2017-2018学期高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1-1

2017高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1.1 导数的概念及其

几何意义对点训练 理

1．曲线y＝xex－1

在点(1,1)处切线的斜率等于( )

A．2e B．e

C．2 D．1

答案　C

解析　∵y′＝x′·ex－1

＋x·(ex－1

)′＝(1＋x)ex－1

，∴曲线在点(1,1)处

的切线斜率为y′|

x＝1＝2.故选C.

2.下列四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3

＋ax2

＋(a2

－4)x＋

1(a∈R，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(1)＝( )

A. B.

C．－ D．1

答案　C

解析　f′(x)＝x2

＋2ax＋(a2

－4)，由a≠0，结合导函数y＝f′(x)的图

象，知导函数图象为③，从而可知a2

－4＝0，解得a＝－2或a＝2，再结

合－>0知a<0，所以a＝－2，代入可得函数f(x)＝x3

－2x2

＋1，可得f(1)

＝－，故选C.

3．已知t为实数，f(x)＝(x2

－4)·(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于( )

A．0 B．－1

C. D．2

答案　C

解析　依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2

－4)＝3x2

－2tx－4，∴f′(－1)

＝3＋2t－4＝0，即t＝.

4.设曲线y＝ex

在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

答案　(1,1)

解析　y′＝ex

，则y＝ex

在点(0,1)处的切线的斜率k

切＝1，又曲线y

＝(x>0)上点P处的切线与y＝ex

在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝(x>0)在

点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝(x>0)上点P处的切线

的斜率为y′|

x＝a＝－a－2

＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b

＝1，故P(1,1)．

5．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P

的坐标为________．

答案　(e，e)

解析　y′＝ln x＋1，设P(x

0，y

0)，ln x

0＋1＝2得x

1 3.1.1 平均变化率

学习目标：1.理解并会求具体函数的平均变化率．(重点) 2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

平均变化率

1．定义：

一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为fx2－fx1x2－x1.

2．实质：

函数值的改变量与自变量的改变量之比．

3．意义：

刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．

[基础自测]

1．判断正误：

(1)f(x)＝x2，f(x)在[－1,1]上的平均变化率为0.( )

(2)f(x)＝x2在[－1,0]上的平均变化率小于其在[0,1]上的平均变化率，所以f(x)在[－1,0]上不如在[0,1]上变化的快．( )

(3)平均变化率不能反映函数值变化的快慢．( )

【解析】 (1)√.f(x)在[－1,1]上的平均变化率为f1－f－11－－1＝1－12＝0.

(2)×.f(x)＝x2在[－1,0]和[0,1]上的变化快慢是相同的．

(3)×.平均变化率能反映函数值变化的快慢．

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

2．f(x)＝1x2在[1,2]上的平均变化率为________．

【解析】 函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为14－12－1＝－34.

【答案】 －34

[合 作 探 究·攻

重 难]

变化率的概念及意义的应用

2012年冬至2013年春，我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部2 门统计，该市小麦受旱面积如图3­1­1所示，据图回答：

【导学号：95902174】

图3­1­1

(1)2012年11月到2012年12月期间，小麦受旱面积变化大吗？

(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增加最快？

(3)从2012.11到2013.2与从2013.1到2013.2间，小麦受旱面积平均变化率哪个大？

[思路探究] (1)(2)根据图形进行分析；(3)利用平均变化率公式进行具体分析．

《导数的几何意义》 教学设计

授课班级：高2016级13班 授课时间：2017年11月6日

一、教学分析设计

【教材分析】

从教材的设计意图看

本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）选修1-1第三章第一节第三课时。教材前两节内容是导数的几何意义的上位概念——平均变化率，瞬时变化率，并采用极限来定义了函数在某一点处的导数，从“数”的角度定义了某一点处的导数就是该点的瞬时变化率；导数的几何意义正是导数概念的下位概念，是从导数“形”角度来体现，有助于进一步从几何意义的角度来理解导数的含义与价值；导数的几何意义的学习又是下位内容——常见导数的计算，导数在研究函数中的运用及研究函数曲线与直线的位置关系的基础。

从知识的作用看

导数的几何意义能够很好地从“形”的角度帮助学生较为深刻地理解导数的定义，达到“数”与“形”的有机结合；同时导数的几何意义又是相关知识在几何学、物理学方面的迁移，是培养学生学数学、用数学的意识的良好载体。通过导数几何意义的学习，能使学生对曲线的切线的含义在思维层次方面有所提升，它不是从公共点的个数的角度定义切线，而是由割线“无限逼近”曲线的切线，割线趋近于确定的位置定义为切线，真正反映了切线的直观本质，把曲线的切线上升到新的思维层面上，这有助于提升学生的思维层次。

从数学教育的角度看

学生经历自己作图直观感知和GeoGebra软件动画演示割线“逼近”成切线的过程，能真切感受函数图象的“切线”的生成过程，较为深刻理解函数图象的切线的意义，体会由“量变”到“质变”的心路历程，对学生的“逼近”思想的渗透留下一生都难以磨灭的印象。

【学生分析】

通过前两节对函数平均变化率和导数概念的学习，学生对导数的概念已经有了初步的认识，理解了某一点处的瞬时变化率就是该点处的导数，体会了导数的思想和实际背景。由于本节课对“数”与“形”的关联体验、在割线无限逼近切线的过程中蕴含的以直代曲思想以及理解导数)(0'xf就是)(xf在0xx处的切线斜率的几何意义都有一定的难度。我班虽是文科班，经过近一年多的数学学习，学生初步已具有了探究问题和抽象概括的能力，相信在教师进行适切的评价，借助信息技术动态演示引导，学生能较好体验“无限逼近”的思想和从“形”的角度理解导数的概念从而突破难度。

1 课题 3.1.1 平均变化率及其求法

教材

分析 1.本节课是人教版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》的第一节变化率与导数中的3.1.1变化率问题．新课标的要求是：通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．

2．《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础．通过本章的学习，使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，促进学生全面认识数学的价值（应用价值、科学价值、文化价值），从而进一步发展学生的数学思维能力．

3.本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤，在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．平均变化率是个核心概念，它是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，对导数概念的形成起着奠基作用，在整个高中数学中占有及其重要的地位．

学情

分析 1.本节课的教学对象为高二年级文科生，在物理中，学生已学过平均速度、瞬时速度、加速度等概念，这些都直接或间接地涉及到平均变化率的思想，同时学生又具备了一定的函数知识与解析几何知识，这些都有利于本节课的顺利进行.

2.平均变化率对于学生来说既陌生又熟悉，是实践性很强的内容.由于学生通过自己的亲身体验，亲自去解释生活中的一些问题，才能体会到平均变化率的基本思想.因此需要学生具有一定的概括能力和思维能力，对学生的思维是一次挑战，因此，平均变化率的理解与转化是本节课的难点.

2 教学

目标 1.知识与技能：了解微积分的简史，知道什么是平均变化率问题，掌握平均变化率概念及其计算步骤．理解平均变化率的实际意义，提高用数形结合的思想方法解决问题的能力.

2.过程与方法：通过实例让学生直观感知，自主建构平均变化率概念，感受平均变化率广泛存在于日常生活中，经历运用数学去描述和刻画现实世界的过程，培养用数学理论解释生活问题、应用数学的能力.