第4讲 求函数极值

第八讲 多元函数的极值及其求法

Ⅰ 授课题目：

§8 8 多元函数的极值及其求法

Ⅱ 教学目的与要求：

了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

Ⅲ 教学重点与难点：

重点与难点：方向导数的概念及方向导数的计算

Ⅳ 讲授内容：

一、多元函数的极值及其求法

回顾一元函数的极值及最大值、最小值

定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于(x0

y0)的点(x y)，都有

f(x y)f(x0 y0))

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数zf(x y)1)2()122yx（在点(1 2)处有极小值1．因为当0)2()122yx（时

zf(x y))2,1(11)2()122fyx（ 当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zf(x y))sin(2122yx在点(0 0)处有极大值1/2，因为我们对于在（0，0）的去心领域2022yx中的 一起点（x, y）有，所以0)sin(22yx

zf(x y))00(21)sin(2122，fyx 以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数 设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

与一元函数一样，关于二元函数极值的判定，我们有

定理1(必要条件) 设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

实用文案

标准 第4讲： 二次函数综合应用

一、建构新知

1.二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．

2.二次函数的图象及性质：对于二次函数的图象与性质，关键是把握图象与二次函数各项系数之间的关系，同时观察图象与x轴，y轴交点的位置，注意二次函数值y随自变量x的变化要以对称轴为分界点.

对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：（1）开口向上a>0；开口向下a<0.（2）c>0图象与y轴的正半轴有交点；c=0图象过坐标原点；c<0图象与y轴的负半轴有交点；（3）根据对称轴abx2和a符号确定b的符号以及a、b之间的数量关系；（4）根据x=1时y的值来确定a+b+c的符号；根据x=－1时y的值来确定a－b+c的符号；x=2时y的值来确定4a+2b+c的符号；根据x=－2时y的值来确定4a－2b+c的符号.（5）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性比较大小.

3.二次函数综合应用，解题的关键是联想相关函数与方程、不等式、坐标交点、图象交点分析，这是解决这类问题的思考点，数形结合思想方法是解题中常用方法.

二、经典例题

例1.如图，已知抛物线于x轴交于A（－1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

利用导数求函数的极值、最值

一、知识梳理

1.函数的极值与导数

条件 f′(x0)＝0

x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0

图象

形如山峰

形如山谷

极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值

极值点 x0为极大值点 x0为极小值点

2.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值

二、例题精讲 + 随堂练习

考点一 利用导数解决函数的极值问题

角度1 根据函数图象判断函数极值

【例1－1】 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.

答案 D

规律方法 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.

角度2 已知函数求极值

【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).

求极值的三种方法

一、直接法。先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值

二、导数法

（1）、求导数f'(x)；

（2）、求方程f'(x)=0的根；

（3）、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

举例如下图：该函数在f'(x)大于0，f'(x)小于0，在f'(x)=0时，取极大值。同理f'(x)小于0，f'(x)大于0时，在f'(x)=0时取极小值。

扩展资料： 寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

1、求极大极小值步骤：

求导数f'(x)；

求方程f'(x)=0的根；

检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

2、求极值点步骤：

求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

上述所有点的集合即为极值点集合。 扩展资料：

定义：

若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)

同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。