专题01不等式(3大重难点详细讲解)…难点及压轴题突破

初中数学不等式解应用题的难点突破策略随着初中数学教学的深入，不等式逐渐成为了一个重要的数学知识点，同时也成为了比较难以掌握的内容，很多学生在不等式解题方面存在一定的困难，尤其是在不等式解应用题的时候更是如此。

那么，如何突破不等式解应用题的难点呢？下面，笔者将结合自己的经验，为大家介绍几个有用的策略。

一、理清题意，明确目标不等式解应用题中最基本的一步就是理清题意，明确目标。

只有掌握了题意，我们才能够全面地了解所给出的限制条件以及解题思路。

在实际解题中，我们可以先读题，明确所需求的量和所给的条件，画出图形或者列出方程式，制定出解题方案，然后一步一步按照计划去解题。

二、熟悉常见不等式我们知道，在不等式解应用题中，有些常见的不等式常常会被用到，在解题的时候必须要注意掌握这些常见的不等式。

这些常见的不等式包括：1、平均值不等式2、柯西不等式4、阿贝尔不等式对于这些不等式，我们在学习时就要认真掌握，熟记于心，然后在实践中灵活运用，这样才能够更好地解题。

三、注意思路的转化不等式解应用题中，我们需要掌握一些思路的转化方法。

比如，我们可以将不等式转化成数组合问题，这样能够更好地控制变量和条件，方便解题。

另外，我们也可以采用反证法或者插值法等解题的方法，这些方法都可以为我们开启新的视角，从而找到更好的解题方法。

四、定义变量要具体在不等式解应用题中，我们定义变量一定要具体明确，不能太过模糊。

因为定义的变量越具体，我们就越容易找到它们之间的关系，更好地解决问题。

同时，我们也要注意掌握变量的取值范围，这能够给我们的解题提供更为严密的基础。

五、多动手，多练习最后，我们还需要做好多动手、多练习的准备。

不等式解应用题，需要我们在实践中掌握，通过大量练习，才能够理解解题思路，掌握解题技巧，找到问题的核心和难点，最终掌握这个数学知识点。

总之，不等式解应用题确实比较难，需要我们不断努力和实践。

通过以上的这些策略，我们能够更好地解决这类问题，掌握这个知识点，做好数学题的打基础工作。

初中数学不等式解应用题的难点突破策略初中数学不等式解应用题是初中数学中的一个重要知识点，也是学生们在学习数学过程中的一个难点。

不等式在实际生活中有着广泛的应用，比如在经济学、物理学等领域中都有着重要的作用，因此学生在学习数学不等式解应用题时需要掌握一定的解题技巧和方法。

下面我们就来分析一下初中数学不等式解应用题的难点以及突破策略。

难点一：实际问题转化为不等式在解决实际问题时，学生可能会遇到将问题转化为不等式的难题。

有些问题可能需要分析得出数学关系，然后将其转化为不等式进行求解。

这个难点主要是在于学生对于实际问题的抽象和转化能力不足，以及对于不等式的理解和运用能力不足。

突破策略：1.培养学生的抽象思维能力。

老师可以通过丰富的实例让学生感受实际问题与数学不等式之间的联系，逐步培养学生的抽象思维能力，从而提高学生的问题转化能力。

2. 引导学生进行实际问题与不等式的对应分析。

老师可以通过引导学生分析实际问题的条件、限制条件以及问题的要求，让学生自行将问题转化为不等式，从而提高学生的转化能力。

难点二：不等式的解法选择在解不等式应用题时，学生可能会遇到选择合适的不等式解法的难题。

不同的题目需要选择不同的解法，而学生可能会在选择不等式解法时感到困惑。

突破策略：1.系统学习不等式的解法。

学生需要系统地学习不等式的解法，包括一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法等，从而能够在实际问题中准确选择合适的不等式解法。

2.解题实践。

老师可以设计一些实际问题，让学生在解题过程中自行选择不等式解法，从而让学生在实践中巩固所学的不等式解法。

难点三：解不等式应用题的误区在解不等式应用题时，学生可能会出现一些典型的解题误区，比如对于不等式解法的错误理解、对不等式求解过程的模糊等。

突破策略：1.解题思路的梳理。

在解题过程中，老师可以引导学生对解题思路进行梳理，让学生清晰地掌握解题的步骤和逻辑。

2.典型错误的分析与订正。

老师可以将学生在解题中出现的典型错误进行总结，然后进行错误的分析与订正，让学生认识到自己在解题中的问题，并及时加以改正。

广东中考不等式解题技巧（不等式知识点整合）作为初三的学生，现在都已经开始了第一轮的复习备战，为了能够帮助同学们在第一轮中掌握考试的考点，把握考试的方向，今天继续和同学们学习不等式及不等式组的相关知识点，通过整合知识点，把握考向，理清思路，为下一轮的复习打好基础。

