高考数学复习-分类加法计数原理与分步乘法计数原理检测综合卷

高二数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题1.一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）A．8B．15C．16D．30【答案】Ａ【解析】分两类：3+5=8，故选A。

【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。

点评：简单题，审清题意。

2.由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（）A．25B．20C．16D．12【答案】Ｃ【解析】构成两位数，分两步考虑：十位数字不为零有4种选法，个位由4种选法，所以可组成无重复数字的两位数的个数是4×4=16，故选C。

【考点】本题主要考查分步计数原理的应用。

点评：特别注意十位数字不为零。

3.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择方式（）A．24B．14C．10D．9【答案】Ｂ【解析】两类，一类是衬衣+裙子：分两步，衬衣有4种选择，裙子有3种选择，有4×3=12；第二类是连衣裙，永种选择，所以共有12+2=14，故选B。

【考点】本题主要考查分步计数原理的应用。

点评：稍具综合性的简单题，审清题意。

4.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】Ａ【解析】分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法。

三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法。

三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的。

【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。

点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和。

用列举法也可以，形象、直观易懂。

5.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．【答案】12【解析】分三类：这5个在一条线上的点连成1条直线；其中每一点与直线外2点各连成一条直线，有10条；直线外2点又相互连成1条直线；这样直线应该有1+5+5+1=12条.【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。

高考数学一轮复习学案：10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（含答案）10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲考情考向分析1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”.2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.以理解和应用两个基本原理为主，常以实际问题为载体，突出分类讨论思想，注重分析问题.解决问题能力的考查，常与排列.组合知识交汇；两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以选择.填空题的形式出现.1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法3分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同2在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事3在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成4如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mii1,2,3，，n，那么完成这件事共有m1m2m3mn 种方法5在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的题组二教材改编2P12A组T5已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一.第二象限内不同的点的个数是A12B8C6D4答案C解析分两步第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一.二象限内不同点的个数是326，故选C.3P10A组T4已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为A16B13C12D10答案C解析将4个门编号_________为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法3412种题组三易错自纠4从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为A24B18C12D6答案B解析分两类情况讨论第1类，奇偶奇，个位有3种选择，位有2种选择，百位有2种选择，共有32212个奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，位有2种选择，百位有1种选择，共有3216个奇数根据分类加法计数原理知，共有12618个奇数5.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有A24种B30种C36种D48种答案D解析需要先给C块着色，有4种方法；再给A块着色，有3种方法；再给B块着色，有2种方法；最后给D块着色，有2种方法，由分步乘法计数原理知，共有432248种着色方法6如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个答案12解析由题意知本题是一个分类计数问题当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况当有三个1时2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时2221,3331,4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有12种结果题型一题型一分类加法计数原理的应用分类加法计数原理的应用1xx郑州质检满足a，b1,0,1,2，且关于x 的方程ax22xb0有实数解的有序数对a，b的个数为A14B13C12D10答案B解析当a0时，关于x的方程为2xb0，此时有序数对0，1，0,0，0,1，0,2均满足要求；当a0时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为1，1，1,0，1,1，1,2，1，1，1,0，1,1，2，1，2,0综上，满足要求的有序数对共有13个，故选B.2xx济南模拟如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数如120,343,275等，那么所有凸数的个数为A240B204C729D920答案A解析若a22，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个若a23，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有236个若a24，满足条件的“凸数”有3412个，，若a29，满足条件的“凸数”有8972个所以所有凸数有26122030425672240个3xx全国定义“规范01数列”an如下an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有A18个B16个C14个D12个答案C解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A24个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C34个，共28414个思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的【关键词】，关键元素，关键位置1根据题目特点恰当选择一个分类标准2分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复3分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏题型二题型二分步乘法计数原理的应用分步乘法计数原理的应用典例1xx 全国如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A24B18C12D9答案B解析从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E 点到G点的最短路径有6318条，故选B.2有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法答案120解析每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120种引申探究1本例2中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36729种2本例2中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63216种思维升华1利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事2分步必须满足两个条件一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成跟踪训练一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同除交汇点O外的游览线路有______种用数字作答答案48解析根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法由分步乘法计数原理知，共有64248种不同游览线路题型三题型三两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用命题点1与数字有关的问题典例xx天津用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个用数字作答答案1080解析当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35C14A44960.当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45120.故符合题意的四位数一共有9601201080个命题点2涂色.种植问题典例xx济南质检如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色4种颜色全部使用，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________答案96解析按区域1与3是否同色分类1区域1与3同色先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5还有3种颜色有A33种方法区域1与3同色时，共有4A3324种方法2区域1与3不同色第一步涂区域1与3有A24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法共有A2421372种方法故由分类加法计数原理可知，不同的涂色种数为247296.命题点3与几何有关的问题典例1如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是A48B18C24D36答案D解析第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236个2如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是A60B48C36D24答案B解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6636，另含4个顶点的6个面非表面构成的“平行线面组”的个数为6212，故符合条件的“平行线面组”的个数是361248.思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路1弄清完成一件事是做什么2确定是先分类后分步，还是先分步后分类3弄清分步.分类的标准是什么4利用两个计数原理求解跟踪训练1xx黄山模拟建造一个花坛，花坛分为4个部分如图现要栽种4种不同颜色的花不一定4种颜色都栽种，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有________种用数字作答1234答案108解析先栽第一块地，有4种情况，然后栽第二块地，有3种情况，第三块地有3种情况，第四块地有3种情况，则共有4333108种不同的栽种方法2用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A144个B120个C96个D72个答案B解析由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3A3472个；若万位是4，则有2A3448个，故比40000大的偶数共有7248120个故选B.利用两个基本原理解决计数问题典例1把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有A24种B4种C43种D34种2某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4次，轮船有3次，问此人的走法可有________种错解展示解析1因为每个信箱有三种投信方法，共4个信箱，所以共有333334种投法2乘火车有4种方法，坐轮船有3种方法，共有3412种方法错误答案1D212现场纠错解析1第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法2因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有437种答案1C27纠错心得1应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步2把握完成一件事情的标准，如典例1没有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合练习一．选择题1．有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种 C．6种 D．9种4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种6．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．307．现有A B C D E、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( )A．120种B．5种C．35种D．53种8．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．2 9．已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b∈∈，则方程22()()4x a y b-+-=可表示不同的圆的个数为（）A．7 B．9 C．12 D．1610．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252 C．261 D．279二．填空题11．要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答）12．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．13．从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.14．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)；15．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.16．某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.17．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种．三．解答题18．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?19．设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?20．集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？21．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？22．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题1．（2019·湖南高二月考）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】C【解析】每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有：5525⨯=种选法故选：C2．（2019·陕西高二期末（理））完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.3．（2019·重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种C．6种 D．9种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC 卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．4．（2019·吉林省实验高二期末（理））有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.5．（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种，故选：C．6．（2019·陕西高二期末（理））某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法， 一是可以用分析法来证明，有3种方法， 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果， 故选A ．7．（2019·湖北高二期末（理））现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A ．120种 B ．5种C ．35种D ．53种【答案】D 【解析】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案为D8．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（ ） A ．6 B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法. 故选：B.9．（2020·全国高三专题练习）已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈，则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为（ ） A ．7 B ．9C ．12D ．16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定a 有3种选法；第二步：确定b 有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）. 故选：C.10．（2020·全国高三专题练习）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 二．填空题11．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答） 【答案】81 【解析】把四封信投入3个信箱,每封信都有3种选择,根据分步计数原理共有43=81种不同的投法. 故答案为：8112．（2018·吉林高二期中（理））5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________． 【答案】243【解析】每个人都有3种选择方法，根据分步计算原理可知方法有53243=种.13．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.【答案】12 【解析】（1）分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12（种）方法. 故答案为：12.14．（2020·北京高二期末）从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 【答案】24 【解析】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24， 故答案为： 24．15．（2019·江苏高二期末（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有5945⨯=个不同的编号.16．（2019·河北高二期中（理））某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________. 【答案】54 【解析】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为3233=54⨯⨯⨯.17．（2018·浙江高考模拟）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25.【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为：25． 三．解答题18．（2016·全国高二课时练习（理））18．（2016·全国高二课时练习（理））某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱? 【答案】8640元【解析】第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.19．（2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试）设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?【答案】（1）36；（2）6；（3）30【解析】(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6＝36(个)不同的点．(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．20．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】当A1=φ时，A2=A，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，A2=∁A A1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．21．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？【答案】（1）120（个）；（2）96个；（3）36（个）.【解析】（1）可组成N=5×4×3×2=120（个）.（2）依次确定千、百、十、个位，有N=4×4×3×2=96（个）.（3）依次确定个位、首位、百位、十位，有N=2×3×3×2=36（个）22．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.【答案】（1）480（种）；（2）n=5.【解析】（1）对区域A,B,C,D按顺序着色，共有6×5×4×4=480（种）(2) 对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分布乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5.。

