2015年高考理科数学天津卷-答案

2015年高考理数真题试卷（天津卷）一.选择题：在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的1.（2015·天津）已知全集，集合，集合，则集合( )A. B. C. D.2.（2015·天津）设变量,满足约束条件，则目标函数的最大值为( )A. 3B. 4C. 18D. 403.（2015·天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A. -10B. 6C. 14D. 184.（2015·天津）设，则“ ”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. (2015·天津)如图，在圆中，，是弦的三等分点，弦,分别经过点,.若，则线段的长为( )A. B. 3 C. D.6. （2015·天津）已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.7. （2015·天津）已知定义在上的函数(为实数）为偶函数，记,则的大小关系为（）A. B. C. D.8. （2015·天津）已知函数函数,其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. （2015天津）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为________ 。

10. （2015天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为________11. （2015天津）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为________ 。

12. （2015天津）在的展开式中，的系数为________ 。

13. （2015天津）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为,则的值为________ 。

14. （2015天津）在等腰梯形中，已知,动点和分别在线段和上，且则的最小值为________ 。

2015年天津理一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8，集合A=2,3,5,6，集合B=1,3,4,6,7，则集合A∩∁U B= A. 2,5B. 3,6C. 2,5,6D. 2,3,5,6,82. 设变量x，y满足约束条件x+2≥0,x−y+3≥0,2x+y−3≤0,则目标函数z=x+6y的最大值为 A. 3B. 4C. 18D. 403. 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 A. −10B. 6C. 14D. 184. 设x∈R，则“ x−2<1”是“ x2+x−2>0”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为 A. 83B. 3 C. 103D. 526. 已知双曲线x2a −y2b=1a>0,b>0的一条渐近线过点2,3，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上，则双曲线的方程为 A. x221−y228=1 B. x228−y221=1 C. x23−y24=1 D. x24−y23=17. 已知定义在R上的函数f x=2 x−m −1（m为实数）为偶函数，记a=f log0.53，b=f log25，c=f2m，则a，b，c的大小关系为 A. a<b<cB. c<a<bC. a<c<bD. c<b<a8. 已知函数f x=2− x ,x≤2,x−22,x>2,函数g x=b−f2−x，其中b∈R．若函数y=f x−g x恰有4个零点，则b的取值范围是 A. 74,+∞ B. −∞,74C. 0,74D. 74,2二、填空题（共6小题；共30分）9. i是虚数单位，若复数1−2i a+i是纯虚数，则实数a的值为．10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11. 曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为．12. 在 x−14x 6的展开式中，x2的系数为．13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为315，b−c=2，cos A=−14，则a的值为．14. 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60∘．动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=λBC，DF=19λDC，则AE⋅AF的最小值为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=sin2x−sin2 x−π6，x∈R．（1）求f x的最小正周期；（2）求f x在区间 −π3,π4上的最大值和最小值．16. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量x的分布列和数学期望．17. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（1）求证：MN∥平面ABCD；（2）求二面角D1−AC−B1的正弦值；（3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段A1E的长．18. 已知数列a n满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N∗，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列．（1）求q的值和a n的通项公式；（2）设b n=log2a2na2n−1，n∈N∗，求数列b n的前n项和．19. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F−c,0，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=b24截得的线段的长为c， FM =433．（1）求直线FM的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于OP（O为原点）的斜率的取值范围．20. 已知函数f x=nx−x n，x∈R，其中n∈N∗，且n≥2．（1）讨论f x的单调性；（2）设曲线y=f x与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g x，求证：对于任意的正实数x，都有f x≤g x；（3）若关于x的方程f x=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：x2−x1<a1−n+2．答案第一部分1. A2. C 【解析】画出可行域，当目标函数的图象经过点A0,3时，z取得最大值18．3. B4. A 【解析】提示：实际上是判断“ 1<x<3 "与" x>1或x<−2 "的关系．5. A【解析】提示：CM⋅MD=AM⋅MB=BN⋅NA=CN⋅NE．，c=7，c2=a2+b2，联立可求．6. D 【解析】提示：3=2ba7. B 【解析】由f x为偶函数得m=0，f x=2 x −1在0,+∞上单调递增．log0.53=log23∈1,2，log25>2，2m=0，而f x=f x，所以c<a<b．8. D 【解析】函数y=f x−g x有4个零点，即方程f x+f2−x=b有四个不同的实根，函数y=f x和函数y=f2−x的图象关于直线x=1对称，画出它们的图象如图所示，其中红色线表示的是y=f2−x的图象，分析知，当0≤x≤2时，f x+f2−x=2，当x>2时，f x+f2−x=x−22+2− 2−x =x2−5x+8，再由对称性，可以画出函数y=f x+f2−x在R上的图象，如图所示，,2时，f x+f2−x=b有四个不同的实根．结合图象分析，显然当b∈74第二部分 9. −2 10. 83π【解析】由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成．其中，圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1 m ，圆锥的高均为1 m ，圆柱的高为2 m ．因此该几何体的体积为V =2×13π×12×1+π×12×2=83π m 3．11. 16【解析】面积为∫ x −x 2 10d x 12. 1516【解析】T r +1=C 6r x6−r −14x r= −14 rC 6r x 6−2r，令6−2r =2，r =2，代回系数可求得x 2的系数为1516．13. 8【解析】由cos A =−14可得sin A =154，S =12bc sin A =3 15，所以bc =24，再结合b −c =2，可得b 2+c 2=52，于是a 2=b 2+c 2−2bc cos A =64，所以a =8． 14. 2918 【解析】AE⋅AF = AB+λBC ⋅ AB +BC +1−9λ18λAB =9λ+118λAB ⋅AB + 9λ2+λ18λ+1 AB ⋅BC +λBC ⋅BC =λ+2+17≥29. 当且仅当λ2=29λ，即λ=23时等号成立（−23舍去）．第三部分15. （1）由已知，有f x =1−cos2x −1−cos 2x −π3=12 12cos2x + 32sin2x −12cos2x =3sin2x −1cos2x =1sin 2x −π .所以f x 的最小正周期T =2π2=π．（2）由x ∈ −π3,π4 得2x −π6∈ −5π6,π3 ，当2x −π6=π3，即x =π4时，函数取得最大值12sin π3=34； 当2x −π6=−π2，即x =−π6时，函数取得最小值12sin −π2 =−12． 所以f x 在区间 −π3,π4 上的最大值为 34，最小值为−12．16. （1）由已知，有P A =C 22C 32+C 32C 32C 84=635．所以，事件A 发生的概率为635．（2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4． P X =k =C 5k C 34−kC 84 k =1,2,3,4 ．所以，随机变量X 的分布列为X 1234P1331 随机变量X 的数学期望E X =1×114+2×37+3×37+4×114=52．17. （1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A 0,0,0 ，B 0,1,0 ，C 2,0,0 ，D 1,−2,0 ，A 1 0,0,2 ，B 1 0,1,2 ，C 1 2,0,2 ，D 1 1,−2,2 ．又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，所以M 1,12,1 ，N 1,−2,1 ．依题意，可得n = 0,0,1 为平面ABCD 的一个法向量，MN = 0,−52,0 ，由此可得MN ⋅n =0． 又因为直线MN ⊄平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD ．（2）AD 1 = 1,−2,2 ，AC = 2,0,0 ．设n 1 = x 1,y 1,z 1 为平面ACD 1的一个法向量，则 n 1 ⋅AD 1 =0,n 1⋅AC =0, 即 x 1−2y 1+2z 1=0,2x 1=0. 不妨设z 1=1，可得n 1 = 0,1,1 ．设n 2 = x 2,y 2,z 2 为平面ACB 1的一个法向量，则n 2 ⋅AB 1 =0,n 2 ⋅AC =0.又AB1=0,1,2，所以y2+2z2=0, 2x2=0,不妨设z2=1，可得n2=0,−2,1．因此有cos n1,n2=n1 ⋅n2n1n2=−1010，于是sin n1,n2=31010，所以二面角D1−AC−B1的正弦值为31010．（3）依题意，可设A1E=λA1B1，其中λ∈0,1，则E0,λ,2，从而NE=−1,λ+2,1．又n=0,0,1为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos NE,n=NE⋅nNE n=1−12+λ+22+12=1,整理得λ2+4λ−3=0，解得λ=−2±7．又因为λ∈0,1，所以λ=7−2．所以线段A1E的长为7−2．18. （1）由已知，有a3+a4−a2+a3=a4+a5−a3+a4，即a4−a2=a5−a3，所以a2q−1=a3q−1．又因为q≠1，所以a3=a2=2．由a3=a1⋅q，得q=2．当n=2k−1k∈N∗时，a n=a2k−1=2k−1=2n−12；当n=2k k∈N∗时，a n=a2k=2k=2n；所以，a n的通项公式a n=2n−1,n为奇数, 2n2,n为偶数.（2）由（1）得b n=log2a2na2n−1=n2,n∈N∗．设b n的前n项和为S n，则S n=1×120+2×121+3×122+⋯+n−1×12n−2+n×12n−1,上述两式相减，得12S n=1+12+12+⋯+12−n2=1−12n1−12−n2=2−22−n2,整理，得S n=4−n+22n−1,n∈N∗.所以，数列b n的前n项和为4−n+22,n∈N∗．19. （1）由已知，有c2a2=13，又由a2=b2+c2，可得a2=3c2，b2=2c2．设直线FM的斜率为k k>0，则直线FM的方程为y=k x+c．由已知，有k2+12+c22=b22，解得k=33．（2）由（1）得椭圆方程为x23c +y22c=1，直线FM的方程为y=33x+c，两个方程联立，消去y，整理得3x2+2cx−5c2=0，解得x=−53c或x=c．因为点M在第一象限，所以点M的坐标为 c,233c ．由 FM =c+c2+233c−02=433，解得c=1，所以椭圆的方程为x 23+y22=1．（3）设点P的坐标为x,y，直线FP的斜率为t，即t=yx+1，则直线FP的方程为y=t x+1x≠−1，与椭圆方程联立y=t x+1,x23+y22=1,消去y，整理得2x2+3t2x+12=6．又由已知，得t=6−2x23x+1>2，解得−32<x<−1，或−1<x<0．设直线OP的斜率为m，得m=yx ，即y=mx x≠0，与椭圆方程联立，整理可得m2=2x2−23．①当x∈ −32,−1时，有y=t x+1<0，因此m>0，于是m=2x −23，得m∈23,233．②当x∈−1,0时，有y=t x+1>0，因此m<0，于是m=− 2x −23，得m∈ −∞,−233．综上，直线OP的斜率的取值范围是 −∞,−233∪23,233．20. （1）由f x=nx−x n，可得fʹx=n−nx n−1=n1−x n−1，其中n∈N∗，且n≥2．下面分两种情况讨论：①当n为奇数时，令fʹx=0，解得x=1或x=−1．当x变化时，fʹx，f x的变化情况如下表：x−∞,−1−1,11,+∞fʹx−+−f x↘↗↘所以，f x在−∞,−1，1,+∞上单调递减，在−1,1内单调递增．②当n为偶数时，当fʹx>0，即x<1时，函数f x单调递增；当fʹx<0，即x>1时，函数f x单调递减．所以，f x在−∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减．（2）设点P的坐标为x0,0，则x0=n1n−1，fʹx0=n−n2．曲线y=f x在点P处的切线方程为y=fʹx0x−x0，即g x=fʹx0x−x0．令F x=f x−g x，即F x=f x−fʹx0x−x0，则Fʹx=fʹx−fʹx0．由于fʹx=−nx n−1+n在0,+∞上单调递减，故Fʹx在0,+∞上单调递减．又因为Fʹx0=0，所以当x∈0,x0时，Fʹx>0，当x∈x0,+∞时，Fʹx<0，所以F x在0,x0上单调递增，在x0,+∞上单调递减，所以对于任意的正实数x，都有F x≤F x0=0，即对于任意的正实数x，都有f x≤g x．（3）不妨设x1≤x2．由（2）知g x=n−n2x−x0．+x0，设方程g x=a的根为x2ʹ，可得x2ʹ=an−n当n≥2时，g x在−∞,+∞上单调递减，又由（2）知g x2≥f x2=a=g x2ʹ，可得x2≤x2ʹ．类似地，设曲线y=f x在原点处的切线方程为y= x，可得 x=nx．当x∈0,+∞时，f x− x=−x n<0，即对于任意的x∈0,+∞，f x< x，．设方程 x=a的根为x1ʹ，可得x1ʹ=an因为 x=nx在−∞,+∞上单调递增，且 x1ʹ=a=f x1< x1，因此x1ʹ<x1．+x0．由此可得x2−x1<x2ʹ−x1ʹ=a1−n1=1+n−1=n，故2≥n1n−1=x0．因为n≥2，所以2n−1=1+1n−1≥1+C n−1+2．则当x1≤x2时，x2−x1=x2−x1<a1−n同理可证当x1>x2时，结论也成立．+2．综上，x2−x1<a1−n。

