空解精要（升华部分）序这个部分是空解的精华部分，与高代数分都有联系，关键在于你能否发现其中的玄机。
我相信，当你看完以下的知识点时，一切都会水落石出。
这部分的重点有：柱而，锥而，旋转曲面，二次曲而及其一般线性理论，还有参数方程。
*注意：这部分的知识点如果不涉及度量问题，那么在仿射坐标系下也成立。
一.最完美二次曲面一球而1.定义：在三维线性空间中，我们把到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面，这个定点叫球心。
球心到球而的任何点的距离叫做半径。
2.球而的方程：以点（心）b，z°）为球心，R为半径的球面标准方程为（x-x0^ +（y-y0^ +（Z_Z0）2=R2这是一个二次曲面，它的一般形式为x2+ y2 +z2 +Ax + By + Cz + D = O命题1:用一个平面去截取球面，得到的截面是一个圆。
命题2：如果一个平面与球面相切，那么切点与球心的连线垂直于该平面。
3.切而的求法：根据数学分析里面的求偏导数来做，无需刻意记住二次曲而一般理论中的公式。
二.柱面的锥面（一）•柱面1.定义：由平行于某一定方向且与一条空间定曲线相交的一族平行直线所组成的曲而叫做柱面，定曲线叫做准线，平行直线中的每条都叫（直）母线，定方向是直母线的方向，也叫柱面方向。
2.柱而方程的构造从定义中可以看出，柱面的存在由准线和母线族决定，如果确定了准线的方程和母线的方向，那么就可以得出柱面的方程。
如果已知准线方程为F（x,y,z） = 0G（x,y,z） = °母线方向为（l,m, n）于是，假设一点A3」山）在柱面上，这里假设的R是准线与母线的交点，而母线的位置具有任意性，于是将准线和母线联立就可以取遍所有的母线，也就是柱面的方程兀一为_z—勺/ m n FCW“Zi）= O &（心”心）=0 从中消去心牙心，得到的就是柱面方程。
特别地，准线是圆，椭圆，双曲线，抛物线的柱而分别叫做圆柱而，椭圆柱而，双曲柱而，抛物柱而。
例题1:设柱面准线方程为f + ）广=z<2x-z = 0母线方向为为（-2,1,0）,求柱而方程。
解：设斥（心儿和为准线与母线的交点，于是，”2 +昇=勺................... （*）2西-勺=0过A的母线为-2 0 1令这个等式的值为t,得母线的参数方程x = x{-2t,y=y l,z = Z l+t得X]=兀+ 2人必=”石=乙一『，代入（*）,得(x + 2/)‘ +)，= z_/2x-z + 5r = 0消去t,得柱面方程为+25 y2 +4z2 +4xz-10x-20z = 0这是解决柱面方程题目的常规方法。
如果准线是圆，那么柱面就是圆柱面，这个可以用后而的旋转曲面来解决。
（二）锥面1.定义：过定点且与一条（不过定点的）定曲线相交的一族直线组成的曲而叫做锥面，定点叫做顶点，定曲而叫做锥而的准线，这族共点直线中的每条直线都叫母线。
X ■2.锥而方程的构造同理于柱面，锥面由准线和定点确定，由母线族生成。
于是只要能够遍取所有的母线就行，所以，设P\x M）是准线与母线的交点，顶点疏心儿,心）也在过A 的母线上，于是由直 线的两点式方程可以确定该母线方程为再把烈召」心）代入准线方程，得F （x p y p z,） = 0 < G&j,zJ = O .............................................联立①®,消去召j,召得到的就是锥面方程。
3. 圆锥面定义：准线是圆，母线与轴的夹角为定角的锥而叫做圆锥 面。
（估计谁都知道，不必多说了！）命题1：如果方程可以变为x 2 + /-tan 2a.?=O 的形式，则锥 面是圆锥面，。