2012-13高二数学选修2-3一导学案002 编制人:郑淑芬 审核人:杨洪波 班级: 姓名: _____组 层次: 教师评价得分:_______批阅日期________月________日1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理检测题1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋b i ，其中虚数有( )A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个2．在“庆国庆、展才艺”国庆庆祝活动中，甲、乙、丙三位同学欲报名“朗诵比赛”、“歌唱比赛”，但学校规定每位同学限报其中的一个，且乙知道自已唱歌不如甲，若甲报唱歌，则乙就报朗诵，则他们三人不同的报名方法有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．8种3．记4名同学报名参加学校三个不同体育队，每人限报一队的不同报法种数为A ；记3个班分别从5个风景点中选择一处游览的不同选法种数为B ，则A ，B 分别是( )A ．43,53B ．34,35C ．34,53D ．43,354．设A ，B 是两个非空集合，定义A *B ＝{(a ，b )|a ∈A ，b ∈B }，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3,4}，则P *Q 中元素的个数是( )A ．4B ．7C ．12D ．165．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A ．72种B ．48种C ．24种D ．12种6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A ．6种B ．12种C ．24种D ．30种7. 若自然数n 使得作竖式加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)均不产生进位现象，则称n 为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1000的“良数”的个数为( )A ．27B ．36C ．39D ．488．如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数共有( )A.240个B.285个C.231个D.243个9．已知集合A ={x | －2≤x ≤10，x ∈Z}，m, n ∈A ，方程221x y m n+=表示长轴在x 轴上的椭圆，则这样的椭圆共有 （A ）45个 （B ）55个 （C ）78个 （D ）91个10．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中各个矩形的边前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ）（A ）25 （B ）15 （C ）13 （D ）1011.设ABCDEF 为六边形，一只青蛙开始在A 处，它每次可随意跳到相邻两顶点之一．若在5次内（包括5次）跳到D 处，则停止跳动．那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法的种数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012.如图所示，用四种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种13.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元,某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全,至少要( )A.3 360元B.6 720元C.4 320元D.8 640元答题卡题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案14___________________15___________________ 16___________________17___________________18___________________19___________________ 20___________________21___________________A B C DMN22__________ ___________ _____________23___________________14．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．15．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数有________种.16．学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有________种(用数字作答)．17．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.18．72的正约数(包括1和72)共有___________个.19.计划展出6幅不同的画,其中1幅水彩画,2幅油画,3幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列法有___________种.20..电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竟猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中确定一名幸运伙伴,有_____________种不同的结果.21.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y＝ax2+bx+c的系数,问能组成__________条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线22．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目(1)每人恰好参加一项，每项人数不限,有________种不同的报名方法(2)每项限报一人，且每人至多参加一项,有________种不同的报名方法(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限,有________种不同的报名方法23．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有________种不同的安排方法3412 3 45 6 789课时作业(五十七)【基础热身】1．C 解析b有6种取法，a也有6种取法，由分步乘法计数原理共可以组成6×6＝36个虚数．2．B 解析从甲着手分析，分两类：若甲报唱歌，乙则报朗诵，丙可任选，有2种报名方法；若甲报朗诵，则乙、丙均可任选，有2×2＝4(种)报名方法．所以共有2＋4＝6(种)不同的报名方法．3．C 解析 4名学生参加3个运动队，每人限报一个，可以报同一运动队，应该是人选运动队，所以不同的报法种数是34，故A＝34；3个班分别从5个风景点中选择一处游览，应该是班选风景点，故不同的选法种数是53，故B＝53.4．C 解析由分步乘法计数原理知有3×4＝12个．【能力提升】5．A 解析先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种．6．C 解析方法1：两人各选修2门的种数为C24C24＝36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为C24＝6，故恰好有1门相同的选法有24种．方法2：恰有1门相同，先从4门选1门，选法C14，然后甲从剩下的3门选1门，乙再从甲选后剩下的2门中选1门，根据乘法原理共有选法4×3×2＝24种．7．D 解析一位良数有0,1,2，共3个；两位数的良数十位数可以是1,2,3，两位数的良数有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的良数有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共3×3＝9个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位良数，共有3×9＝27个．根据分类加法计数原理，共有48个小于1000的良数．8．如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数共有( )A.240个B.285个C.231个D.243个解析:当十位数字是9时,百位数字有8种取法,个位数字有9种取法,此时取法种数为8×9;当十位数字是8时,百位数字有7种取法,个位数字有8种取法,此时取法种数为7×8,依此类推,直到当十位数字是2时,百位数字有1种取法,个位数字有2种取法,此时取法种数为1×2,所以总的个数为1×2+2×3+3×4+…+8×9＝240.9．已知集合A={x| －2≤x≤10，x∈Z}，m, n∈A，方程221x ym n+=表示长轴在x轴上的椭圆，则这样的椭圆共有（A）45个（B）55个（C）78个（D）91个10．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）（A）25 （B）15 （C）13 （D）10解：∵只能向东或向北两个方向沿图中的矩形的边前进，向北方向走的路线有3条，向东方向走的路线有5条，走路时向北方向有3种结果向东方向有5种结果，∴根据分步计数原理知共有3×5=15种结果，故选B．解：从A到D可能的情况是：①只跳三次：ABCD、AFED两种；②正好跳五次：ABCDED、AFEDCD、ABCDCD、AFEDED、AFABCD、ABBAFED、ABCBCD、AFEFED共8中，故可能出现的不同跳法的种数是：2+8=10种．故选D．12.分三类：①B、D、E、F用四种颜色，则有A44×1×1＝24种方法；②B、D、E、F用三种颜色，则有A34×2×2＋A34×2×1×2＝192种方法；③B、D、E、F用两种颜色，则有A24×2×2＝48，所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264种．13．解析:从01至10的三个连号的个数有8种;从11至20的两个连号的个数有9种;从21至30的单选号的个数有10种,从31至36的单选号的个数有6种,故总的选法有8×9×10×6＝4 320种,可得需要钱数为8 640元.答案:D14. 解析由分步乘法计数原理有4×3＝12.15．6 解析左上方只能填1，右下方只能填9，此时4的上方只能填2.右上方填5时，其下方填6,7,8；右上方填6时，其下方填7,8；右上方填7时，其下方只能填8，此时左下方的两个格填法随之确定．故只能有3＋2＋1＝6种填法．解：∵由题意知，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，∴3的左边只可以填1和2，有两种选择，3的左边可以填写5，6，7，当这两个位置的数字确定以后，整个表格是确定的形式，∴填写表格的办法有2×3=6种结果，故答案为：6．16．144 解析有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是(1,2)，(3,4)；(1,2)，(4,5)；(1,2)，(5,6)；(2,3)，(4,5)；(2,3)，(5,6)；(3,4)，(5,6)，共六种情况，把四名教师进行全排列，有A44＝24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同的排法6×24＝144种．17．108 解析分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同色，则2,6的涂法为2×2，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是C13(2×2＋C12×1)×(2×2＋C12×1)＝3×6×6＝108.18.72的正约数(包括1和72)共有___________个.解析:72＝23×32.∴2m ·3n (0≤m≤3,0≤n≤2,m 、n ∈N )都是72的正约数.m的取法有4种,n 的取法有3种,由分步计数原理共3×4(个). 答案:1219.计划展出6幅不同的画,其中1幅水彩画,2幅油画,3幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列法有___________种. 解析:先把每种品种的画看成一个整体,而水彩画只能放在中间,又油画与国画放在两端有2种放法,再考虑2幅油画本身排放有2种方法,3幅国画本身排放有3×2＝6(种)方法,故不同的陈列法有2×2×6＝24(种). 答案:2420..电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竟猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中确定一名幸运伙伴,有_____________种不同的结果. 解析:分两类:(1)幸运之星在甲箱中抽,先定幸运之星,再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400种结果;(2)幸运之星在乙箱中抽,同理有20×19×30＝11 400(种)结果,因此共有不同结果17 400+11 400＝28 800(种).答案:28 80021.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y ＝ax 2+bx+c 的系数,问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线? 解:抛物线经过原点,得c ＝0,当顶点在第一象限时,a ＜0,02>-ab, 即⎩⎨⎧><,0,0b a 则有3×4＝12(种); 当顶点在第三象限时,a ＞0,02<-ab, 即a ＞0,b ＞0,则有4×3＝12(种); 共计有12+12＝24(种).14．解答 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理知共有方法36＝729种．(2)每项限报一人，且每人至多限报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理得共有报名方法6×5×4＝120种．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法63＝216种．15．解答 首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类： 第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1＝3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2＝12种选法．再由分类计数原理知共有6＋12＝18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法． 所以共有3＋18＋16＝37种选法． 【难点突破】。