2015年天津市高考数学试卷（理科）及解析2015年天津市高考数学试卷(理科)一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) UA({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8}2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A( B( C( D( 3 4 18 403((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A(, 10 B( C( D( 6 14 1824((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( ) 第1页(共21页)A( B( C( D( 36((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)，2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( ) A( B(,=1 ,=1C( D(,=1 ,=1,|xm|((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，7记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)，?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) 其中bA( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2)二.填空题(每小题5分，共30分)9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a 的值为 (10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为 3m(第2页(共21页)211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 (6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 (13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 (14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 (三.解答题(本大题共6小题，共80分)2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期;(?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值(16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率;(?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD(?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11第3页(共21页)(?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长(*18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n*(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心22，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x率为+y=截得的线段的长为c，|FM|=((?)求直线FM的斜率;(?)求椭圆的方程;(?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围(n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性;(?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x);(?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221第4页(共21页)2015年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) UA({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8}考点:交、并、补集的混合运算(专题:集合(分析:由全集 U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可; 解答:解: ?全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，??B={2，5，8}， U则A??B={2，5}( U故选:A(点评:此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键(2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A( B( C( D( 3 4 18 40考点:简单线性规划(专题:不等式的解法及应用(分析:作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z的最大值(解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)(由z=x+6y得y=,x+z，平移直线y=,x+z，由图象可知当直线y=,x+z经过点A时，直线y=,x+z的截距最大，此时z最大(由，解得，即A(0，3)将A(0，3)的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18(即z=x+6y的最大值为18(第5页(共21页)故选:C(点评:本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法(3((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A(, 10 B( C( D( 6 14 18考点:程序框图(专题:图表型;算法和程序框图(分析:模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S的值，当i=8时满足条件i,5，退出循环，输出S的值为6(解答:解:模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i,5，i=4，S=14不满足条件i,5，i=8，S=6满足条件i,5，退出循环，输出S的值为6(故选:B(点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S 的值是解题的第6页(共21页)关键，属于基础题(24((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件 C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断(专题:简易逻辑(分析:根据不等式的性质，结婚充分条件和必要条件的定义进行判断即可( 解答:解:由“|x,2|,1”得1,x,3，2由x+x,2,0得x,1或x,,2，2即“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的充分不必要条件，故选:A(点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础(5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( )A( B( C( D( 3考点:与圆有关的比例线段(专题:选作题;推理和证明(分析:由相交弦定理求出 AM，再利用相交弦定理求NE即可( 解答:解:由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，?2×4=AM•2AM，?AM=2，?MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，?3×NE=4×2，?NE=(故选:A(点评: 本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础(6((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)，2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( )第7页(共21页)A( B(,=1 ,=1C( D(,=1 ,=1考点:双曲线的标准方程(专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程(解答: 解:由题意，=，22?抛物线y=4x的准线方程为x=,，双曲线的一个焦点在抛物线y=4x的准线上，?c=，222?a+b=c=7，?a=2，b=，?双曲线的方程为(故选:D(点评:本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题(,|xm|7((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a考点:函数单调性的性质(专题:函数的性质及应用(|x|分析: 根据f(x)为偶函数便可求出m=0，从而f(x)=2,1，这样便知道f(x)在[0，+?)上单调递增，根据(fx)为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+?)上:a=f(|log3|)，0.5b=f(log5)，c=f(0)，然后再比较自变量的值，根据f(x)在[0，+?)上的单调性2即可比较出a，b，c的大小(解答:解: ?f(x)为偶函数;?f(,x)=f(x); ,,,|xm||xm|?2,1=2,1;?|,x,m|=|x,m|;22(,x,m)=(x,m);?mx=0;?m=0;|x|?f(x)=2,1;第8页(共21页)?f(x)在[0，+?)上单调递增，并且a=f(|log3|)=f(log3)，b=f(log5)，c=f0.522(0);?0,log3,log5; 22?c,a,b(故选:C(点评:考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+?)上，根据单调性去比较函数值大小(对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用(8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)，其中b?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) A( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2)考点:根的存在性及根的个数判断(专题:函数的性质及应用(分析:求出函数 y=f(x),g(x)的表达式，构造函数h(x)=f(x)+f(2,x)，作出函数h(x)的图象，利用数形结合进行求解即可(解答: 解:?g(x)=b,f(2,x)，?y=f(x),g(x)=f(x),b+f(2,x)，由f(x),b+f(2,x)=0，得f(x)+f(2,x)=b，设h(x)=f(x)+f(2,x)，若x?0，则,x?0，2,x?2，2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x，若x?0，则,x?0，2,x?2，2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x，若0?x?2，则,2?x?0，0?2,x?2，则h(x)=f(x)+f(2,x)=2,x+2,|2,x|=2,x+2,2+x=2，若x,2，,x,0，2,x,0，22则h(x)=f(x)+f(2,x)=(x,2)+2,|2,x|=x,5x+8(即h(x)=，作出函数h(x)的图象如图:22当x?0时，h(x)=2+x+x=(x+)+?，22当x,2时，h(x)=x,5x+8=(x,)+?，故当b=时，h(x)=b，有两个交点，当b=2时，h(x)=b，有无数个交点，第9页(共21页)由图象知要使函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，即h(x)=b恰有4个根，则满足,b,2，故选:D(点评:本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键(二.