近世代数答案3

第一章 基本概念

·１·

第一章 基本概念

练习

§1. 集合 子集 集合的运算

1.设A

={x

|x

∈R

,|x

|≥5},B

={x

|x

∈R

,-6≤x

<0},求

BA

,BA

,BA\

,AB\

,并用图形表示出来.

[解] (图形略.)

BA

={x

|x

∈R

,x

<0或x

≥5},BA

={x

|x

∈R

,-6≤x

≤-5},

BA\

={x

|x

∈R

,x

<-6或x

≥5}, AB\

={x

|x

∈R

,-5

<0}.

2. 证明:(BA

)

(BBA

)

(ABA

).

[证] 先证(BA

)

(BBA

).

若BA

,则BAx

,Bx

.所以BBA)(

;显然BBA)(

,故

BBA

.反之,若BBA

,则Ax

,BBAx)(

,故BA

.所以

(BA

)

(BBA

).

次证(BA

)

(ABA

).

若BA

,则Ax

,Bx

,于是Ax

,有BAx

,所以)(BAA

,

显然ABA)(

,所以ABA

.反之,若ABA

,则Ax

,BAx

,

于是Ax

,有Bx

,故BA

.所以(BA)

(ABA

).

综上所述得:(BA)

(BBA

)

(ABA

).

3. 证明:BABABA

.

[证] 若BA

,则ABA

,ABA

,所以BABA

.反之,若

BABA

,则Ax

,有x

∈BA

=BA

,从而Bx

,所以BA

;同理

可证AB

,故BA

所以BABABA

.

4. 设

nA

=(n

,∞),(n

,∞)表示实数轴上的开区间,即(n

,∞)={x

|x

∈R

,

xn

},n

=0,1,2,….求

0iiA

与

0iiA

[解] 因为

210AAA

,所以

0iiA

=

0A

=(0,∞).

因为xR

,存在非负整数n

,使nx

.于是

nAx

,



0iiAx

,所以第一章 基本概念

·２· 



0iiA

.

5. 设A

={x

|x

∈Z

,xx32



+2=0},写出A

近世代数初步石生明课后答案

一、选择题部分

1. 选出所有正整数 a，b，满足条件 a² – 6ab + b² > 0 的是：

选 C：a ≠ b

2. 在德国哈雷大学上课的学生人数是 210。其中男生人数与女生人数之比为 3:1，则女生人数是多少人？

选 B：70

3. 已知函数 f(x) = x² – 2x + 1，g(x) = (x + 1)² – 2，则 f(x) = g(x) 的解为：

选 B：0

4. 已知函数 f(x) = 3x + 1，g(x) = 2x – 1，则 f(g(x)) = g(f(x)) 的解为：

选 A：0

5. 设 P(x) = 2x² – 3ax + 2a² – 2，Q(x) = x² – ax + a² – 1。则 P(x) – Q(x) =

0 的解为：

选 C：1 或 4a – 2

6. 已知不等式（x – 2）² + （y – 1）² > 1，则下列几何图形有哪些？

选 AB：圆心为（2，1），半径为 1 的圆的外部面积。

7. 设方程 x² – kx + 2 = 0 有两个不同的根，则 k 的取值范围是：

选 B：-4 < k < 4

8. 设 f(x) = x² + 2x + 1，则 f(f(x)) = 0 的根为：

选 C：-1

9. 对于下列哪一个数 a，都不存在整数 b，使得 a = b² – 3b + 1

选 B：a = 7

10. 已知函数 f(x) = x² – 6x + 13，则下列哪一个函数与 f(x) 完全相同？

选 A：g(x) = (x – 3)² + 4

二、计算题部分

1. 联立方程组： y = 8x – 1

y = -2x + 17

求解：

x = 2, y = 15

2. 计算 2(x – 2)(x + 3) – (x – 2)² + 5(x + 3) – 5 的值：

= x² + 5

3. 已知函数 f(x) = (x + 3)² + 1，求 f(-2) 的值：

近世代数试题及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1. 下列哪个选项不是群的性质？

A. 封闭性

B. 存在单位元

C. 存在逆元

D. 交换律

答案：D

2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：

A. n

B. 1

C. n-1

D. n+1

答案：B

3. 以下哪个命题是正确的？

A. 任意两个子群的交集仍然是子群

B. 任意两个子群的并集仍然是子群

C. 子群的子群仍然是子群

D. 子群的补集仍然是子群

答案：A

4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：

A. 1 B. n

C. 2

D. n+1

答案：D

5. 以下哪个不是环的性质？

A. 封闭性

B. 交换律

C. 分配律

D. 结合律

答案：B

二、填空题（每题4分，共20分）

1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群

2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格

3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环

4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环

5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。 答案：单位元

三、简答题（每题10分，共30分）

1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

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《近世代数》作业

一．概念解释

1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想

7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元

二．判断题

1．

是集合

nAAA

21列集合D的映射，则),2,1(niA

i

不能相同。

2．在环R

到环R的同态满射下，则R的一个子环S

的象S

不一定是R的一个子环。

3．设N为正整数集，并定义abbaba

),(Nba，那么N

对所给运算

能作成一个群。

4．假如一个集合A的代数运算

适合交换率，那么在

naaaa

321里)(Aa

i

，元的次序可以交换。

5．在环R

到R

的同态满射下，R

得一个理想N

的逆象N一定是R的理想。

6．环R的非空子集S作成子环的充要条件是：

1）若,,Sba则Sba

； 2）,,Sba，则Sab

。

7．若

是A

与A间的一一映射，则1



是A与A间的一一映射。

8．若

是整环I的一个元，且

有逆元，则称

是整环I的一个单位。

9．设

与

分别为集合A到B和B到C的映射，如果

，

都是单射，则

是A到C的映射。

10

．若对于代数运算,，A

与A

同态，那么若A的代数运算

适合结合律，则A

的代数运算也适合结合律。

11．整环中一个不等于零的元a

，有真因子的冲要条件是bca

。

12．设F是任意一个域，

F

是F的全体非零元素作成的裙，那么

F

的任何有限子群G必为循环群。

13. 集合A的一个分类决定A的一个等价关系。 （ ）

14. 设

1H

,

2H

均为群G的子群，则

21HH

也为G的子群。 （ ）

15. 群G的不变子群N的不变子群M未必是G的不变子群。 （ ）

三．证明题

1． 设G是整数环Z上行列式等于1或-1的全体n阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G作成一个