二次曲面的直纹性

判别二次曲面是直纹面的方法数学与信息学院数学与应用数学专业摘要：本文就有关二次曲面是直纹面的几种常用判定方法加以了总结和推广，并对单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面加以了证明，而且还对所运用的判定方法分别进行了举例说明.从而更有利于理论与实践相结合，进一步提高了对各种知识的分析理解能力.关键词：二次曲面；直纹面；单叶双曲面；双曲抛物面；方程；因式分解Quadric discriminant methods are ruled surfaceZhou MinMath Institute with the information and applied mathematics major Grade 2005 Instructor :Zhang San HuaAbstract: This article was the lined surface several commonly used decision method has performed the summary and the promotion on the related quadratic surface，and was the lined surface has performed the proof to the single leaf hyperboloid and the hyperbolic paraboloid，moreover also to the decision method which utilized separately carries on has explained with examples. Thus is more advantageous in the theory and the practice unifies，further enhanced to each kind of knowledge analysis understanding ability.Keywords:quadric surface; Ruled Surface; hyperboloid of one sheet; hyperbolic paraboloid; equation; factorization1 引言通过我们已对二次曲面的学习后，不难看出二次曲面的有关知识的讨论是空间解析几何中非常重要的内容之一，而在二次曲面中的直纹面又是非常重要的一类.直纹面的相关知识在我们实际生活生产中如在建筑行业，机械加工以及医疗，光学等方面的应用都是非常广泛的.总之在我们的日常生活，现代化生产，科学研究等方面对二次曲面中的直纹面知识的运用都是非常广泛的.为此，我们非常有必要对直纹面的相关知识加以了解.所谓直纹面是指如果曲面S上有一族单参数（随着一个参数变化的一族直线）而S的每一点都在这族直线上，S就是我们所说的直纹面，这族直线中的每一条直线都称为直母线[]1.在我们已学过的曲面中的柱面，锥面，特别二次曲面中的椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面都是直纹面.在我们所学过的二次曲面的类型是非常多的，其中有些二次曲面是直纹面而有些又不是直纹面，那么在如此众多的二次曲面中我们如何对其直纹性进行快速而又准确的判定呢？下面我就有关二次曲面是否是直纹面的判定方法加以总结和简单的推广，并结合相关实例进行说明.2 判别曲面是直纹面的方法2.1根据直纹面的定义进行直接的判别直纹面是由一族直线所构成的曲面[]2.简单地说也就是将某一条直线进行一定方向的移动后所形成的一个轨迹，将这个轨迹看成是一个曲面，那么这个曲面也就是我们常提到的直纹面了.像我们平常看到的平面，柱面，锥面等都可以直接看作是其中某一条直线经过移动后所形成的轨迹，将这个轨迹看成一个曲面，从而很自然由直纹面的定义就可以知道，这样的曲面就是直纹面[]3.在中学时代就学过的平面我们可以将其看成是一条直线沿某一个固定方向进行平行移动后所形成的轨迹；由平行于某一个方向且与一条空间定曲线相交的一族平行直线所组成的曲面，叫做柱面.定曲线叫做柱面的准线，平行直线族中的每一条都叫做柱面的直母线.定方向是直母线的方向，也叫柱面方向.很显然，柱面由它的准线和母线方向所确定，它是直母线沿着准线平行移动所形成的轨迹，也可以看作准线沿着柱面方向平行移动所形成的轨迹；对于锥面，它是指过定点且与一条（不过定方向的）定曲线相交的一族直线组成的曲面[]4.从以上的平面，柱面，锥面的定义可以看出它们都可以看成是一条直线经过移动后所形成的轨迹，是完全符合直纹面的定义的.因此，要是我们遇到可以直接判断出所给的二次曲面是平面，柱面，锥面等，我们就可以直接根据直纹面的定义判断出所给二次曲面是直纹面.2.2 根据二次曲面的方程的特点直接判别 在直角坐标系{}321,,,0e e e 内，我们把由三元二次方程022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .所表示的曲面称为二次曲面.这里442434142313221211,,,,,,,,a a a a a a a a a 和33a 是不全为零的实数[]5，根据二次曲面的特点我们可以得到关于二次曲面是直纹面[]6的两个结论.定理1 若方程中0),,(=z y x F 缺少一个变量，则它表示母线平行于与所缺变量同名的坐标轴的柱面．在空间坐标系中，曲面的方程如不含某个坐标表示母线平行于这个坐标轴的柱面.