相关知识点：一、不等式的概念、性质及解集表示。

1．不等式的概念，2．不等式的基本性质，需要注意的是：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。

3．不等式的解集及表示方法。

二、一元一次不等式及其解法。

1．一元一次不等式的定义，2．解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．三、一元一次不等式组及其解法。

1．一元一次不等式组概念，2．一元一次不等式组的解集相关概念，3．一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解。

4．几种常见的不等式组的解集。

这部分需要注意几点：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；（3）求一元一次不等式组的最小整数解；（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和。

考向一不等式的定义及性质解析：这部分考点需要记住几点：（1）含有不等号的式子叫做不等式．（2）不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因为忘记改变不等号方向而导致错误．第一题解答本题的要点有两点：（1）熟记不等式的定义：“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”；（2）熟记常见的5种不等号。

第二题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

高考重难点专题突破之——不等式一、综述（内容、地位、作用）：在教版高中数学教科必修系列中，直接涉及“不等式”内容的部分必修5第三章《不等式》。

另外，在教学程中，在学到必修5《不等式》之前的某些章（如集合、函数的域等），无文理科班，基于教学内容的关性和完整性，老基本上都要修 4-5中的部分基性内容行。

所以“不等式”的内容主要来自必修 5 第三章《不等式》以及修系列4-5 《不等式》。

合来看，不等式的内容主要可分不等式的求解、明和用三部分，它又分以一元二次不等式的求解、均不等式相关的明、不等式在用以及性划中的用主。

不等式是中学数学的主干内容之一，它不是中学数学的基知，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，学生步入大学之后的数学学也具有基性的作用。

在年的高考中，不等式很少独命（理科附加卷除外），但无从它所涉及到的知点或是量来看，有关不等式的分布范极广（甚至有些目很界定其中不等式的考所占到的比重，所以我也很准确出高考中不等式所占分），不考了不等式的基知、基本技能、基本思想方法，考了运算能力、思能力以及分析和解决的用能力等数学素养。

在高考命上，不等式的考极其突出工具性，淡化独立性、突出解，是不等式命的体取向。

高考中不等式的落脚点主要有：一，不等式的性，常与指数函数、数函数、三角函数等合起来，考不等式的性、函数的性、最等；二，不等式的明，多以函数、数列、解析几何等知背景，在知网的交命，合性，能力要求高；三，解不等式，往往与公式、根式和参数的系在一起，考学生的等价化能力和分能力；四，不等式的用，以当前、社会生、生活背景与不等式合的用是高考的点，主要考学生理解能力以及分析、解决的能力。

二、考试要求与教学建议：（一）必修5部分新在“必修5”《不等式》一章的明中指出：“不等关系与相等关系都是本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

数学不等式题解题技巧和突破方法数学不等式题在高中数学中占有重要地位，也是考试中常见的题型之一。

解不等式题需要一定的技巧和方法，下面将介绍一些常见的解题技巧和突破方法。

1. 分类讨论法不等式题中常常需要对不同情况进行分类讨论，以找到合适的解题方法。

例如，当不等式中存在绝对值时，可以将其分为正数和负数两种情况进行讨论。

又如，当不等式中有分式时，可以根据分子分母的正负性进行分类讨论。

通过分类讨论，可以将复杂的不等式转化为简单的情况进行求解。

2. 套路法解不等式题时，有一些常见的套路可以帮助我们快速解题。

例如，对于形如a^2 - b^2 > 0的不等式，可以将其因式分解为(a+b)(a-b)>0，并根据乘积为正的性质得到解集。

又如，对于形如a^2 + b^2 > 0的不等式，可以直接得到解集为全体实数。

掌握这些套路可以极大地提高解题效率。

3. 变量替换法有时候，通过合适的变量替换可以简化不等式的形式，从而更容易求解。

例如，当不等式中存在平方根时，可以通过令变量等于平方根的形式，将其转化为简单的二次不等式。

又如，当不等式中存在分式时，可以通过变量替换将其转化为一次不等式。

变量替换的关键是找到合适的变量，使得不等式的形式更简单。

4. 递推法有些不等式题目可以通过递推的方式求解。

递推法的关键是找到递推关系式，通过递推关系式将问题化简为简单的情况。

例如，对于形如a^n - b^n > 0的不等式，可以通过递推关系式(a-b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + ab^(n-2) + b^(n-1))>0得到解集。

