高考数学复习考点知识讲解课件58 离散型随机变量及其分布列和数字特征

高考数学总复习考点知识专题讲解

专题12 离散型随机变量的数字特征

知识点一 离散型随机变量的均值

1．离散型随机变量的均值的概念

一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x

1 x

2 … x

i … x

n

P p

1 p

2 … p

i … p

n 则称E(X)＝x

1p

1＋x

2p

2＋…＋x

ip

i＋…＋x

np

n＝

n

iiipx

1，为随机变量X的均值或数学期望．

2．离散型随机变量的均值的意义

均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值

的概率，反映了随机变量取值的平均水平．

3．离散型随机变量的均值的性质

若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)

＝aE(X)＋b.

证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因

此P(Y＝ax

i＋b)＝P(X＝x

i)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax

1＋b ax

2＋b … ax

i＋b … ax

n＋b

P p

1 p

2 … p

i … p

n

于是有E(Y)＝(ax

1＋b)p

1＋(ax

2＋b)p

2＋…＋(ax

i＋b)p

i＋…＋(ax

n＋b)p

n＝a(x

1p

1＋x

2p

2

＋…＋x

ip

i＋…＋x

np

n)＋b(p

1＋p

2＋…＋p

i＋…＋p

n)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

知识点二 两点分布的均值

如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.

【例1】（2023•岳阳楼区校级开学）甲乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为1

2，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元．若前两局比赛均为甲胜，此

时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金()元

A．700B．600C．200D．100

【例2】（2023•宝山区期末）设0ab„，随机变量X的分布是124

()

abab，则()EX的

取值范围是()

离散型随机变量及其分布列知识点

离散型随机变量及其分布列知识点

离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。

离散型随机变量的概率分布列

概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P表示。其一般形式如下：

P(X=x1)=p1

P(X=x2)=p2

P(X=x3)=p3

…

P(X=xn)=pn

其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。

离散型随机变量的特点

1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。

2. 取值之间具有间隔或间距。

3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。

4. 概率之和为1。

离散型随机变量的常见分布

1. 0-1分布

0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。其分布列为：

P(X=0)=1-p

P(X=1)=p

2. 二项分布

二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。其分布列为：

P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)

其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。

3. 泊松分布

泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。其分布列为：

P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!

其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。

总结

离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。

§9.5 离散型随机变量的分布列和数字特征 考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．

1．离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

3．离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.

4．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝i＝1nxipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝i＝1n (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称DX为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．

5．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 微思考

1．某电子元件的使用寿命x1，掷一枚骰子，正面向上的点数x2，思考x1，x2可作为离散型随机变量吗？

提示 x1不可作为离散型随机变量，x2可作为离散型随机变量．

2．期望和算术平均数有何区别？

提示 期望刻画了随机变量取值的平均水平；而算术平均数是针对若干个已知常数来说的．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

10．6 离散型随机变量及其分布列

1．离散型随机变量的概念

(1)随机变量

如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．

(2)离散型随机变量

所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

(1)分布列

设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．

(2)分布列的性质

①________________________；

②________________________.

3．常用的离散型随机变量的分布列

(1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布)

随机变量X的分布列为(0

X 1 0

P p

则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．

(2)二项分布

如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其中k＝0，1，2，…，n，q＝1－p)，其概率分布为

X 0 1 … k … n

P C0np0qn C1np1qn－1 … … Cnnpnq0

则称X服从二项分布，记为____________．

(3)超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为__________________(k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随

机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________．