浅谈数学中的变形技巧

数学中的变形技巧

数学中有许多变形技巧，可以帮助我们更好地理解和解决问题。以下是一些常见的变形技巧：

1. 代入变量：将问题中的实际值用代入变量的形式表示，可以让问题更简洁和易于分析。

2. 合并相同项：将具有相同变量和指数的项合并在一起，可以简化表达式和方程式。

3. 移项：将一个或多个项从一个位置移动到另一个位置，通过改变方程式的结构来解决问题。

4. 因式分解：将一个多项式分解成一个或多个可以相乘得到原多项式的因式，可以简化计算和分析。

5. 求公因式：找出一个多项式中可以同时被所有项整除的最高次数的因式，可以简化计算和分析。

6. 变量代换：通过引入新的变量或代换来改变问题的形式，使其更易于处理。

7. 对称性：利用图形、方程或函数的对称性来简化问题的分析和解决。

8. 极限转化：将一个复杂的极限转化为另一个较为简单的极限，以便更容易求解。

9. 反证法：通过假设问题的反面来推导出一个矛盾的结论，以证明原始假设是正确的。

10. 递推关系：通过递推关系，将一个问题转化为另一个相似的问题，以便更容易求解。

这些变形技巧在不同的数学领域和问题类型中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

中小学教学研究TeachingResearchforPrimaryandMiddleSchools第10期2009年10月学科教学

浅谈小学数学教学中的提问技巧

韩梅

（盖州市长征小学，辽宁盖州115200）

美国心理学家布鲁纳曾经指出：“教学过程是一种

提出问题与解决问题的持续不断的活动。”课堂提问是

教师组织课堂教学的重要手段，是激发学生积极思维

的动力，是开启学生智慧之门的钥匙，是信息输出与反

馈的桥梁，是沟通师生思想认识、产生情感共鸣的纽带。

而不良的提问会阻碍学生的思维发展，大大降低课堂教

学效率，因此，研究课堂提问的有效策略是非常必要的。

就小学数学课堂而言，要提高课堂提问的有效性，综合

起来有几大策略。

一、精心酝酿提问内容

课堂提问的内容应当紧扣教材，围绕教学目标而

展开，有效的课堂提问内容应注重以下几个特性。

1.目的性

课堂提问必须要有明确的目的，如课堂组织的定

向性提问、了解学情的摸底性提问、学习方法的指导性

提问、知识理解的启发性提问、触类旁通的发散性提

问、归纳总结的聚敛性提问、温故知新的复习性提问

等。教师应根据不同目标设计相应问题，安排好提问顺

序。所提问题应该为课堂教学内容服务，每一次提问都

应有助于启发学生思维，有助于学生对新知识的理解，

有助于对旧知识的回顾，有利于实现课堂教学目标。

2.启发性

设计提问内容要能抓住教学内容的内在矛盾，为

学生提供思考的机会，并能在提问中培养学生独立思

考的能力，尽量少问非此即彼的问题，或学生完全不加

思索就可以回答的问题。提问要能引导学生到思维的

“王国”中去遨游探索，使他们受到有利的思维训练。要

把教材知识点本身的矛盾与已有知识、经验之间的矛

盾当作提问设计的突破口，让学生不但了解是“什么”，

而且能发现“为什么”。同时，还要适当设计一些多思维

指向、多思维途径、多思维结果的问题，强化学生的思

维训练，培养他们的创造性思维能力。

3.趣味性

兴趣是推动学生思维的强大动力。如果教师所提

问题激发不起学生的兴趣，学生即使去思考了，也只不

９９　署牛弦　２０１０年第６期　教科园地　例说分式不等式证明中的变形技巧　别、力口明　（浙江越秀外国语学院）　摘要对分式的变形是证明分式不等式的关键，在解题的实践中总结、归纳，可以发现一些规律，文中总结出来的几种类型有　一定的参考价值，值得借鉴　关键词分式不等式均值不等式辅助式放缩配对　掌握分式的变形技巧是证明分式不等式的关键，本人在解题的实　践中，归纳出下列常见的几种类型，举例说明。　１配制辅助式　为了证明某些分式不等式，有时往往先配制辅助式，然后应用均　值不荔　１耄　Ｙ　Ｒ　Ｙ　１　票　＋而＋　例　若‘，ｚ∈　，且　＋＋ｚ＝，求证而　ｉ　ｉ。　（《数学通报》数学问题９２１）　证明‘．‘　，　，ｚＥ　Ｒ　，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝１，．・．由均值不等式得：　＋　＋　＋百ｌ＋ｙ　撂　ｉ．