1 2 4 5 3《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》基本练习一、 选择题1．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（ ）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．122.由0,1,2,3,...,9十个数码和一个虚数单位i 可以组成虚数的个数为（ ）A.100 B ．10 C ．9 D ．903.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ）A ．10种B ．52种 Ｃ．25种 Ｄ．42种 4.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．375.4名同学分别报名参加数、理、化竞赛，每人限报其中的1科，不同的报名方法种数 （ ）A ．24B ．4C ．34D ．436.甲、乙、丙三个电台，分别有3、4、4人，新年中彼此祝贺，每两个电台的人都彼此一一通话，那么他们一共要通话( )A ．40次B ．48次C ．36次D ．24次。

7.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示五个盒子中。

要求每个盒子只能放一个小球，且A 不能放1，2号，B 必须放在与A 相邻的盒子中。

则不同的放法有（ ）种A.42B.36C.32D.308.一只青蛙在三角形ABC 的三个顶点之间跳动，若此青蛙从A 点起跳，跳4次后仍回到A 点，则此青蛙不同的跳法的种数是( )A ．4B ．5C ．6D ．79.一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )A ．6种B ．8种C ．36种D ．48种10.现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）A.1024种B.1023种C.1536种D. 1535种11.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线12.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．13.电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生 _________种不同的信息．14.在1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各位数字之和为9的三位数共有________个．。