如：(,)=0F x y ， (,)=0G y z ， (,)=0H z x .分别表示母线平行于OZ 轴，OX 轴，OY 轴的柱面.因此是直纹面.定理2 在取定的空间坐标系下，x ，y ，z 的n 次齐次方程的图象是顶点在原点的锥面.证明 设(,,)=0F x y z .是一个n 次齐次方程，则由齐次方程的定义有：(,,)=t (,,)=0n F tx ty tz F x y z . 将t=0代入上式得(0,0,0)=0F 说明原点在在方程的图象上设非原点1111(,,)P x y z 满足111(,,)=0F x y z 则直线1OP 的方程为：1=x x t ，1=y y t ，1=z z t . 代入 (,,)=0F x y z .得： 111111(,,)=t (,,)=0n F tx ty tz F x y z . 说明直线1OP 上的每一点均落在方程(,,)=0F x y z 的图象上，从而方程(,,)=0F x y z .的图象是由经过原点的一族直线组成的.即它是以原点为顶点的锥面.推论 1 若方程是关于-a x ，-b y ，-c z 的齐次方程则此方程所表示的曲面是以（a ，b ，c ）为顶点的锥面，因而是直纹面.例1 判定下列曲面[]7是直纹面．(1)2x +xy-2y +x+1=0. (2) 2x +xy+2y -yz-y=0. 解 （1）因为（1）中缺少变量z ，因而我们可以由定理1知道：它表示一个平行 z 轴的柱面，而柱面可以看成是由直线移动所形成的曲面，也就是由直纹面的定义就可以看出（1）是直纹面.（2）将上面可以看成x ，y ，z+1的齐二次方程： 0)1(22=+-++z y y xy x .由定理2和推论1可以知道它表示一个以（0，0，-1）为顶点的锥面，所以它是直纹面.2.3 利用二次曲面的标准方程判别其是否是直纹面对于非退化的二次曲面，只有柱面，锥面，单叶双曲面，抛物双曲面是直纹面因此我们对二次曲面是否是直纹面的判定时，我们可以通过二次曲面的化简.首先将一般方程化为标准方程，然后判定它是否是直纹面.下面就空间解析几何二次曲面方程的化简，运用正交变换法和单叶双曲面以及双曲抛物面是否是直纹面等相关知识进行说明.在空间中由三元二次方程：022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .所表示的曲面叫二次曲面.利用坐标变换通过选取适当的坐标系，我们就可以将二次曲面方程写成以下十七种标准方程的形式之一：（1）22x a +22y b +22z c =1（椭球面）; （2）22x a +22y b +22z c=-1（虚椭球面）; （3）22x a +22y b +22z c =0 （虚二次锥面）; （4）22x a +22y b -22z c=1 （单叶双曲面）; （5）22x a +22y b -22z c =-1 （双曲双曲面）; （6）22x a +22y b -22z c=0（二次锥面）; （7）22x a +22y b =2z （椭圆抛物面）; （8）22x a- 22y b =2z （双曲抛物面）; （9）22x a +22y b =1（椭圆柱面）; （10）22x a +22y b=-1（虚椭圆柱面）; （11）22x a +22y b =0（一对共轭平面）; （12）22x a -22y b =1（双曲柱面）; （13）22x a -22y b =0（一对相交平面）; （14）2x =2py （抛物柱面）; （15）22a x =（一对平行平面）; （16）22a x -=（一对共轭虚平面）;（17）2x =0 （一对重合平面）.这就说明：二次曲面的各种可能的情况共有以上的十七种标准形式.因此，我们可以说三元二次所可能确定的本质上不同的十七种.曲面中除了虚的轨迹与分解为平面（方程（2），（3），（10），（11），（13），（15），（16），（17））以外，对于下面的六种曲面：单叶双曲面（方程（4）），二次锥面（方程（6）），双曲抛物面（方程（8）），椭圆柱面（方程（9）），双曲柱面（方程（12）），抛物柱面（方程（14））.可以看出，这六种曲面中的每一个曲面都可以由一族直线构成[]8.因此，这些二次曲面都是直纹面.接着我们来讨论下如何运用正交变换法对二次曲面进行化简.设一般二次曲面的方程为：022222244342414132312233222211=+++++++++a z a y a x a xz a yz a xy a z a y a x a .（其中二次系数不全为零，全部系数均为实数ji ij a a = i ，j=1，2，3，4）.方程的左端显然不是二次型，只有二次部分才是.这样直接寻找一个正交变换，既可以消去交叉项又能消去一次项或常数项是比较困难的.只有作旨在消去交叉项的，正交变换后使新方程左端仅含平方项，一次项和常数项，再利用配方，又作一次正交变换来化简二次曲面的方程是可行的，与坐标变换比较起来更简捷得多.其具体的化简方法，我们可以通过如下的一个非中心型二次曲面的例子来说明.例2 化简二次曲面方程并对其是否是直纹面作出判断.06121248444222=+---+-++z y x yz xz xy z y x . (1)解 将（1）中的x ，y ，z 分别换成1x ，2x ，3x 得:06121248444321323121232221=+---+-++x x x x x x x x x x x x . (2)其中二次型为，()323123222132131313214844,,x x x x x x x x x x A x x x x x a i j j i ij --++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑== . (3)由二次曲面的方程可以得到A 的系数矩阵为：A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----424212424 ，其中A 的特征方程为：0424212424=-------=-λλλλI A ， 特征根为： 021==λλ，93=λ.