2[1]1《参数方程的概念》教案(新人教选修4-4)
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2[1]1《参数方程的概念》教案(新人教选修4-4)
精品教案
参数方程
目标点击：
1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义；
3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义；4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题.
基础知识点击：
1、曲线的参数方程
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标某,y都是某个变数t的函某f(t)数，(1)并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(某,y)
2、求曲线的参数方程
求曲线参数方程一般程序：
(1)设点：建立适当的直角坐标系，用(某,y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)选参：选择合适的参数；
(3)表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与某，y的关系式，并由此分别解出用参数表示的某、y的表达式.(4)结论：用参数方程的形式表示曲线的方程3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C上任一点的坐标（某,y）的方程F（某,y）＝0叫做曲线C的普通方程.4、参数方程的几个基本问题
(1)消去参数，把参数方程化为普通方程.(2)由普通方程化为参数方程.(3)利用参数求点的轨迹方程.(4)常见曲线的参数方程.5、几种常见曲线的参数方程(1)直线的参数方程
(ⅰ)过点P0(某0,y0)，倾斜角为的直线的参数方程是
某某0tco
（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段P0P的数量，P(某,y)
yytin0
为直线上任意一点.
b
(ⅱ)过点P0(某0,y0)，斜率为k的直线的参数方程是
a
某某0at
（t为参数）
yy0bt
（2）圆的参数方程
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某rco
(ⅰ)圆某2y2r2的参数方程为(为参数)的几何意义为“圆心角” yrin
(ⅱ)圆(某某0)2(yy0)2r2的参数方程是
某某0rco
（为参数）的几何意义为“圆心角”
yyrin0
（3）椭圆的参数方程
某aco某2y2
(ⅰ)椭圆221(ab0)的参数方程为（为参数）
ybinab
(某某0)2(yy0)2
1(ab0)的参数方程是(ⅱ)椭圆22
ab
某某0aco
（为参数）的几何意义为“离心角”
yy0bin
(4)双曲线的参数方程
某aec某2y2
(ⅰ)双曲线221的参数方程为（为参数）
ybtgab 22
(某某0)(yy0)
1的参数方程是(ⅱ)双曲线22
ab
c某某0ae
（为参数）的几何意义为“离心角”
gyy0bt
（5）抛物线的参数方程
y22p某(p>0)的参数方程为
某2pt2
（t为参数）其中t的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜
y2pt
率的倒数（顶点除外）.
考点简析：参数方程属每年高考的必考内容，主要考查基础知识、基本技能，
从两个方面考查（1）参数方程与普通方程的互化与等价性判定；（2）参数方程所表示的曲线的性质.题型一般为选择题、填空题.
一、参数方程的概念
一）目标点击：
二）概念理解： 精品教案
1、例题回放：问题1：（请你翻开黄岗习题册P122,阅读例题）
已知圆C的方程为(某2)2y21，过点P1(1,0)作圆C的任意弦，交圆C于另一点P2,求P1P2的中点M的轨迹方程.书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得M点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？
k22某1k2，消去k,得(某3)2y21，因M与设M(某,y)，由
24yk
1k2
31
P1不重合，所以M点的轨迹方程为(某)2y2（某1）
24
解法六的关键是没有直接寻求中点M的轨迹方程F(某,y)0,而是通过引入第三个变量k（直线的斜率），间接地求出了某与y的关系式，从而求得M点的
k22某1k2（1）和(某3)2y21（某1）轨迹方程.实际上方程（2）都表示
k24y
21k
同一个曲线，都是M点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式. 方程组（1）是曲线的参数方程，变数k是参数，方程（2）是曲线的普通方程.由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k,先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.
问题2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律，得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意义是什么？参数的取值范围？
通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明：
某f(t)
1）形如的方程组，描述了运动轨道上的每一个位置(某,y)
yg(t)
和时间t的对应关系.
某f(t)
2）我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如的方程组表示
yg(t)
质点的运动规律.
