条件，则能准确、迅速、

巧妙地获得解答。如何快速地找出这些“隐含条件”，这就

要求学生在解题的过程中认真审题、反复读题，纵观全局地

去捕捉题目字里行间的“蛛丝马迹”，利用这些“隐含条件”

帮助自己突破难点。

（作者单位：浙江省杭州市萧山区金惠初级中学）

（上接第95页）

方法使学生在阅读中感受故事的情节，丰富自己的词汇，培

养良好的语感能力，提高阅读的综合效益；其次，教师进行

阅读方法指导时要重视小学生阅读的技能训练，培养阅读方

法，重视加强阅读步骤与方法的指导，鼓励小学生树立自己

的读书观、学习观；在为小学生们选择课外读物时，应根据

孩子的年龄特点和知识水平，以孩子的兴趣为中心，以全面

培养小学生综合素质为准则，找到课外阅读的源头活水，引

导小学生积极亲身体验，使其能真正产生发自内心的激动和

兴趣，培养低年级学生的阅读习惯。

3.3 营造书香气氛，形成书香熏陶

良好的读书环境可充分熏陶小学生的学习习惯与思想

情操。家长应坚持每日亲子阅读半小时，潜移默化地培养孩

子的阅读习惯。学校要充分利用图书馆、图书角等，营造一

个共同阅读的书香气氛，并将课外阅读活动穿插到日常教学

当中去。例如，在课前3——5分钟的读书活动。要求学生

用自己喜欢的方式选择自己喜欢的课外读物去读，或默读、朗读、小组合作读、师生合作读、好伙伴比赛读……此时，

哪怕平时不大喜欢课外书的同学，也会被感染。再者，教师

要善于展开丰富多彩的读书交流活动，通过读书交流会让学

生主体唱主角，自在地、愉悦地表达读书心得与体会。这样，

学生在交流中提升了自己对阅读方法的认识，从而增强阅读

的兴趣，推动课外阅读步步深入。

4 小结

课外阅读是积累语言的良好途径，有助于发展小学生的

思维，使小学生懂得如何探索、发现、获取知识，让小学生

受到美的熏陶，发展个性，对提高小学生综合素质具有重要

的意义。教师与家长要重视低年级课外阅读活动，营造书香

环境，激励低年级小学生从小开始好读书、会读书、乐读书。

项目基金：本文系2017年度平顶山市教育局教育教学

研究室课题“农村小学低年级学生良好阅读习惯的培养研

究”（课题编号：JYKT2017046）的研究成果。

（《农村小学低年级学生良好阅读习惯的培养研究》课题组） .com.cn. All Rights Reserved.