高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.2导数的概念a11a高二11数学

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班 级： 科 目： 2020_2021学年高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修1 第三章 导数及其应用

3．1 变化率与导数

3。1。1 变化率问题 3．1.2 导数的概念

内 容 标 准 学 科 素 养

1。了解导数概念的实际背景．

2。会求函数在某一点附近的平均变化率．

3。会利用导数的定义求函数在某点处的导数。 利用数学抽象

提升逻辑推理

授课提示：对应学生用书第49页

[基础认识］

知识点一 函数的平均变化率

错误!

丰富多彩的变化率问题随处可见．导数研究的问题就是变化率问题,那么，变化率和导数是怎样定义呢？

(1）气球膨胀率

气球的体积V（单位：L)与半径r（单位:dm）之间的函数关系是V(r)＝错误!πr3⇒r(V）＝错误!.

当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了

r（1)－r(0）≈0。62（dm)，

气球的平均膨胀率为错误!≈0.62（dm/L）．

类似地，当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2）－r（1）≈0。16 （dm）,

气球的平均膨胀率为错误!≈0.16 （dm/L）．

当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示：错误!

（2）高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h（单位:m)与起跳后的时间t（单位:s）存在函数关系

h(t)＝－4。9 t2＋6.5 t＋10.

如果我们用运动员在某段时间内的平均速度错误!描述其运动状态，那么:求0≤t≤0。5和1≤t≤2这段时间内的错误!。

提示：在0≤t≤0。5这段时间里,

错误!＝错误!＝4。05 （m/s）；

在1≤t≤2这段时间里，

错误!＝错误!＝－8。2 （m/s）．

知识梳理 函数的平均变化率

对于函数y＝f（x),给定自变量的两个值x1和x2,当自变量x从x1变为x2时，函数值从f（x1）变为f(x2)，我们把式子错误!称为函数y＝f(x）从x1到x2的平均变化率．

- 1 -

高中数学 第3章《变化率与导数》3.2导数的概念与几何意义习题导学案（无答案）北师大版选修1-1

1. 一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么0limtst为（ ）

Ａ．从时间t到tt时，物体的平均速度；

Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度；

Ｃ．当时间为t时物体的速度；

Ｄ．从时间t到tt时物体的平均速度

2. 2yx在 x=1处的导数为（ ）

A．2x B．2 C．2x D．1

3. 在0000()()()limxfxxfxfxx中，x不可能（ ）

A．大于0 B．小于0

C．等于0 D．大于0或小于0

4.若质点A按规律22ts运动，则在3t秒的瞬时速度为（ ）

A、6 B、18 C、54 D、81

5.设函数)(xf可导，则xfxfx3)1()1(lim0=（ ）

A、)1(f B、)1(31f C、不存在 D、以上都不对

6.如果质点A按规律23st运动，则在3t时的瞬时速度为

10.高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度是：2()4.96.510httt(单位: m),求运动员在1ts时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.

11. 一质量为3kg的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s）的关系可用函数

- 2 - 2()1stt表示，并且物体的动能212Umv. 求物体开始运动后第5s时的动能.

1. 已知曲线22yx上一点,则点(2,8)A处的切线斜率为（ ）

A. 4 B. 16 C. 8 D. 2

1 1.3.2函数的极值与导数

一、教材分析

《函数极值>>是高中数学人教版版新教材选修2-2第一章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这一节起着铺垫作用。

二、教学目标

1. 教学目标

（1） 知识技能目标：

掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点与=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.

（2）过程与方法目标：

培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

（3）情感与态度目标：

培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；

体会数学中的局部与整体的辨证关系.

2．教学重点和难点

重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.

难点：(1)为函数极值点与=0的逻辑关系

(2)函数的导数与函数最值的区别及联系。

3．教学方法与教学手段

师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.

利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.

4、教学过程 2 1.引入 情景创设 学生活动 教师活动 设计理由

利用学生们熟悉的海边体育运动—冲浪，直观形象地引入函数极值的定义. 学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义. 引导学生想象冲浪的过程引入极值的现象。 直观形象，立即抓住学生.

2

函数极值

的定义 掌握函数极值的定义.

着重理解：“在点附近”的含义。

体会：极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. 教师给出函数极值的定义:

3.1.1 变化率问题

3.1.2 导数的概念

学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．函数的平均变化率

(1)定义式：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.

(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．

(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．

(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1表示割线P1P2的斜率．

思考：Δx，Δy的取值一定是正数吗？

[提示] Δx≠0，Δy∈P.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

(1)定义式：limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．

(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．

3．函数f(x)在x＝x0处的导数

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

[基础自测]

1．思考辨析

(1)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零． ( )

(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．

( )

(3)函数f(x)＝x在x＝0处的瞬时变化率为0. ( )

[答案] (1)√ (2)× (3)×

2．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )

A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44

B [Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.12－4＝0.41.]