对于 021==λλ，解齐次方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000424212424321x x x .它的系数矩阵的秩为1，故只需解一个方程：022321=+-x x x .容易得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂10114121，.单位化后分别为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1012114118121ρρ，.对于93=λ.解齐次方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000524282425321x x x .它的系数矩阵的秩为2，解得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂2123.单位化后为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21231，显然： :32,1彼此是正交的所以ρρρ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==32211813101843221181321ρρρρ，(4)不难验证：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='90000ρρA ， 通过正交变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132132211813201843221181y y y x x x（5）即 ： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=-=+-=321331232113221181311813221181y y y x y y x y y y x .原二次型（3）变为923y . (6)将（5）代入（6）得到0292992123=+-y y y ，即为022*******=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--y y y .再作变换：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='+='-='3212122222222y z y y y y y x ，即正交变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''3211000222202222y y y z y x . 后得由曲面的规范方程为x z x z '='='-'2,0222标准方程为.则它所表示的是抛物柱面，即为直纹面.其次我们来讨论下单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性.我们知道一个二次曲面是柱面或锥面，它一定是直纹二次曲面.例如，当二次方程 (,,)=0F x y z .的左边只有二次项，没有常数项和一次项.则它是一个锥面（称为二次曲面）即是直纹面.又若(,,)F x y z 中有一个变量没有出现，则它是一个柱面（称为二次曲面），也是直纹面.如果有：0))((),,(22221111=++++++=D z C y B x A D z C y B x A z y x F .记 i ∑ 为平面i i i (+By+Cz+D )0i Ax =（i=1，2）则二次曲面 (,,)=0F x y z 是1∑和2∑ 的并集，它或是两张相交平面（当1∑ 和 2∑相交时）或是两张平行平面（当 1∑ 和 2∑ 平行而不重合时）或是一张平面（当1∑ 和 2∑重合时）.无论何种情况，它都是直纹面.对于单叶双曲面.在二次曲面中的单叶双曲面方程为在二次曲面中的单叶双曲面方程为： 1222222=-+cz b y a x . （1）这里c b a ,,是3个正常数． 定理3 单叶双曲面为直纹面.证明 1222=++Cz By Ax . (1)其中C B A 、、均为非零实数，设曲面（1）上存在的直线的方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tn z z tm y y lt x x 000 ，R t ∈. (2)由（2）式代入（1）可得到1)()()(202020=+++++tn z C tm y B tl x A .即01)(2)(2020200002222=-++++++++Cz By Ax t n Cz m By l Ax t Cn Bm Al .因为对于任意的R t ∈上式均成立，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=++0100202020000222Cz By Ax n Cz m By l Ax Cn Bm Al . (3)由（3）中最后一个等式可以知道000,,z y x 不能同时为0不妨设00≠x .