是母线与轴的夹角。
其中x, y,z 的 位置可以任意换。
很明显这是特殊的情形，对于一般的锥面，有以下判定定理 命题2: 一个关T x-x^y-y^z-z^的齐次方程表示以点（无，儿,z （））为顶点的锥面。
由此可以看出，平面就是一种特殊的锥面！例题2：己知锥面顶点为（3,-2）,准线为x 2 + y 2-z 2 = \,x-y + z = O ,求该锥面方程。
―心_『一儿_ Z-Zo 州一忑力一凡勺一％ ........................ ①解：设斥（舛亠zj是准线上一点，连接A与顶点（3厂1厂2）的母线为x-3 _ y_3 _ z_3州一3 >')—3 Z] — 3将这个等式的值记为〉得兀]=3 + 心_3)y} =一1 + 心 + 1), .......................... ①石=—2 + f(z + 2)代入心X忆到准线方程中，满足............................ ②.齐_开+召=°联立①©,消去t,得3(x — 3)~ — 5(y +1)~ +7(z + 2)~ — 6(x—3)( y +1) + 10(x_3)(z_2)_2(y+ l)(z + 2) = 0即为所求锥面方程。
三.旋转曲面（一）一般旋转曲面的构造1.定义：一条曲线绕一条直线旋转一周所产生的曲面叫做旋转曲面，曲线叫做旋转曲面的母线，直线叫做轴。
由于，母线上任意一点绕轴旋转都是一个圆，这个圆也叫纬圆或纬线。
其中与纬圆相对垂直的母线也叫经线。
命题：经线可以作为母线，但母线不一定为经线。
假设母线（或经线）方程为,母线上有一点2.旋转曲面方程的构造A（心儿zj轴1经过仇（心y%），方向向量0=（Z,加加,假设还有一点P（x, y,z）与A在同一纬圆上。
于是有（X—x0）2 + （y-y0）2+（Z~Z Q）~=（x K— x0）2 + （＞'| -y0）~ + （石一z°）~/（X-X|）+ 〃心一”）+ 〃（乙一©） = oF（W 召）=°Gy JM J=O从中消去心，得到的就是旋转曲面的方程。
例题3：求直线= J = |绕直线x于z旋转所得的旋转1 2 2曲面方程。
解：在母线^L = 2=|上任取一点恥“必)，在轴上取(0, 0,0),所以过片的纬圆方程为[•(X—坷)+ 1 •(〉，一”)+l・(z — zj = o< 。
丁 2 *> 2 。
x-+y-+z~=x~ + y[ + z；将片代入经线方程，得鱼二1 2 2经纬己经确定，于是从上面等式中消去召石，得A2 + y2 +z2 = — (x4-y + z4-4)2 + —(x + y + z-l)2' 25 25即为所求。
(二)绕坐标轴旋转1.旋转定律一般地，坐标平而上的曲线绕此平而上的一条坐标轴旋转，其旋转曲面方程按下列方式写出：对于曲线在坐标面上的方程，保留与旋转轴同名的坐标，而其他两个坐标平方和的平方根代替方程中的另一坐标。
2.椭球而y2 z2设椭圆方程为r：kr + ^ = 1,绕y轴旋转，贝IJx = O不要管x,保留y,将z换成何了，则得到的椭球面方程为匚+心三=1b~ a~请根据规律，写出绕Z轴旋转的结果:3.双曲面J ■y z t将双曲线r：hrv = 1绕z轴旋转所得的旋转曲面为x = 0■这里出现一个负号，所以是单叶双曲面。
b"L当绕y轴旋转时，得到的是三+可c~ b~ c~这里有两个负号，判定为双叶双曲面。
4.抛物面抛物面有两种形式，一是椭圆抛物而，而是双曲抛物而。
椭圆抛物面的标准形式为｛ +可 Gcr b~其中，x, y,z的位置不定。