递推法可以帮助我们快速求解复杂的不等式题目。

5. 反证法有些不等式题目可以通过反证法求解。

反证法的关键是假设不等式不成立，然后推导出矛盾的结论。

通过反证法可以排除一些不可能的情况，从而找到合适的解集。

例如，对于形如a^2 + b^2 >= 2ab的不等式，可以假设a^2 + b^2 < 2ab，然后推导出矛盾的结论，从而得出a^2 + b^2 >= 2ab的结论。

不等式知识点职高高三不等式是高中数学中的重要知识点之一，也是高职高三数学难点中的一个重要内容。

掌握不等式的相关知识，对于考生提高数学成绩、应对高考具有重要意义。

下面将从不等式的基本定义、性质和解不等式的方法等几个方面来探讨不等式知识点。

一、基本定义不等式是数学中的一种关系式，用来比较两个数或者表达两个数之间的数量关系。

不等式的基本符号有"大于"和"小于"两种，分别用>和<表示。

当两个数之间满足大小关系时，就可以用不等式来表示。

二、性质1. 不等式的传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。

这个性质可以推广到多个数之间的关系，非常有用。

2. 不等式的加减性：如果a > b，那么a+c > b+c。

同样地，如果a > b，那么a-c > b-c。

通过这个性质，我们可以对不等式进行加减运算，简化形式，求得更简洁的解。

3. 不等式的乘除性：如果a > b，c > 0，那么ac > bc。

同样地，如果a > b，c < 0，那么ac < bc。

这个性质可以帮助我们对不等式进行乘除运算，找到不等式的解集。

4. 不等式的倒置性：如果a > b，那么-b > -a。

这个性质告诉我们，对于不等式两边同时取负号，不等号方向需要倒置。

三、解不等式的方法1. 利用不等式性质简化问题：通过不等式的加减性、乘除性和倒置性，可以将不等式简化为更简单的形式，进而求解。

例如，对于不等式3x - 2 > 4x + 1，可以依次进行加2、减3、除-1的操作，得到x < -1，即可求得不等式的解集。

2. 图像法：对于一些简单的不等式，可以通过画图来找到解。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 < 0，可以将不等式左边的二次函数图像画出来，找到函数图像位于x轴下方的部分，即可求得不等式的解集。

【最新】《不等式》专题解析一、选择题1．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．2B ．12C ．-2D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.2．若33log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．163D ．173【答案】C 【解析】 【分析】由33log (2)1loga b ab +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.3．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n，则2nx ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80C ．90D ．120【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y =-+，即322zy x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x ⎛ ⎝展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C x---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝， 取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()223f x x =+D ．()42xx f x e e=+- 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()2222333f x x x x ==+++233x +，故()43f x ≥，C 错误； D. ()422422xx f x e e =+-≥=，当4xxe e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.6．设实数满足条件则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.7．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A ．33,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．2323,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．23⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．3⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=，解得3t <-或3t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.8．已知函数24,0()(2)1,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)D ．(3,4)【答案】A 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4y x x=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x=+….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选：A 【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.10．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．14π B ．12πC ．πD ．32π 【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩………的可行域如图：可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，22222a b a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.12．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.13．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．14．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ） A ．log 3log 3a b > B ．336a b +>C ．133ab a b ++>D ．b a a b >【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立. 【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =;因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，综上选B. 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.15．已知正数x ，y 满足144x y+=，则x y +的最小值是（ ） A ．9 B ．6C ．94D ．52【答案】C 【解析】 【分析】 先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】Q 正数x ，y 满足144x y+=，1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y xx yx y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号.故选：C 【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.16．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ） A ．1(1,)2- B ．1(,1)(,)2-∞-+∞U C ．1(,1)2-D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．【详解】解：函数()sin2xxf x e ex -=-+，定义域为R ，且满足()()sin 2xx f x ee x --=-+- ()()sin2x x e e xf x -=--+=-，∴()f x 为R 上的奇函数； 又()'2cos222cos20xxf x e ex x x -=++≥+≥恒成立，∴()f x 为R 上的单调增函数；又()()2210f x f x -+>，得()()()221f xf x f x ->-=-，∴221x x ->-， 即2210x x +->， 解得1x <-或12x >， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故选B ． 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．17．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ）AB ．5C ．3D ．52【答案】D 【解析】 【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可． 【详解】解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩………平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方， 则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方， 解得，2222523(1)d -⎛⎫+⎪= ⎝⎭=⎪； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．18．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．92D ．112【答案】B 【解析】 【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥19．设x ，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