由（3）式中第二个等式可以得到：0)()(2))((2022000220220=++++z C ACx nm z BCy n m y B ABx . 又因为nm 为实数上式有实数解的条件为： 0))((2022020220202022≥++-z C ACx y B ABx z y C B ，经整理可以得到：0)(20202020≥++-Cz By Ax ABCx .由于A ，B ，C 为非零实数，所以有ABC <0.因为A ，B ，C 不能全为负，只能两正一负，所以在椭圆面和双曲面中只有单叶双曲面是直纹面．对于双曲抛物面：z By Ax 222=+. （4）其中A ，B 为非零实数，若其上存在直线，则由式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tn z z tm y y tl x x 000 ， R t ∈.代入（4）式可以得到：02)(2)(020*******=-++-+++z By Ax t n m By l Ax t Bm Al .由于上式对于任意t 都成立，所以有：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+0200020200022z By Ax n m By l Ax Bm Al . （5）由（5）式 中第二个式子可知l ，m 不能同时为0，否则n m l ,,会为0.又由（5）式中的第一个式子可知B A ,必须异号.由上可知，在抛物面中只有双曲抛物面是直纹曲面.2.4 因式分解二次曲面方程判定其直纹性在空间解析几何教材中，在标准方程形式下证明了单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面，并给出了直母线族的方程，那么这种方法可以推广到一般的二次曲面方程中去，从而去判别一个二次曲面是否为直纹面.若是直纹面还可以得到它的直母线方程.定理4 非退化的二次曲0,,=）（z y x F 若能分解成 ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x F z y x F z y x F =. （1）其中),,(1z y x F )4,3,2,1(=i 的次数小于等于1.则0),,(=z y x F 是直纹面，并且它的直母线可以表示为：⎩⎨⎧==),,(),,(),,(,,4231z y x wF z y x uF z y x uF z y x wF ）（ ，（w ，u 不全为零）. （2） 或 ⎩⎨⎧==),,(),,(),,(),,(3241z y x tF z y x vF z y x vF z y x tF ， （t ，v 不全为零）. （3） 其中v t u w ,,,是使上式有意义的参数.推论 2 若（1）（2）表示相同的直线族，则此曲面是柱面或锥面.当直母线族的方向向量与参数无关时，此时的曲面一定是柱面，当通过一定点时，它一定是锥面.例3．判断下列曲面的类型.2)()1(a z y y x =++）（. 222)()2(a a z y z x =-++-）（.解 （1）因为a a z y z x ⋅=++))((是（1）的形式，故是直纹面.又因为43F F ≡故式（ 2 ）与式（3 ）相同.所以可以逐步判断出它是柱面或是锥面.下面我们通过推论中所讲的方向向量确定其是柱面还是锥面.直线族：⎩⎨⎧=+=+aw z y u au z x w )()(. 的方向向量是 },1,1,1{-所以可以判断出它是锥面.（2）因为方程：222)()(a a z y z x =-++-.可以改为：)2)(())((z y a z y z x z x --+=--.故它表示为一个柱面或锥面，而直母线族：⎩⎨⎧--=-+=-)2()()()(z y a w z x u z y u z x w . 的方向向量：⎩⎨⎧w u - u w u w ---，u w u w --- u w ，u w w u -⎭⎬⎫}1,1,1){(22-+=u w . 所以它表示为一个柱面.对于直纹面中的柱面和锥面还可以讨论其特殊性.例4 证明：xy z 22=表示为一个圆锥面.证明 因为方程xy z 22=是关于z y x ,,的齐二次方程，所以它表示一个顶点在原点的锥面.要证明它表示为圆锥面.只须证明它的直母线与固定方向成定角，为此求出它的直母线族方程为:⎩⎨⎧==wyuz ux wz 2. 其中方向向量为：=⎩⎨⎧w 0 u w --，u w -- 02u ，02u w 0 ⎭⎬⎫ }{uw u w ,2,22=. 取三条直母线，方向向量}2,2,1{},0,0,1{和}2,2,1{-.（这里1:1,1:1,0:1:-=u w ） 令.)2(21},,{}2,2,1{,221},,{}2,2,1{,001},,{}0,0,1{222222222222222222z y x z y x z y x z y x zy x z y x ++⋅-++⋅-=++⋅++⋅=++⋅++⋅解得 0:1:1::=z y x . 令}0,1,1{0=v而2244224422u w u w u w +++=.θcos 22== （其中θ为直母线族与定方向0v 所成的角），从而：=∈=θπθθ）、有，（在022cos 45°知道直母线族于定方向0v 是成定角.