高中数学第一课时-函数的极值

5.3.2 函数的极值与最大(小)值

第一课时 函数的极值

课标要求 素养要求

1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.

2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 通过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展学生的直观想象与数学运算素养.

新知探究

横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.

在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，山谷中的最低处是所有谷底的最低者的底部.

问题 观察下图中的函数图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，应用什么数学语言来描述？

提示 有，应用函数的极大值和极小值来描述.

1.极值点与极值的概念

极值与单调性一样，都是函数的局部性质

(1)极小值点与极小值

如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.

(2)极大值点与极大值

如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)

的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

2.求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

拓展深化

[微判断]

1.导数为0的点一定是极值点.(×)

提示 反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.

2.函数的极大值一定大于极小值.(×)

提示 反例：如图所示：

极大值f(x1)小于极小值f(x2).

3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.(×)

提示 反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.

[微训练] 1.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有( )

A.两个极大值，一个极小值

B.两个极大值，无极小值

C.一个极大值，一个极小值

D.一个极大值，两个极小值

解析 由图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x1<0，x2＝0，x3>0，当x0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x10，当x20，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；当x>x3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.

答案 C

2.(多空题)函数f(x)＝13x3－x2－3x＋6的极大值为________，极小值为________.

解析 f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，得x<－1或x>3，令f′(x)<0得－1

答案 233 －3

[微思考]

1.对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的什么条件？

提示 必要不充分条件.

2.函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗？

提示 可以，如函数f(x)＝sin x，f(x)＝cos x在R上有无数多个极大值和极小值.

题型一 不含参数的函数求极值

【例1】 求下列函数的极值：

(1)f(x)＝(x3－1)2＋1；

(2)f(x)＝3x＋3ln x.

解 (1)∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，

∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)

f′(x) － 0 － 0

＋

f(x) 2 1

∴当x＝1时，f(x)有极小值，为f(1)＝1，f(x)无极大值.

(2)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－3x2＋3x＝3（x－1）x2.

令f′(x)＝0，得x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (0，1) 1 (1，＋∞)

f′(x) － 0 ＋

f(x) 3

从表中可以看出，当x＝1时，函数f(x)有极小值，为f(1)＝3，f(x)无极大值.

规律方法 求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变

符号，那么f(x)在这个根处无极值.

【训练1】 求函数f(x)＝x2e－x的极值.

解 函数f(x)的定义域为R，

f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.

令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)

f′(x) － 0 ＋ 0 －

f(x)

0 4e－2

因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；

当x＝2时，f(x)取得极大值，

且极大值为f(2)＝4e－2＝4e2.

题型二 含参数的函数求极值

【例2】 已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠23时，求函数f(x)的单调区间与极值.

解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.

令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，

由a≠23知－2a≠a－2.

分以下两种情况讨论：

①若a>23，则－2a

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，

－2a) －2a (－2a，

a－2) a－2 (a－2，

＋∞)

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) 极大值 极小值

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，

函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

②若a<23，则－2a>a－2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，

a－2) a－2 (a－2，

－2a) －2a (－2a，

＋∞)

f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x) 极大值 极小值

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.

规律方法 讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2是否相等入手进行.

【训练2】 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R).

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值.

解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2x(x>0),

∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,

∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为

y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0.

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;

∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a

－aln a，无极大值.

题型三 利用函数极值确定参数的值

【例3】 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.

(1)求常数a，b，c的值；

(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.

解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

∵x＝±1是函数f(x)的极值点，

∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，

由根与系数的关系，得－2b3a＝0， ①c3a＝－1 ②

又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. ③

由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.

(2)f(x)＝12x3－32x，

∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)，

当x<－1或x>1时，f′(x)>0，

当－1

∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，

在(－1，1)上是减函数，

∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，

当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.

规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.

【训练3】 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.

解 因为f(x)在x＝－1时有极值0，