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弹性力学基本公式

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弹性力学基本公式

 Scalar product(dot product):

cosuvuv iiuvuv

 Vector product(cross product):

wuv

sinwuv 123123123eeeMRFrrrfff

Gradient of a scalar field:

iiGgradex

1/2

 Divergence of a vector:

312123vvvvdivvxxx

 Curl of a vector:

 123123123eeevcurlvxxxvvv

 Other relations between partial derivatives of , and v:

2222222123xxx

()

()vvv

()0curlgrad

()0divcurlvv

 Kronecker delta ij (also called substitution operator)

ijjjijivvv 3ijij ijijee kkijikjkijij

 Alternating tensor ijk (third order tensor)

ijkjkiuveuv ()ijkijkuvwuvw ijkistjsktj 6ijkkji  Transformation of coordinates:

'ijijlee 'iijjele 'ijijele irjrrirjijllll 'iijjvlv 'ijijvlv

'iijjxlx 'ijijxlx ''jiijjixxlxx

 Stress vector nT with cutting plane n:

niijjTn

 Cauchy formulae for stress:

nnniiijijTnTnnn 222()nnnST

 Principal stress:

From the equationniiijjiTnnn, we can calculate the direction of principal stresses.

From the equation321230III, we can get the principal stresses.

1112233I 1113222311122313332332122I 1112133212223313233I

 Octahedral stresses:

222112233123111()33octnnnI

1223132221/2222()33octJ

 Stress deviator tensor:

 ijijijsp 1231()3p

11122331230Jssssss

222222212132322212132311()()()()261()()()6ijjixyyzxzxyyzxzJssssssss

333312312311()33xxyxzijjkkiyxyyzzxzyzsJsssssssssss

 Relations between Ii and Ji: 22121(3)3JII 3311231(2927)27JIIII

1ijijI 2ijijJs 3223ikkjijijJssJ

 Stress on hydrostatic axis and deviatoric plane:

1123111(,,)(,,)33333IONOPnp (,,)ONONnppp

2221232()2NPsssJ 123(,,)NPsss

 Equations of equilibrium:

,0ijjiF ijji

 Stain vector n with cutting plane n:

niijjn

 Cauchy formulae for stress:

nnniiijijnnnn 222nn

 Principal strain:

From the equationniiijjinnn, we can calculate the direction of principal stresses.

From the equation321230III, we can get the principal stresses.

 Strain-Displacement relationships:

 Lagrangian description: ,,,,1()2ijijjirirjuuuu 其中,iijjuux

22212xuuvwxxxx

122xyxyuvuuvvwwyxxyxyxy等等

 Eulerian description: ////1()2ijijjirirjuuuu 其中/iijjuu

 备注：应变张量是指pure deformation，而转动张量是指rigid body rotation。因此应变或变形的大小跟转动量无关，只跟几何方程中的二次项是否考虑有关。

 Compatibility equations:  ,,,,0ijklklijikjljlik

222222yxyxyxxy 2()2yzxyzxxxxyzyz等等

 Generalized Hooke’s Law:

,ijijklklC

 Isotropic linear elastic stress-strain relations:

2ijkkijij 12(32)2ijijkkij

1(1)(12)ijijkkijEE 1ijijkkijEE

2ijkkijijKGe 1132ijijijpsKG kkpK 2ijijsGe

 Relationships among elastic Moduli:

2(1)E (12)(1)E 2(1)EG 3(12)EK

 Strain energy and complementary energy:

0()ijijijijWd 0()ijijijijd

ijijW ijij

 Isotropic nonlinear elastic stress-strain relations by modification of the linear models:

123123(1)(,,)(,,)ijijkkijFIJJFIJJ

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材料力学基本概念及计算公式

材料力学基本概念及计算公式

材料力学基本概念及计算公式

材料力学是研究物质在外力作用下的力学性质和变形规律的学科，主要研究物质的力学性质，包括弹性、塑性、稳定性等。下面将介绍材料力学的基本概念及计算公式。

1.弹性力学：

(1) 弹性模量（Young’s modulus）：材料承受应力时的应变程度。计算公式：E = σ / ε，其中 E 为弹性模量，σ 为应力，ε 为应变。

(2) 剪切模量（Shear modulus）：材料抵抗剪切变形的能力。计算公式：G = τ/ γ，其中 G 为剪切模量，τ 为剪切应力，γ 为剪切应变。

(3) 泊松比（Poisson’s ratio）：材料在受力作用下沿一方向延伸时，在垂直方向上收缩的比例。计算公式：ν = -ε_y / ε_x，其中 ν

为泊松比，ε_x 为纵向应变， ε_y 为横向应变。

2.稳定性分析：

(1) 屈曲载荷（Buckling load）：结构在受压作用下失去稳定性的临界载荷。计算公式：F_cr = π²EI / L²，其中 F_cr 为屈曲载荷，E

为弹性模量，I 为截面惯性矩，L 为结构长度。

(2) 欧拉稳定性理论（Euler’s stability theory）：用于分析长杆（例如柱子）的稳定性。计算公式：P_cr = π²EI / (KL)²，其中