初中数学不等式解应用题的难点突破策略初中数学不等式解应用题是中学数学教学中的重要部分，是考查学生分析问题和解决问题能力的重要手段之一。

但是，初中生在解不等式运用题时常常遇到许多困难：题目涉及面广，涉及面积、速度、花费等各个方面，多种量的关系复杂；题目难度大，有些题目需要多个不等式结合减法、乘法、加法等运算才能求解；题目抽象性强，有些问题形式上看起来非常简单，实则需要深刻的数学思想。

为了解决这些问题，我们提出以下策略。

一、熟练掌握不等式基本理论不等式基本理论是解不等式应用题的关键。

掌握基本理论，才能更好地解决应用题。

而基本理论包括：同侧取等、异侧取反、加减变形、乘除变形等。

学生应正确掌握不等式基本理论，启迪他们的思维，提高解题的效率。

二、善于抓住不等式题目的特征在解不等式运用题时要善于抓住题目的特征，例如：是否存在最值，是否存在取等条件，是否存在最小值最大值等等。

只有抓住题目的特征，加以分析，才能快速写出解题思路，从而解决问题。

三、准确分析应用题中的数据应用题中的数据非常重要，准确分析这些数据，可以帮助我们更好地把握应用题的含义。

例如，对于面积问题，应该尽可能多地说明各个数据之间的关系，包括比例、和、差和乘积等，从而推导出合适的不等式。

四、善用图像为了更好地理解题意，我们可以通过画图来研究问题。

例如，对于不等式问题可以画出数轴，根据数轴上数的大小可以推出不等式的范围；对于面积问题可以画出图形，从形状方面分析其属性，推导出数据之间的关系。

五、善用举例法有些不等式问题较为抽象，不容易理解，此时我们可以通过举例分析问题，把问题转化为具体问题再进行分析。

例如，将某个数变化时不等式的变化过程以图表方式呈现，然后对应各类问题，求解应用题。

总之，初中数学不等式解应用题的难点在于建立正确的数学模型和灵活运用相关知识和技巧。

希望以上几个方面会给学生提供一些灵感和解题思路，让他们更好地提高解决问题的能力，加强数学素养的提高。

高考数学如何解决复杂的不等式题目不等式是高考数学中一个重要的考点，也是考生们容易遇到困惑的难题。

通过掌握一定的解题思路和技巧，我们可以有效地解决复杂的不等式题目。

本文将介绍一些解决不等式题目的方法和策略，帮助考生们应对高考中的挑战。

一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是最简单的不等式形式，其解法与一元一次方程相似。

我们可以通过移项和化简的方式来求解。

首先，将所有的项都移到同一边，得到一个等式。

然后我们可以根据系数的正负以及零的位置来判断解集的情况，最后得到不等式的解。

二、二次不等式的解法二次不等式的解法相对复杂一些，需要通过因式分解或配方法等方式来求解。

在解二次不等式时，我们首先要将其转化为一个二次方程，然后再找到方程的解集。

我们可以通过以下两种方法来解二次不等式：1. 因式分解法：将二次不等式化为一个二次方程，通过因式分解将其展开为二个一次因式相乘的形式，然后根据因式的正负来确定解的范围。

2. 配方法：对于一般的二次不等式，我们可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。

通过将方程配成完全平方后，我们可以通过解方程的方式来求解不等式。

三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是一种特殊的不等式形式，在解法上需要注意绝对值的性质。

对于一元绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其分为两种情况来解决：1. 绝对值的定义：|a| = a (a≥0); |a| = -a (a<0)。