故其方程表示为一个圆锥面.2.5利用定理对二次曲面的直纹性进行判定设有二次曲面∑23323132221221122),,(z a yz a xz a y a xy a x a x y x F +++++=022443414=+++a z a y a . (1)记yz a z a xz a y a xy a x a z y x 232331322212211222),,(+++++=φ.⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=342313324221221412111),,(),,(),,(a y a x a z y x F a y a x a z y x F a y a x a z y x F .则有如下的二次曲面直纹性判定定理：定理5 给定二次曲面∑（方程为（1））对于∑上任意一点),,(z y x M '''如果方程⎩⎨⎧='''+'''+'''=0),,(),,(),,(0),,(321z y x pF z y x F z y x mFp n m φ. (2) 有非零实数解m:n:p 则∑是直纹面，并且{}p n m ,,为∑在过点M 处的直母线方向.证明 要证明∑是直纹面，只须证明对于∑上任意一点),,(z y x M '''过点M 总有直线落在∑上，为此，过点M 的直线为L ，其方程为：pz z n y y m x x '-='-='-. （3） 于是（1）的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y m t x x 000 ， （t 为参数）. （4）今假设整条直线L 落在∑，故对一切t 的取值（4）应满足（1），将（4）代入（1）整理即得关于t 的恒等式：. 而 M 点在∑上，所以有恒等式：()()()⎡⎤()0,,,,,,,,2),,(3212≡'''+'''+'''+'''+z y x F z y x pF z y x nF z y x mF t t p n m φ.(5)（5）恒成立的的充要条件是方程组（2）成立.因此，若（2）有非零实数解m:n:p ，则总有直线（3）落在∑上，即知∑是直纹面，并且（3）为∑的直母线.例5 判定曲面∑()()()1222=-+-+-ay bx cx az bz cy .是否是直纹面，其中a ，b ，c 为不全为零的常数.解 将∑的方程展开为()()()01222222222222=----+++++bcyz acxz abxy z b a y c a x c b ， z ac y ab x c b z y x F '-'-'+=''∴)(),,(221.z bc y c a x ab z y x F '-'++'-=''')(),,(221，z b a y bc x ac z y x F '++'-'-=''')(),,(223，从而 ),,(),,(),,(321z y x pF z y x nF z y x mF '''+'''+'''=))(())(())((y a x b an bm x c z a an ap z b y c bp cn '-'-+'-'-+'-'-. 又 222)()()(),,(an bm am ap bp cn p n m -+-+-=φ，利用定理5中的(2)得方程组：⎩⎨⎧='-'-+'-'-+'-'-=-+-+-0))(())(())((0)()()(222y a x b an bm x c z a cm ap z b y c bp cn an bm am ap bp cn . 解之得：cn-bp=ap-am=bm-an=0即m:n:p=a:b:c 因此由定理知∑是直纹面，并且由于过∑上任意一点()()()⎡⎤()0,,,,,,,,2),,(3212≡'''+'''+'''+'''+z y x F z y x pF z y x nF z y x mF t t p n m φ),,(z y x M '''处的直母线方向为常向量{}c b a ,,，还可以进一步知道∑是柱面.结束语本文在空间解析几何中的二次曲面的相关知识基础上，就直纹面的定义，常见的直纹面，利用二次曲面方程的特点，二次曲面方程的化简，将二次曲面方程利用因式分解以及利用定理等手段来对二次曲面的直纹性做出了判别.对于相应的判别方法都加以举出实例进行说明.致谢在我毕业论文开题、调查、研究和撰写过程中，张三华副教授给予了我耐心，细致和全面的帮助.在此我特向张老师表示感谢！参考文献[1]蒋大为 .空间解析几何及其应用 [M] . 科学出版社 . 2004.7.[2]梅向明 ，黄敬之.微分几何 [M] . 高等教育出版社. 2003.12..[3]黄宣国 .空间解析几何 [M] .复旦大学出版社 . 2004.8.[4]龙承生.解析几何 [M] .北京大学出版社. 2004.1.[5]李养成. 空间解析几何[M].科学出版社 .2007.8.[6]谭水木.二次曲面直纹性的判定[J]. 许昌师专学报. 1996--6 .[7]陈绍菱.空间解析几何习题试析[M].北京师范大学出版社. 2004.11.[8]黄艳红.二次曲面的讨论[J].刑台职业技术学院学报 . 2004.2.[9]方荣凡. 二次曲面方程的化简[J]. 菏泽师专学报 .1995年第4期.目录摘要 (1)1.引言 (1)2．判别曲面是直纹面的几种方法 (2)2.1根据直纹面的定义进行直接的判别 (2)2.2根据二次曲面的方程的特点直接判别 (2)2.3利用二次曲面的标准方程判别其是否是直纹面 (3)2.4因式分解二次曲面方程判定其直纹性 (9)2.5利用定理对二次曲面的直纹性进行判定 (12)结束语 (14)参考文献 (14)致谢 (14)。

