专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)

专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷1 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题

1． 设f(x)在x0处不连续，则 ( )

A．f’(x0)必存在

B．f’(x0)必不存在

C．f(x)必存在

D．f(x)必不存在

正确答案：B

解析：f(x)在x0处不连续，是指连续性的三要素之一不满足，因此C、D都不对，由于可导必连续，则不连续必不可导，所以A不对，故选

B． 知识模块：一元函数微分学

2． 设函数f(x)=｜x3一1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的( )。

A．充分必要条件

B．充分但非必要条件

C．必要但非充分条件

D．既非充分又非必要条件

正确答案：A

解析：由φ(1)=0可知即f＋’(1)=f－’(1)=0，所以，f’(1)=0．设f(x)在x=1处可导，因为f(1)=0，所以(x2+x+1)φ(x)=3φ(1)，

知识模块：一元函数微分学

3． 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=( )

A．一2f’(0)

B．一f’(0)

C．f’(0)

D．0

正确答案：B

解析：由于f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=f’(0)一2f’(0)=一f’(0)． 知识模块：一元函数微分学

4． 若f(x一1)=x2一1，则f’(x)等于 ( )

A．2x+2

B．x(x+1)

C．x(x一1)

D．2x一1

正确答案：A

解析：因f(x一1)=x2一1=(x—1)(x一1+2)，故f(x)=x2+2x，则f’(x)=2x＋2． 知识模块：一元函数微分学

5． 函数y=f(x)可导，则y=f｛f[f(x)]｝的导数为 ( )

A．f’｛[f(x)]｝

B．f’｛f’[f’(x)]｝

C．f’｛f[f(x)]｝f’(x)

D．f’｛f[f(x)]｝f’[f(x)]f’(x)

正确答案：D

解析：y’(x)=(f{f[f(x)]})’=f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)，故选

D． 知识模块：一元函数微分学

6． 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f’(x)＜0，则下列结论成立的是 ( )

A．f(0)＜0

B．f(1)＞0

C．f(1)＞f(0)

D．f(1)＜f(0)

正确答案：D

解析：因f’(x)＜0，x∈(0，1)，可知f(x)在[0，1]上是单调递减的，故f(1)

＜f(0)． 知识模块：一元函数微分学

7． 设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f’(x)＞0，若f(a)．f(b)＜0，则y=f(x)在(a，b) ( )

A．不存在零点

B．存在唯一零点

C．存在极大值点

D．存在极小值点

正确答案：B

解析：由题意知，f(x)在(a，b)上单调递增，且f(a)．f(b)＜0，则由零点定理以及单调性可得y=f(x)在(a，b)内存在唯一零点． 知识模块：一元函数微分学

8． 曲线y= ( )

A．没有渐近线

B．仅有水平渐近线

C．仅有铅直渐近线

D．既有水平渐近线，又有铅直渐近线

正确答案：D 解析：因=1，所以y=1为水平渐近线，又因=∞，所以x=0为铅直渐近线． 知识模块：一元函数微分学

9． 下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有 ( )

A．f(x)=

B．y=

C．y=xex，[0，1]

D．y=x2一1，[一1，1]

正确答案：D

解析：A选项中，函数在x=5处不连续；B选项中，函数在x=1处不连续；C选项中，y(0)≠y(1)；D选项中，函数在[一1，1]连续，在(一1，1)可导，y(－1)=y(1)，符合罗尔定理条件，故选

D． 知识模块：一元函数微分学

10． 要制作一个有盖铁桶，其容积为V，要想所用铁皮最省，则底面半径和高的比例为 ( )

A．1：2

B．1：1

C．2：1

D．

正确答案：A

解析：设底面半径为r，高为h，则有V=πr2h，S=2πrh＋2πr2=+2πr2，S’(r)=一＋4πr=，由于驻点唯一，必是最值点，此时h=，则r：h=1：2． 知识模块：一元函数微分学

填空题

11． 设函数y=sin(x一2)，则y’’=________．

正确答案：一sin(x一2)