（5）分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为( )A.8B.9C.12D.242.从6人中选出4人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为( )A.94B.180C.240D.2863.某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数为( )A.12B.24C.48D.7204.旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游.已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线数为( )A.24B.18C.16D.105.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现提供5种颜色给其中5个小区域A，B，C，D，E涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )A.120种B.260种C.340种D.420种6.已知从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，若要从其中面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则不同的走法最多时应( )A.从东面上山B.从西面上山C.从南面上山D.从北面上山7.用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须都使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有( )A.6个B.9个C.18个D.36个8.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全（每组号买一注），需要( )A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元9.由中华人民共和国商务部和上海市人民政府主办的第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在中国上海国家会展中心举办，本届进口博览会新设了公共卫生防疫、节能环保、智慧出行和体育用品及赛事等四大专区.将甲、乙、丙、丁等5名志愿者分派到新设的四个专区，要求每个新设的专区至少分到一人，则甲被分派到公共卫生防疫专区的分法种数为( )A.24B.36C.60D.7210.某旅行社共有5名专业导游，其中3人会英语，3人会日语，若在同一天要接待3个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要安排会英语的导游，1个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有( )A.12B.13C.14D.1511.某新闻采访组由5名记者组成，其中甲、乙、丙、丁为成员，戊为组长.甲、乙、丙、丁分别来自A，B，C，D四个地区.现在该新闻采访组要到A，B，C，D四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有___________种. 12.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有___________个.（用数字作答）13.某栏目组在一节目中拿出两个信箱，信箱中放着观众的来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封.现由主持人不放回地抽取来信，若先从两箱中抽取一封确定来信者为幸运之星，再从两箱中各抽取一封确定来信者为幸运观众，则有__________种不同的结果.14.有A，B，C三个城市，每天上午从A城去B城有5班汽车，2班火车，都能在12:00前到达B城，下午从B城去C城有3班汽车，2班轮船.某人上午从A城出发去B城，要求12:00前到达，下午从B城去C城，则不同的走法有__________种.15.从甲、乙、丙等10名学生中选派4人参加某项活动，若甲入选则乙一定入选，若甲不入选则丙一定入选，则共有_________种选派方案.答案以及解析1.答案：B解析：设四个班分别是A 、B 、C 、D ，对应的数学老师分别是a 、b 、c 、d.让a 老师先选，可从B 、C 、D 班中选一个，有3种选法，不妨假设a 老师选的是B ，则b 老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法.由分步乘法计数原理，知共有33119⨯⨯⨯=种不同的安排方法.故选：B.2.答案：C解析：第一步，因为甲、乙两人都不能参加化学比赛，所以从剩下的4人中选1人参加化学比赛，共有4种选法；第二步，在剩下的5人中任选3人参加数学、物理、生物比赛，共有54360⨯⨯=种选法. 由分步乘法计数原理，得不同的参赛方案的种数为460240⨯=，故选：C.3.答案：C解析：先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有22A 种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有33A 种不同的排法，再排2本语文书，有22A 种不同的排法，最后排2本英语书，有22A 种不同的排法.根据分步乘法计数原理，得共有23222322A A A A 48=种不同的排法.故选C.4.答案：D解析：小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区旅游，则可选的路线有33A 种；②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有1222C A ⨯种.所以小李可选的旅游路线数为312322A C A 10+⨯=.5.答案：D解析：分四步：①区域A 涂色方案有5种；②区域B 涂色方案有4种；③区域C 涂色方案有3种；④对于区域D ，E ，若D 与B 颜色相同，则区域E 涂色方案有3种，若D 与B 颜色不同，则区域D ，E 涂色方案均有2种，所以区域D ，E 涂色方案共有3227+⨯=（种）.故不同的涂色方案有5437420⨯⨯⨯=（种）.故选D.6.答案：D解析：从东面上山，不同的走法共有2(334)20⨯++=（种）；从西面上山，不同的走法共有3(234)27⨯++=（种）；从南面上山，不同的走法共有3(234)27⨯++=（种）；从北面上山，不同的走法共有4(233)32⨯++=（种）.所以应从北面上山.故选D.7.答案：C解析：由题意，知1，2，3中必有某一个数字使用2次，第一步，确定谁被使用2次，有3种情况；第二步，把这2个相同的数字放在四位数不相邻的两个数位上，有3种情况；第三步，将余下的2个数字放在四位数余下的两个数位上，有2种情况.故符合题意的四位数有33218⨯⨯=（个）.故选C.8.答案：D解析：从01至10中选3个连续的号，有8种选法；从1l 至20中选2个连续的号，有9种选法；从21至30中选1个号，有10种选法；从31至36中选1个号，有6种选法.故总的选法有891064320⨯⨯⨯=（种），可得需要243208640⨯=（元）.故选D. 9.答案：C解析：若甲被单独分派到公共卫生防疫专区，则有2343C A 36=种分法，若甲没有被单独分派到公共卫生防疫专区，则有44A 24=种分法，根据分类加法计数原理可得，共有362460+=种分法.10.答案：C解析：由题意知有1名导游既会英语又会日语，记甲为既会英语又会日语的导游，按照甲是否被安排到需要会英语的旅游团可分为两类：第一类，甲被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，从会英语的另外2人中选出1人，有2种选法，将选出的人和甲安排到2个需要会英语的旅游团，有2种安排方法，所以有224⨯=种安排方法；第二步，从会日语的另外2人中选出1人安排到需要会日语的旅游团，共2种选法. 故此时共有428⨯=种安排方法；第二类，甲没有被安排到需要会英语的旅游团，则可分两步进行：第一步，将会英语的另外2人安排到需要会英语的旅游团，有2种安排方法；第二步，从会日语的3人（包括甲）中选出1人安排到需要会日语的旅游团，有3种选法.故此时共有236⨯=种选法.综上，不同的安排方法种数为8614+=.故选：C.11.答案：44解析：分两类：①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有()3311436⨯⨯⨯⨯=； ②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有()21148⨯⨯⨯=.所以总数36844+=.故答案为：44.12.答案：48解析：依题意，组成的没有重复数字的四位数的百位上的数字为5，分两步进行分析：①组成的四位数的千位上的数字不能为0，则千位上的数字有4种选法；②在剩下的4个数字中选出2个，分别安排在十位和个位上，不同的安排方法共有24A 12=（种）.则符合条件的四位数共有12448⨯=（个）.13.答案：28800解析：分两类：①当幸运之星在甲箱中抽取时，不同的结果有30292017400⨯⨯=（种）；②当幸运之星在乙箱中抽取时，不同的结果有20193011400⨯⨯=（种）.所以不同的结果共有174001140028800+=（种）.14.答案：35解析：由题意，知从A 城到B 城的走法有527+=（种）；从B 城到C 城的走法有325+=（种）.故不同的走法有7535⨯=（种）.15.答案：84解析：当甲入选时，乙一定入选，另外2人可从剩余的8人中选取，共有28C 种方案；当甲不入选时，丙一定入选，另外3人可从剩余的8人中选取，共有38C 种方案.根据分类加法计数原理，得选派方案共有233889C C C 84+==（种）.。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理题目示例文章篇一：哎呀呀，啥是分类加法计数原理和分步乘法计数原理呀？这可把我这个小学生难倒啦！老师在课堂上讲的时候，我一开始那是一头雾水，感觉就像掉进了一个巨大的数字迷宫里。

