均值不等式专题附带解析

高考数学考点均值不等式全解2.平均值不等式名师点拨：1.定理2的常见变形2.利用平均值不等式求最值对两个正实数a,b.(1)若它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;(2)若它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值.对于三个正数a,b,c.利用平均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.01利用平均值不等式求最值分析：根据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条件和形式,然后应用平均值不等式求解.反思感悟平均值不等式的基本功能在于“和与积”的相互转化,利用平均值不等式求最值时,给定的形式不一定能直接应用平均值不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑积或和是定值的形式),构造出平均值不等式的形式再进行求解,求解时一定注意平均值不等式成立的条件:①各项或各因式应为正;②和或积为定值;③各项或各因式能取到使等号成立的值,简记为:“一正、二定、三相等”02利用平均值不等式证明不等式分析：(1)考虑到a+b+c=1,可将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利用平均值不等式,然后根据不等式的性质证明.(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以要两次利用平均值不等式.反思感悟：利用平均值不等式证明不等式的方法与技巧(1)用平均值不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备平均值不等式的结构和条件,然后合理地选择平均值不等式或其变形形式进行证明.(2)对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找出变形的思路,构造出平均值不等式,切忌两次使用平均值不等式用传递性证明,因为这样有可能导致等号不能取到.03利用平均值不等式解决实际问题【例3】已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400 km处的B地,每两辆货车间距离为d km,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20 km/h时,d=1 km.(1)写出d关于v的函数关系式;(2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时?此时货车速度为多少?分析：对于(1),可由已知数据代入求得;(2)先列出时间与速度的关系式,再借助平均值不等式求解.反思感悟：利用平均值不等式求解实际问题时的注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用平均值不等式求得函数的最值;(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.均值不等式的解题方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。

高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中，均值不等式是一条非常重要的数学定理。

它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。

本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。

一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。

它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。

算术平均值是最为熟悉的一种形式，它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。

几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。

平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。

在不等式的关系中，对于正实数来说，有以下几个性质：1. 当所有元素相等时，算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。

2. 当所有元素不相等时，算术平均值大于几何平均值，而几何平均值大于平方平均值。

3. 对于正实数来说，算术平均值大于几何平均值，并且它们都大于平方平均值。

二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。

它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。

1. 证明与推导在证明和推导方面，均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。

通过运用不同形式的均值不等式，我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。

例如，在求证某个不等式问题时，我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。

2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。

通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较，我们可以得出一些关于数列性质的结论。

例如，当一组数的算术平均值大于几何平均值时，就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。

三、均值不等式的例题解析下面，我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。

例题1：已知a、b、c为正实数，证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。

解析：我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。

高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。

ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。

3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。

1.直接利用均值不等式求解最值。

例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。

专题3 均值不等式基础方法15类总结目录一、热点题型归纳【题型一】对勾型 (2)【题型二】添加常数构造“对勾型” (3)【题型三】“和定求积”型 (4)【题型四】“积定求和”型 (6)【题型五】单元（单变量）分离常数型 (7)【题型六】“常数”因子法： (8)【题型七】“单分母”构造因子法 (9)【题型八】“双分母”构造法 (11)【题型九】有和有积无常数型 (12)【题型十】有和有积有常数型：求“积”型 (14)【题型十一】有和有积有常数型：求“和”型 (15)【题型十二】多元分离型 (16)【题型十三】反解消元型 (18)【题型十四】换元型 (19)【题型十五】较简单的三元均值 (21)培优第一阶——基础过关练 (23)培优第二阶——能力提升练 (27)培优第三阶——培优拔尖练 (31)知识点综述：1.基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；2.常用不等式：ab ≤a ＋b2； (1) 基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，常用于求积的最大值；4.重要不等式链：a 2＋b 22≥ a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b；【题型一】对勾型【典例分析】（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x -2y ）+12x y -≥2成立的前提条件为（ ） A ．x ≥2y B ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【答案】B【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解. 【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式()1222x y x y-+≥-成立的前提条件为20x y ->，即2x y >. 故选：B.【提分秘籍】 基本规律对勾型：1t t +，bat t+ 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如1.2sin sin θθθ+，其中锐角（第五章会学习到）2.221x 5x 5+++1.（2022·全国·高一专题练习）若0x >，0y >，则1122x y x y+++的最小值是（ ） A ．32B ．42C ．4D ．2【答案】A【分析】利用基本不等式可求出12x x+和12y y +的最小值，相加可得出结果.【详解】由基本不等式得111122222223222x y x y x y x y +++≥⋅⋅ 当且仅当2x =，2y =时等号成立，因此，1122x y x y +++的最小值为32故选A.2.（2022·河南驻马店·高一期末）已知a >0，则当19a a+取得最小值时，a 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13 D ．3【答案】C【分析】利用基本不等式求最值即可.【详解】∵a >0，∵19296a a +≥，当且仅当19a a =，即13a =时，等号成立，故选：C【题型二】 添加常数构造“对勾型”【典例分析】（2022·吉林延边·高一期末）已知2x >，则函数()1222y x x =+--的最小值是（ ）A ．22B ．222C ．2D 2【答案】D【分析】应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，20x ->， ∵()()11(2)2(2)22222y x x x x =-+≥-⋅=--22x =时等号成立，∵2故选：D.【提分秘籍】 基本规律 对于形如1cx+d ax b ++，则把cx+d 转化为分母的线性关系：c 1ax+b)ax b cd a a ++-+（可消去。

