函数的单调性与极值
教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
掌握利用导数判断函数单调性的方法；
教学重点：利用导数判断函数单调性；
教学难点：利用导数判断函数单调性
教学过程：
一 引入：
以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1
二 新课讲授
1 函数单调性
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y>0，那么函数y=f(x)
在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数422xxy在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
例2 确定函数76223xxy的单调区间。
2 极大值与极小值
观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f(x)在0xx及其附近有定义，如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数x 0 2 y )(4xf )(1xf
o a X1 X2 X3 X4 b x y
o a X0 b x y
)(0xf
0)(xf 0)(xf o a X0 b x y
)(0xf 0)(xf
0)(xf 值都大，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。
1 学案巩固案
编 号 授课时间 班 级 姓 名
课 题
【导学过程】
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的
方法是：
⑴如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是________
⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f (x0)是________
注意：导数为0的点不一定是极值点．
探究一：极值点两侧导数正负符号有何规律?
例1．求31443fxxx的极值
填写下表并求极值
x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞)
'()fx
f (x)
探究二：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
例2．求y=(x2－1)3+1的极值
2 【达标检测】
1．求下列函数的极值:
（1）2()62fxxx （2）3()27fxxx
（3）3()612fxxx （4）3()3fxxx
2．已知32()(0)fxaxbxcxa在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
[拓展提升]
1．函数2()ln3fxaxbxx的极值点为11x，22x，则a ，b ．
★2．已知函数32()32fxxaxbx在1x处有极小值1，试求,ab的值，并求出()fx的单调区间．
【课后反思】
3
1
函数的极值与导数
学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用(重点).2.掌握函数极值的判定及求法(重、难点).3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
知识点一 函数极值的概念
1.极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
2.极大值点与极大值
如上图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
知识点二 求可导函数f(x)的极值方法与步骤
1.求函数y＝f(x)的极值的方法，解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是 ；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是 .
2.求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)； (2)求f(x)的零点，即求方程f′(x)＝0的根.
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
【例1】 求函数f(x)＝13x3－4x＋4的极值.
2
规律方法 1.可导函数极值点和极值的判断方法：若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f′(x)异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值.具体地，若f′(x)在x0的两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；若f′(x)在x0的两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：
学员姓名：张欣蕾 辅导科目：数学 学科教师：李欣
授课
类型 T导数与函数极值与最值 C T
授课日期时段
教学内容
【课前测试】
1、已知函数，讨论的单调性.
2()(2ln),(0)fxxaxax()fx
2、设a为非负实数，函数()fxxxaa.
（Ⅰ）当2a时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数()yfx的零点个数，并求出零点．
一、知识点梳理
利用导数研究函数的极值
1 极大值： 一般地，设函数()fx在点0x附近有定义，如果对0x附近的所有的点，都有0()()fxfx，就说0()fx是函数()fx
的一个极大值，记作0()()fxfx极大值， 0x是极大值点
2 极小值：一般地，设函数()fx在0x附近有定义，如果对0x附近的所有的点，都有0()()fxfx，就说0()fx是函数()fx的一个极小值，记作0()()fxfx极小值，0x是极小值点
3 判别0()fx是极大、极小值的方法:若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf
是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值
5 函数的最大值和最小值:在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值．