你能想象吗？就好像我在森林里迷路了，找不到出去的方向。

比如说，我们班组织活动，要选班长和学习委员。

选班长呢，有5 个同学可以选；选学习委员呢，又有另外3 个同学可以选。

那总共可以有多少种选法？这就是分类加法计数原理呀！这就好比我有5 种不同口味的糖果，又有3 种不同形状的饼干，那我拥有的零食种类不就是5 + 3 嘛！还有分步乘法计数原理呢。

就像我们从家去学校，要先坐公交车，有3 路车可以选；到了中转站，又有2 种不同的路线能到学校。

那能有多少种去学校的方法？这就得用乘法啦，3×2 = 6 种，是不是很神奇？这就好像我要搭积木盖房子，第一层有3 种搭法，第二层又有2 种搭法，那搭成完整房子的方法不就是它们相乘嘛！我和同桌讨论这两个原理的时候，我问他：“你说这咋这么绕呢？”他摇摇头说：“我也有点晕乎。

”然后我俩一起琢磨，互相讲给对方听。

还有一次，我回家问爸爸妈妈，他们一开始也被我问懵了，后来爸爸想了想说：“这就像我们出门旅游，选择交通工具是一类，选择路线又是一类，把它们组合起来就是各种不同的出行方案啦。

”妈妈在旁边笑着点头。

经过这么多次的讨论和思考，我好像慢慢有点明白啦。

这两个计数原理就像是我的小帮手，能帮我解决好多好多生活中的数学问题呢！你说，数学是不是很有趣又很神奇？虽然有时候它让我头疼，但搞明白之后，那种成就感简直太棒啦！反正我觉得，只要多思考多练习，就没有搞不定的数学难题！示例文章篇二：哎呀，这“分类加法计数原理与分步乘法计数原理”可真是让我头疼了好一阵子呢！你能想象吗？就好像我在一个超级大的迷宫里，到处都是数字和符号，我得努力找到出去的路。

有一次上课，老师在黑板上写了一道题：从甲地到乙地，有3 条路可走，从乙地到丙地，有2 条路可走，那么从甲地经过乙地到丙地，有几种走法？我看着这道题，心里直嘀咕：“这可咋整啊？”同桌小明凑过来悄悄说：“这还不简单，用分步乘法计数原理呗！”我瞪了他一眼说：“我要是会还用你说？”老师看到我们在下面交头接耳，就问：“谁来说说这道题该怎么做？”我赶紧低下头，心里祈祷着：“千万别叫我，千万别叫我！”可是怕啥来啥，老师的目光还是落在了我身上，说：“来，这位同学，你说说看。

