小专题(二)：与正方形有关的四个常考模型

正方形专题复习与正方形有关的六个常考模型模型一：正方形与等边三角形教材母题：67页第1（3）题例1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为15° .变式1：在正方形ABCD的外侧，以正方形ABCD的一边作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为15°或75° .变式2：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，若∠AED=15°，则∠EAC的度数为30°.变式3：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE，则（1）求证：BE=CE （2）求∠CEB的度数.变式4：如图，在边长为2的正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则△ABE的面积等于1。

变式5：如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF、BE．（1）请判断AF与BE的关系并给予证明；（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF变为两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果．解：（1）AF=BE；AF⊥BE．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD，∵△ADE和△DCF是等边三角形，∴∠DAE=∠CDF=60°，AE=AD，DF=CD，∴AE=DF，∠BAE=∠ADF=150°，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠DAF．∵∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠AMB=90°，∴AF⊥BE；（2）第（1）问中的结论仍然成立，理由如下：在正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD．∵EA=ED=FD=FC，∴△AED≌△DFC（SSS），∴∠EAD=∠FDC．∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．即∠BAE=∠ADF．∴△BAE≌△ADF（SAS）∴AF=BE，∠ABE=∠DAF．∵∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠AMB=90°，∴AF⊥BE．（3）第（1）问的结论成立，理由如下：∵AE=DF，ED=FC，AB=CD∴△AED≌△DFC（SSS），∴∠EAD=∠FDC．∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．即∠BAE=∠ADF．∴△BAE≌△ADF（SAS），∴AF=BE，∴∠ABE=∠DAF．∵∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠AMB=90°，∴AF⊥BE．模型二：正方形中相交垂线段问题教材母题：课本68页第8题例2.如图，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？解：BE＝AF且BE⊥AF，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°.又∵DE＝CF，∴AE＝DF.∴△ABE≌△DAF（SAS）．∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF.∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠AGB＝90°，即BE⊥AF.变式1：如图，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且BE=AF，则BE⊥AF吗？解：成立．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD.在Rt△ABE和Rt△DAF中，BE＝AF，AB＝DA，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）．∴∠ABE＝∠DAF.∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠AGB＝90°，即BE⊥AF.变式2：如图，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且BE⊥AF，则BE=AF成立吗？解：成立．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°.又∵BE⊥AF，∴∠AGB＝90°.∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF.∴△ABE≌△DAF（ASA）．∴BE＝AF.模型归纳：如图，正方形ABCD中，分别连接两组对边上的两点，得到的两条线段（如图1中的AF与BE，图2中的AF与GE，图3中的HF与GE）满足：若垂直，则相等；若相等，则垂直；若AE=DF，则垂直且相等.图2思路：过点B作BM//GE交AD于点M图3思路：过点B作BM//GE交AD于点M，过点A作AN//HF交CD于点N.。