填空题(每小题5分，共30分)9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a 的值为 ,2 (考点: 复数的基本概念(专题:数系的扩充和复数(分析:由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 0且虚部不等于0求得a的值( 解答:解:由( 1,2i)(a+i)=(a+2)+(1,2a)i为纯虚数，得，解得:a=,2(故答案为:,2(点评: 本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题(10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为3 m(第10页(共21页)考点:由三视图求面积、体积(专题:计算题;空间位置关系与距离(分析:根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积(解答:解:根据几何体的三视图，得;该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1;?该几何体的体积为22V=2×π•1×1+π•1•2 几何体=π(故答案为:π(点评:本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目(211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 (考点:定积分在求面积中的应用(专题:计算题;导数的概念及应用(分析:先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可( 解答:解: 先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0212直线y=x与曲线y=x所围图形的面积S=?(x,x)dx 0211而?(x,x)dx=()|=,= 00?曲边梯形的面积是(故答案为:(第11页(共21页)点评:本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数(6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 (考点:二项式定理的应用(专题:计算题;二项式定理(2分析: 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x的系数( 解答: ,66rrr6解:(x,)的展开式的通项公式为T=•(x)•(,)=(,)••xr+1,2r，2令6,2r=2，解得r=2，?展开式中x的系数为×=，故答案为:(点评:本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题(13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 8 (考点: 余弦定理(专题:解三角形(分析: 由cosA=,，A?(0，π)，可得sinA=(利用S==，?ABC222化为bc=24，又b,c=2，解得b，c(由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA即可得出( 解答: 解:?A?(0，π)，?sinA==(?S==bc=，化为bc=24， ?ABC又b,c=2，解得b=6，c=4(第12页(共21页)222由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA=36+16,48×=64(解得a=8(故答案为:8(点评:本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 (考平面向量数量积的运算(点:专平面向量及应用(题:分利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的析:形式求最值(解解:由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=()•()=()答:•()==2×1×cos60?+λ1×1×cos60?+×2×1+×1×1×cos120?=1++,?+=(当且仅当时等号成立);故答案为:(点本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是评: 正确表示所求，利用基本不等式求最小值(三.解答题(本大题共6小题，共80分)2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期;(?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值(考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值( 专题:三角函数的求值(分析: (?)由三角函数公式化简可得f(x)=,sin(2x,)，由周期公式可得;(?)由x?[,，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值(第13页(共21页)解答: 22解:(?)化简可得f(x)=sinx,sin(x,)=(1,cos2x),[1,cos(2x,)]=(1,cos2x,1+cos2x+sin2x)=(,cos2x+sin2x)=sin(2x,)?f(x)的最小正周期T==π;(?)?x?[,，]，?2x,?[,，]，?sin(2x,)?[,1，]，?sin(2x,)?[,，]，?f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值分别为，, 点评:本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题(16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率;(?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列(专题:概率与统计(分析:( ?)利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案;(?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望(解答:解:(?)由已知，有P(A)=，?事件A发生的概率为;(?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4(P(X=k)=(k=1，2，3，4)(?随机变量X的分布列为:P 1 2 3 4第14页(共21页)X随机变量X的数学期望E(X)=( 点评:本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD(?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11(?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长(考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角( 专题:空间位置关系与距离;空间角(分析: (?)以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平1面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论;(?)通过计算平面ACD的法向量与平面ACB的法向量的夹角的余弦值及平方关11系即得结论;(?)通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可(解答: (?)证明:如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z1轴建系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，,2，0)，A(0，0，2)，B(0，1，2)，C(2，0，2)，D(1，,2，2)， 1111又?M、N分别为BC、DD的中点，?M(1，，1)，N(1，,2，1)( 11由题可知:=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，=(0，,，0)，?•=0，MN?平面ABCD，?MN?平面ABCD;第15页(共21页)(?)解:由(I)可知:=(1，,2，2)，=(2，0，0)，=(0，1，2)，设=(x，y，z)是平面ACD的法向量， 1由，得，取z=1，得=(0，1，1)，设=(x，y，z)是平面ACB的法向量， 1由，得，取z=1，得=(0，,2，1)，?cos,，,==,，?sin,，,==，?二面角D,AC,B的正弦值为; 11(?)解:由题意可设=λ，其中λ?[0，1]， ?E=(0，λ，2)，=(,1，λ+2，1)，又?=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，?cos,，,===，2整理，得λ+4λ,3=0，解得λ=,2或,2,(舍)， ?线段AE的长为,2( 1第16页(共21页)点评:本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题(*18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n*(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn考点:数列的求和(专题:等差数列与等比数列(分析: (1)通过a=qa、a、a，可得a、a、a，利用a+a，a+a，a+a成等差数列，n+2n12354233445计算即可;*(2)通过(1)知b=，n?N，写出数列{b}的前n项和T、2T的表达式，nnnn 利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可(*解答: 解:(1)?a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，a=2， n+2n122?a=q，a=q，a=2q， 354又?a+a，a+a，a+a成等差数列，2334452?2×3q=2+3q+q，2即q,3q+2=0，解得q=2或q=1(舍)，?a=; n*(2)由(1)知b===，n?N， n记数列{b}的前n项和为T， nn则T=1+2•+3•+4•+…+(n,1)•+n•， n?2T=2+2+3•+4•+5•+…+(n,1)•+n•， n两式相减，得T=3++++…+,n• n=3+,n•=3+1,,n•=4,(第17页(共21页)点评:本题考查求数列的通项与前 n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题(19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心22率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=((?)求直线FM的斜率;(?)求椭圆的方程;(?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围(考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程(专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 2222(?)通过离心率为，计算可得a=3c、b=2c，设直线FM的方程为y=k(x+c)，利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论;(?)通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M(c，c)，利用|FM|=计算即可;(?)设动点P的坐标为(x，y)，分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x?(,，,1)与x?(,1，0)两种情况讨论即可结论(解答:解:(?)?离心率为，?==，222222?2a=3b，?a=3c，b=2c，设直线FM的斜率为k(k,0)，则直线FM的方程为y=k(x+c)，22?直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，?圆心(0，0)到直线FM的距离d=，22?d+=，即()+=，解得k=，即直线FM的斜率为;(?)由(I)得椭圆方程为:+=1，直线FM的方程为y=(x+c)，第18页(共21页)22联立两个方程，消去y，整理得3x+2cx,5c=0，解得x=,c，或x=c， ?点M 在第一象限，?M(c，c)，?|FM|=，?=，2222解得c=1，?a=3c=3，b=2c=2，即椭圆的方程为+=1;(?)设动点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，?F(,1，0)，?t=，即y=t(x+1)(x?,1)，222联立方程组，消去y并整理，得2x+3t(x+1)=6，又?直线FP的斜率大于，?,，解得,,x,,1，或,1,x,0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx(x?0)，2联立方程组，消去y并整理，得m=,(?当x?(,，,1)时，有y=t(x+1),0，因此m,0， ?m=，?m?(，);?当x?(,1，0)时，有y=t(x+1),0，因此m,0，?m=,，?m?(,?，,);综上所述，直线OP的斜率的取值范围是:(,?，,)?(，)(点评:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题( n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性;第19页(共21页)(?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x);(?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程( 专题:压轴题;导数的概念及应用;导数的综合应用(n分析: (?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)，分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性(2(?)设点P的坐标为(x，0)，则可求x=n，f′(x)=n,n，可求g(x)000,n1=f′(x)(x,x)，F′(x)=f′(x),f′(x)(由f′(x)=,nx+n在(0，000+?)上单调递减，可求F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减，00即可得证((?)设x?x，设方程g(x)=a的根为，由(?)可得x?