4.7单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性教学目标：通过本节的学习，使学生认识二次曲面中的一些直纹面，会写直纹面的直母线方程，会识别直纹面。

教学重点：直纹二次曲面的直母线的参数方程，直纹面直母线的性质。

教学难点：直纹面直母线的性质证明，求已知条件的直母线方程教学内容由一族直线构成的曲面称为直纹面，直线族中的每一条直线都称为直母线.显然，在二次曲面中，二次柱面和二次锥面都是直纹面.本节将证明单叶双曲面和双曲抛物面也都是直纹面，而且它们与二次柱面和二次锥面不同，通过曲面上的每一点都有两条直母线.一、单叶双曲面的直纹性设给定单叶双曲面S，其方程为.则它有两族直母线（称为λ族直母线和μ族直母线），它们的方程分别为λ族：（其中λ1和λ2为不全为零的任意实数）μ族：（其中μ1和μ2为不全为零的任意实数.）单叶双曲面的直母线具有以下性质：(1)经过单叶双曲面上任意点，两族直母线中各有一条直母线通过此点；(2)单叶双曲面上同族的两条直母线不共面；(3)单叶双曲面上不同族的两条直母线共面(相交或平行).二、双曲抛物面的直纹性设双曲抛物面S 的方程为，则双曲抛物面S 有两族直母线，分别称为λ族直母线与μ族直母线.它们的方程分别为：λ族：μ族：其中λ，μ为任意实数.对于双曲抛物面S 上任意一点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.双曲抛物面的直母线具有以下性质：(1)经过双曲抛物面上任意点，两族直母线中各有一条直母线通过此点；(2)双曲抛物面上同族的两条直母线不共面；(3)双曲抛物面上不同族的两条直母线共面(相交)；(4)双曲抛物面上同族的直母线平行于同一平面。

二次曲面的形状二次曲面是一个重要的数学概念，在几何学以及数学分析中都有广泛的应用。

本文将介绍二次曲面的形状，并探讨其一些重要特性。

二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是常数，且不全为零。

通过这个方程，我们可以推断二次曲面的形状种类。

根据方程的系数，我们可以将二次曲面分为多种情况：1. 椭圆面：当A、B和C的符号都相同时，且AB和AC的比值小于1时，二次曲面呈现为一个椭圆形状。

2. 双曲面：当A、B和C的符号都相同时，且AB和AC的比值大于1时，二次曲面呈现为一个双曲线形状。

3. 抛物面：当A、B和C的符号有一个不同，且D、E和F等于零时，二次曲面呈现为一个抛物线形状。

4. 锥面：当A、B和C有一个为零时，且D、E和F等于零时，二次曲面呈现为一个尖锥形状。

除了以上情况，二次曲面还可能呈现其他特殊形态，如点、线和平面。

除了形状种类外，二次曲面还有一些重要的特性需要了解：1. 对称性：二次曲面通常具有一些特殊的对称性，如旋转对称性、对称轴等。

2. 曲率：二次曲面在不同点上具有不同的曲率，对于椭圆面和双曲面来说，曲率可以有正和负两种情况。

3. 焦点和直纹：对于椭圆面和双曲面来说，焦点和直纹是其重要特性，可以通过二次曲面的方程来确定。

了解二次曲面的形状和特性，对于解决几何问题、优化问题以及建模等领域都非常重要。

掌握了这些基础知识，我们可以更好地理解和运用二次曲面的相关概念。

总结起来，二次曲面的形状多种多样，可以根据方程的系数判断具体形态。

在研究二次曲面时，我们还需了解其特性，如对称性、曲率、焦点和直纹等。

掌握这些知识，对于深入理解数学和几何学都具有重要意义。

二次曲面的直纹性一 定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。

注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。

试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。

二 单叶双曲面的直纹性: 设有单叶双曲面 1222222=−+cz b y a x （1） （1）等价于 （c z a x +）（c z a x −）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y b y 11 （2） 即 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+c z a x ：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b y 1：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−c z a x （3） 对∀ λ≠0，方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−+=+)1(1)()1()(b y cz a x b y c z a x λλ （4） 表示一直线，另外 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=+010by c z a x （5） 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=−010by c z a x （6） 也表示直线。

显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。

再者对∀0M （0x ，0y ，0z ）∈（1） 有 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1b y 1c z a x c z ax 000000 注意1+b y 0与1-by 0不全为0 1°若1+b y 0≠0当时0c z a x 00≠+，令λ=0by 1c z a x 000≠++ 则 0M ∈（4） 当0c z a x 00=+时，则1-by 0 =0，则0M ∈（5） 2°若1+b y 0=0，则1-by 0≠0 当0c z a x 00≠− 取λ=cz a x b y 1000−−≠0 则0M ∈（4） 当0cz a x 00=−时，有0M ∈（6） ∴有：单叶双曲面是由直线族（4）-（6）构成的 ∴单叶双曲面是直纹面。