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（精练）【题组一分类加法计数原理】1．（2021·南宁市银海三美学校）某小组有8名男生,4名女生,要从中选取一名当组长,不同的选法有（）A．32种B．9种C．12种D．20种【答案】C【详细解析】从8名男生4名女生选取一名当组长,是男生的选法有8种,是女生选法的有4种,共有12种. 故选:C.2．（2021·四川乐山）从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）A．8 B．6 C．5 D．2【答案】A【详细解析】由题意分两种情况讨论:一是从甲地经过乙地到丙地,因为从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,⨯=种,所以从甲地到丙地的走法有326二是从甲地不经过乙地到丙地,因为从甲地不经过乙地到丙地有2条所以从甲地到丙地的走法有2种,+=种,故从甲地到丙地的走法共有628故选:A3．（2020·三亚华侨学校）某同学从4本不同的科普杂志,3本不同的文摘杂志,2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读,则不同的选法共有（）A．24种B．9种C．3种D．26种【答案】B【详细解析】某同学从4本不同的科普杂志任选1本,有4种不同选法,从3本不同的文摘杂志任选1本,有3种不同的选法,从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本,有2种不同的选法,++=种.根据分类加法原理可得,该同学不同的选法有:4329故选:B.4．（2021·山东高二）现有高一学生5名,高二学生4名,高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛,有多少种不同的选法（）A．60 B．45 C．30 D．12【答案】D【详细解析】因为三个年级共有12名学生,由分类加法计数原理可得:从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛,共有12种不同的选法.故选:D.5．（2020·博兴县第三中学高二月考）若一位三位数的自然数各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如:232,114等,则不超过200的“单重数”中,从小到大排列第22个“单重数”是（）A．166 B．171 C．181 D．188【答案】B【详细解析】由题意可得:不超过200的数,两个数字一样同为0时,有100,200有2个,两个数字一样同为1时,有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18个,两个数字一样同为2时,有122,有1个同理,两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个,综上,不超过200的“单重数”共有2+18+8=28,其中最大的是200,较小的依次为199,191,188,181,177,171,故第22个“单重数”为171,故选:B.6（2020·大名县第一中学）某玩具厂参加2020年邯郸园博园产品展出,带了四款不同类型不同价格的玩具牛,它们的价格费你别是20,30,50,100,某礼品进货商想趁牛年之际搞一个玩具特卖会,准备买若干款不同类型的玩具样品（每款只购一只,且必须至少买一款）,因信用卡出现故障,身上现金只剩170元,请问该礼品进货商购买玩具样品的方案有___种（用数字表示）.【答案】13【详细解析】依题意,每款只购一只,且必须至少买一款,且消费金额不能超过170元,故可分为以下几种情况:①只购买一款玩具样品,共四种方案②购买两款玩具样品,买20和30的各一只;买20和50的各一只;买20和100的各一只;买30和50的各一只;买30和100的各一只;买50和100的各一只;共六种方案;③购买三款玩具样品买20,30和50的各一只;买20,30和100的各一只;买20、50和100的各一只;共3种方案;所以购买玩具的方案共有13种;故答案为:137．（2020·陕西高二期末）某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读,则不同的选法共有_______________种【答案】9【详细解析】根据题意,选取的杂志可分三类:科普,文摘,娱乐新闻．++=种不同选法．故答案为:9.共4329?【题组二分步乘法计数原理】1．（2020·广东云浮·高二期末）某演讲比赛候选人中高一学生5名,高二学生4名,高三学生3名,从每个年级中各选1人参加市团委组织的演讲比赛,则不同的选法有（）A．60种B．45种C．30种D．12种【答案】A⨯⨯=种不同的选法．故选:A.【详细解析】由乘法计数原理可得共有543602．（2020·陕西高二期末）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务,不同的分配方案有（）A．12种B．9种C．8种D．6种【答案】C【详细解析】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法,根据分步计数原理可知,不同的分配方案=种.总数为328故选:C3．（2020·山东菏泽·高二期末）从A地到B地要经过C地,已知从A地到C地有三条路,从C地到B地有四条路,则从A地到B地不同的走法种数是（）A．7 B．9 C．12 D．16【答案】C【详细解析】根据题意分两步完成任务:第一步:从A地到C地,有3种不同的走法;第二步:从C地到B地,有4种不同的走法,⨯=种,根据分步乘法计数原理,从A地到B地不同的走法种数:3412故选:C.4．（2020·陕西高二月考（理））有6位同学报名参加三个数学课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法共有（）A．63B．36C．36A D．36C【答案】A【详细解析】由题意知本题是一个分步计数问题,第一个同学有3种报法,第二个同学有3种报法,后面的四个同学都有三种报法,根据分步计数原理知共有63种结果,故选:A．5．（2020·湖北车城高中高二期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有（）A．150种B．180种C．240种D．120种【答案】 B【详细解析】分步涂色,第一步对A涂色有5种方法,第二步对B涂色有4种方法,第三步对C涂色有3种方法,第四步对D涂色有3种方法,⨯⨯⨯=．∴总的方法数为5433180故选:B．6．（2020·广东佛山·高二期末）已知某体育场有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为__.【答案】12【详细解析】根据题意,某体育场有4个门,从一个门进,有4种走法,另一个门出,有3种走法,则有4312⨯=种不同的走法.故答案为:12.7．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中）一电路图如图所示,从A 到B 共有__________条不同的线路可通电.【答案】8【详细解析】根据电路图可知,共有22138⨯++=条不同的线路可通电.