在行测考试中，我们经常会遇到求极大值和极小值这一类的题目，我们把这类题目统称为极值问题。

当题干或者问法中出现最大或最小、最多或最少，至多或至少这样的字眼时都是求极值的问题，今天我们就来学习一种方法求解极值方法，均值不等式。

一、什么是均值不等式结论：和一定的两个数，差越小，积越大(针对两个数取不到相等的情况);积一定的两个数，差越小，和越小(针对两个数取不到相等的情况)。

二、均值不等式的应用和一定，求积的最大值【例1】某外贸公司生产运动服，每套的成本是144元，售价是200元。

一个经销商订购了120套运动服，并提出：如果每套运动服的售价每降低2元，就多订购6套。

按经销商的要求，该外贸公司获得最大利润需售出的套数是：A.144B.136C.128D.142【解析】A。

最大的利润=每套利润×销售套数，现在要求的是销售的套数，题目中告诉每套运动服的售价每降低2元，就多订购6套，但是具体降低了多少钱未知，可以设每套运动服的的售价降低2X元，则多订购了6X套。

原来每套的利润为200-144=56元，则所获总利润为(56-2X)(120-6X)=12(28-6X)(20 +X)，因为(28-X)与(20+X)之和为定值，可以根据均值不等式原理，当且仅当2 8-X=20+X，即x=4 时，所获利润最大，此时售出的套数是120+6×4=144 套。

【例2】一款笔记本以每本2元的价格批发，可出售10万本。

若该笔记本价格每提高0.2元，销量将减少5000本，则该款笔记本可能的最大销售收入为多少万元?A.25.5B.24.5C.23.5D.22.5【解析】D。

销售收入=单价×销量，题目告诉该笔记本价格每提高0.2元，销量将减少5000本，但是具体提高了多少钱未知，可以设价格提高了0.2X元，则销量为(10-0.5X)万本，销售收入=(2+0.2X)×(10-0.5X)=0.1×(10+X)×(20-X)，因为(10+X)与(20-X)(20-X)之和为定值。