P_cr 为屈曲载荷，E 为弹性模量，I 为截面惯性矩，K 为杆件端部支撑系数，L 为杆件长度。

3.塑性力学： (1) 屈服点（yield point）：材料开始发生塑性变形的点，也是材料在加强阶段的上线。计算公式：σ_y = F_y / A_0，其中 σ_y 为屈服点应力，F_y 为屈服点力，A_0 为断面积。

(2) 韧性（toughness）：材料吸收能量的能力，一般由应力-应变曲线上的面积表示。计算公式：T = ∫σ dε，其中 T 为韧性，σ 为应力，ε 为应变。

4.疲劳力学：

(1) 疲劳极限（fatigue limit）：材料在循环应力作用下出现裂纹的最大应力。计算公式：σ_L = K_f * σ_u，其中 σ_L 为疲劳极限，K_f 为疲劳强度系数，σ_u 为材料的抗拉强度。

弹性力学公式范文

弹性力学公式范文

弹性力学公式范文

弹性力学是研究材料在外力作用下的变形和恢复能力的一门学科。弹性力学公式描述了材料的弹性性质和力学行为。以下是一些常用的弹性力学公式：

1. Hooke定律：

Hooke定律描述了线弹性材料在小变形范围内的应力-应变关系。它可以表示为：

σ=Eε

其中σ是应力，E是弹性模量，ε是应变。

2.应变能密度：

弹性体变形时，有一部分外力的功以弹性能量的形式储存。应变能密度U可以通过以下公式计算：

U=(1/2)σε

其中σ是应力，ε是应变。

3.杨氏模量：

杨氏模量是度量材料在受拉应力下的刚性程度的物理量。它可以表示为：

E=σ/ε

其中E是杨氏模量，σ是应力，ε是应变。

4.剪切模量： 剪切模量是度量材料在受剪应力下的变形程度的物理量。它可以表示为：

G=τ/ε

其中G是剪切模量，τ是剪切应力，ε是应变。

5.泊松比：

泊松比是表示材料在受拉应力下沿垂直方向收缩的程度的无量纲物理量。它可以表示为：

ν=-ε_t/ε_l

其中ν是泊松比，ε_t是横向应变，ε_l是纵向应变。

6.拉伸应变：

拉伸应变是材料在受拉应力下的线性变形程度的物理量。它可以表示为：

ε=(L-L_0)/L_0

其中ε是拉伸应变，L是材料受拉时的长度，L_0是未受拉时的长度。

7.压缩应变：

压缩应变是材料在受压应力下的线性变形程度的物理量。它可以表示为：

ε=(L_0-L)/L_0

其中ε是压缩应变，L是材料受压时的长度，L_0是未受压时的长度。

8.杨氏弹性模量： 杨氏弹性模量是一种描述材料刚性程度的物理量，它可以表示为：

E=(σ_2-σ_1)/(ε_2-ε_1)

其中E是杨氏弹性模量，σ_2和σ_1分别是应力的最大值和最小值，ε_2和ε_1分别是相应的应变的最大值和最小值。

9.线性弹性模量：

线性弹性模量是材料在小应变范围内的弹性行为的物理量。它可以表示为：

E=σ/ε

其中E是线性弹性模量，σ是应力，ε是应变。

弹性力学的基本理论及其在实际中的应用

弹性力学的基本理论及其在实际中的应用

弹性力学的基本理论及其在实际中的应用

弹性力学是固体力学学科的分支。其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。

一．弹性力学的基本规律规律假设

弹性力学的研究对象是完全弹性体。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。

井下工程是复杂多变的，随着工程的进展，巷道的应力情况也在不断的变化，我们研究的不是一个静止的物体，我们要研究的是一个动态的、不断变化的围岩条件。要研究岩体的弹性问题,必须要给它一个前提,也就是对它的假设,基本假设是弹性力学讨论问题的基础。没有基本假设任何问题也进行不了.下面简要介绍弹性力学的几个基本假设：

1. 连续性假设：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空袭。

2. 均匀性假设：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。因此，物体的弹性性质处处是相同的。

3. 各向同性假设：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常熟将不随坐标方向的改变而变化。

4. 完全弹性假设：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。

5. 小变形假设：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。

6. 无初始应力的假设：假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。根据这一假设，弹性力学求解的应力仅仅是 外力或温度改变而产生的。

二．下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法：

弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。

弹性力学三大基本方程

弹性力学三大基本方程

弹性力学三大基本方程

弹性力学的三大基本方程是动量方程，应力方程和动能方程。

动量方程指出在弹性体中，物体质量，力，速度及动量之间的关系：物体的质量（m）和速度（v）的乘积是动量（p），p=mv，这一关系可用∑F=dp/dt表示，其中F为物体受到的外力合力，dp/dt为物体瞬时动量变化率。

应力方程指出弹性体上的外力合力（F）与应力（σ）和位移（u）之间的关系。当外力合力在弹性体上分布均匀时，有∑F=-σu，∑F为弹性体表面上垂直方向上受到的外力合力，σ为应力，u为弹性体表面上垂直方向上的位移。

动能方程指出在弹性体中，动能（E）与应力（σ）和位移（u）之间的关系：当外力合力在弹性体上的分布均匀时，E=σu，即受力的弹性体上的动能等于应力与位移之积，E为动能，σ为应力，u为位移。