故答案为:88．（2020·浙江高三其他模拟）现有6名选手参加才艺比赛,其中男、女选手各3名,且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同,则不同的出场方式的种数为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24 【答案】B【详细解析】设3名男选手分别为1A ,2A ,3A ,他们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,3名女选手分别为1B ,2B ,3B ,她们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,若第一个出场的是1A ,则第二个出场的只能是2B 或3B ,若第二个出场的是2B ,则接下来的出场顺序只能是3A ,1B ,2A ,3B ,同理,若第二个出场的是3B ,则接下来的出场顺序只能是2A ,1B ,3A ,2B ,所以若1A 第一个出场,则不同的出场方式有2种,故不同的出场方式共有2612⨯=（种）,故选:B【题组三 两个计数原理综合运用】1．（2020·常州市新桥高级中学高二期中）现用五种不同的颜色,要对如图中的四个部分进行着色,要求公共边的两块不能用同一种颜色,共有__________种不同着色方法【答案】260【详细解析】先排I ,有5种方法;然后排II,IV ,最后排III :①当II,IV 相同时,方法有44⨯种,故方法数有54480⨯⨯=种.②当II,IV 不同时,方法有433⨯⨯种,故方法数有5433180⨯⨯⨯=种.综上所述,不同的着色方法数有80180260+=种.故答案为:2602．（2020·陕西咸阳·高二期末（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账,则他们结账方式的组合种数共________种．【答案】20【详细解析】当乙用现金结算时,此时甲和乙都用现金结算,所以丙有3种方法,丁有4种方法,共有3412⨯=种方法,当乙用银联卡结算时,此时甲用现金结算,丙有2种方法,丁有4种方法,共有248⨯=种方法,综上,共有12820+=种方法.故答案为:20.3．（2020·广东）已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲.乙结账方式不同,丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数共有 种【答案】20【详细解析】当乙用现金结算时,此时甲和乙都用现金结算,所以丙有3种方法,丁有4种方法,共有3412⨯=种方法;当乙用银联卡结算时,此时甲用现金结算,丙有2种方法,丁有4种方法,共有248⨯=种方法,综上,共有12820+=种方法.故选:D4．（2020·浙江高三其他模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方案有______种.【答案】144【详细解析】第一步,对区域1进行涂色,有4种颜色可供选择,即有4种不同的涂色方法;第二步,对区域2进行涂色,区域2与区域1相邻,有3种颜色可供选择,即有3种不同的涂色方法;第三步,对区域3进行涂色,区域3与区域1、区域2相邻,有2种颜色可供选择,即有2种不同的涂色方法; 第四步,对于区域4进行涂色,区域4与区域2、区域3相邻,有2种颜色可供选择,即有2种不同的涂色方法; 第五步,对区域5进行涂色,若其颜色与区域4相同,则区域6有2种涂色方法,若其颜色与区域4不同,则区域6只有1种涂色方法,故区域5,6共有213+=种涂色方法,由分步乘法计数原理知,不同的涂色方案的种数为4322(21)144⨯⨯⨯⨯+=.故答案为:1445．（2021·浙江诸暨中学）假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张,要支付贰佰壹拾玖（219）元的货款,则有________种不同的支付方式.【答案】6【详细解析】9元的支付有两种情况,522++或者5211+++,①当9元采用522++方式支付时,200元的支付方式为2100⨯,或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有1313⨯⨯=种支付方式;②当9元采用5211+++方式支付时:200元的支付方式为2100⨯,或者1100250⨯+⨯或者110015022010⨯+⨯+⨯+共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有1313⨯⨯=种支付方式;所以总的支付方式共有336+=种．故答案为:6．6．己知六个函数:①21y x =;②cos y x =;③12y x =;④sin y x =;⑤1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭;⑥1y x =+,从中任选三个函数,则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有_______种.【答案】12【详细解析】对于①,因为21y x=,定义域为()(),00,-∞⋃+∞且满足()()f x f x -=,故为偶函数; 对于②,因为cos y x =,定义域为R 且满足()()f x f x -=,故为偶函数;对于③,因为12y x =,定义域为[)0,+∞,故非奇非偶函数;对于④,因为sin y x =,定义域为[]1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数;对于⑤,因为1lg 1x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭,定义域为()1,1-且满足()()f x f x -=-,故为奇函数; 对于⑥,因为1y x =+,根据函数图象可知为非奇非偶函数.综上所述,函数中奇函数的有④⑤,偶函数的有①②,③⑥为非奇非偶函数.任选3个函数,既有奇函数又有偶函数的情况分类讨论:当选1奇和2偶时,21⨯种;当选2奇和1偶时,12⨯种;当选1奇,1偶,1非奇非偶时,2228⨯⨯=种.∴一共有12种选法.故答案为:12.7．（2020·河南南阳华龙高级中学高二月考）有一项活动,需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.（1）若只需选1人参加,则有多少种不同的选法?（2）若需要老师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法?（3）若需要1名老师、1名学生参加,则有多少种不同的选法?【答案】（1）16;（2）120;（3）39.【详细解析】（1）需一人参加,有三类:第一类选老师,有3种不同的选法;第二类选男生,有8种不同的选法;第三类选女生,有5种不同的选法.共有38516++=种不同的选法;（2）需老师、男同学、女同学各一人,则分3步,第一步选老师,有3种不同的选法;第二步选男生,有8种不同的选法;第三步选女生,有5种不同的选法.共有385120⨯⨯=种不同的选法;（3）第一步选老师有3种不同的选法,第二步选学生有8513+=种不同的选法,共有31339⨯=种不同的选法.。