解析：因为y=sin(x一2)，y’=cos(x一2)，y’’=一sin(x一2)． 知识模块：一元函数微分学

12． 设函数f(x)有连续的二阶导数且f(0)=0，f’(0)=1，f’’(0)=一2，则=_______．

正确答案：一1

解析：=一1． 知识模块：一元函数微分学

13． y=y(x)是由方程xy=ey－x确定的函数，则dy=_______．

正确答案：

解析：方程两边对x求导，注意y是x的函数，有y+xy’=ey－x(y’一1)，所

以y’=． 知识模块：一元函数微分学

14． 函数y=cosx在[0，2π]上满足罗尔定理，则ξ=_________．

正确答案：π

解析：y’=一sinx，因函数在[0，2π]上满足罗尔定理，故存在ξ∈(0，2π)，使一sinξ=0，故ξ=π． 知识模块：一元函数微分学

15． 若函数f(x)在[0，1]上满足f’’(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)一f(0)的大小顺序为_________．

正确答案：f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)

解析：f’’(x)＞0，则f’(x)单调递增，又有拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(ξ)(1一0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)．故有f’(1)＞f’(ξ)＞f’(0)，即f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)． 知识模块：一元函数微分学

解答题

16． 设f(x)=其中a、b、A为常数，试讨论a、b、A为何值时，f(x)在x=0处可导?

正确答案：若函数f(x)在x=0可导，则函数f(x)也连续，故有=f(0)，f＋’(0)=f－’(0)，

涉及知识点：一元函数微分学

17． 设y=，求y’．

正确答案：

涉及知识点：一元函数微分学

18． 设=a，且f’(0)存在，求f’(0)．

正确答案：∴f’(0)=a． 涉及知识点：一元函数微分学

19． 求函数x=cosxy的导数．

正确答案：等式两边关于x求导，可得1=一(sinxy)(xy)’=一(sinxy)(y+xy’)，整理后得(xsinxy)y’=一1一ysinxy，从而y’=． 涉及知识点：一元函数微分学

20． 已知y=，f’(x)=arctanx2，计算．

正确答案：令y=f(μ)，μ=，则

涉及知识点：一元函数微分学

21． 讨论曲线y=的单调性、极值、凸凹性、拐点．

正确答案：y=，令y’=0得x=e．而y’’=，令y’’=0，得x=e2．当x→1时，y→∞，则x=1为垂直渐近线．当0＜x＜1时，y’＜0，y’’＜0，故y单调下降，且是凸的．当1＜x＜e时，y’＜0，y’’＞0，故y单调下降，且是凹的．当e＜x＜e2时，y’＞0，y’’＞0，故y单调上升，且是凹的．当e2＜x＜+∞时，y’＞0，y’’＜0，故y单调上升，且是凸的．当x=e时，y有极小值2e，且(e2，e2)是拐点． 涉及知识点：一元函数微分学

22． 设f(x)在[1，e]可导，且f(1)=0，f(e)=1，试证f’(x)=在(1，e)至少有一个实根．

正确答案：设F(x)=f(x)一lnx，F(1)=0，F(e)=0，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(1，e)使F’(ξ)=0，即f’(ξ)一=0，所以f’(x)=在(1，e)至少有一个实根． 涉及知识点：一元函数微分学

23． 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a及b，在(0，1)内必存在不相等的x1，x2，使=a+b．

正确答案：因a，b＞0，故0＜＜1，又因f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，由介值定理，必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=．又分别在[0，ζ]，[ζ，1]上用拉格朗日中值定理，得f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f’(x1)，f(1)一f(ζ)=(1一

ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ζ＜x2＜1)即有=1－ζ．考虑到1－，并将上两式相加，得=1，即存在不相等的x1，x2使=a+b． 涉及知识点：一元函数微分学

24． 利用拉格朗日中值定理证明：当x＞1时，ex＞ex．

正确答案：令f(μ)=eμ，μ∈[1，x]．容易验证f(μ)在[1，x]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈(1，x)，使=f’(ξ)，即=eξ，因为ξ∈(1，x)，所以eξ＞e．即＞e，整理得，当x＞1时，ex＞ex． 涉及知识点：一元函数微分学

25． 设a＞b＞0，n＞1，证明：nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)．

正确答案：构造函数f(x)=xn(n＞1)，因为f(x)=xn在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，所以，存在一点ξ∈(a，b)使得f’(ξ)==nξn－1，又0＜a＜ξ＜b，故an－1＜ξn－1＜bn－1，所以nan－1＜nξn－1＜nbn－1，即nan－1＜＜nbn－1，整理得nan－1(b一a)＜bn一an＜nbn－1(b一a)．两边取负号得nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)． 涉及知识点：一元函数微分学