(设曲线y=f(x)122在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，设方程h(x)=a的根为，可,n1n得,x，从而可得:x,x,,=，由n?2，即2=(1+1)121,1?1+=1+n,1=n，推得:2=x，即可得证( 0解答: (本题满分为14分),,nn1n1•解:(?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)=n,nx=n(1,x)，其中n?N，且n?2( 下面分两种情况讨论:(1)当n为奇数时，令f′(x)=0，解得x=1，或x=,1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表:(,?，,1) (,1，1) (1，+?) xf′(x) , , +f(x)所以，f(x)在 (,?，,1)，(1，+?)上单调递减，在(,1，1)单调递增( (2)当n为偶数时，当f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递增;当f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递减;所以，f(x)在(,?，1)单调递增，在(1，+?)上单调递减;2(?)证明:设点P的坐标为(x，0)，则x=n，f′(x)=n,n， 000曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x)(x,x)，即g(x)=f′(x)(x000,x)， 0令F(x)=f(x),g(x)，即F(x)=f(x),f′(x)(x,x)，则F′(x)=f′00(x),f′(x)( 0第20页(共21页),n1由于f′(x)=,nx+n在(0，+?)上单调递减，故F′(x)在(0，+?)上单调递减，又因为F′(x)=0，所以当x?(0，x)时，F′(x),0，当x?(x，+?)时，000F′(x),0，所以F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减， 00所以对应任意的正实数x，都有F(x)?F(x)=0， 0即对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x)((?)证明:不妨设x?x， 122由(?)知(gx)=(n,n)(x,x)，设方程(gx)=a的根为，可得=，0由(?)知g(x)?f(x)=a=g()，可得x?( 222类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，当x?n(0，+?)，f(x),h(x)=,x,0，即对于任意的x?(0，+?)，f(x),h(x)，设方程h(x)=a的根为，可得=，因为h(x)=nx在(,?，+?)上单调递增，且h()=a=f(x),h(x)，因此,x， 111由此可得:x,x,,=， 21,,n1n1因为n?2，所以2=(1+1)?1+=1+n,1=n，故:2=x( 0所以:|x,x|,+2( 21点评:本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力(第21页(共21页)。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津）卷数学（理科） 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U AB =ð ( ) （A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）403．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为( )（A ）10- （B ）6 （C ）14 （D ）18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N 。

若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ） （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）526．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -= （D ）22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()||21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f = ，()2log 5b f =，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<8．已知函数()()()()22||222x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）()74,+∞ （B ）(),74-∞ （C ）()0,74 （D ）()74,2二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】{2,5,8}UB =，所以{2,5}UAB=，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值． 【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图． 4.【答案】A【解析】|2|12113x x x -<⇔-<-<⇔<<1；AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =，23CM MD CN ⨯=，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE418【解析】19DF DC λ=，ABC ∠，12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-== AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC ABBC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1818λλ117218λλ+=时，AE AF 有最小值，最小值为（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， 平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设1(,n x y =11100n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，可得1(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面21200n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 又1(0,1,2)AB =，可得2(0,n =-12121210,10||||n n n n n n ==-123,10n n =， 10（Ⅲ）依题意，可设111AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-72λ=-，法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设111AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为122n n -⎧⎪，为奇数22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =的斜率为(0)k k >，则直线22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝23c ，2b =12 / 12。

2015天津高考数学（理）试题及答案满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题（共8小题）1.已知全集，集合，集合，则集合（）Array A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．3 B．4 C．18 D．403.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A．-10 B．6 C．14 D．184.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5.如图，在圆中，是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A． B．3 C． D．6.已知双曲线（）的一条渐近线过点（），且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．7.已知定义在上的函数（m为实数）为偶函数，记，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．8.已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（共6小题）9.i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为________.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为___________.11.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为___________.12.在的展开式中，的系数为__________.13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。

已知的面积为，，则a的值为__________.14.在等腰梯形ABCD中，已知。

动点E和F分别在线段BC 和DC上，且，则的最小值为__________.三、解答题（共6小题）15. 已知函数，.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间内的最大值和最小值.16.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）第I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =I ð（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为 （A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= （7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . （14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =, 12,5AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面；(II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=. (I)求直线FM 的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。

2015年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015?天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?B=（）U A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴?B={2，5，8}，U则A∩?B={2，5}．U故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．满足约束条件，则目标函数z=x+6y的（2015?天津）设变量x，y2．（5分）最大值为（）A．3B．4C．18D．40考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．x+z，得y=﹣由z=x+6yx+zy=，﹣平移直线x+z的截距最大，z经过点A时，直线y=由图象可知当直线y=﹣﹣x+此时z最大．，解得，即A（0，由3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．2）﹣2＞0”的（ +x．（5分）（2015?天津）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x4必要而不充分条件B． A．充分而不必要条件既不充分也不必要条件D． C．充要条件要条件、充分条件与充要条件的判断．考点：必易逻辑．专题：简据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．分析：根，x＜3解：由“|x﹣2|＜1”得1＜解答：2，x＜﹣20得x＞1或由x+x﹣2＞2＞0”的充分不必要条件，+x﹣2即“|x﹣2|＜1”是“x．故选：A本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．点评：分别经过点CECD，N是弦AB的三等分点，弦中，5．（5分）（2015?天津）如图，在圆OM、），则线段NE的长为（，M，N，若CM=2MD=4，CN=3D．．B．3． AC考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．解答：解：由相交弦定理可得CM?MD=AM?MB，∴2×4=AM?2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN?NE=AN?NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．点评：本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．，）（的一条渐近线过点2，）＞，＞（﹣=1 a分）（6．5（2015?天津）已知双曲线0b02xy且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ =4 ）A．B．﹣﹣=1=1． CD．﹣=1﹣=1考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．解答：=，解：由题意，22x的准，双曲线的一个焦点在抛物线∵抛物线y=4x的准线方程为x=y﹣=4线上，∴c=，222=7，∴a+b=cb=∴a=2，，∴双曲线的方程为．故选：D．点评：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．|x﹣m|为实数）为偶函数，记1（m（R上的函数fx）=2﹣7．（5分）（2015?天津）已知定义在）ca，b，的大小关系为（ b=f3），（log5），c=f（2m），则a=f（log20.5a c＜b＜＜C．