弹性力学基本方程

弹塑性力学作业

姓名：吴福飞

学号：1038020090 弹塑性力学是一门技术基础课程，它是以理论力学、材料力学、高等数学、数理方程等课程为基础，较系统地介绍弹性力学和塑性力学的基本概念、基本理论和基本方法，为进一步学习后续课程（如有限单元法等）打下理论基础。主要有以下内容：

1 弹塑性问题的建立及求解

总体来说，变形连续体力学的边值问题，就是在给定的边界条件下确定物体内的应力场和应变场，而应变场和位移场密切相关。所求得应力场、应变场和位移场应该满足相应的本构方程和边界条件。

对于线性弹性体，在小变形条件下，可以证明其边值问题的解是唯一的：即对任何给定的边界条件及体积力，可唯一确定物体内的应力场、应变场和位移场，与物体的变形历史无关。而且，一组任意线性组合的边界条件及体积力，将对应于相应应力场和位移场的同一线性组合，也即可以应用叠加原理。

对于弹塑性问题则没有上述情况。由于塑性本构方程是非线性的，在求解这类问题时不能应用叠加原理。另外，由于塑性变形是不可逆的，应力的现时值与应变的现时值不存在唯一的关系，也即塑性本构方程与变形历史有关。因此，从本质上说，塑性本构方程只能是增量型的，从而其他基本方程亦应写成增量型。给定某一时刻的边界值，不能确定物体内的应力场和位移场；必须给出从自然状态开始的边界条件（以及体积力）的全部变化过程，才能跟踪给定的加载历史，采用逐步累加（“积分”）的办法，求出给定时刻的（或最终的）应力场和位移场。因此弹塑性力学边值问题的建立与弹性力学不同，它应按增量来建立。由于塑性和弹性一样，不具时间效应，因此弹塑性力学边值问题可以等价地按变率来建立。

1.1 弹性力学边值问题

弹性力学边值问题就是在给定荷载下确定物体内的应力场、应变场和位移场，它们将满足如下的基本方程及给定的边界条件。这里所称“荷载”包括：体积力、面积力（即应力边界条件）及给定的边界位移（即位移边界条件）；由于在部分边界上给定的位移也是对物体的一种干扰，可归于广义的荷载之内。在笛卡儿坐标系下，弹性力学的基本方程包括：

弹性力学中的基本假定1连续性假定在物体体积内都被连续介质所充满，没有任何空隙，亦即从宏观角度上认为物体是连续的。因此，所有的物理量均可以用连续函数来表示，从而可以应用数学分析工具2完全弹性假定物体是完全弹性的。这个假定包含两点含义：a.当外力取消时，物体回复到原状，不留任何残余变形，即所谓“完全弹性”b.应力与相应的应变成正比，即所谓“线性弹性”。根据完全弹性假定，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示3均匀性物体是由同种材料组成的，物体内任何部分的材料性质均相同。这样，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化4各向同性物体内任一点各方向的材料性质都相同。这样，弹性常数等也不随方向而变化。凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体5小变形假定假定物体的位移和应变是微小的。物体在受力后，其位移远小于物体的尺寸，其应变远小于1。用途：a.简化几何方程，使几何方程成为线性方程。b.简化平衡微分方程

面力是作用于物体表面上的外力

体力是作用于物体体积内的外力

应力单位截面积上的内力

切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的

形变就是物体形状的改变。通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变

成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面，且沿厚度不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变

成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变3体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变

平衡微分方程表示区域内任一点（x，y）的微分体的平衡条件

平衡问题中一点应力状态1求斜面应力分量2由斜面应力分量求斜面上的正应力和切应力3求一点的主应力及应力方向4求一点的最大和最小的正应力和切应力

弹性力学教材习题及解答

HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 1－1. 选择题

a. 下列材料中，D

属于各向同性材料。 A.

竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是A 。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B.

弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C.

任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B 。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B 。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

2－1. 选择题

a.所谓“应力状态”是指B 。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’ 的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为

试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为1，球体在密度为1（1＞1）的液体中漂浮，如图所示。试写出球体的面力边界条件。

一、 按应力求解平面问题；

1、按应力求解平面问题的基本思路；

（1）找到用应力表示的方程组(,,)0xyxyf

（2）给出合适的应力边界条件，求解,,xyxy

（3）根据物理方程求出,,xyxy

（4）根据几何方程确定,uv

2、按应力求解平面问题的一般提法：

00yxxxxyyyfxyfxy 平衡微分方程

221yxxyffxyxy 补充方程（平面应力）

2211yxxyffxyxy 补充方程（平面应变）

xyxxxyyylmflmf 应力边界条件

3、应力函数

22xxfxy；22yyfyx；2xyxy（记）

40

按应力求解平面问题，可以归纳为求解一个应力函数，它必须满足在区域内的相容方程，在边界上的应力边界条件，在多连体中，还必须满足位移单值条件。

二、 按位移求解平面问题；

1、按位移求解平面问题的基本思路； （1） 寻求关于位移的方程组(,)0fuv

（2） 根据(,)0fuv求出位移分量,uv

（3） 根据几何方程导出应变分量

（4） 根据物理方程导出应力分量

2、按位移求解平面问题的一般提法

222222222222110122110122xyEuuvfxyxyEvvufyxxy 基本方程

22112112xsysEuvuvlmfxyyxEvuvumlfyxxy用位移表示的应力边界条件（平面应力）