教学设计1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标：

掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．

教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．

教学难点：理解空间向量基本定理．

教学过程：

一.复习引入

平面向量基本定理及应用

二.思考分析

在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．

问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？

提示：能．

问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？

提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.

三.抽象概括

1．空间向量基本定理

定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

2．空间向量的正交分解及其坐标表示

(1)单位正交基底

三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．

(2)空间向量的坐标表示

以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.

对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP―→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．

(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．

(2)0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.

(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．

四.例题分析及练习

[例1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．

[思路点拨] 判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．

[精解详析] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.

∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．

∴ 1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．

∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．

[感悟体会] 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．

训练题组1

1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：

①{a，b，x}，②{x，y，z}，

③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．

其中可以作为空间的基底的向量组有________个．

解析：如图所设a＝AB，b＝1AA，c＝AD，则x＝1AB，y＝1AD，z＝1AC，a＋b＋c＝1AC.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．

答案：3

2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底？

解：假设OA，OB，OC共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使OA＝xOB→＋yOC成立．

∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)．＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.

∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，

∴e1，e2，e3不共面，∴ －3x＋y＝1，x＋y＝2，2x－y＝－1.此方程组无解，

即不存在实数x，y使OA＝xOB＋yOC.∴OA，OB，OC不共面．

故{OA，OB，OC}能作为空间的一个基底.

[例2] 四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC.设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.

[思路点拨] 结合已知和所求，画出图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．

[精解详析] 连接BO，

则BF＝12BP＝12(BO＋OP)＝12(BA＋AO＋OP)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.

BE＝BC＋CE＝－a＋12CP＝－a＋12(CO＋OP)＝－a－12b＋12c.

AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋12(PO＋OC)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.

EF＝12CB＝12OA＝12a.

[感悟体会] 用基底表示空间向量一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法则．

训练题组2

3．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1.若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为( )

A．(14，14，14) B．(34，34，34) C．(13，13，13) D．(23，23，23)

解析：∵OG＝341OG＝34(OA＋1OG)＝34OA＋34×23[12(AB＋AC)]

＝34OA＋14[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝14OA＋14OB＋14OC， 而OG＝xOA＋yOB＋zOC，∴x＝14，y＝14，z＝14.

答案：A

4.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，MA＝－13AC，ND＝131AD.设AB＝a，AD＝b，1AA＝c ，试用a，b，c表示MN.

解：连接AN，

则MN＝MA＋AN.由ABCD是平行四边形，得AC＝AB＋AD＝a＋b，

则MA＝－13AC＝－13(a＋b)．又1AD＝AD－1AA＝b－c，

故AN＝AD＋DN＝AD－ND＝AD－131AD＝b－13(b－c)．

故MN＝MA＋AN＝－13(a＋b)＋b－13(b－c)＝13(－a＋b＋c).

[例3] 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN的坐标．

[思路点拨] 把MN写成xe1＋ye2＋ze3的形式即可得向量的坐标．

[精解详析] 因为PA＝AD＝AB＝1，

所以可设AB＝e1，AD＝e2，AP＝e3.

因为MN＝MA＋AP＋PN＝MA＋AP＋12PC

＝MA＋AP＋12(PA＋AD＋DC)＝－12AB＋AP＋12(－AP＋AD＋AB)＝12AP

＋12AD＝12e3＋12e2. ∴MN＝(0，12，12)．

[感悟体会] 用坐标表示空间向量的方法与步骤：

训练题组3

5.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB，DE，DF的坐标．

解：设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向与各轴上的正方向相同，

则2PF＝AC＋AB＋1BB＝2e1＋2e2＋2e3，

∴1DB＝(2,2,2)．

∵DE＝DA＋AB＋BE＝2e1＋2e2＋e3，

∴DE＝(2,2,1)．又∵DF＝e2，∴DF＝(0,1,0)．

6.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO，1AB的坐标．

解：(1)∵DO＝－OD＝－(1OO＋1OD)＝－[1OO＋12(OA＋OB)]＝－1OO－12OA－12OB＝－4e3－12×4e1－12×2e2＝－2e1－e2－4e3，∴OD＝(－2，－1，－4)． (2)∵1AB＝OB－1OA＝OB－(OA＋1AA)＝OB－OA－1AA＝2e2－4e1－4e3，

∴1AB＝(－4,2，－4)．

五.课堂小结与归纳

1．三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的充要条件．

2．用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的应用；若基底{a，b，c}为单位正交基底，可由p＝xa＋yb＋zc得到p的坐标为(x，y，z)．

六.当堂训练

1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )

①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；

②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；

③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：①正确．基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线，当c＝λa＋μb时，a，b，c共面，故只有①②正确．

答案：C

2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )

A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c

解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．

∵a＝p＋q2，b＝p－q2，a＋2b＝32p－12q.

∴A、B、C都不合题意．因为{a，b，c}为基底，

∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．

答案：D

3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设11AB＝a，11AD＝b，1AA＝c，则下列向量中与1BM相等的向量是( )

A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C.12a－12b＋c D．－12a－12b＋c