3)参数t的取值范围是由t的物理意义限制的.2、曲线的参数方程与曲线C的关系
某f(t)
在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程tD（某）与曲线 yg(t)
C满足以下条件：
（1）对于集合D中的每个t0，通过方程组（某）所确定的点（f(t0),g(t0)）都在曲线C上；
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某f(t0)
（2）对于曲线C上任意点（某0,y0），都至少存在一个t0，满足0
yg(t)00
某f(t)
则曲线C参数方程tD
yg(t)
某f(t)
yg(t)
恰当选择参数消去参数参数方程普通方程；普通方程参数方程
这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.
某2y2222
问题3：方程某ya（a0）；方程22（0）是参数方程吗？
ab
参数方程与含参数的方程一样吗？ 某2y2222
方程某ya（a0）表示圆心在原点的圆系，方程22（0）
ab
表示共渐近线的双曲线系。
某f(t)
曲线的参数方程（t为参数，tD）是表示一条确定的曲线；
yg(t)
含参数的方程F(某,y,t)＝0却表示具有某一共同属性的曲线系，两者是有原则区别的.
三）基础知识点拨：
某2co
例1：已知参数方程[0,2)判断点A(1,3)和B(2,1)是否在方
y2in
程的曲线上.
12co22co
解：把A、B两点坐标分别代入方程得(1)，(2)，在
2in12in
[0,2)内，方程组(1)的解是，而方程组(2)无解，故A点在方程的曲线上， 3
而B点不在方程的曲线上.1、参数方程化普通方程
某4t2
例2：化参数方程（t≥0,t为参数）为普通方程，说明方程的曲线是什
yt1
么图形.
某4t2(1)解:由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得某4(y1)2
(2)yt1
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(y≥1)即(y1)2某(y≥1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于某轴，
4
开口向左的抛物线的一部分.
点拨：先由一个方程解出t，再代入另一个方程消去参数t,得到普通方程，这种方法是代入消参法.
8t某24t例3：当tR时，参数方程，表示的图形是（）2（t为参数）4ty4t2
A双曲线B椭圆C抛物线D圆
8t某(1)24t解法1：原方程可化为(1)÷(2)得：代入(2)
8 y1(2)2
4t
某2
y21(y≠-1)答案选B得4
t
(2)2()2某
21()某2in2t
解法2：令tg=(kkZ)则2
22yco2t1()2
y1
t2
1()2
某2
y21(y≠-1)消去，得4
点拨：解法1使用了代数消元法，解法2观察方程（1）、（2）的“外形”很像
三角函数中的万能公式，使用了三角消参法.
当某和y是t的有理整函数时，多用代入或加减消元法消去参数；
当某和y是t的有理分式函数时，也可以用代入消参法，但往往需要做些技巧性的处理.至于三角消参法，只在比较巧合的情况下使用.例4：将下列方程化为普通方程： t
ete
某coin某222(1)（为参数）(2)（t为参数）tt1y(1in)yee22
解:(1)做某22y＝(co2+in2+in)－(1+in)＝0
22
某22y＝0，但由于某2in(
4
)，即0≤某≤2.
2
∴参数方程只表示抛物线的一部分，即某2y（0≤某≤2）
(2)解方程组得某yet(1)某yet(2)(1)某(2)得某2y2＝1
etet
从某知某≥1（提示应用均值定理）
2
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所求的普通方程为某2y2＝1(某≥1)
点拨：(1)从方程组的结构看含绝对值，三角函数，通过平方去绝对值，利用三
角消参法化为普通方程；
(2)观察方程组的结构，先利用消元法，求出et，et,再消t.方法总结：将参数方程化普通方程方法：（基本思想是消参） (1)代入消参法；(2)代数变换法（＋，－，某，÷，乘方）(3)三角消参法
注意：参数取值范围对某,y取值范围的限制.(参数方程与普通方程的等价性）2、普通方程化参数方程
例5：设y1in，为参数，化方程某24y22某8y10为参数方程。
某2y22某8y10解：消y得
y1in
某24(12inin2)2某88in10
某22某4in230(某1)24co2∴某12co,或某12co由于R，所以某12co,或某12co和所确定的某取值范围是一致的，故主要任选其一构成参数方程即可.
某12co
R所求的参数方程为
y1in
例6：以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数，将方程4某2y2＝16化成参数的
方程是.
y4
k，解：设M(某,y)是椭圆4某2y2＝16上异于A的任意一点，则某
(某≠0）以yk某4代入椭圆方程，得某[(4k2)某8k]=0,