提升训练2.7 均值不等式及其应用一、选择题1．已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 ∵x ＞0，∴函数96y x x =+≥=，当且仅当x=3时取等号， ∴y 的最小值是6． 故选：C ．2．已知1(0,4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．110【答案】C 【解析】因为1(0,)4x ∈，所以40,140x x >->，所以2114141(14)=4(14)44216x x x x x x +-⎛⎫-⋅-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当414x x =-时，即18x =，等号成立. 故答案选C .3．()2301x x y x x++=>+的最小值是( )A ．B ．1C ．1D ．2【答案】B 【解析】1,10x x >-∴+>，231x x y x++∴==+3311111x x x x +=++-++…， 当且仅当311x x=++，即1x =时等号成立， 所以()2301x x y x x++=>+的最小值是1-，故选B.4．已知a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是( ) A ．29B ．18C ．14D ．12【答案】B 【解析】因为a ，b 都为正实数，21a b +=，所以221212228ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,42a b ==时，ab 取最大值18. 故选B5．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ．C ．2D ．4【答案】D 【解析】 ∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab 的最小值为4，故选：D ．6．若0,0,31x y x y >>+=，则113x y+的最小值为（ ） A ．2 B ．12x xC ．4D．【答案】C 【解析】11113()(3)224333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=,当且仅当132x y ==时取等号，故113x y+的最小值为4，选C. 7．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．3C ．2+D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立，所以11m n+的最小值为3+ A.8．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，则2x+y 的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】A 【解析】两个正实数x y ，满足211x y+=，则()2122224159y x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=，即3x y ==时取等号， 故2x y +的最小值为9. 故选A ． 9．若正实数满足，则（ ）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值【答案】D【解析】对于A，取，则，故A错误；对于B，取，则，故B错误；对于C，取，则，故C错误；对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确.10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B11．若正数a，b满足111a b+=，则1911a b+--的最小值为（）A．6B．9C．12D．15【答案】A【解析】由111a b+=得：1111ab a a-=-=，即：1aba=-0b>，0a>10a∴->()19191916111111a a ab a a a ∴+=+=+-≥=------ 当且仅当()1911a a =--，即4a =时取等号 min19611a b ⎛⎫∴+= ⎪--⎝⎭本题正确选项：A12．设，，均为正实数，则三个数，，( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D 【解析】 假设，，均小于，则，又因为，，，故，这与矛盾， 故假设不正确，即，，至少有一个不小于．故选D ． 二、填空题13．若0a >，0b >，25a b +=，则ab 的最大值为__________． 【答案】258【解析】因为0a >，0b >，25a b +=，所以21122522228a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，取等号； 故答案为25814．若a b >，则()82a b a b-+-的最小值为______．【答案】8 【解析】因为a b >，所以()828a b a b -+≥=-, 当且仅当2a b -=时取等号,即()82a b a b-+-的最小值为8.15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.【答案】【解析】 由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为.故答案为. 16．若，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由a 2+2ab ﹣3b 2＝1得（a+3b ）（a ﹣b ）＝1，令x ＝a+3b ，y ＝a ﹣b ，则xy ＝1且a ，b ，所以a 2+b 2＝（）2+（）2，当且仅当x 2，y 2时取等．故答案为．三、解答题17．已知正实数a ，b 满足，求的最小值.【答案】 【解析】，当且仅当，即时取等号，的最小值为.18．设,x y 都是正数，且123x y+=，求2x y +的最小值．【答案】83. 【解析】∵123x y +=，∴11213x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴()()11222123x y x y x y x y ⎛⎫+=+⨯=+⨯+⎪⎝⎭1414433y x x y ⎛⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝ (83)=. 当且仅当4y x x y=，即2y x =时，取“＝”． 又∵123x y +=，∴23x = 43y =.∴2x y +的最小值为83. 19．已知，求证：.【答案】证明见解析 【解析】 证明：，， ，上面三式相加，得：，所以，.20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 【解析】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元， 则30x y ⋅=，1500390065800450054005800z x y x y =⋅+⋅+=++，∵45005400229003054000x y +≥=⨯=⨯⨯=， ∴45005400580054000580059800z x y =++≥+=，当且仅当4500540030x y x y =⎧⎨⋅=⎩即65x y =⎧⎨=⎩时取等号，答：房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 21．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，满足？并说明理由．【答案】（1）；（2）不存在. 【解析】（1），当且仅当时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在． 因为，所以，又，所以．从而有，因此不存在，满足．22．设a>0，b>0，且证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：由，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．。

课时作业15 均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( )A ．15B ．6C ．60D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y＝1≥215xy，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x＋3在(－∞，－2]上( )A ．无最大值，有最小值7B ．无最大值，有最小值－1C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3 ＝－1，当且仅当－x ＝－4x，即x ＝－2时，取等号，∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y≥m 恒成立的实数m 的取值围是____________．【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94. 4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋12＋5x ＋1＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋1·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋n ax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x)≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】 方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12，又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14，∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12. 方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大． 4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －cB.1a －b ＋1b －c <2a －cC.1a －b ＋1b －c ≥2a －cD.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4xB ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大 B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab 又∵a ＋b2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b2.7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2x ＋1·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥【解析】 x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2x －1×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值围； (2)求xy 的取值围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y2)2，当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12. ∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． 故x ＋y 的取值围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”．∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n n －12×4]＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为yn ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2n ·49n－20＝12当且仅当n ＝49n，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元． 【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。

完整版)均值不等式测试题(含详解)解析：将不等式化简为x2-x+1/4+1/4≥1，即(x-1/2)2≥3/4，当x≤1/2-√3/2或x≥1/2+√3/2时，不等式成立，选项B符合条件。