初中几何46种模型大全篇一：初中几何46种模型大全引言几何是初中数学的重要分支,其知识点涵盖了平面几何、立体几何、向量等多个方面。

在学习几何时,掌握各种几何模型是非常重要的,这些模型可以帮助我们理解和解决几何问题,提高解题能力。

本文将介绍初中几何中的46种常见的模型,包括它们的名称、定义、性质和应用。

正文1. 正方形模型正方形模型是几何中最基本的模型之一,它是一种边长相等的矩形。

正方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。

正方形模型的性质有:- 正方形的四条边相等;- 正方形的对角线相等;- 正方形的面积等于其边长的平方。

2. 长方形模型长方形模型是有两个相等的长和两个不相等的宽的英雄。

长方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和小于斜边的平方。

长方形模型的性质有:- 长方形的两条对角线相等;- 长方形的宽比长大,长比宽大;- 长方形的长和宽相等。

3. 平行线模型平行线模型是相互平行的直线。

平行线模型的定义如下:- 两直线平行,当且仅当它们的对应角相等且且它们的方向相同。

平行线模型的性质有:- 平行线之间有且仅有一个交点;- 平行线上的点的横坐标相等;- 平行线的方向相同。

4. 菱形模型菱形模型是具有四个相等的直角边的矩形。

菱形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方,且任意两条边的长度小于第三条边的长度。

菱形模型的性质有:- 菱形的四条边相等;- 菱形的对角线相等;- 菱形的面积等于其四条边长度的平方和。

5. 等腰三角形模型等腰三角形模型是有一个相等的腰部的两个三角形。

等腰三角形模型的定义如下:- 在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。

等腰三角形模型的性质有:- 等腰三角形的两条直角边相等;- 等腰三角形的底角相等;- 等腰三角形的顶角平分线相等。

6. 等边三角形模型等边三角形模型是具有三个相等的边长的三角形。

一、弦图相关模型1．勾股弦图2．弦图变形一3．弦图变形二4．弦图变形二的拓展正方形有关的模型在正方形中，，，，．【结论】①利用或推出≌≌≌，从而推出四边形为正方形．②．【方法】遇到直线上出现两个直角的题型可以考虑构造一线三垂直模型进行证明计算．在正方形中，．【结论】利用推出≌≌≌，从而推出四边形为正方形．【方法】遇到直线上出现两个直角的题型可以考虑构造一线三垂直模型进行证明计算．在正方形中，．【结论】利用推出≌≌≌，从而推出，，四边形为正方形．【注意】本模型与“L”模型有区别，如果“L”模型无法解题，可以考虑构造本模型进行证明计算．①已知在正方形中，，则．爱智康 2018/6/12ABCD AE ⊥BF BF ⊥CG CG ⊥DH DH ⊥AE AAS ASA △AEB △BF C △CGD △DHA EF GH AE −CF =EF ABCD AE =BF =CG =DH SAS △AEH △BF E △CGF △DHG EF GH ABCD AH =BE =CF =DG SAS △DAH △ABE △BCF △CDG DH =AE =BF =CG AE ⊥BF MNP Q ABCD AE =MN AE ⊥MN二、绕顶点旋转的基本模型三、手拉手旋转模型1．直角的手拉手模型②反之，已知在正方形中，，则．【辅助线】过点作，证明≌，或过点作，再证明≌即可．（）如图，正方形，将绕点顺时针旋转得到，则为等腰直角三角形，．【注意】辅助线为延长至点，使，再证明≌．（）如图，正方形，将绕点顺时针旋转得到，为等腰直角三角形．已知：如图，四边形、都是正方形，连接、，与交于点．爱智康 2018/06/12ABCD AE ⊥MB AE =MN B BF //MN △ABE △BCF M MH ⊥CD △ABE △MHN 1ABCD △ADE A 90∘△ABF △EAF =S 边形AFCE S 正 形ABCD CB F BF =DE △BAF △DAE 2ABCD △ABE B 90∘△CBF △EBF ABCD AEF G BE DG BE DG P2．形外形【结论】①≌；②，；③平分．【变形一】绕点旋转，以上结论均成立．【变形二】将正方形变成等腰直角三角形，以上结论均成立．（）以的、边向外分别作正方形、，则．【辅助线】延长至点，出现“等线段，共顶角，顶角等”，因此手拉手全等，≌，再根据和等底同高，从而面积相等．爱智康218/6/12△BAE△DAGBE=DG BE⊥DGAP∠BP GA AEF G1△ABC AB AC ABDE ACF G=S△ABC S△AEGBA H△AEG△AHC△ABC △AHC（）以的、边向外分别作正方形、，点为中点，则，．【辅助线】利用倍长中线法解题：①倍长中线得到≌，从而得到，，，②利用推出≌，从而得到，，．【变形】若条件变成点为中点，则，．（）以的、边向外分别作正方形、，，反向延长线交于，则点为中点，．