这个等式左边是椭圆方程的一部分，右边是抛物线方程的一部分，所以叫椭圆抛物而。
它的构造在于先将抛物线旋转得到旋转抛物面，然后做伸缩变换，把纬圆变成椭圆。
如图，在椭圆抛物面中，沿Z轴方向看是抛物线，于是关于Z是一次项；俯视xOy平面可看到的是椭圆, 所以方程中关于x和y的项是二次项。
通过这个规律可以判定图像的大致形态。
性质：当平面沿纬线方向切割椭圆抛物面时，截线是一个椭圆，与椭圆抛物面斜交时，可能岀现圆。
无论是圆还是椭圆，中心总在对称轴上，也在对称平面上。
双曲抛物面的标准形式为4-^ = 2z,这个图像由于a- b~像马鞍一样，所以又叫马鞍面。
其中，原点是鞍点，它的图形在坐标系的分布与椭圆抛物而完全类似。
（三）二次直纹曲面1.定义：所谓直纹曲面，就是指能够由直线生成的曲面。
2.常见的二次直纹曲面：单叶双曲而，双曲抛物面。
3.析因式法所谓的析因式法，就是把曲面的方程通过因式分解，从而求出生成直线族。
很明显，单叶双曲面和双曲抛物而都有两族直母线。
4.单叶双曲面两族直母线的性质⑴对于单叶双曲而上的每一点，两族直母线中各有唯一的一条直母线通过该点；⑵异族的任意两条直母线共而；⑶同族的任意两条直母线是异而直线；⑷两族直母线无公共直线.5.双曲抛物而两族直母线的性质⑴对于双曲抛物而的任意点，两族直母线中各有一条直母线经过这一点；⑵任意两条异族直母线都相交；⑶两族直母线中无公共直线；⑷同族任意两条直母线异面；⑸同族中所有直母线必平行于同一平而；例题4：求单叶双曲面上过P (2,1,3)的两条直母线。
解：(析因式法)根据平法差公式分解因式得到两族直母线分别为 人 =«(i+y) 〉*和, (X z\ "1 T + T =〃2(1_刃 I / 3丿 Xf~fj =/A(i+刃把点p 的坐标代入， 得人:人=1,“=0,于是过P 点的两族直母线的方程分 别为1 ・ y = 0x 'z n ，化简后即为所求。
---- =U 2 3附：对于双曲抛物而的析因式，采用如下分法:若方程为务一話= 2z,这就是双曲抛物线的两族直母线。
分解为41 9四.二次曲而的一般理论（一）判断曲面类型（回顾二次型与矩阵）对于一般形式的二次曲而F（x、y, z） = + a22y2 + r/33z2 + 2a]2xy^ + 2a[3xz + 2a23yz记中间的矩阵为A,称为二次曲面的矩阵；二次部分的矩阵为记才，称为二次矩阵。
当判断一个一般形式的曲面时，通过非退化线性替换把二次曲而的矩阵变成标准型或者规范形，然后写出方程，这个时候就可以得出曲面到底是什么了。
（二）主方向，特征方程，特征根在这里明确一下，不要去寻找他们的几何意义，因为目前城主也没找出他们的意义。
不过可以确定的是：特征方程就是高代里面的特征多项式，特征根就是特征值，特征根对应的主方向就是指特征值对应的特征向量。
接下来复习下线性变换的特征矩阵!‘3-2 0、例题5:求“二-1 3 -1的特征值（特征根）和特「5 7 —1丿征向量（主方向）。
2-3 2 0解答：令\A E-A\= 1 2-3 1 =05 -7 2 + 1得（A-1X/1-2）2=O所以，特征值为1和2 （二重根）属于1的特征向量是 2 0丫《?1 -2 1 y = 0 的非零解，即（5 -7 2几丿 0a = k （l ，l ，l ） 属于2的特征向量是b = h （2,\-\）主方向为2:1： -1于是，遇到求特征根与主方向的时候，可以完全按照线性变换来求！在这里，特征根有一下性质：1. 二次曲而的三个特征根都是实数；2. 二次曲而的三个特征根不全为0；3. 不同特征根对应的主方向一定互相垂直；4. 对于任意二次曲而，至少存在3个两两垂直的主 方向。