同理，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−−=+1(1)1(b y c z a x b y c z a x µµ μ≠0 （4′） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+010by c z a x （5′） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−010by c z a x （6′） 组成的直线族也可构成单叶双曲面（1），为方便记忆，将（4）—（6）和（4′）-（6′）写成如下统一形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−′+′=+)1()(1()(b y u cz a x u b y u c z a x u u,u′不全为0 （7）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−′−′=+)1()()1()(b y v cz a x v b y v c z a x v v，v′不全为0 （7′）分别称（7）（7′）为单叶双曲面（1）的u 族，v 族直母线。

§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线在前面我们已经注意到，柱面和锥面上都有一族直母线，单叶双曲面与双曲抛物面上也有直线存在。

一个连续族的直线产生的曲面称为直纹面，这个族的直线称为直纹面的直母线。

椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。

柱面、锥面、一条空间曲线的切线形成的曲面，主法线形成的曲面等都是直纹面，而且这些直纹面都是由一族直线构成的。

我们指出，单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面，而且是仅有的两种有两族直线的直纹面。

1．单叶双曲面的直纹性 设有单叶双曲面1222222=-+c z b y a x (1)将其改写为2222221by c z a x -=-并分解因式，就有(c z a x +) (c za x -) =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y b y 11 (2)引进不等于零的参数u ，并考察由（2）得到的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b y u c z a x b y u c z a x 111 (3)与两方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+010b yc z a x (4)⎪⎩⎪⎨⎧=+=-010byc z a x (4') 方程组（4）和（4'）实际上是（3）中u →0∞和u →∞时的两种极限情形。

无论u 取何值，（3）、（4）和（4'）都表示直线。

我们把（3）、（4）和（4'）合起来的一族直线叫做u 族直线。

现证明此u 族直线可以构成单叶双曲面（1），从而它是（1）的一族直母线。

首先，u 族直线中的每一直线均在单叶双曲面（1）上。

因为当u ≠0时，（3）的两式相乘就得（1），所以（3）表示的直线上的点都在曲面（1）上。

而满足（4）和（4'）的点显然都满足（2），从而满足（1），因此直线（4）与（4'）上的点都在（1）上。

反过来，设0M (0x ，0y ，0z )是曲面（1）上任一点，则有⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y b y c z a x c z ax 00000011(5)显然1＋by 0与1－b y 0不能同时为零，不失一般性，设1+b y0≠0。

解析几何之直纹面在我们学习解析几何的过程中，其中二次曲面一共17种，在这17种的二次曲面中有一部分曲线有一个共同的特征，那就是他们都是由直线组成的，我们也把这样的曲面称为直纹面。

下面介绍一下直纹面。

定义：一曲面S 称为直纹面，如果存在一族直线使得这一族中的每一条直线全在S 上；并且S 上的每一个点都在这一族的某条直线上。

这样一族直线称为S 的一族直母线。

简单的说：由一族直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线叫直纹面的母线。

种类：在二次曲面中，很显然二次柱面与二次锥面为直纹面，另外通过学习我们知道单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面（下面会证明），其他的二次曲面就不是直纹面了。

证明：○1、单叶双曲面是直纹面证：单叶双曲面方程为：()()22222222222212211211111121,0x y z x z y a b c a c bx z x z y y a c a c b b x z y a c b x z y a c b λλλλλλ+-=⇔-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩………………不全为。

()()()121212112111011010x z x z y y a c a c b b x z y a c b y x z b a c x z y a c b y x z b a c x z a c λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔-⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎛+ ⎝⇔以，为未知量的方程组：有非零解。

存在不全为零的，使得22111y b x z y a c b λλλ⎧⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩成立。

