参数方程的概念》教案(新人教选修

1 四 渐开线与摆线

[对应学生用书P30]

1．渐开线的产生过程

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．

2．摆线的概念及产生过程

圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．

3．圆的渐开线和摆线的参数方程

(1)圆的渐开线方程： x＝rφ＋φsin φy＝rφ－φcos φ(φ为参数)．

(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φy＝r－cos φ.(φ为参数)．

[对应学生用书P30]

圆的渐开线的参数方程

[例1] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．

[思路点拨] 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．

[解] 以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量0OM的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧0AM 的长和线段AM的长相等，记OA和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝0AM＝4θ.

作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得 2

OA＝(4cos θ，4sin θ)．

由几何知识知∠MAB＝θ，

AM＝(4θsin θ，－4θcos θ)，

得OM＝OA＋AM.

＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)

＝(4(cos θ＋θsin

θ)，4(sin θ－θcos θ))．

又OM＝(x，y)，

因此有 x＝θ＋θsin

θ，y＝θ－θcos θ

这就是所求圆的渐开线的参数方程．

圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．

高中数学《参数方程的概念》教案新人教A版选修

一、教学目标：

1. 让学生理解参数方程的概念，了解参数方程与普通方程的区别和联系。

2. 培养学生运用参数方程解决实际问题的能力。

3. 通过对参数方程的学习，提高学生的数学思维能力和创新意识。

二、教学内容：

1. 参数方程的定义及基本形式。

2. 参数方程与普通方程的互化。

3. 参数方程在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：

1. 重点：参数方程的概念，参数方程与普通方程的互化。

2. 难点：参数方程在实际问题中的应用。

四、教学方法：

1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索参数方程的概念及应用。

2. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解参数方程与普通方程的关系。

3. 运用实例分析法，让学生学会将实际问题转化为参数方程求解。

五、教学过程：

1. 导入：引导学生回顾普通方程的知识，激发学生对参数方程的兴趣。

2. 新课讲解：讲解参数方程的定义、基本形式及与普通方程的关系。

3. 案例分析：分析参数方程在实际问题中的应用，如物体的运动轨迹、电路问题等。

4. 练习与讨论：学生分组讨论，尝试将实际问题转化为参数方程求解，教师给予指导。

5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生深入研究参数方程的性质和应用。

六、教学评估：

1. 课后作业：布置有关参数方程的概念理解、形式转换和实际应用的练习题，以巩固所学知识。

2. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对参数方程的理解程度，以及能否将实际问题转化为参数方程。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及他们在解决问题时的创造性思维。

七、课后作业：

1. 复习参数方程的概念和基本形式。

2. 完成课后练习题，包括将普通方程转化为参数方程，以及运用参数方程解决实际问题。

3. 探索参数方程在其他学科中的应用，如物理学、工程学等。

八、教学资源：

1. 教材：新人教A版选修《高中数学》。

第 页 1 课题：§2.1.1参数方程

---参数方程的概念（第一课时）

吴代军 （恩施高中.恩施市445000 ）

一、教学设计

1．教学内容解析

本课内容为北师大2003课标版《选修4-4》第二讲“参数方程”的起始课《参数方程的概念》，课本中给出的问题情境是“投铅球”，由于涉及投掷点的高度问题，对学生而言难度略大，从而构置学生熟悉的运动项目--“跳远”这一情景，层层深入的探究“跳远”这一运动项目的数学内涵，较为自然的生成“参数方程概念”，比较参数方程和普通方程在研究同一问题的数学直观与简洁美，通过学生生活问题数学抽象，再经过严密的逻辑推理，建立恰当的数学模型，进行合理的数学运算，进而培养学生良好的数学素养.

2.2019年考试说明和教学大纲

考试说明指出：要求学生“了解参数方程并了解参数方程参数的意义”，在对学生的能力层次要求上属于“了解”的程度，这就要求学生能根据问题的条件，学会引进恰当的参数建立参数方程，体会具体问题中参数的意义.

教学大纲指出：参数方程不仅可表示曲线，还可描绘事物运动变化的规律，对于较难建立(,)0fxy的方程用参数方程描绘,xy间的联系更为方便，这就让我们感受到了学习参数方程的必要性。

根据以上分析，本节课的教学重点确定为：

教学重点：根据问题情境和题设条件引入合适的参数，建立参数方程，并体会参数的意义.

3．学生学情诊断

课堂主体对象为湖北省重点中学、省级示范高中恩施高中，学生有较强的探究意识和学习能力，基于本节内容为学生对函数关系、运动变化、实际问题的建模已经有较为深刻的认知，已经学习了“曲线与方程”，探究动点轨迹方程有理性的认识，由此对本节课“参数方程的概念”的知识建构作了较好的铺垫. 第 页 2 根据以上分析，本节课的教学难点确定为：

word 1 / 10 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程

[核心必知]

1．双曲线的参数方程

(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程是x＝asecφ，y＝btan φ，规定参数φ的取值X围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．

(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1的参数方程是x＝btan φ，y＝asecφ．

2．抛物线的参数方程

(1)抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt，t∈R．

(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

[问题思考]

1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？

提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．

2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？

提示：如果x对应的参数形式是asecφ，那么焦点在x轴上；

如果y对应的参数形式是asecφ，那么焦点在y轴上． word

2 / 10 3．假设抛物线的参数方程表示为x＝2ptan2α，y＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？

提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角．

在双曲线x2－y2＝1上求一点P，使P到直线y＝x的距离为2.

[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P点的坐标，建立方程求解．

设P的坐标为(secφ，tan φ)，由P到直线x－y＝0的距离为2得|secφ－tan φ|2＝2

得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|

平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)，

即5sin 2φ－2sin φ－3＝0.

解得sin φ＝1或sin φ＝－35.

sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)．