而＋　＋等　＝　＋＋百｜－ｘ＋等　；．三式相加得　ｉ　百　百　悔　ｉ　三式相加得　＋南＋　＋　＋　＋　叫　，　＋南＋　＊　。　，　：　二：可　：　可　ｉ　ｉ　ｉ　’　即　＋＿（　７４＋　。　２适当放缩，化为同分母　某些分式不等式，可以应用均值不等式对分母作适当放缩，化为　同分母，使问题简化。　例２已知口，６　ｄ　，求证：　ｂ＋　ｄ　２。　（１９８９年四川省高中数学竞赛题）　证明・．　６，　，　∈　，．・．由均值不等式得：（６＋ｃ）（ｎ＋ｄ）　ｆ　鱼　型１‘，　（　＋６）（　＋ｄ）ｓｆ！．±．　！　］　，　．　ｂ＋南ｄ＋　ｄ　ａ＋　ａ＝　ｄ　ａ＋　ｃ　ｄ　ａ　＋ｃ　ｃ＋　＋　＋６　（６＋ｃ）（＋ｌ　（＋）（＋６ｌ　！丝！　＋　：！：　：　‘　（口＋６＋ｃ＋ｄ）　。　（口＋６＋ｃ＋　）　：—２—（ａ—＋—ｂ—＋——ｃ＋——ｄ—）—＋—２—（—ａ—－—ｃ　）—＋—　２（ｂ－ｄ）　２，　（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄＪ　即　ｂ＋ｃ＋南＋　＋　。　３恒等变形．化为同分子　（接ｌ８８页）动，体验劳动带来的快乐。再次组织幼儿参加一些社会　公益活动，为构建和谐社会贡献自己的一份力量。还可以组织幼儿去　郊游，鼓励幼儿多接触大自然，认识各种花草树木、飞禽走兽，在拓　展幼儿视野和知识面的同时，能让他们真实地感受大自然的美，初步　激发幼儿热爱大自然、保护大自然的环保意识。　（４）重视习惯的养成，持之以恒。通过环境创设长期不断地对　幼儿进行潜移默化的影响，使幼儿良好的行为得到日积月累的强化，　逐渐形成一种生活习惯，并积极诱发、引导幼儿进行自主的选择，进　而维持、巩固和强化良好的行为习惯。使其长期保持下去。　参考文献　【１］赵志毅．规范与创新：德育本质问题刍议Ⅱ］ｌ教育研究，２００２（１）　有些不等式可通过恒等变形，使分子化为相同，这样可发现分式　内在的联系，找到解题的思路。　例３已知　，），，：ｅ　，求证：　而ｘ　＋－ｘ－￣ｙ＋ｚ＋　ｓ；。　（《中等数学》１９９６年２月号数学奥林匹克问题４Ｏ）　证明．．　毒　ｌ—　ｘ　＋ｙ＋　ｚ，　Ｙ鬲　ｘ＋ｙ　＋ｚ－　ｘ＋ｙ＋２ｚ　ｌ一而ｘ＋ｙ＋ｚ，烈相加得：　上＋—Ｙ—＋上＝３一（＋　＋ｚ）ｌ＋　—Ｌ＋—１２ｘ＋ｙ＋ｚ　ｘ＋２ｙ＋ｚ　ｘ＋ｙ＋２ｚ　２ｘ＋ｙ＋ｚ　２ｙ＋ｚ　ｘ＋ｙ—＋２ｚ］，、　Ｉ　十　Ｊ’　．・．原不等式等价于：　一（　＋　＋：）（赤＋而１＋　］ｓ；，即　证：　＋上ｘ＋２ｙ＋ｚ＋　面１　９　两，由算术平均　调和平均　！　Ｉ　！．　得：　再　３　而　１　，　・・・—　１１：＋Ｈ　ｙ１　３　—　９２ｘ　Ｙ　２ｙ＋　２ｚ　４（ｘ　，即原不等式成立。＋　＋：　十　：　＋　＋　十），＋ｚ　＋　＋ｚ　Ｊ’　—　。　４巧配对。助放缩　证不等式中，有时根据分式不等式的结构特点，巧妙地配上一个　与其相关联的对称式，有助于灵活运用基本不等式进行适当的放缩，　促使问题能得到简捷地解　。　例４已知ｑＥ　，且　ｑ　‘　＝　，　，　，…　，　求证：￣　ａｉ＋。＇ａｉ．Ｉ　（其中　。＝ｑ）。　证明：记　：　—　，给出　的对称式：　主血，于是　ｑ＋ａｕｌ　ａｉ＋ｑ¨　一　詈毫　（ｑ一　）＝。，’‘’ｑ∈　，且　ｑ　“＝１，　，３’…’，　・・・　＝　（　＋四）＝　砉鲁　鲁　÷喜（ｑ＋　）＝　（平方平均　算术平均），　・・・喜　ｊ１成立。　…　㈣　［２］赵志毅，赵艳平．幼儿德育教育新理念…后现代视野下幼儿园　德育实验研究Ｕ】．学前教育研究。２００５（１１）　［３】中华人民共和国教育部．幼儿固教育指导纲要（试行）【ｚ］．２００１年　７，ｑ２日　【４］林晖燕．素质教育背景下的幼儿园德育新举措［ＤＢ／ＯＬ］　ｈｔｔｐ：／／ｅｂｌｏｇ．ｃｅｒｓｐ．ｃｏｍ／ｕｓｅｒｌｏｇ／２１Ｏ２Ｏ／ａｒｃｈｉＶｅｓ／２０Ｏ７／２３１５９８．ｓｈｔｍ１．　【２００７－０１—１２】　［５】杜金兰．浅谈幼儿团德育教育［ＤＢ／ＯＬ］　ｈｔｔｐ：／／ｗｗ＇ｗ．ｓｄｃｈｉｌｄ．ｃｏｍ／ｋｅ￣ｉ／ｓｏｃｉｅｔｙｅｄｕ／２００８１２／２２４１１．ｓｈａｒｄ．【２００８—　１２—３１】　【６］姚梅林．幼儿教育心理学【Ｍ】，北京．高等教育出版社，２００７　作者简介刘利（１９８１一）．女，现任职于河南省新乡学院教育科学　系．助教。东北师范大学２００８￣ｔＬ高师硕士。研究方向：课程与教学论。　（收稿日期：２０１０—０４—０７）