c＜ab D．b． A a＜b＜cB．a＜c＜考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．|x|分析：根x）在[0，x）=2﹣1，这样便知道f（）为偶函数便可求出据f（xm=0，从而f（，+∞）上：x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0+∞）上单调递增，根据f（a=f（|log3|），b=f（log5），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，20.5+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．解答：解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；|﹣x﹣m||x﹣m|﹣1=21；∴2﹣；﹣∴|﹣x﹣m|=|xm|22）m；﹣（）﹣（﹣xm=x∴mx=0；∴m=0；|x|=2x ∴f（）1﹣；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log3|）=f（log3），b=f（log5），20.52c=f（0）；∵0＜log3＜log5；22∴c＜a＜b．故选：C．点评：考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．=，函数g（x）=b﹣f（2（5分）（2015?天津）已知函数f（x）﹣x），8．其中b∈R，若函数y=f （x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）DB．．C A．．，）（，（02）（，+∞）（﹣∞，）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解答：解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，2，x）=2+x+x（（x）+f2﹣则h（x）=f0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，若，﹣2+x=2x|=2﹣|2﹣﹣x+2x）+f（2﹣x）=2﹣x+2=f则h（x）（，＜00，2﹣x若x＞2，﹣x＜22﹣5x+8．x|=x ﹣2）+2﹣|2﹣x+fh则（x）=f（x）（2﹣x）=（=，（x）即h作出函数h（x）的图象如图：22x+）+，（x≤0当时，h（x）=2+x+x=≥22≥，x﹣）+5x+8=x2当x＞时，h（）=x﹣（，有两个交点，x）=b（故当b=时，h，有无数个交点，）时，当b=2h（x=b）恰有x4个零点，（）﹣（由图象知要使函数y=fxg（即hx恰有=b）4个根，2，＜则满足＜b D．故选：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解点评：决本题的关键．分）填空题（每小题5分，共30二. a的值为）是纯虚数，则实数i9．（5分）（2015?天津）是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i2 ．﹣：复数的基本概念．考点数系的扩充和复数．专题：的值．a0且虚部不等于0求得分析：由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于为纯虚数，2a）ia+2）+（1﹣（（﹣解答：解：由（12i）a+i）=2﹣．得，解得：a=2．故答案为：﹣本点评：题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．，则该几何体的体积为m5分）（2015?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：）（10．3． m考点：由三视图求面积、体积．算题；空间位置关系与距离．专题：计分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，1，高为1；且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为∴该几何体的体积为22?2Vπ?1=2××1+π?1几何体π．=π．故答案为：点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．2．所围成的封闭图形的面积为（2015?天津）曲线11．（5分）y=x与y=x考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0212dx﹣所围图形的面积S=∫（xx）y=x直线与曲线y=x0121dx=）（==）|﹣xx（而∫﹣00∴曲边梯形的面积是．故答案为：．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．26的展开式中，x的系数为．12．（5分）（2015?天津）在（x﹣）项式定理的应用．考点：二算题；二项式定理．专题：计2分析：x的系数．求出r的值，即可求得在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，解答：6r6﹣rr6?x?）=（﹣）的展开式的通项公式为T=?（x）?（﹣）解：（x﹣r+12r﹣，2，的系数为×=6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x令故答案为：．题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，点评：本属于中档题．．已知△ABCb，cB，C所对的边分别为a，13．（5分）（2015?天津）在△ABC中，内角A，8 ．﹣，则a的值为 cosA=的面积为3，b﹣c=2，考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S==，C△AB222化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA即可得出．解答：解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S==bc=，化为bc=24，△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4．222=642bccosA=36+16﹣48×．﹣由余弦定理可得：a=b+c解得a=8．故答案为：8．点评：本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）（2015?天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则?的最小值为．平面向量数量积的运算．考点：专创新题型；平面向量及应用．题：分利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的析：形式求最值．解（=）?AD=BC=CD=1，所以）?（?=）（解：由题意，得到答：（）=2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×=2×1+×1×1×cos120°+；﹣（当且仅当≥=1++时等号成立）=故答案为：．点本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是评：正确表示所求，利用基本不等式求最小值．三.解答题（本大题共6小题，共80分）22），x∈R．sin（x﹣13分）（2015?天津）已知函数f（x）=sinx﹣15．（）的最小正周期；（x （Ⅰ）求f]f（x）在区间[﹣内的最大值和最小值．，（Ⅱ）求考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：﹣）2x，由周期公式可得；=x）﹣sin（（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（，]x∈[﹣结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．（Ⅱ）由解答：22﹣（x=sin））x﹣sin解：（Ⅰ）化简可得f（x﹣）2x]﹣cos2x﹣）﹣[1cos（=（1sin2xcos2x+）1=（﹣cos2x﹣1+sin2x=（﹣cos2x+）=﹣2xsin（）T==π；x∴f（）的最小正周期，，∴2x﹣，∈[﹣（Ⅱ）∵x∈[﹣，]]﹣∴sin（﹣2x，∴sin]，）∈[﹣2x1（，]）∈[﹣，]，﹣，∴f（x）在区间[内的最大值和最小值分别为﹣题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．点评：本（2015?天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员13分）16．（其中5名，3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员4人参加比赛．名，从这8名运动员中随机选择种子选手3名种子选手来自同一个协会”，且这2人中恰有2名种子选手，（Ⅰ）设A为事件“选出的4A发生的概率；求事件的分布列和数学期望．人中种子选手的人数，求随机变量为选出的4X（Ⅱ）设X：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．考点：概率与统计．专题发生的个数，然后利用古典概型概率（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A分析：计算公式得答案；由古典概型概率计算公式求得概率，，，4，的所有可能取值为1，23（Ⅱ）随机变量X列出分布列，代入期望公式求期望．解答：，=（Ⅰ）由已知，有P（A）解：；发生的概率为∴事件A4．，，23，（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1）．3，4），=（k=1，2X=kP（X的分布列为：∴随机变量4 1 2 3 XP．=的数学期望XE（X）随机变量题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数点评：本学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题．⊥AC，AB⊥底面ABCD，D﹣ABC中，侧棱AA在四棱柱1317．（分）（2015?天津）如图，ABCD11111的中点．DD和分别为，，且点AD=CD=M和NBC=2AC=AAAB=1，111（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD的正弦值；﹣﹣D（Ⅱ）求二面角ACB11所成角的正弦值为，求线段AENE和平面ABCD的长．（Ⅲ）设E为棱AB上的点，若直线111考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面1的一个法向量与的数量积为0，即得结论；ABCD（Ⅱ）通过计算平面ACD的法向量与平面ACB的法向量的夹角的余弦值及平方关系11即得结论；的夹角的余弦值为的一个法向量与利用平面=λ，（Ⅲ）ABCD通过设，计算即可．解答：Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z轴建（1系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A（0，0，2），B（0，1，2），C（2，0，2），D（1，﹣2，2），1111，，1），N（1的中点，∴M（1，﹣2，1）．B又∵M、N分别为C、DD11，﹣，00））是平面ABCD，的一个法向量，=（，由题可知：=（0，01ABCD∵?=0，MN?平面ABCD，∴MN∥平面；）可知：，（Ⅱ）解：由（I，），，（=1，﹣22），=（20，0（，=0，12）设=（x，y，z）是平面ACD的法向量，1，得，由，得=（0，1取z=1，1），设=（x，y，z）是平面ACB的法向量，1，得由，），2，z=11，得=（0，﹣取=，∴sin＜，，∵cos＜＞，＞===﹣B；的正弦值为∴二面角D﹣AC﹣11=λ，λ∈[0，1]，其中（Ⅲ）解：由题意可设，1）=），（﹣1，λ+2，∴E=（0，λ，2的一个法向量，）是平面ABCD，0，1又∵=（0==∴cos＜=，＞，2λ=，解得（舍）﹣，λ+4λ﹣3=0﹣2或﹣2整理，得．的长为﹣E∴线段A21题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用点评：本空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．*，=1q≠1），n∈N，a（{a13分）（2015?天津）已知数列}满足a=qaq为实数，且（18．1n+2nn的通项公式；的值和）求q{a}成等差数列（a+a+a=2a，且a，a，+a1n2334425*}{b的前n项和．，求数列=）设（2b，n∈N nn列的求和．：考点数专题：等差数列与等比数列．分析：1）通过a=qa、a、a，可得a、a、a，利用a+a，a+a，a+a成等差数列，（523434n+24n5213计算即可；*的表达式，利、2T的前n项和）知bT=，n∈N，写出数列{b}1（2）通过（nnnn用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．*解答：：解（1）∵a=qa（q为实数，且q≠1），n∈N，a=1，a=2，2n+2n12=2q，=q，a∴a=q，a435成等差数列，，a+a+a又∵a，a+a5432342，∴2×3q=2+3q+q2，q﹣3q+2=0即，或q=1（舍）解得q=2；=∴a n*，===，n∈N（2）由（1）知b n记数列{b}的前n项和为T，nn+n?，1=1+2?）?+3?+4?+…+（n﹣则T n，1+5?+…+（n﹣∴2T+n?=2+2+3?+4?）?n+=3+++…+T﹣n?两式相减，得n﹣n?=3+﹣n?﹣=3+1．=4﹣点评：本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．+=1（a＞b＞0）的左焦点为分）19．（14F（2015?天津）已知椭圆（﹣c，0），离心率22截得的线段的长为+yx=c，被圆在椭圆上且位于第一象限，直线，点为MFM|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；的斜率大于，求直线OP（在椭圆上，若直线FPO为原点）的斜率的取值（Ⅲ）设动点P范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：2222（Ⅰ）通过离心率为，计算可得a=3c、b=2c，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；|FM|=，利用计算即，cc（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（）可；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可结论．