3．C解析：2x+8y=2(x+4y)，由于x+3y-1=0，所以2x+8y=2(x+4y)=(x+3y-1)+5y+1≥2√15，故最小值为2√15，选项C符合条件。

4．B解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有|(mx+ny)|≤√(m2+n2)(x2+y2)，代入已知条件得到|(mx+ny)|≤√3，故mx+ny的最大值为3，选项B符合条件。

5．B解析：将选项B化简为(a-b)2(a2+b2+ab)≥0，显然成立，其他选项均不成立。

6．A解析：将选项A化简为(x+1/x+2)2≥4，即(x2+1+2x/x)2≥4，由于x>0，故(x2+1+2x/x)2≥(2(x2+1))/x≥4，故选项A成立。

7．A解析：将2a+b+c表示为a+(a+b+c)，代入已知条件得到a(a+b+c)+bc=4-2(a+b+c)，化简得到(a+b+c-2)2=4-23，故a+b+c的最小值为3-1，选项A符合条件。

填空题：8．最大值为2，当x=1时取得。

9．最小值为2，当x=2时取得。

10．最小值为2，当x=1时取得。

11．最大值为4，当x=2时取得。

解答题：12．由于点A在直线mx+ny+1=0上，所以loga(3)-1=-(mx+ny)/a，化简得到mx+ny=-a(loga(3)-1)，代入mn>0得到a>1/3，且mn=a2>0，故m=n=a/√2，所以m+n=√2a，最小值为2√2.13．设购买次数为n，则每次购买x=400/n吨，总运费为4n万元，总存储费用为4x=1600/n万元，总花费为4n+1600/n，根据均值不等式，有4n+1600/n≥2√(4n×1600/n)=80，即n≥4，故购买次数至少为4，每次购买100吨。

【关键字】知识第三节：基本不等式1、基本不等式：（1）如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”）（2）对基本不等式的理解：a＞0，b＞0，a,b的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________. 叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数2、基本不等式的推广：注意：用基本不等式求最值的要点是：一正、二定、三相等三个正数的均值不等式：n个正数的均值不等式：3、四种均值的关系两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是：4. 最值定理设x＞0,y＞0,由x+y≥（1）若积xy=P(定值），则和x+y有最小值；（2）若和x+y=S(定值），则积xy有最大值即:积定和最小，和定积最大.（不等式的证明）例1、证明基本不等式（追踪训练）例2、（追踪训练）例3、若x＞0,y＞0,x+y=1. 求证:（追踪训练）若a、b、c是不全相等的正数，求证：（利用基本不等式求最值）例3、（追踪训练1）（追踪训练2）若x、y∈ , 则x+4y=1,求x.y的最大值例4、若正数a,b满足求a+b的最小值（追踪训练1）若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值。

（追踪训练2）设x、y均为正数，且求xy的最小值。

例5、若x,y,z∈，x－2y+3z=0, 则的最小值为_________.（追踪训练）若直线2ax－by+2=0(a＞b＞0）始终平分圆的周长，则的最小值为_________.例6、已知a、b都是正实数，且满足求4a+b的最小值（追踪训练）设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a>0,b>0）的最大值为12，求的最小值（利用均值不等式判断不等式的成立）例7、设a＞0，b＞0，则下列不等式中不成立的是（）A. B.C. D.（追踪训练）下列不等式不一定成立的是( )此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

均值不等式教学重点： 掌握均值不等式的证明及应用，会用均值不等式求函数的最大值或最小值； 教学难点： 利用均值不等式的证明。

1. 算术平均值与几何平均值（1） 算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值 （2） 几何平均值：对任意两个正实数,a b叫做,a b 的几何平均值 2. 均值定理如果,a b R +∈，那么2a b+≥，当且仅当a b =时，等号成立 3. 均值不等式的常见变形（1）),a b a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0） （4）)2,11a b R a b+≤∈+类型一： 均值不等式的理解例1. 设0,0a b >>，则下列不等式不成立的是（）A.2b a a b +≥B.44222a b a b +≥ C. 22b a a b a b +≥+ D.1122a b a b+≥++解析：特值法，令1a b ==，则A,B,C 项都成立，而D 项中，1122,23a b a b+=+=+ 显然不成立，故D 项不成立。