【辅助线】利用一线三垂直解题：①过点作于，过点作的延长线于点，②易证≌，≌，从而得到，③利用推出≌，从而得到点为中点，，④根据，，，可推出．2△ABC AB AC ABDE ACF G P EG BC =2AP AM ⊥BC △AP E △HP G AE //HG ∠EAG +∠AGH =180∘∠AGH =∠CAB SAS △AGH △CAB BC =2AP ∠GAH =∠ACB AM ⊥EG Q BC EG =2AQ AN ⊥EG 3△ABC AB AC ABDE ACF G AM ⊥BC AM EGP P EG BC =2AP E EK ⊥MP K G GL ⊥MP L △AMB △EKA △AMC GLA AM =EK =GL AAS △P EK △P GL P EG P K =P L BM =AK CM =AL P K =P L BC =2AP四、对角互补模型（垂直）1．对角互补模型（垂直）2．对角互补模型的变形（垂直）【变形】若条件变成，反向延长线交于，则点为中点，．如图，正方形，对角线、交于点，，与正方形的两边分别交于点、．【结论】①≌，≌．②，．③．【辅助线】①过点作，根据等腰三角形的判定得，再利用或推出≌．②过点作，，根据角平分线的性质得，再利用或推出≌．如图，正方形，对角线、交于点，，旋转与正方形的两边延长线分别交于、．AN⊥EG AN BC Q Q BC EG=2AQABCD AC BD O∠EOF=90∘E F△BOE△COF△AOE△BOFOE=OF EF=OE2√=S 边形OEBF14S正 形ABCDO OD⊥OB OB=OD ASA AAS△OBE△ODFO OG⊥AB OH⊥BC OG=OH ASA AAS△OGE△OHF ABCD AC BD O∠EOF=90∘∠EOF E F五、角含半角模型（直角）1．正方形中的角含半角模型（直角）2．正方形中的角含半角模型的变形（直角）【结论】①≌，≌．②，．③图一：；图二：．．【辅助线】①过点作，根据等腰三角形的判定得，再利用或推出≌．②过点作，，根据角平分线的性质得，再利用或推出≌．如图，正方形，点在边上，点在边上，．【辅助线】延长至点，使，连接．【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③，进而推出的周长等于正方形周长的一半．④平分，平分．如图，正方形，，旋转与的延长线交于点，与的延长线交于点．△BOE △COF △AOE △BOF OE =OF EF =OE 2√−=S △OBF S △OBE 14S 正 形ABCD −=S △OCE S △OCF 14S 正 形ABCD O OD ⊥OB OB =OD ASA AAS △OBE △ODF O OG ⊥AB OH ⊥BC OG =OH ASA AAS △OGE △OHF ABCD E CD F BC ∠EOF =45∘BC G BG =DE AG SAS △ABG △ADE AG =AE ∠F AG =∠F AE SAS △F AG △F AE F G =EF EF =BF +DE △CEF AF ∠BF E AE ∠DEF ABCD ∠EOF =45∘∠EOF DC E CB F3．等腰直角三角形中的角含半角模型（直角）4．等腰直角三角形中的角含半角模型的变形（直角）【辅助线】在截取，连接．【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③．④平分．如图，等腰直角，，，．【辅助线】过点作，并截取，连接，．【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③．【模型的演变】如图，等腰直角，，，．【辅助线】过点作，并截取，连接，．CD DG =BF AG SAS △ABF △ADG AG =AE ∠EAG =∠EAF SAS △EAG △EAF EG =EF EF =DE −BF AE ∠DEF △ABD AB =AD ∠BAD =90∘∠MAN =45∘B BH ⊥BD BH =DN AH MH SAS △ABH △ADN AH =AN ∠BAH =∠DAN SAS △MAH △MAN MH =MN =+MN 2BM 2DN 2△ABD AB =AD ∠BAD =90∘∠MAN =45∘D DH ⊥BD DH =BM AH NH5．【归纳】角含半角模型（直角）【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③．【模型的演变】如图，已知正方形中，，连接与、分别交于、．【结论】①．②的周长等于正方形边长的倍．③平分，平分．④点到的距离等于正方形边长．⑤．爱智康 2018/06/12SAS △ADH △ABM AH =AM ∠DAH =∠BAM SAS △NAH △NAM NH =MN =+MN 2BM 2DN 2ABCD ∠EAF =45∘BD AE AF N M EF =BF +DE △CEF 2AE ∠DEF AF ∠BF E A EF =+MN 2BM 2DN 2。