2. 情况一：如果不等式中的绝对值对应的是一个非负数，我们可以直接去掉绝对值符号，根据非负数的性质来解不等式。

3. 情况二：如果不等式中的绝对值对应的是一个负数，我们需要将绝对值转化为相反数的形式，然后在解不等式。

四、多元不等式的解法多元不等式是由多个变量构成的不等式，其解法要考虑多个变量之间的关系。

在解多元不等式时，我们可以通过以下步骤来进行：1. 将所有的项移到同一边，化简成一个等式。

2. 利用一元不等式的解法，将多元不等式转化为一元不等式。

高考数学不等式压轴问题归纳总结一、不等式恒成立1．已知函数()()2ln R 1mf x x m m x =+-∈+． （1）试讨论函数()f x 的极值点情况；（2）当m 为何值时，不等式()()21ln 101x x m x x+--<-（0x >且1x ≠）恒成立？2．已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若函数()f x 有两个极值点,m n ，其中m n <且2m >，是否存在整数k 使得不等式 ()()()35ln2f n k f m f n k +<<++恒成立？若存在，求整数k 的值；若不存在，请说明理由．（参考数据： ln20.7,ln3 1.1≈≈） 2．设函数()21ln 2f x x ax bx =--． （1）当0a =， 1b =-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）令()()212a F x f x ax bx x =+++ (03)x <≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 3．已知函数()ex x af x +=，其中e 为自然对数的底数，若当[]1,1x ∈-时， ()f x 的最大值为()g a ． （1）求函数()g a 的解析式； （2）若对任意的R a ∈，1e ek <<，不等式()g a ka t ≥+恒成立，求kt 的最大值． 4．已知函数()()()2ln 1f x x a x a R =--∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围． 5．已知函数()ln x mf x ex +=-．（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求证： ln xe e x e -≥；（2）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．（其中正 6．已知函数()()ln 1f x x x k x =--， k R ∈ （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间()1,+∞上有1个零点，求实数k 的取值范围；（3）是否存在正整数k ，使得()0f x x +>在()1,x ∈+∞上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．7．已知函数()2ln f x ax bx x =-+，（ a ， b R ∈）．（1）若1a =， 3b =，求函数()f x 的单调减区间；（2）若0b =时，不等式()0f x ≤在[1,+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =， 92b >时，记函数()f x 的导函数()'f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证： ()()12633ln216f x f x ->-． 8．已知函数()()12ln 2(0)f x a x ax a x=-++<． ()1 讨论()f x 的单调性；()2 若对任意的()[]123213a x x ∈--∈，，，，，恒有()()()12ln32ln3m a f x f x +->- 成立，求实数m 的取值范围．9．已知()()ln xf x e a x a R =-∈．（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =-时，若不等式()()1f x e m x >+-对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围． 10．已知函数()1ex f x x +=， ()()ln 1g x k x k x =++．（1）求()f x 的单调区间．（2）证明：当0k >时，方程()f x k =在区间()0,+∞上只有一个零点． （3）设()()()h x f x g x =-，其中0k >若()0h x ≥恒成立，求k 的取值范围． 11．已知0a ≥，函数()()22x f x x ax e =-+．（1）当x 为何值时， ()f x 取得最大值？证明你的结论； （2） 设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围；（3）设()()21xg x x e =-，当1x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围．12．已知函数()32xf x xe ax bx c =+++（其中e 为自然对数的底， ,,a b c R ∈）的导函数为()'y f x =．（1）当0a c ==时，讨论函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数；（2）设点()()0,0A f ， ()(),B m f m 是函数()f x 图象上两点，若对任意的0m >，割线AB 的斜率都大于'2m f ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．． 13．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--． （1）证明：直线2y x =与曲线()y f x =相切；（2）若()()33f x k x x >-对()0,1x ∈恒成立，求k 的取值范围． 14．设函数．若曲线()y f x =在点()(),P e f e 处的切线方程为2y x e =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式在上恒成立，求实数λ的取值范围．15．已知函数()ln b f x a x b x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(其中a ， b R ∈)． （1）当4b =-时，若()f x 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；（2）当1a =-时，是否存在实数b ，使得当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式()0f x >恒成立，如果存在，求b 的取值范围，如果不存在，说明理由． 16．已知函数()()21ln 12f x x x =+-． （1）判断()f x 的零点个数；（2）若函数()g x ax a =-，当1x >时， ()g x 的图象总在()f x 的图象的下方，求a 的取值范围． 17．设函数()ln mf x x x=+， m R ∈．（1）当m e =时，求函数()f x 的极小值； （2）讨论函数()()3xg x f x -'=零点的个数； （3）若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．18．已知函数()f x 是偶函数，且满足()()220f x f x +--=，当(]0,2x ∈时， ()(1)x f x e ax a =+>，当(]4,2x ∈--时， ()f x 的最大值为2416e +． （1）求实数a 的值； （2）函数()()344203g x bx bx b =-+≠，若对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使不等式()()12f x g x <恒成立，求实数b 的取值范围．19．已知函数()()1xf x e ax a R =--∈．(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)试探究函数()()F ln x f x x x =-在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；(3)若()()ln 1ln x g x e x =--，且()()()f g x f x <在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 20．()()12ln f x x mx m R x=+-∈． （1）当1m =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程． （2）若()f x 在()0,+∞上为单调递减，求m 的取值范围． （3）设0a b <<，求证：ln ln b ab a -<-21．已知函数()()()2ln ,.2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线()()(0),,x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点且曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ已知若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围．22．已知函数()1,xf x e x x R =--∈（1）求函数()f x 的极值； （2）求证： *21111112,333n n N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）()()()112(0)a F x a f x x a x+=+-+->，若对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0F x ≥成立，求a 的取值范围．23．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ， 212n n n S a a =+， *n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；设数列{}n b 满足： 11b =， ()122n n n b b a n --=≥，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；（2）若()4n T n λ≤+对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围． 24．设()2-1f x x a x =-+．（1）当a=2时，求不等式()1f x ≤的解集；（2）若a>0，b>0，c>0且ab+bc+ac=1，求证：当x ∈R 时，f(x) 222b 2c a ≤++二、不等式能成立1．设f （x ）=2x 2+bx+c ，已知不等式f （x ）<0的解集是（1，5）． （1）求f （x ）的解析式；（2）若对于任意x ∈ []1,3，不等式f （x ）≦2+t 有解，求实数t 的取值范围。