答案：D练习1. 若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥2答案：D练习2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b答案：B类型二： 均值不等式与最值例2. 若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245 B ．285C ．5D ．6解析：由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5，当且仅当3x 5y ＝12y5x时，得到最小值5. 答案：C练习3. 设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( ) A ．10 B ．63 C ．46 D ．18 3答案：D练习4. 已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为( ) A ．100 B ．75 C ．50 D ．25 答案：D类型三： 利用均值不等式证明不等式及应用例3. 已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 解析：∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)． 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)．a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2 ≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立). 答案：见解析练习5. 已知a 、b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小．答案：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab >0. ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab .即21a ＋1b≤ab . 练习6.若x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9..答案：证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy＝1＋2xy ≥1＋2(x ＋y 2)2＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．证法二：∵x ＋y ＝1， ∴左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝5＋2(y x ＋xy )≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．例4. 在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4SC ．θ＝2，r ＝3S D ．θ＝2，r ＝S 解析：S ＝12θr 2⇒θ＝2Sr2，又扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2⎝⎛⎭⎫r ＋Sr ≥4S ， 当P 最小时，r ＝Sr ⇒r ＝S ，此时θ＝2.答案：D练习7. 设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m ，则车厢的最大容积是( )A ．(38－373)m 3B ．16m 3C ．42m 3D ．14m 3 答案：B练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元 答案：A1. 若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．1x ＋y ≤14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy ≥1答案：B2. 已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )A ．100B ．50C ．20D ．10 答案：B3. 若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18答案：D4. 实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( )A ．18B ．12C ．23D ．43 答案：A5．设x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．7B ．339 C ．1＋22 D ．56. 设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14答案：B基础巩固1. 若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D2. 若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案：D3. 已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案：34. 已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________ 答案：12(a －b )25. a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．c >a > b C ．b >a >cD ．a >c >b答案：C6. 设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( ) A ．a 11＝b 11 B ．a 11>b 11 C ．a 11<b 11 D ．a 11≥b 11 答案：D7. 已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．18答案：B8. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案：B9. 已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．10. 若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案：23311. 做一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m 答案：C12. 光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) 答案：1113. 一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，12)．其中可作为(l ，S )的取值的实数对的序号是________． 答案：①④14. 已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．答案：x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by)＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，等号在ay x ＝bx y 即y x＝ba时成立． ∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a 、b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升15. 已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则 1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．2 3 答案：C16. 设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数17. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案：D18. 若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q 答案：C19. 已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1答案： D20. 已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y 2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y 2<y答案：D21. 设a 、b 是正实数，给出以下不等式：①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案：D22. 已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案：D23.若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．14B ．12 C ．2 D ．4答案：D24. 当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 答案：D25. 已知正数x 、y 满足1x ＋4y＝1，则xy 有( )A ．最小值116B ．最大值16C ．最小值16D ．最大值116答案：C26. 若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________ 答案：1827. 已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．答案：12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，而x 1、x 2∈R ＋，x 1x 2≤(x 1＋x 22)2，而f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上为增函数． ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22. 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)．28. 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C答案：∵a 、b 、c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ， 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋C ． 29．求函数y ＝1－2x －3x 的值域．答案：y ＝1－2x －3x ＝1－(2x ＋3x)．①当x >0时，2x ＋3x ≥22x ·3x＝2 6. 当且仅当2x ＝3x ，即x ＝62时取等号．∴y ＝1－(2x ＋3x)≤1－2 6.②当x <0时，y ＝1＋(－2x )＋(－3x )．∵－2x ＋(－3x)≥2(－2x )·(－3x)＝2 6.当且仅当－2x ＝－3x 时，即x ＝－62时取等号．∴此时y ＝1－2x －3x≥1＋2 6综上知y ∈(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．∴函数y ＝1－2x －3x的值域为(－∞，1－26)∪[1＋26，＋∞)．30. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？答案：(1)设正面铁栅长x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy ，仓库面积S ＝xy .由条件知z ≤3 200，即4x ＋9y ＋2xy ≤320. ∵x >0，y >0，∴4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12xy .∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的取值范围是(0,100]．(2)当S ＝100 m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的取值范围是(0,100]，当S 取到最大允许值100 m 2时，正面铁栅长15 m.31. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？答案：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98. (1)由f (n )>0得，n 2－20n ＋49<0， ∴10－51<n <10＋51， 又∵n ∈N ，∴n ＝3,4，…，17. 即从第3年开始获利．(2)①年平均收入＝f (n )n ＝40－2(n ＋49n )≤40－2×14＝12，当且仅当n ＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)． ②f (n )＝－2(n －10)2＋102.因此当n ＝10时，f (n )max ＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．。