全等正方形9种经典几何模型
正方形是一种特殊的四边形，具有相等的边长和直角的特点。

在几何学中，全等正方形是指具有相等边长和角度的正方形。

以下是全等正方形的九种经典几何模型：
1. 基本模型：全等正方形的基本模型是具有四个相等边长和四个直角的正方形。

它是其他九个模型的基础。

2. 反射模型：通过沿对角线折叠，将一个全等正方形的两个角度重叠，可以得到一个全等的镜像状正方形。

3. 旋转模型：将一个全等正方形绕其中心旋转180度，可以得到一个全等于原正方形的旋转状正方形。

4. 拉伸模型：将一个全等正方形的一条边分成两段，使其中一段变长，另一段变短，可以得到一个全等于原正方形的拉伸状正方形。

5. 缩放模型：将一个全等正方形的四条边同时拉伸或收缩，使边长不变，可以得到一个全等于原正方形的缩放状正方形。

6. 组合模型：通过组合两个或多个全等正方形，可以得到一个全等于原正方形的多组合状正方形。

7. 平移模型：将一个全等正方形平移一段距离，可以得到一个全等于原正方形的平移状正方形。

8. 对称模型：以某个点为中心，将一个全等正方形对称成一个全等的对称状正方形。

9. 重叠模型：将两个全等正方形重叠在一起，可以得到一个全等于原正方形的重叠状正方形。

这些全等正方形的几何模型在建筑设计、工程制图和数学研究等领域中具有重要的应用价值。

对于理解正方形的性质和特点，了解这些模型是非常有帮助的。

八年级数学下册微专题：正方形中的典型模型问题介绍本文档介绍了八年级数学下册的微专题，主题为“正方形中的典型模型问题”。

正方形作为一种常见的几何图形，在数学中有着广泛的应用。

通过研究和探究正方形中的典型模型问题，可以帮助同学们巩固和深化对正方形特性的理解，提高问题解决能力。

主要内容本专题主要包括以下几个方面的内容：1. 正方形的特性介绍正方形的定义、性质以及相关公式，帮助同学们全面了解正方形的基本特性，如边长、对角线、面积等。

2. 与正方形相关的模型问题探究在日常生活中与正方形相关的典型模型问题。

例如：如何利用正方形铺砖，如何计算正方形围栏的长度等。

通过这些实际问题的应用，培养同学们运用正方形特性解决实际问题的能力。

3. 解决模型问题的方法和思路介绍解决模型问题的一般方法和思路，引导同学们分析问题、建立数学模型、推导解答过程。

通过实际案例的讲解，帮助同学们掌握解决模型问题的基本技巧。

教学目标通过研究本微专题，同学们应能达到以下目标：1. 掌握正方形的定义和基本特性。

2. 理解正方形在模型问题中的应用。

3. 培养解决模型问题的能力和思维方式。

4. 提高数学问题分析和数学建模能力。

教学方法与活动设计针对本微专题的教学，建议采用以下教学方法和活动设计：1. 课堂讲解：通过讲解正方形的定义、性质和相关公式，夯实基础知识。

2. 实例演练：给同学们提供一些典型的正方形模型问题，引导他们进行分析和解答。

3. 小组讨论：组织同学们在小组内互相交流，讨论和解决正方形模型问题。

4. 探究活动：引导同学们自主探究实际生活中的正方形模型问题，发现其中的数学规律。

总结通过学习八年级数学下册微专题“正方形中的典型模型问题”，同学们能够深入了解正方形的特性以及在实际问题中的应用。

同时，通过解决模型问题的过程，同学们能够培养数学思维和解决问题的能力。

希望同学们能够通过本专题的学习，对正方形有更深入的认识，并能运用所学知识解决实际问题。

(完整版)全等四边形常见的几何模型全等四边形常见的几何模型
全等四边形是指具有相等边长和相等内角的四边形。

在几何学中，全等四边形是一类重要的几何模型，具有广泛的应用和研究价值。

本文将介绍几种常见的全等四边形模型及其特征。

正方形
正方形是一种拥有相等边长和直角的全等四边形。

其特点是四
个内角均为直角，且每条边的长度相等。

正方形在建筑设计、城市
规划等领域中得到广泛应用，因为它具有稳定的结构和美观的外观。

矩形
矩形是一种具有相等内角和两对相等边长的全等四边形。

与正
方形相比，矩形的内角可以不为直角。

矩形常用于制作表格、建造
建筑物的构件等，因为其具有较大的稳定性和方便的制作特点。

平行四边形
平行四边形是一种具有相等内角和相对边平行的全等四边形。

它的两对相对边长分别相等，而且两对相对边平行。

平行四边形在几何学中广泛使用，常用于描述物体的形状、计算面积和解决相关问题。

菱形
菱形是一种拥有相等边长和相等对角线的全等四边形。

它的特点是四个内角均为锐角且相等，同时具有两对相等的对角线。

菱形在珠宝设计、工艺制作等领域有重要的应用，因为它的独特形状和美观外观。

总结起来，全等四边形包括正方形、矩形、平行四边形和菱形等几种常见的几何模型。

它们在不同领域有着广泛的应用，具有独特的性质和特征。

深入了解和掌握这些模型对于解决几何学问题和进行相关研究具有重要意义。

05全等正方形中的常见模型
正方形是一种具有特殊性质的四边形，它的四条边长度相等且四个角都是直角。

全等正方形是指具有相同形状和大小的两个正方形。

在05全等正方形中，我们可以遇到一些常见的模型。

下面列举了一些常见的模型及其特点：
1. 旋转模型
在全等正方形中，旋转模型是指通过将一个正方形绕着中心点旋转一定角度得到的另一个正方形。

旋转模型具有相同的边长和面积，但角度和位置不同。

2. 镜像模型
镜像模型是指通过将一个正方形绕着某个轴对称得到的另一个正方形。

镜像模型具有相同的边长和面积，但位置关系相反。

3. 组合模型
在全等正方形中，可以通过组合多个正方形形成新的模型。

例如，将两个全等正方形的边粘合在一起，可以形成一个更大的正方形。

4. 剖分模型
剖分模型是指将一个正方形切割成多个部分的模型。

通过剖分，我们可以获得不同形状和大小的图形。

这些是在05全等正方形中常见的模型。

通过研究和理解这些
模型，我们可以更好地认识和应用全等正方形的特性。

【同步讲练】与正方形有关的四个常考模型模型1 正方形中相交垂线段问题——教材P21例1的变式与应用【教材母题变式】(教材北师9上P21例1变式)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，CD 上，BE ＝CF.AE 与BF 之间有怎样的关系？请说明理由.解：AE ＝BF 且AE⊥BF.理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠C.又∵BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF(SAS).∴∠BAE ＝∠CBF ，AE ＝BF.又∵∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.∴∠BOE ＝90°.∴AE ⊥BF.【变式】 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，AE ，BF 交于点O ，∠AOF ＝90°.求证：BE ＝CF.