解答：=，解：=（Ⅰ）∵离心率为，∴222222∴2a=3b，∴a=3c，b=2c，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），22截得的线段的长为c+y=，∵直线FM被圆xd=FM的距离0，0）到直线，∴圆心（22=++，=，即（）∴d的斜率为；，即直线FM解得k=y=（x+c）FM=1，直线的方程为I（Ⅱ）由（，）得椭圆方程为：+22﹣c，或x=x=c，5c联立两个方程，消去y，整理得3x+2cx﹣=0，解得，c）c，∵点M在第一象限，∴M（=，∵|FM|=，∴2222解得c=1，∴a=3c=3，b=2c=2，+=1；即椭圆的方程为（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，，∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1）∵F（﹣1，0），222，（x+1）=6联立方程组，消去y并整理，得2x+3t的斜率大于，FP又∵直线，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，∴＞m=，即y=mx，得（x≠0），设直线OP的斜率为m2﹣=．并整理，得联立方程组，消去ymx∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0①当，，）；，∴m∈（∴m=②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，，∴m∈（﹣∞，﹣）∴m=﹣；，）．OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（综上所述，直线点评：本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．n?，且n≥2．﹣x，x∈R，其中n∈N（14分）（2015?天津）已知函数f（x）=nx20．）的单调性；（Ⅰ）讨论f（x，求）y=g（x，曲线在点x）与x轴正半轴的交点为PP处的切线方程为（Ⅱ）设曲线y=f（））≤g（x；证：对于任意的正实数x，都有f（x+2x|．＜﹣x）=a（a为实数）有两个正实数根，x，求证：|x（若关于（Ⅲ）x的方程fx1212考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：压轴题；创新题型；导数的概念及应用；导数的综合应用．n分析：Ⅰ）由f（x）=nx﹣x，可得f′（x）（，分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性．2）（，可求﹣）x=n，则可求0，的坐标为（（Ⅱ）设点Px）x，f′（=nngx000n﹣1，0﹣nx+n在（）﹣f′（x）．由f′（x）=x=f′（）（x﹣x），F′（x）=f′（x000，+∞）上单调递，x）内单调递增，在（x）在∈（+∞）上单调递减，可求F（x000减，即可得证．y=f≤xg（x）=a．设曲线的根为，由（Ⅱ）可得（Ⅲ）设x≤x，设方程221的根为）=a设方程h（x可得h（x），=nx，（x）在原点处的切线方程为y=h（x），n﹣1=（1+1﹣）=，由n≥2，即，从而可得：可得＜xx﹣x2＜1211﹣n2=x，即可得证．1=n，推得：≥1+=1+n﹣0解答：（本题满分为14分）nn﹣1n﹣1?，且），其中n∈Nxx，可得f′（x）=n﹣nx=n（1﹣x解：（Ⅰ）由f（）=nx﹣n≥2．下面分两种情况讨论：fx），x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（（1）当n为奇数时，令f′（（x）的变化情况如下表：∞）（﹣1，1）（1，+ x （﹣∞，﹣1）﹣）f′（x ﹣+）f（x11），（1，+∞）上单调递减，在（﹣，1）单调递增．所以，f（x）在（﹣∞，﹣（2）当n 为偶数时，x＜1时，函数 f（x）单调递增；0当 f′（x）＞，即）单调递减；（x＞1时，函数 f0当 f′（x）＜，即x1，+∞）上单调递减；1（x）在（﹣∞，）单调递增，在（所以，f2=n﹣n，（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x，0），则x=n，f′（x）000曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x）（x﹣x），即g（x）=f′（x）（x000﹣x），0令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x）（x﹣x），则F′（x）=f′00（x）﹣f′（x）．0n﹣1由于f′（x）=﹣nx+n 在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为F′（x）=0，所以当x∈（0，x）时，F′（x）＞0，当x∈（x，+∞）时，000F′（x）＜0，所以F（x）在∈（0，x）内单调递增，在（x，+∞）上单调递减，00所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x）=0，0即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．（Ⅲ）证明：不妨设x≤x，212==axg，）﹣（nn=xg（Ⅱ）由知（）（﹣）xx设方程（）的根为，可得，0≤．，可得x）=a=g（）由（Ⅱ）知g（x）≥f（x222类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，当x∈n），h（x）＜x∈（0，+∞），f（x，即对于任意的（0（，+∞），f（x）﹣hx）=﹣x＜0=，因为h（的根为x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调h设方程（x）=a，可得递增，＜x，））＜h（x，因此（且h（）=a=fx111＜﹣=x由此可得：x﹣，12n﹣11n﹣=（1+1）≥1+=1+n﹣1=n因为n≥2，所以2，2=x．故：0＜x||x+2．所以：﹣12点评：本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}2,3,5,6A = ，{}1,3,4,6,7B = ，则集合 为（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩ ，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为 （A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=（7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ·棱柱的体积公式V ＝Sh ． 其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高．·圆锥的体积公式V ＝13Sh ． 其中S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆锥的高．第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． i 是虚数单位，复数7i3i-=+( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－2＋i D ．－2－i2．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为－25时，输出x 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．94．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．在(2x 2－1x)5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－406．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A ．725B ．725-C ．725±D ．24257．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ．若32BQ CP ⋅=-，则λ＝( )A ．12B ．12±C ．12±D ．32-±8．设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．［11B ．(－∞，11)C ．［22-2+］D ．(－∞，2-2+，＋∞)第Ⅱ卷本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取__________所学校，中学中抽取__________所学校．10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m 3．11．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝__________．12．已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ．若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝__________．13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ．过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，32EF =，则线段CD 的长为__________．14．已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x －1，x ∈R ． (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间［π4-，π4］上的最大值和最小值． 16．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望 E (ξ)．17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1．(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．18．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)．19．设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； (2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k满足||k >．20．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0． (1)求a 的值；(2)若对任意的x ∈［0，＋∞)，有f (x )≤kx 2成立，求实数k 的最小值； (3)证明1221ni i =-∑－ln(2n ＋1)＜2(n ∈N *)．1． B 227i (7i)(3i)217i 3i i 2010i 2i 3i (3i)(3i)9i 10-----+-====-++--． 2． A φ＝0时，f (x )＝cos x ，f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1，∴cos φ＝±1，∴φ＝k π(k ∈Z )．∴是充分而不必要条件．3． C x ＝|－25|＞1，x 1＝4；x ＝|4|＞1，x －1＝1； x ＝|1|＞1不成立， ∴x ＝2×1＋1＝3．4．B f ′(x )＝2x ln2＋3x 2，在(0,1)上f ′(x )＞0恒成立， ∴f (x )在区间(0,1)上单调递增．又∵f (0)＝20＋03－2＝－1＜0，f (1)＝21＋13－2＝1＞0， ∴f (x )在区间(0,1)上存在一个零点．5． D T r ＋1＝5C r(2x 2)5－r (1x-)r ＝(－1)r 25－r 5C rx 10－3r ， ∴当10－3r ＝1时，r ＝3．∴(－1)325－335C ＝－40．6． A 在△ABC 中，由正弦定理：sin sin b c B C =，∴，sin sin C cB b=∴sin28sin 5B B =，∴4cos 5B =．∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725．7． A 设AB =a ，AC =b ，则|a |=|b |=2，且〈a ，b 〉=π3．()1BQ AQ AB λ=-=--b a ，CP AP AC λ=-=-a b ．BQ CP ⋅=［(1－λ)b －a ］·(λa －b )=［λ(1－λ)+1］a ·b －λa 2－(1－λ)b 2 =(λ－λ2+1)×2－4λ－4(1－λ) =－2λ2+2λ－2=32-． 即(2λ－1)2=0，∴12λ=． 8．)D 直线与圆相切，1=，∴||m n +=mn ＝m ＋n ＋1，设m ＋n ＝t ，则22()24m n t mn +≤=，∴t ＋1≤24t ，∴t 2－4t －4≥0，解得：2t ≤2t ≥+9．答案：18 9解析：共有学校150＋75＋25＝250所，∴小学中应抽取：1503018250⨯=所，中学中应抽取：75309250⨯=所． 10．答案：18＋9π解析：由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m,3 m,1 m 的长方体，底部为两个直径为3 m 的球．∴该几何体的体积为：V ＝6×3×1＋2×343π()32⨯＝18＋9π(m 3)． 11．答案：－1 1解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，∴|x ＋2|＜3． ∴－3＜x ＋2＜3，∴－5＜x ＜1．又∵B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，∴－1是方程(x －m )(x －2)＝0的根，n 是区间(－5,1)的右端点， ∴m ＝－1，n ＝1． 12．答案：2解析：由参数方程22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数)，p ＞0，可得曲线方程为：y 2＝2px (p ＞0)．∵|EF |＝|MF |，且|MF |＝|ME |(抛物线定义)， ∴△MEF 为等边三角形， E 的横坐标为2p-，M 的横坐标为3． ∴EM 中点的横坐标为：322p -，与F 的横坐标2p 相同， ∴3222p p -=，∴p ＝2． 13．答案：43解析：在圆中，由相交弦定理： AF ·FB ＝EF ·FC ，∴2AF FBFC EF⋅==， 由三角形相似，FC AFBD AB =， ∴83FC AB BD AF ⋅==． 