均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析）一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式练习题班级_______姓名____________1. 已知x,y∈R+，xy=2x+y，则x+y取得最小值时，x=．2. 若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是_______________①1ab ≤14②1a+1b≤1③√ab≥2③a2+b2≥83. 下列结论正确的是______________①若a,b∈R，则ba +ab≥2②若x<0，则x+4x ≥−2√x⋅4x=−4③若ab≠0，则b2a +a2b≥a+b④若x<0，则2x+2−x>24. “a>0，b>0”是“ab<(a+b2)2”的条件5. “x+1x>2”是“x>1”的条件6. 设a>1，b>1且ab−(a+b)=1，下列结论正确的是_______________①a+b有最小值2+2√2②a+b有最大值2+2√2③ab有最大值√2+1④ab有最小值2+2√27. 设m∈R且m≠0，“不等式m+4m>4”成立的一个必要不充分条件是( )①m≠2②m>0且m≠2③m>2④m≥28. 设直线x=t(t>0)与曲线y=x2+2和x轴分别交于A，B两点，C(t+1t,2)，则△ABC面积的最小值为．9. 若不等式(x+y)(ax +4y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．10. 已知a>0，b>0，若a+b=4，则a2+b2的最小值为．11. 已知x>0，y>0，且x+2y=2，那么xy的最大值是．12. 已知x>54，则函数y=4x+14x−5的最小值为．13. 已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设没有出租的房子不需要花这些费用），则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为元．14. 已知0<x<1，当x=_______时，√x(1−x)的值最大．15. 已知x>−1，求x+4x+1的值最小值.16. 设a，b，c∈R，求证：b+ca +c+ab+a+bc≥6．17. 设ab≠0，利用基本不等式有如下证明：ba +ab=b2+a2ab≥2abab=2．试判断这个证明过程是否正确．若正确，请说明每一步的依据；若不正确，请说明理由．18. 某工厂有一面长14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房．工程条件是：①修1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用是a4元；③用拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用为a2元．经过讨论有两种方案（设利用旧墙的矩形厂房的一面边长为x m）：方案1：利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长(x<14)：方案2：利用旧墙为矩形厂房的一面边长(x≥14)．则如何利用旧墙，即x为多少时建墙费用最省?答案1. √2+12. ④【解析】4=a +b ≥2√ab （当且仅当 a =b 时，等号成立），即 √ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项①，③不成立；1a +1b =a+b ab=4ab ≥1，选项②不成立；a 2+b 2=(a +b )2−2ab =16−2ab ≥8，选项④成立．3. ④ 【解析】对于①，当 ab <0 时不成立； 对于②，若 x <0，则 x +4x =−(−x +4−x)≤−2√(−x )⋅4−x =−4，当且仅当 x =−2 时，等号成立，因此②选项不成立；对于③，取 a =−1，b =−2，b 2a +a 2b=−92<a +b =−3，所以③选项不成立；对于④，若 x <0，则 2x +2−x >2 成立． 4. 既不充分也不必要【解析】当 a >0，b >0 时，a+b 2≥√ab ，即 ab ≤(a+b 2)2，当 a =b 时，ab <(a+b 2)2 不成立，故“a >0，b >0”不是“ab <(a+b 2)2”的充分条件．当 ab <(a+b 2)2 时，a ，b 可以异号，故 a >0，b >0 不一定成立，故“a >0，b >0”不是“ab <(a+b 2)2”的必要条件．故“a >0，b >0”是“ab <(a+b 2)2”的既不充分也不必要条件．5. 必要而不充分6. ① 【解析】因为 a >1，b >1 且 ab −(a +b )=1，所以 1+a +b =ab ≤(a+b 2)2，则 (a +b )2−4(a +b )−4≥0，得 a +b ≥2+2√2 或 a +b ≤−2√2+2（舍去），当且仅当 a =b =1+√2 时等号成立．因为 a +b =ab −1≥2+2√2，所以 ab ≥3+2√2，当且仅当 a =b 时等号成立． 7. ①8. √2．【解析】由 {x =t,y =x 2+2可得 A (t,t 2+2)，所以 ∣AB∣=t 2+2，则 △ABC 的面积S=12×∣∣t +1t−t ∣∣×(t 2+2)=12×t 2+2t =12(t +2t )≥12×2√t ×2t=√2,当且仅当 t =2t ，即 t =√2 时等号成立，所以 △ABC 面积的最小值为 √2．9. 4【解析】因为不等式 (x +y )(a x +4y)≥16 对任意正实数 x ，y 恒成立，所以 16≤[(x +y )(ax +4y )]min，令 f (x )=(x +y )(ax +4y )(a >0)，则f (x )=a +4+ay x+4x y ≥a +4+2√ayx ⋅4x y=a +4+4√a,当且仅当 xy =√a2时取等号， 所以 a +4√a ++4≥16，解得 a ≥4， 因此正实数 a 的最小值为 4． 10. 8 11. 