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

数学 一元二次不等式解法【重点难点解析】本节的重点是一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法；难点是解含字母参数的不等式及一元二次不等式的解的灵活应用．在学习中，要深入理解和掌握“三个二次”(即一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式)的内在联系：方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是使函数c bx ax y 2++=(a ≠0)的值为零时对应的自变量x 的值，也是c bx ax y 2++=(a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标；不等式0c bx ax 2>++(a ≠0)，0c bx ax 2<++(a ≠0)的解就是使函数c bx ax y 2++=(a ≠0)的函数值大于零或小于零时相应的x 的取值范围．此外在学习中，要注意体会数形结合、函数、方程、转化等数学思想，并能有意识地去运用．【考点】一元二次不等式是重点内容，高考中经常涉及．本节学习要求：①掌握三个二次之间的关系；②能熟练地解一元二次不等式；③会解简单的分式方程．【典型热点考题】例1 解下列不等式：(1)02x 7x 32<+- (2)02x x 62≤+-- (3)01x 4x 42<++ (4)05x 3x 2>+-思路分析解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)解对应的一元二次方程；(3)根据方程的根，结合不等号方向，得出不等式的解集．解： (1)∵)2x )(1x 3(2x 7x 32--=+-∴方程02x 7x 32=+-的根是31，2 ∴原不等式解集是}2x 31|x {<<． (2)原不等式化为02x x 62≥-+∵⊿>0，方程02x x 62=-+的根是2132，- ∴原不等式解集是}21x 32x |x {≥-≤，或． (3)∵0)1x 2(1x 4x 422≥+=++∴不等式01x 4x 42<++的解集是∅．(4)∵Δ<0，方程05x 3x 2=+-无实数根∴不等式05x 3x 2>+-的解集是R ．例2 解关于x 的不等式：(1)04ax x 2>++(a ∈R)；(2)01x )a1a (x 2<++-(a ≠0)． 思路分析解含字母参数的不等式，要注意对字母作科学、合理、有层次的讨论．解：(1)∵Δ16a 2-=∴当Δ<0即－4<a<4时，解集为R当Δ＝0即a ＝±4时，不等式化为0)2a x (2>+ ∴解集为}2a x |x {-≠当Δ>0即a<－4或a>4时 方程04ax x 2=++根为216a a x 2-±-= ∴解集为}216a a x 216a a x |x {22-+->---<，或． (2)原不等式化为0)a 1x )(a x (<--∴相应方程的根为a ，a 1 当a1a >即－1<a<0或a>1时 解集为}a x a1|x {<<． 当a1a =即a ＝±1时 解集为∅ 当a1a <即0<a<1或a<－1时 解集为}a1x a |x {<<． 点评 解含字母参数的不等式，要把握好分类讨论，“从哪儿开始分类讨论？怎样分类？”一定要心中有数． 例3 已知函数3x )k 1(4x )5k 4k (y 22+-+-+=的图象都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．思路分析①因题中并没有认定所给函数为二次函数，所以要分“一次”、“二次”两种情况加以讨论．②与“函数的图象都在x 轴上方”等价的说法是：对一切实数x ，函数值恒正，或者对一切实数x ，y>0恒成立．解：当05k 4k 2=-+时，k ＝－5，1若k ＝－5，则y ＝24x ＋3，其图象不可能都在x 轴上方∴k ≠－5若k ＝1，则y ＝3，其图象都在x 轴上方当05k 4k 2≠-+，根据已知及二次函数性质⎪⎩⎪⎨⎧-+--=-+0)54(12)]1(4[054222＜Δ＞有k k k k k即⎩⎨⎧<-->-+0)19k )(1k (0)1k )(5k ( ∴1<k<19综上：1≤k<19．点评 函数、方程、不等式联系密切，解题时注意将它们联系、沟通、转化，有助于寻找解题思路． 例4 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是发生了碰撞．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车刹车距离超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：2x 010x 10S ..+=甲，20050050x x S ..乙+=问两车相碰的主要责任是谁？思路分析解答应用题的关键是审题，从题中提取已知信息，转化成相应的数学问题，是对语文阅读能力、数学素养等各方面知识的综合考查．解：由题意知：对于甲车：12x 010x 102>+..即01200x 10x 2>-+解得x>30或x<－40(不合实际意义，舍去)由此知：甲车的车速超过30km/h ，但据题意，刹车距离略超过12m ，这样甲的车速不会超出30km/h 很多． 对于乙车，1000500502>+x x ..即02000x 10x 2>-+解得x>40或x<－50(不合实际意义，舍)由此知：乙车的车速超过了40km/h ，超出规定限速．综上：乙车应负主要责任．点评 为适应高考“加强应用”的形势，同学们应增强“用数学的意识”，提高分析和解决实际问题的能力．。