浅谈数学中的变形技巧

永城职业学院基础部 邮编476600 陈颂

地址：河南省永城市东城区学府路002号

摘要：在数学的解题过程中，我们经常需要对一些公式或者概念做一些变形。比如将等式变形，不等式变形，根据概念变形等等。本文针对这三个方面做一些讨论，对数学中几种题型的解题思路做一个总结，希望会对在迷茫中的学生们有一个启发作用。

关键词：等式；不等式；变形

在数学的解题过程中，我们经常需要对一些公式或者概念做一些变形。比如将等式变形，不等式变形，根据概念变形等等。本文针对这三个方面做一些讨论，对数学中几种题型的解题思路做一个总结，希望会对在迷茫中的学生们有一个启发作用。

一、等式变形

例如：1cossin22的变形

我们知道，1cossin22是三角函数中一个非常基础而且重要的公式。许多相关公式也可以与这个公式相互照应。

例如，由公式rysin，rxcos，（知识点：角的概念的推广）我们把此代入公式得到：

122rxry，

即222ryx，此式由勾股定理得出。

又若在一个直角三角形中，我们有casin，cbcos，则代入公式有

122cbca

即222cba，即为勾股定理。

二、不等式变形

例如：不等式abba222的变形。

以上不等式可以变形为：0222abba，由完全平方公式得：02ba，此式显然成立。故原不等式成立。

我们再将公式变形得：abba222，此式不太常用，但是我们可以熟悉一下这个形式。 我们将原式中的a换为a，将b换为b，得baba222，即为abba2,也即为abba2，此式较为常用。如果我们忘记了公式的写法，就可以根据以上思路进行思考，从而得出正确结论。

我们将原公式两边都加上22ba，可以得到abbaba222222）（，即222)()(2baba，此式也会在一些题中出现。