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°.∵∠AOB ＝180°－∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠OBA ＝90°.又∵∠ABE ＝∠CBF ＋∠OBA ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF.在△ABE 和△BCF 中，⎩⎨⎧∠ABE ＝∠BCF ，AB ＝BC ，∠BAE ＝∠CBF ，∴△ABE ≌△BCF(ASA).∴BE ＝CF.正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF 与BE ，图2中的线段AF 与EG ，图3中的线段HF 与EG)满足：若垂直，则相等.模型2 正方形中过对角线交点的直角问题——教材北师9上P25习题T4的变式与应用【教材母题变式】(教材P25习题T4变式)如图，正方形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，OA 1交AB 于点E ，OC 1交BC 于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF ；(2)如果两个正方形的边长都为a ，那么正方形A 1B 1C 1O 绕O 点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝∠A 1OC 1＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°.∴∠AOE ＋∠EOB ＝90°，∠BOF ＋∠EOB ＝90°.∴∠AOE ＝∠BOF.在△AOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF(ASA).(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a 2.理由如下： ∵△AOE ≌△BOF ，∴S 四边形OEBF ＝S △EOB ＋S △BOF ＝S △EOB ＋S △AOE ＝S △AOB ＝14S 正方形ABCD ＝14a 2.【变式】 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AC ＝1，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC ，BC 相交，交点分别为D ，E ，则两个三角形重叠部分的面积为14.①△ABC 是等腰直角三角形，O 为斜边AB 的中点.连接OC ，则△DOC≌△EOB ，△ADO ≌△CEO.②在正方形ABCD 中，O 为对角线的交点，直角∠EOF 绕点O 旋转，若OE ，OF 分别与DA ，AB 延长线交于点G ，H ，则△AGO≌△BHO ，△OGH 是等腰直角三角形.(温馨提示：可尝试应用模型做一做活页卷P4T15)模型3 正方形中的“外角平分线”模型3.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任意一点，∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F.求证：AE ＝EF.证明：在AB 上截取BM ＝BE ，连接ME.∵∠B ＝90°，∴∠BME ＝∠BEM ＝45°.∴∠AME ＝∠ECF ＝135°.∵∠AEF ＝90°，∠AEB ＋∠FEC ＝90°，∠AEB ＋∠MAE ＝90°，∴∠MAE ＝∠FEC.∵AB ＝BC ，BM ＝BE ，∴AM ＝EC.在△AME 和△ECF 中，⎩⎨⎧∠MAE ＝∠CEF ，AM ＝EC ，∠AME ＝∠ECF ，∴△AME ≌△ECF(ASA).∴AE ＝EF.【变式】 在上题的前提下，若题中结论“AE ＝EF”与条件“CF 是正方形外角的平分线”互换，则命题是否还成立？请给出证明.解：命题仍然成立.证明：过点F 作FH⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠FEH ＝90°.∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＋∠BAE ＝90°.∴∠BAE ＝∠HEF.在△ABE 和△EHF 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠HEF ，∠ABE ＝∠EHF ，AE ＝EF ，∴△ABE ≌△EHF(AAS).∴BE ＝HF ，AB ＝EH ＝BC.∴BC －EC ＝EH －EC ，即BE ＝CH.∴HF ＝CH.∴∠HCF ＝∠HFC ＝45°，∠DCF ＝45°.∴CF 是正方形外角的平分线.模型4 正方形中的半角模型4.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE.(1)求证：CE ＝CF ；(2)若点G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS).∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立.理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS).∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.【变式】 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，CD 上一点，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N.求证：MN 2＝BM 2＋DN 2.解：过点A 作GA⊥AN ，使GA ＝NA ，连接GB ，GM.∵∠GAB ＋∠BAF ＝90°，∠DAN ＋∠BAF ＝90°，∴∠GAB ＝∠DAN.在△GAB 和△NAD 中，⎩⎨⎧GA ＝NA ，∠GAB ＝∠DAN ，BA ＝DA ，∴△GAB ≌△NAD(SAS).∴∠ABG ＝∠ADN ＝45°，BG ＝DN.∴∠GBM ＝90°.∵∠EAF ＝45°，∠GAN ＝90°，∴∠GAM ＝45°.在△GAM 和△NAM 中，⎩⎨⎧GA ＝NA ，∠GAM ＝∠NAM ，AM ＝AM ，∴△GAM ≌△NAM(SAS).∴GM ＝MN.在Rt△GBM中，GM2＝GB2＋BM2，∴MN2＝BM2＋DN2.(1)如图1，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF；④MN2＝BM2＋DN2.图1 图2(2)如图2，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.。

