教学设计4：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
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3.1.4空间向量的直角坐标运算
教学目标
1．知识与技能
(1)掌握空间向量基本定理，能恰当地选择基底，用基向量表示空间任一向量．
(2)理解空间向量的正交分解，理解向量坐标的意义．
(3)掌握向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，会应用向量坐标进行线性运算，能判断向量共线．
2．过程与方法
(1)由平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，体会定理的条件及内涵；会在具体空间图形中，选取基底表示空间向量．
(2)类比平面向量坐标运算法则，得出空间向量坐标运算法则，并运用这些法则进行向量坐标线性运算．
(3)运用向量坐标进行向量共线的判定与应用．
3．情感、态度与价值观
能过教师的引导，学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生具备探究、归纳、应用的能力，形成严谨的思维习惯．
重点难点
重点：用基底表示空间向量，向量线性运算的坐标表示．
难点：用基底表示空间向量．
新课学习
1.空间向量的坐标运算
①问题导思
空间直角坐标系中，点的坐标与向量坐标有何联系与区别？
【答案】 在空间直角坐标系中，当起点为原点时，向量坐标就是其终点坐标；当起点不是原点时，向量坐标是终点坐标减去起点坐标．所以向量坐标不是点的坐标，而是终点坐标与起点坐标的差值．
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则AB→＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标．
②问题导思
空间向量的坐标运算与几何运算相比较，有哪些好处？
坐标运算实际上是实数间的运算，运算起来更为简捷方便．
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量的加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量的减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
2.空间向量平行和垂直的条件
我们知道
a∥b(b≠0)⇔a=λb
换用坐标表示，得
a∥b(b≠0)⇔
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3..
a∥b⇔a1b1＝a2b2＝a3b3.
我们还知道
a⊥b⇔ a·b=0.
换用坐标表示，得
a⊥b⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
3．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则
|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23，
|b|＝b·b＝b21＋b22＋b23，
cos
典例精析
例1 已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，
p＝a－b，q＝a＋2b－c，求：p，q，p·q.
解 p＝a－b
＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)；
q＝a＋2b－c
＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)；
p·q＝(1,0，－1)·(0,3,1)
＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.
例2 已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，求向量n使n⊥a，且n⊥b.
解 设n＝(x，y，z).则 n·a＝(x，y，z)·(－2,2,0)＝－2x＋2y＝0，
n·b＝(x，y，z)·(－2,0,2)＝－2x＋2z＝0.
解方程组 －x＋y＝0－x＋z＝0
这个方程组有三个未知数，但只有两个方程.不妨把未知数x当作已知，求y，z.
可得y＝x，z＝x，于是n＝(x，x，x)＝x(1,1,1).
显然，当x取任意实数时，可以得到无穷多个向量都与a，b垂直，但这无穷多个向量都与向量(1,1,1)共线.
例3 已知A＝(1,1,0)，B＝(0,3,0)， C＝(2,2,3)（如图），求：
（1）< >（精确到0.1°）；
（2） 在上正投影的数量（精确到0.01）.
解：（1）由点A，B，C的坐标可得 =（-1,2,0），=（1,1,3）
||= 5
， ||= 11 ，
||·||= -1×1+2×1+0×3=1，
因此cos<
>= ·155ABACABAC，
查表或使用计算工具，得< >≈82.3°；
（2）如图所示， 在上正投影的数量
AD=| |cos < >
111551=50.45.
变式训练
设a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，计算2a＋3b,5a－6b，并确定λ，μ的值， 使λa＋μb与向量b平行．
解 ∵a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，
∴2a＋3b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)，
5a－6b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)．
∵λa＋μb＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa＋μb)∥b，
∴2λ－3μ－3＝3λ－2μ－2＝μ1.
∴λ＝0，μ∈R，
课堂练习
1．下列说法正确的是________．
①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底；
②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底；
③单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直；
④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底．
【解析】 根据基底的有关概念可知：任何三个不共面的向量都可以构成一个基底，当这三个基向量是模为1且两两垂直的向量时，称此基底为单位正交基底，故有③正确，①②④错误．
【答案】 ③
2．如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′中，OA→＝a，OC→＝c，＝b，D是四边形OABC的中心，则OD→＝________.
【解析】 结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a、b、c表示OD→.仔细观察会发现OD→与OA→、OC→是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．
【答案】 12a＋12c
3．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b＝______.
【解析】 设b＝(x，y，z)，则a＋b＝(x＋1，y－2，z＋1)． ∴ x＋1＝－1，y－2＝2，z＋1＝－1.∴ x＝－2，y＝4，z＝－2.
∴b＝(－2,4，－2)．
【答案】 (－2,4，－2)
4．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．若(ka＋b)∥(a－3b)，求k.
解 法一 ∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
∴ka＋b＝k(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(k－2,5k＋3，－k＋5)．
a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(7，－4，－16)．
∵(ka＋b)∥(a－3b)．
∴k－27＝5k＋3－4＝－k＋5－16.
∴k＝－13.
法二 ∵(ka＋b)∥(a－3b)．
∴ka＋b＝λ(a－3b)．
∴ k＝λ，1＝－3λ，
∴k＝－13.
即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行.
课堂小结
1．用基底表示空间几何体中一向量时，应结合立体图形，根据空间向量线性运算法则，写出要求的向量表达式．
2．建立空间直角坐标系后，空间向量都有惟一的坐标(x，y，z)，两向量间的线性运算也有相应的坐标运算法则． 3．对于两向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a∥b⇔a＝λb⇔ x1＝λx2y1＝λy2z1＝λz2(b≠0)，依此可以判定两向量平行或由两向量平行求待定字母的值.