由切割弦定理：DB 2＝DC ·DA ，又DA ＝4CD ，∴4DC 2＝DB 2＝649． ∴43DC =． 14．答案：(0,1)∪(1,4)解析：21,1|1||1||1||1|,111x x x x x y x x x x +>⎧-+-===⎨-+<--⎩函数y =kx －2过定点(0，－2)，由数形结合：k AB ＜k ＜1或1＜k ＜k AC ， ∴0＜k ＜1或1＜k ＜4． 15．解：(1)f (x )＝sin2x ·cos π3＋cos2x ·sin π3＋sin2x ·cos π3－cos2x ·sin π3＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x π)4x +． 所以，f (x )的最小正周期2ππ2T ==． (2)因为f (x )在区间［π4-，π8］上是增函数，在区间［π8，π4］上是减函数，又π()14f -=-，π()8f =π()14f =，故函数f (x )在区间［π4-，π4］，最小值为－1．16．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23． 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)， 则4412()C ()()33iiii P A -=． (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率22224128()C ()()3327P A ==． (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4．由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝3344441211C ()()C ()3339+=． 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19． (3)ξ的所有可能取值为0,2,4．由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故 P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781．所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望148()024********E ξ=⨯+⨯+⨯=． 17．解法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B (12-，12,0)，P (0,0,2)．(1)证明：易得PC =(0,1，－2)，AD =(2,0,0)， 于是0PC AD ⋅=，所以PC ⊥AD ．(2)PC =(0,1，－2)，CD =(2，－1,0)． 设平面PCD 的法向量n =(x ，y ，z )，则00,PC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即2020,y z x y -=⎧⎨-=⎩，不妨令z =1， 可得n =(1,2,1)．可取平面P AC 的法向量m =(1,0,0)．于是cos 6⋅===⋅〈，〉m n m n m n ，从而sin =〈，〉m n ． 所以二面角A －PC －D ． (3)设点E的坐标为(0,0，h )，其中h ∈［0,2］，由此得11()22BE h =，－，．由CD =(2，－1,0)，故3cos 1BE CD BE CD BE CD⋅===⋅〈，〉cos30=︒=10h =，即10AE =．解法二：(1)证明：由P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AD ，又由AD ⊥AC ，P A ∩AC =A ，故AD ⊥平面P AC ．又PC 平面P AC ，所以PC ⊥AD ．(2)如图，作AH ⊥PC 于点H ，连接DH ．由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，可得PC ⊥平面ADH ．因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A －PC －D 的平面角． 在Rt △P AC 中，P A ＝2，AC ＝1，由此得AH =由(1)知AD ⊥AH ，故在Rt △DAH 中，5DH ==．因此sin 6AD AHD DH ∠==．所以二面角A －PC －D 的正弦值为6． (3)如图，因为∠ADC ＜45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF ．故∠EBF 或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角．由于BF ∥CD ，故∠AFB =∠ADC ．在Rt △DAC 中，CD =sinADC ∠=，故sinAFB ∠=在△AFB 中，由sin sin BF ABFAB AFB =∠∠，AB =，sin ∠F AB ＝sin135°＝2，可得2BF =． 由余弦定理，BF 2＝AB 2＋AF 2－2AB ·AF ·cos ∠F AB ， 可得12AF =． 设AE ＝h ．在Rt △EAF 中，EF ==在Rt △BAE 中，BE == 在△EBF 中，因为EF ＜BE ，从而∠EBF ＝30°，由余弦定理得222cos302BE BF EF BE BF+-︒=⋅，可解得h =．所以AE =．18．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．由条件，得方程组3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩解得3,2.d q =⎧⎨=⎩ 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *．(2)证明：(方法一) 由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，①2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n ＋1a 1．② 由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝112(12)12n ---＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n －6n －10．而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n －6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *．(方法二：数学归纳法)①当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立； ②假设当n ＝k 时等式成立，即T k ＋12＝－2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时有： T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k －1b 3＋…＋a 1b k ＋1 ＝a k ＋1b 1＋q (a k b 1＋a k －1b 2＋…＋a 1b k ) ＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q (－2a k ＋10b k －12) ＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24 ＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12，即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1，因此n ＝k ＋1时等式也成立． 由①和②，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立． 19．解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有2200221x y a b+=① 由A (－a,0)，B (a,0)，得00AP y k x a =+，00BP y k x a=-． 由k AP ·k BP ＝12-，可得x 02＝a 2－2y 02，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 02＝0．由于y 0≠0，故a 2＝2b 2．于是222212a b e a -==，所以椭圆的离心率e = (2)证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+．②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0， 得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2．整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0．而x 0≠0，于是021ax k -=+，代入②，整理得 (1＋k 2)2＝4k 2(a b)2＋4．由a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3．所以||k >．(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)，由点P 在椭圆上，有22200221x k x a b +=．因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以22200221x k x a a+<，即(1＋k 2)x 02＜a 2．③ 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2，整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0，于是0221ax k -=+． 代入③，得(1＋k 2)2224(1)a k +＜a 2，解得k 2＞3，所以||k >20．解：(1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)．11()1x a f x x a x a+-'=-=++． 由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a ．当x因此，f (x )在a ＝1．(2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln2＞0，故k ≤0不合题意．当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2．g ′(x )＝1xx +－2kx ＝[]2(12)1x kx k x ---+．令g ′(x )＝0，得x 1＝0，21212kx k-=>-． ①当12k ≥时，1202kk-≤，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在［0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x ∈［0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在［0，＋∞)上恒成立，故12k ≥符合题意． ②当0＜k ＜12时，1202k k ->，对于x ∈(0，122k k -)，g ′(x )＞0，故g (x )在(0，122kk-)内单调递增．因此当取x 0∈(0，122k k-)时，g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 02不成立． 故0＜k ＜12不合题意． 综上，k 的最小值为12． (3)证明：当n ＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立． 当n ≥2时，11222()ln(1)212121n n i i f i i i ==⎡⎤=-+⎢⎥---⎣⎦∑∑ ＝[]112ln(21)ln(21)21n n i i i i i ==-+---∑∑ ＝1221n i i =-∑－ln(2n ＋1)．在(2)中取12k =，得f (x )≤22x (x ≥0)，从而 2222()21(21)(23)(21)f i i i i ≤<----(i ∈N *，i ≥2)， 所以有1221n i i =-∑－ln(2n ＋1) ＝1222()(2)()2121n n i i f f f i i ===+--∑∑ ＜2－ln3＋22(23)(21)n i i i =--∑ ＝2－ln3＋211()2321n i i i =---∑＝2－ln3＋1－121n -＜2． 综上，1221n i i =-∑－ln(2n ＋1)＜2，n ∈N *．。

2015年天津市高考数学真题（理科）一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合U A C B=I （ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．10-B ．6C ．14D ．184．设x R ∈，则“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，N M ，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点N M ，，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221x y a b-=（0b 0a ＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则b c a ，，的大小关系为（ ）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜8．已知函数22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7()4+∞，B ．7()4-∞，C ．7(0)4， D ．7(2)4，二、填空题9．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ． 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ． 13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 ． 14．在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒。