一、弦图相关模型1．勾股弦图2．弦图变形一3．弦图变形二4．弦图变形二的拓展正方形有关的模型在正方形中，，，，．【结论】①利用或推出≌≌≌，从而推出四边形为正方形．②．【方法】遇到直线上出现两个直角的题型可以考虑构造一线三垂直模型进行证明计算．在正方形中，．【结论】利用推出≌≌≌，从而推出四边形为正方形．【方法】遇到直线上出现两个直角的题型可以考虑构造一线三垂直模型进行证明计算．在正方形中，．【结论】利用推出≌≌≌，从而推出，，四边形为正方形．【注意】本模型与“L”模型有区别，如果“L”模型无法解题，可以考虑构造本模型进行证明计算．①已知在正方形中，，则．爱智康 2018/6/12ABCD AE ⊥BF BF ⊥CG CG ⊥DH DH ⊥AE AAS ASA △AEB △BF C △CGD △DHA EF GH AE −CF =EF ABCD AE =BF =CG =DH SAS △AEH △BF E △CGF △DHG EF GH ABCD AH =BE =CF =DG SAS △DAH △ABE △BCF △CDG DH =AE =BF =CG AE ⊥BF MNP Q ABCD AE =MN AE ⊥MN二、绕顶点旋转的基本模型三、手拉手旋转模型1．直角的手拉手模型②反之，已知在正方形中，，则．【辅助线】过点作，证明≌，或过点作，再证明≌即可．（）如图，正方形，将绕点顺时针旋转得到，则为等腰直角三角形，．【注意】辅助线为延长至点，使，再证明≌．（）如图，正方形，将绕点顺时针旋转得到，为等腰直角三角形．已知：如图，四边形、都是正方形，连接、，与交于点．爱智康 2018/06/12ABCD AE ⊥MB AE =MN B BF //MN △ABE △BCF M MH ⊥CD △ABE △MHN 1ABCD △ADE A 90∘△ABF △EAF =S 边形AFCE S 正 形ABCD CB F BF =DE △BAF △DAE 2ABCD △ABE B 90∘△CBF △EBF ABCD AEF G BE DG BE DG P2．形外形【结论】①≌；②，；③平分．【变形一】绕点旋转，以上结论均成立．【变形二】将正方形变成等腰直角三角形，以上结论均成立．（）以的、边向外分别作正方形、，则．【辅助线】延长至点，出现“等线段，共顶角，顶角等”，因此手拉手全等，≌，再根据和等底同高，从而面积相等．爱智康218/6/12△BAE△DAGBE=DG BE⊥DGAP∠BP GA AEF G1△ABC AB AC ABDE ACF G=S△ABC S△AEGBA H△AEG△AHC△ABC △AHC（）以的、边向外分别作正方形、，点为中点，则，．【辅助线】利用倍长中线法解题：①倍长中线得到≌，从而得到，，，②利用推出≌，从而得到，，．【变形】若条件变成点为中点，则，．（）以的、边向外分别作正方形、，，反向延长线交于，则点为中点，．【辅助线】利用一线三垂直解题：①过点作于，过点作的延长线于点，②易证≌，≌，从而得到，③利用推出≌，从而得到点为中点，，④根据，，，可推出．2△ABC AB AC ABDE ACF G P EG BC =2AP AM ⊥BC △AP E △HP G AE //HG ∠EAG +∠AGH =180∘∠AGH =∠CAB SAS △AGH △CAB BC =2AP ∠GAH =∠ACB AM ⊥EG Q BC EG =2AQ AN ⊥EG 3△ABC AB AC ABDE ACF G AM ⊥BC AM EGP P EG BC =2AP E EK ⊥MP K G GL ⊥MP L △AMB △EKA △AMC GLA AM =EK =GL AAS △P EK △P GL P EG P K =P L BM =AK CM =AL P K =P L BC =2AP四、对角互补模型（垂直）1．对角互补模型（垂直）2．对角互补模型的变形（垂直）【变形】若条件变成，反向延长线交于，则点为中点，．如图，正方形，对角线、交于点，，与正方形的两边分别交于点、．【结论】①≌，≌．②，．③．【辅助线】①过点作，根据等腰三角形的判定得，再利用或推出≌．②过点作，，根据角平分线的性质得，再利用或推出≌．如图，正方形，对角线、交于点，，旋转与正方形的两边延长线分别交于、．AN⊥EG AN BC Q Q BC EG=2AQABCD AC BD O∠EOF=90∘E F△BOE△COF△AOE△BOFOE=OF EF=OE2√=S 边形OEBF14S正 形ABCDO OD⊥OB OB=OD ASA AAS△OBE△ODFO OG⊥AB OH⊥BC OG=OH ASA AAS△OGE△OHF ABCD AC BD O∠EOF=90∘∠EOF E F五、角含半角模型（直角）1．正方形中的角含半角模型（直角）2．正方形中的角含半角模型的变形（直角）【结论】①≌，≌．②，．③图一：；图二：．．【辅助线】①过点作，根据等腰三角形的判定得，再利用或推出≌．②过点作，，根据角平分线的性质得，再利用或推出≌．如图，正方形，点在边上，点在边上，．【辅助线】延长至点，使，连接．【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③，进而推出的周长等于正方形周长的一半．④平分，平分．如图，正方形，，旋转与的延长线交于点，与的延长线交于点．△BOE △COF △AOE △BOF OE =OF EF =OE 2√−=S △OBF S △OBE 14S 正 形ABCD −=S △OCE S △OCF 14S 正 形ABCD O OD ⊥OB OB =OD ASA AAS △OBE △ODF O OG ⊥AB OH ⊥BC OG =OH ASA AAS △OGE △OHF ABCD E CD F BC ∠EOF =45∘BC G BG =DE AG SAS △ABG △ADE AG =AE ∠F AG =∠F AE SAS △F AG △F AE F G =EF EF =BF +DE △CEF AF ∠BF E AE ∠DEF ABCD ∠EOF =45∘∠EOF DC E CB F3．等腰直角三角形中的角含半角模型（直角）4．等腰直角三角形中的角含半角模型的变形（直角）【辅助线】在截取，连接．【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③．④平分．如图，等腰直角，，，．【辅助线】过点作，并截取，连接，．【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③．【模型的演变】如图，等腰直角，，，．【辅助线】过点作，并截取，连接，．CD DG =BF AG SAS △ABF △ADG AG =AE ∠EAG =∠EAF SAS △EAG △EAF EG =EF EF =DE −BF AE ∠DEF △ABD AB =AD ∠BAD =90∘∠MAN =45∘B BH ⊥BD BH =DN AH MH SAS △ABH △ADN AH =AN ∠BAH =∠DAN SAS △MAH △MAN MH =MN =+MN 2BM 2DN 2△ABD AB =AD ∠BAD =90∘∠MAN =45∘D DH ⊥BD DH =BM AH NH5．【归纳】角含半角模型（直角）【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③．【模型的演变】如图，已知正方形中，，连接与、分别交于、．【结论】①．②的周长等于正方形边长的倍．③平分，平分．④点到的距离等于正方形边长．⑤．爱智康 2018/06/12SAS △ADH △ABM AH =AM ∠DAH =∠BAM SAS △NAH △NAM NH =MN =+MN 2BM 2DN 2ABCD ∠EAF =45∘BD AE AF N M EF =BF +DE △CEF 2AE ∠DEF AF ∠BF E A EF =+MN 2BM 2DN 2。