完整版)不等式知识点归纳大全不等式》知识点总结一、解不等式1.解不等式时，最终需要用集合的形式表示解集。

不等式解集的端点值通常是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

2.解分式不等式f(x)。

a（a≠0）的一般思路是移项通分，分子分母分解因式，使x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回。

3.含有两个绝对值的不等式需要分类讨论、平方转化或换元转化去绝对值。

4.解含参不等式时，常常需要分类等价转化。

按参数讨论时，最后需按参数取值分别说明其解集；按未知数讨论时，最后需要求并集。

二、利用重要不等式求函数的最值1.在利用重要不等式a+b≥2ab以及变式ab≤(a+b)²求函数的最值时，需要注意a、b∈R⁺（或a、b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）。

2.常用的不等式有：a、2(a²+b²+c²)≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；b、a+b+c≥√(3(ab+bc+ca))（当且仅当a=b=c时，取等号）。

三、含立方的几个重要不等式1.对于正数a、b、c，有a³+b³+c³≥3abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

2.对于正数a、b、c，有(a+b+c)³≥27abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。

四、最值定理1.积定和最小：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若积xy=P （定值），则当x=y时和x+y有最小值2P。

2.和定积最大：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若和x+y=S （定值），则当x=y时积xy有最大值S²/4.3.已知a、b、x、y∈R，且ax+by=1，有x/y+y/x的最小值为(a+b+√(a²+b²))/2.4.对于已知x>0、y>0、x+2y+2xy=8的等式，x+2y的最小值为4，最大值为8.注：删除了一些明显有问题的段落，并对每段话进行了小幅度的改写。

专题01 集合、常用逻辑用语、不等式（新定义，高数观点，压轴题）目录一、集合的新定义（高数观点）题 (2)①乘法运算封闭 (2)②“群”运算 (2)③“*”运算 (3)④“⊕”运算 (4)⑤戴德金分割 (4)⑥“类” (5)⑦差集运算 (6)⑧“势” (7)⑨“好集” (7)二、逻辑推理 (8)①充分性必要性 (8)②逻辑推理 (8)三、不等式 (9)①作差法 (9)②基本不等式 (9)一、集合的新定义（高数观点）题①乘法运算封闭②“群”运算1．（2022·全国·高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G*∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元；④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．G Q =，则(),+G 为一个群B ．G R =，则(),G ⨯为一个群C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群③“*”运算1．（2023·全国·高三专题练习）在R 上的定义运算*:*2a b ab a b =++，则满足*(2)0x x -<的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(2,1)-C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．（2023·全国·高三专题练习）设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”，()X Y X Y *= ．对于任意集合X ，Y ，Z ，则()X Y Z **=（ ）A ．()X Y ZB ．()X Y ZC ．()X Y Z ⋃⋃D ．()X Y Z3．（2023秋·高一课时练习）在实数集R 中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意R a ∈，0*a a =；（2）对任意a ，R b ∈，**a b b a =；（3）对任意a ，b ，R c ∈，()()()()*****2a b c c ab a c b c c =++-.给出下列三个结论：①()2*0*20=；②对任意a ，b ，R c ∈，()()****a b c b c a =；③存在a ，b ，R c ∈，()()()***a b c a c b c +≠+；其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③④“⊕”运算⑤戴德金分割1．（多选）（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q⑥“类”⑦差集运算A ．已知{4,5,6,7,9}A =，B ．如果A B -=∅，那么C ．已知全集、集合A 、集合D ．已知{|1A x x =<-或x >2．（多选）（2022秋·贵州铜仁⑧“势”⑨“好集”二、逻辑推理①充分性必要性②逻辑推理三、不等式①作差法②基本不等式。