§6 二 次 曲 面一、 球面的切面.直线MG 称为球面在点M 的法线.设球面方程为x y z px qy rz d 2222220++++++=则球面在点M (x y z 000,,)的切面方程为x x y y z z p x x q y y r z z d 0000000+++++++++=()()() 球面在点M (x y z 000,,)的法线方程为x x x p y y y q z z z r-+=-+=-+000000 [两个球面的交角] 设两个球面S x y z p x q y r z d 12221111222++++++=0 S x y z p x q y r z d 22222222222++++++=0两个球面的交角是指它们在交点的两个切面的夹角,记作θ,则cos θ=++--++-++-22221212121212121212222222p p q q rr d d p q r d p q r d 因公式中不包含交点的坐标,所以在两个球面的交线上的各点的交角必相等.两个球面的正交条件为222012121212p p q q r r d d ++--=[球面束·两个球面的根面] 设S S S λλ120+=式中S 1和S 2如(1)式定义,λ为参数,则有)()(2)(2)(2))(1(21212121222=+++++++++++d d z r r y q q x p p z y x λλλλλ对λλ()≠-1的一个确定值,S λ表示一个球面,当λ取一切值()λ≠-1时,S λ所表示的球面的全体称为球面束.λ=-1时为一平面,称为两个球面S S 12,的根面,其方程为()()()222012121212()p p x q q y r r z d d -+-+-+-=根面与S 1和S 2的连心线垂直,束中任一球面λS 的中心在连心线上,且分连心线的比为λ.[球面汇·三个球面的根轴] 设S 1和S 2如(1)式定义,又设S x y z p x q y r z d 322233332220++++++=设 S S S S λμλμ1230++= 式中λμ,为二独立参数,则有()()()()()()12220222123123123123++++++++++++++++=λμλμλμλμλμx y z p p p x q q q y r r r z d d d对λμ,()λμ+≠-1的一对确定值,S λμ表示一个球面,当λμ,取一切值()λμ+≠-1时,S λμ所表示的球面的全体称为球面汇.三个球面中每对球面的根面分别为S S S S 122300-=-=,,和S S 210-=这三个平面交于一条直线,称为S S S 123,,的根轴.二、 椭球面三、双曲面a b c [双叶双曲面]x aybzc222222+-=-a=b时,为旋转双曲面]在Oxz平面上的曲线当a=b时,为旋转抛物面五、锥面与柱面当a=b时, 为圆锥面在Oxz平面上a b当a=b时,为圆柱面渐近锥面] 二次锥面 六、 一般二次曲面1. 二次曲面的一般性质上面所列举的椭球面、双曲面、抛物面等,它们的方程关于x,y,z 都是二次的.关于x,y,z 的一般二次方程的形式是ax by cz fyz gzx hxy px qy rz d 2222222220+++++++++= 它表示的曲面称为一般二次曲面.这里列举这些曲面的一些共同性质.[直线与二次曲面的交点] 一直线与一个二次曲面交于两点(实的,虚的,重合的).或者这直线全在曲面上,此时称它为二次曲面的直母线或母线.[平面与二次曲面的交线] 任一平面与一个二次曲面的交线为一个二次曲线.[二次曲面的直径平面与中心] 一个二次曲面的平行于已知方向的弦的中点在一个平面上,称为直径平面,它平分某一组平行弦.设已知方向的方向数为l ,m ,n ,则直径平面的方程为()()()()0=+++++++++++rn qm pl z cn fm gl y fn bm hl x gn hm al或改写为()()()ax hy gz p l hx by fz q m gx fy cz r n +++++++++++=0当l ,m ,n 变动时,这个方程表示一个平面把,由此二次曲面的直径平面组成一个平面把.把内任一平面都通过下列三个平面的交点:ax hy gz p hx by fz q gx fy cz r +++=+++=+++=000如果交点不在曲面上,则称它为二次曲面的中心,如果交点在曲面上,则称它为二次曲面的顶点.凡有中心的二次曲面称为有心二次曲面,其余的都称为无心二次曲面.[二次曲面的主平面与主轴] 如果直径平面垂直于被它所平分的弦,则称为主平面(对称平面),每个二次曲面至少有一个实主平面,非旋转二次曲面的任两主平面是互相垂直的,它们的交线为主轴.[二次曲面的切面与法线] 二次曲面在一点M (x y z 000,,)的切面方程为()()()()()()ax x by y cz z f y z z y g z x x z h x y y x p x x q y y r z z d 0000000000000+++++++++++++++=在点M 与二次曲面的切面垂直的直线称为曲面在点M 的法线,它的方程可写为x x ax hy gz p y y hx by fz q z z gx fy cz r-+++=-+++=-+++000000000000 [二次曲面的圆截面] 如果一个平面与一个二次曲面的交线为一个圆,则称该平面为曲面的圆截面.如果二次曲面不是球面,则通过空间中一点,二次曲面有六个圆截面;其中一般有两个实圆截面,四个虚圆截面;而且六个圆截面中有几个是重合的.2.二次曲面的不变量 由二次曲面的一般方程ax by cz fyz gzx hxy px qy rz d 2222222220+++++++++= (1)的系数组成的下列四个函数:222,,h g f ca bc ab J c b a I cf g f b h gh a D dr q p rc f g q f b h pg h a ---++=++===∆ 称为二次曲面的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式∆称为二次方程(1)的判别式.。