12【解析】因为 x >0，y >0，且 x +2y =2， 所以 xy =12x ⋅2y ≤12×(x+2y 2)2=12×(1)2=12，当且仅当 x =2y =1，即 x =1，y =12 时，取等号，故 xy 的最大值是 12． 12. 7【解析】因为 x >54，所以 4x −5>0．y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7． 当且仅当 4x −5=14x−5，即 x =32时等号成立．法二：因为 x >54，令 yʹ=4−4(4x−5)2=0，得 x =1 或 x =32，当 54<x <32 时，yʹ<0，函数单调递减； 当 x >32 时，yʹ>0，函数单调递增．所以当 x =32时函数取得最大值为：4×32+14×32−5=7．13. 3300【解析】设利润为 y 元，租金定为 3000+50x (0≤x ≤70,x ∈N ) 元．则 y =(3000+50x )(70−x )−100(70−x )=(2900+50x )(70−x )=50(58+x )(70−x )≤50(58+x+70−x 2)2，当且仅当 58+x =70−x ，即 x =6 时，等号成立，故每月租金定为 3000+300=3300（元）时，公司得最大利润．14. 0<x <1⇒√x >0，√1−x >0⇒√x ⋅√1−x ≤x+(1−x )2=12，即 √x (1−x )≤12（当且仅当 x =1−x ，即 x =12时，等号成立）， 所以当 x =12 时，√x (1−x ) 的最大值为 12． 第三部分 15.x >−1⇒x +1>0⇒x +4x +1=(x +1)+4x +1−1≥2√(x +1)⋅4x +1−1=3(当且仅当x +1=4x +1,即x =1时,等号成立⇒当x =1时,x +4x +1的最小值为3.16. ba +ab≥2c b +bc ≥2a c +ca ≥2} ⇒b+c a +c+ab +a+bc ≥6（当且仅当 a =b =c 时，等号成立）．17. 这个证明过程不正确．过程中b 2+a 2ab≥2ab ab这一步不成立，这是因为 ab 的正负没有确定．18. 设利用旧墙的矩形厂房的一面边长为 x m ，则另一面边长为 126xm ．若利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长，则修旧墙的费用为 x ⋅a 4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为 (14−x )⋅a2 元，其余的建新墙的费用为 (2x +2×126x−14)⋅a 元，总费用为y =a 4x +(14−x )a 2+a (2x +252x−14)=a (7x 4+252x −7)=7a (x4+36x−1)(0<x <14).因为 x 4+36x≥2√x4⋅36x=6，0<x <14，所以当且仅当 x =12 时，y min =7a (6−1)=35a （ 元）．若利用旧墙为矩形厂房的一面边长，则修旧墙的费用为 a4⋅14=7a2元，建新墙的费用为 (2x +252x−14)⋅a 元，总费用为 y=72a +a (2x +252x −14)=72a +2a (x +126x−7)(x ≥14).设14≤x1<x2，则x1+126x1−(x2+126x2)=(x1−x2)(1−126x1x2)<0(x1x2>126),所以m=x+126x 在[14,+∞)上为增函数，所以当x=14时，y min=72a+2a(14+12614−7)=35.5a（元）．综上可知，采用方案1，即利用旧墙12m为矩形厂房的一面边长，可使建墙费用最省．。

均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。

比如说，已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。

这时候就可以直接用均值不等式啦。

由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，把\(a + b = 1\)代入，得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\)，那么\(ab\leq\frac{1}{4}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。

这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。

就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。

这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。

二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。

比如说，求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。

这时候直接用均值不等式可不行，因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。

那我们就凑项呀，把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。

因为\(x>1\)，所以\(x - 1>0\)，\(\frac{1}{x - 1}>0\)。

根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\)，也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\)，那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\)，当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。

均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。