数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+. ·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A U B =ð（ ）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x xf x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（）D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页）数学试卷 第6页（共18页）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________.13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为0F c （-,）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4bx y =截得的线段的长为c，|FM（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图．AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 2833CM MD CN ⨯=，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可． 4数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）19D F D λ=，1DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-==AE AB BE AB BCλ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， 22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 117218λλ+=时，AE AF 有最小值，18数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， ⊄平面ABCD MN ∥平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =20x =⎩不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-，121210,10||||n n n n n n ==-2310,10n n =， 所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设11AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，72-，所以线段1A E 的长为72-．为坐标原点，以的一个法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（天津卷，含解析）第I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =ð（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8 【答案】A 【解析】试题分析：{2,5,8}U B =ð,所以{2,5}U A B =ð，故选A. 考点：集合运算.（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 【答案】C考点：线性规划.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 （A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18【答案】B 【解析】试题分析：模拟法：输入20,1S i ==；21,20218,25i S =⨯=-=>不成立； 224,18414,45i S =⨯==-=>不成立 248,1486,85i S =⨯==-=>成立 输出6,故选B. 考点：程序框图.（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充分条件与必要条件.（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52【答案】A 【解析】试题分析：由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.考点：相交弦定理.（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 【答案】D考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质. （7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知72b <<. 考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.第II 卷 注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】2- 【解析】试题分析：()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数，所以20a +=，即2a =-. 考点：1.复数相关定义；2.复数运算.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .【答案】83π 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. 考点：1.三视图；2.旋转体体积.（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分几何意义.（12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516考点：二项式定理及二项展开式的通项.（13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8 【解析】试题分析：因为0A π<<，所以sin A ==，又1sin 242ABC S bc A bc ∆====，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】试题分析：因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==， AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. BA考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(I)635; (II) 随机变量X 的分布列为()52E X =【解析】试题分析：(I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量X 的所有可能值，求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望. 试题解析：(I)由已知，有22222333486()35C C C C P A C +== 所以事件A 发生的概率为635. (II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4()45348(1,2,3,4)k k C C P X k k C -=== 所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：1.古典概型；2.互斥事件；3.离散型随机变量的分布列与数学期望. 17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长【答案】(I)见解析；； (III)2. 【解析】试题分析：以A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线MN 的方向向量与平面ABCD 的法向量，两个向量的乘积等于0即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；(III) 设111A E A B λ=，代入线面角公式计算可解出λ的值，即可求出1A E 的长. 试题解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，1111(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),(1,2,2)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD(II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-=，设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =， 设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =- 因此有12121210cos ,n n n n n n ⋅==-⋅，于是123sin ,n n = 所以二面角11D AC B --. (I II)依题意，可设111A E A B λ=，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+，又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos ,3(NE n NE n NE n⋅===⋅-，整理得2430λλ+-=，又因为[0,1]λ∈，解得2λ=，所以线段1A E 2-.考点：1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；2.二面角、直线与平面所成的角；3.空间向量的应用. 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 【答案】(I) 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.【解析】试题分析：(I)由()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+得4253a a a a -=- 先求出q ，分n 为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列{}n b 的通项公式，用错位相减法求和即可.试题解析：(I) 由已知，有()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+，即4253a a a a -=-， 所以23(1)(1)a q a q -=-，又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q =，得2q =， 当21(*)n k n N =-∈时，1122122n k n k a a ---===，当2(*)n k n N =∈时，2222n kn k a a ===，所以{}n a 的通项公式为1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前n 项和公式.3.错位相减法.19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为F -c （,0）,M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c，.(I )求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FPOP （O 为原点）的斜率的取值范围.【答案】(II) 22132x y += ；(III) 22,,⎛⎛-∞ ⎝⎭⎝⎭.【解析】试题分析：(I) 由椭圆知识先求出,,a b c 的关系，设直线直线FM 的方程为()y k x c =+，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k 的值； (II)由(I)设椭圆方程为2222132x y c c+=，直线与椭圆方程联立，求出点M 的坐标，由FM =可求出c ，从而可求椭圆方程.(III)设出直线FP ：(1)y t x =+，与椭圆方程联立，求得t =>x 的范围，即可求直线OP 的斜率的取值范围. 试题解析：(I) 由已知有2213c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有22222c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k =(II)由(I)得椭圆方程为2222132x y c c +=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为c ⎛⎫⎪⎝⎭，由FM ==，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y += (III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1yt x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得t => 312x -<<-或10x -<<，设直线OP 的斜率为m ，得y m x =，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-.①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是m =m ∈⎝⎭②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是m =,3m ⎛∈-∞- ⎝⎭综上，直线OP 的斜率的取值范围是22,,⎛⎛-∞ ⎝⎭⎝⎭考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式. 20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+- 【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.试题解析：(I)由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. (2)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.(III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()20()g x n nx x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.。