初中数学几何模型大汇总（二）引言：数学几何模型在初中数学教学中起到了重要的作用，它不仅能够提高学生的空间想象力和几何推理能力，还能培养学生的创造性思维和解决问题的能力。

本文将对初中数学几何模型进行大汇总，从平面图形、立体图形、投影图、相似图形和三角形等方面进行详细阐述。

正文：一、平面图形模型1. 正方形模型- 边长与面积的关系- 对角线的性质- 周长与面积的关系- 正方形的嵌套模型- 正方形问题的应用2. 矩形模型- 长方形模型的性质- 长方形的特殊情况：正方形和长方形的比较- 长方形的周长和面积计算- 长方形问题的应用3. 三角形模型- 三角形的分类与性质- 三角形内角和外角的性质- 三角形的相似性质- 三角形的面积计算公式- 三角形问题的应用4. 圆模型- 圆的基本性质- 弧长和扇形的关系- 圆与直线的位置关系- 圆的面积计算公式- 圆问题的应用5. 多边形模型- 多边形的分类与性质- 多边形的内角和外角的关系- 多边形的对称性质- 多边形的面积计算公式- 多边形问题的应用二、立体图形模型1. 立方体模型- 立方体的性质- 边长、体积和表面积的关系- 立方体问题的应用2. 正方体模型- 正方体的性质- 边长、体积和表面积的关系- 正方体问题的应用3. 圆柱模型- 圆柱的性质- 底面积、体积和侧面积的关系- 圆柱问题的应用4. 圆锥模型- 圆锥的性质- 底面积、体积和侧面积的关系- 圆锥问题的应用5. 球模型- 球的性质- 圆的面积和体积的关系- 球问题的应用三、投影图模型1. 正投影模型- 实物的正投影图- 正投影图的性质- 正投影图问题的应用2. 侧投影模型- 实物的侧投影图- 侧投影图的性质- 侧投影图问题的应用3. 俯视图和平面图模型- 实物的俯视图和平面图- 俯视图和平面图的性质- 俯视图和平面图问题的应用4. 斜投影模型- 实物的斜投影图- 斜投影图的性质- 斜投影图问题的应用5. 立体图的展开图模型- 实物的展开图- 展开图的性质- 展开图问题的应用四、相似图形模型1. 三角形的相似模型- 三角形的相似性质- 相似三角形的比例关系- 相似三角形问题的应用2. 四边形的相似模型- 四边形的相似性质- 相似四边形的比例关系- 相似四边形问题的应用3. 圆的相似模型- 圆的相似性质- 相似圆的比例关系- 相似圆问题的应用4. 直线与平行模型- 平行线的性质- 平行线与锐角、直角和钝角的关系- 平行线与相似模型的应用5. 图形的放缩模型- 图形的放大和缩小- 图形的相似比例- 图形的放缩问题的应用五、三角形模型1. 等腰三角形模型- 等腰三角形的性质- 等腰三角形的角度关系- 等腰三角形问题的应用2. 直角三角形模型- 直角三角形的性质- 直角三角形的特殊比例关系- 直角三角形问题的应用3. 等边三角形模型- 等边三角形的性质- 等边三角形的角度关系- 等边三角形问题的应用4. 锐角三角形模型- 锐角三角形的性质- 锐角三角形的角度关系- 锐角三角形问题的应用5. 钝角三角形模型- 钝角三角形的性质- 钝角三角形的角度关系- 钝角三角形问题的应用总结：通过对初中数学几何模型的大汇总，我们可以发现，数学几何模型有助于学生的几何理解，提升空间想象力和解决问题的能力。

初中几何“正方形”综合题型解析
正方形的综合题型：
（1）相似模型——三角形内接正方形（2）双正方形构造（3）正方形综合01三角形内接正方形
模型介绍：在△ABC中，D、G在BC边上，E、F分别在AB、AC 边上，且四边形DEFG是正方形．
2018-上海中考
2019-舟山中考
02双正方形构造
1、与模型相关：
（1）手拉手模型：△ABG≌△CBE．
（2）三垂直模型：△FGM≌△MCD．
（3）“8”字型相似：△AMD∽△EMF．
2、与对角线相关：
（1）连接BF、BD，则BF⊥BD．
（2）连接DF，取DF中点M．
连接MA、ME，则MA=ME，MA⊥ME．连接MG、MC，则MG=MC，MG⊥MC．
（3）连接EG、BD，则EG∥BD，且△EDG面积等于△EBG面积．
2019-广东中考
2019-鞍山中考
2019-扬州中考
2019-潍坊中考
2019-淄博中考
03正方形综合2019-新疆中考
2019-德州中考
2019-台州中考
2019-南充中考
2018-南京中考
2018-宿迁中考
2018-呼和浩特中考。