新数学《不等式》专题解析(1)一、选择题1．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A 3B 3C 3D 3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF +-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即233AF BF AB +≤，所以33MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．2．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()11111120f a c f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为3．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）①命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；②若正整数m 和n 满足m n ≤2n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】①，命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①错误.②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得22m n m n+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1110221121112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）A．[； B．(,-∞C．)+∞D．(,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得11322a d a =--， 当10a >时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭1a 时等号成立； 当10a <时，11322a d a =--≥=1a =立；∴实数d的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.5．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4C．2 D．1【答案】B 【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5B ．45C ．5D ．25【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．7．已知x，y满足约束条件1,22,326,x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22x y z+≥恒成立，则实数z的最大值为（）A．22B．25 C．12D．2【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据22x y+的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10x y+-=的距离的平方最小，即可求解．【详解】由题意，画出约束条件122326x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，要使得22x y z+≥恒成立，只需()22minz x y≥+，因为22x y+表示原点到可行域内点的距离的平方，结合平面区域，可得原点到直线10x y+-=的距离的平方最小，其中最小值距离为221211d-==+，则212d=，即12z≤所以数z的最大值12．故选：C．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合22x y+的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力．8．若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 【分析】 【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B 错误，，选项D 错误，因为选项C 正确，故选C ． 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.9．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ） A 3B ．51)C ．45D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x y x x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-，当4 xx=，即2x=时等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．已知函数24,0()(2)1,0x xf x xx x⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m-=恰有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．(2,)+∞B．(4,)+∞C．(2,4)D．(3,4)【答案】A【解析】【分析】画出函数()f x的图象,再根据基本不等式求解4y xx=+的最小值,数形结合求解即可.【详解】画出函数()f x的图象,如图所示.当0x>时,4()4f x xx=+….设()2g x m=,则方程()20f x m-=恰有三个不同的实数根,即()f x和()2g x m=的图象有三个交点.由图象可知,24m>,即2m>,故实数m的取值范围是(2,)+∞.故选：A 【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.11．已知,a b 都是正实数，则222a ba b a b+++的最大值是（ ） A．23-B．3-C．1D ．43【答案】A 【解析】 【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b+++，转化为2222233a b n ma b a b m n +=--++，利用基本不等式求解. 【详解】设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n ma b --==，所以2222222333a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当233n mm n=时取等号. 所以222a b a b a b +++的最大值是23-. 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.13．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形. 故选：A .【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.14．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性.【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．15．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 【答案】B【解析】【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由2x y xy +=得：211x y+=()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）2x y ∴+的最小值为9故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.16．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )A．169πB．89πC．1627πD．827π【答案】A【解析】【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得323r x-=，332x r∴=-，∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r rπ=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r rV r r r rπππ++-=-=g g g g…．当且仅当33342r r=-，即43r=时等号成立．∴圆柱的最大体积为169π，故选：A．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y=+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==， 即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2，2,2-， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.18．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） A 5B ．5 C ．3 D ．52【解析】【分析】由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．【详解】解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩……„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方， 解得，2222523(1)d -⎛⎫+ ⎪= ⎝⎭=⎪； 所以min 52z =故选：D ．【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．19．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a 的取值范围为（ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(1,0]-【答案】A【分析】结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可．【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0-当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ．【点睛】本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．20．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．7【答案】B【解析】【分析】根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值.【详解】将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，因为三棱锥外接球的表面积为8π，则284R π=π， 解得2R =，所以体对角线为2， 所以2228x y z ++=，111222S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y z S x y y x x z ++-=-+-+-≥， 所以416S ≤，故4S ≤，即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.。