小专题（二） 与正方形有关的四个常考模型模型1 正方形中相交垂线段问题复习题 T8的变式与应用1如图，ABCD 是一个正方形花园，,E F 是它的两个门，DE CF =，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE CF =”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？（1）若已知BE AF =，则BE AF ⊥成立吗？（2）若已知BE AF ⊥，则BE AF =成立吗？模型归纳正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF 与BE ，图2中的线段AF 与EG ，图3中的线段HF 与EG ）满足：若垂直，则相等模型2 正方形中过对角线交点的直角问题2如图，正方形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点,O O 又是正方形111A B C O 的一个顶点，1OA 交AB 于点1,E OC 交BC 于点F（1）求证：△AOE ≌△BOF ；（2）如果两个正方形的边长都为a ，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？模型归纳正方形ABCD 中，O 为两条对角线的交点，点,E F 分别在,AB BC 上若EOF ∠为直角，,OE OF 分别与,DA AB 的延长线交于点,G H ，则△AOE ≌△BOF ，△AOG ≌△BOH ，△OGH 是等腰直角三角形，且14ABCD OEBF S S =正方形四边形模型3 正方形中三垂直全等模型复习题T14的变式与应用3如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，90AEF ︒∠=，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F 求证：AE EF =【探究1】变特殊为一般若题中“点E 是边BC 的中点”变为“点E 是BC 边上任意一点”，则上述结论是否仍然成立？___________（填“是”或“否”）【探究2】在探究1的前提下，若题中结论“AE EF =”与条件“CF 是正方形外角的平分线”互换，则命题是否还成立？请给出证明模型4 正方形中的半角模型4如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =（1）求证：CE CF =；（2）若点G 在AD 上，且45GCE ︒∠=，则GE BE GD =+成立吗？为什么？模型归纳（1）如图，正方形ABCD 中，若45EAF ︒∠=，则：①EF BE DF =+；②△CEF 的周长为正方形ABCD 边长的2倍；③FA 平分,DFE EA ∠平分BEF ∠（2）如图，正方形ABCD 中，若45,EAF FA ︒∠=平分DFE ∠，则EF DF BE =-参考答案1解：BE AF =且BE AF ⊥，理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD CD ==，90BAD D ︒∠=∠=又,DE CF AE DF =∴=∴△ABE ≌△DAF （SAS ）,BE AF ABE DAF∴=∠=∠90DAF BAF ︒∠+∠=，90ABE BAF ︒∴∠+∠=90AGB ︒∴∠=，即BE AF ⊥ 【探究】解：（1）成立理由：∵四边形ABCD 是正方形，90BAD D ︒∴∠=∠=， AB AD =在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，,,AB AD BE AF =⎧⎨=⎩∴Rt △ABE ≌Rt △DAF （HL ） ABE DAF ∴∠=∠90DAF BAF ︒∠+∠=，90ABE BAF ︒∴∠+∠=90AGB ∴∠=，即BE AF ⊥（2）成立理由：∵四边形ABCD 是正方形，,90AB AD BAD D ︒∴=∠=∠=又,90BE AF AGB ︒⊥∴∠=90ABE BAF ︒∠∴∠+=90DAF BAF ︒∠+∠=，ABE DAF ∴∠=∠∴△ABE ≌△DAF （ASA ）BE AF ∴=2解：（1）证明：在正方形ABCD 中，11,90AO BO AOB AOC =∠==∠，45.90,90OAB OBC AOE EOB BOF EOB ︒︒︒∠=∠=∴∠+∠=∠+∠=AOE BOF ∴∠=∠在△AOE 和△BOF 中，,,,OAE OBF OA OB AOE BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOE ≌△BOF （ASA ）（2）两个正方形重叠部分的面积等于214a 3证明：取AB 的中点M 连接1..2ME AM BM AB E ∴==是BC 的中点， 1.2BE EC BC ∴==四边形ABCD 是正方形，90,B BCD AB BC ︒∴∠=∠==,.45.135AM EC BM BE BME AME ︒︒∴==∴∠=∴∠=又CF 是正方形外角的平分线，135.90,90ECF AEF AEB FEC ︒︒︒∴∠=∠=∴∠+∠=又90,AEB BAE BAE FEC ︒∠+∠=∴∠=∠∴△AME ≌△ECF （ASA ）AE EF ∴=【探究1】是【探究2】解：命题仍然成立证明：过点F 作FH BC ⊥，交BC 的延长线于点H ，90,90AEF AEB FEH ︒︒∠=∴∠+∠= 90,90ABE AEB BAE ︒︒∠=∴∠+∠=BAE HEF ∴∠=∠在△ABE 和△EHF 中，,,,BAE HEF ABE EHF AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△EHF （AAS ）,BE HF AB EH BC ∴===BC EC EH EC ∴-=-，即..45,45BE CH HF CH HCF HFC DCF ︒︒=∴=∴∠=∠=∠=CF ∴是正方形外角的平分线 4解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，,BC CD B CDF ∴=∠=∠又BE DF =，∴△CBE ≌△CDF （SAS ）CE CF ∴=（2）GE BE GD =+成立理由：由（1）得，△CBE ≌△CDF ，BCE DCF ∴∠=∠ BCE ECD DCF ECD∴∠+∠=∠+∠，即90BCD ECF ︒∠=∠=又45GCE ︒∠=，45.,,GCF GCE CE CF GCE GCF GC GC ︒∴∠=∠==∠=∠=，∴△ECG ≌△FCG (SAS) ..GE GF GE DF GD BE GD ∴=∴=+=+。