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布（理）概率（文）第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理（理）时间：45分钟分值：75分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1 .教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到四层共有走法种数为（）A. 6B. 23C. 42D. 44解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择f/.23 = 8.答案B2.按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、0、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有（）A. 6种B. 9种C. 10种D. 12 种解析找出其父母血型的所有情况分两步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3X3 = 9（种）・答案B3∙ （2014・惠州月考）2012年奥运会上，8名运动员争夺3项乒乓球冠军，获得冠军的可能有（）A. 83种B. 38种D. C3种8解析把8名运动员看作8家“店” 3项冠军看作3位“客”，它们都可住进任意一家“店”，每位“客”有8种可能.根据乘法原理，共有8义8 X 8=83（种）不同的结果.答案A4.若三角形的三边均为正整数，其中一边长为4,另外两边长分别为A C,且满足bW4Wc,则这样的三角形有（）A. 10 个B. 14 个C. 15个D. 21 个解析当b=1时，c = 4 ;当b=2时，c=4,5 ；当b = 3时，C =4,5,6 ;当b = 4时，c=4,5,6,7.故共有10个这样的三角形.答案A5.（2014∙湘潭月考）25人排成5义5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有（）A. 60 种B. IOo种C. 300种D. 600种解析5×5的方阵中，先从中任意取3行，有C§ = 10（种）方法，再从中选出3人，其中任意2人既不同行也不同列的情况有CleC 二5 4 3 60（种），故所选出的3人中任意2人既不同行也不同列的选法共有10X60 = 600（种）.6.（2013・山东卷）用0,1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A. 243B. 252C. 261D. 279解析0~9能组成的三位数的个数为9×10×10 = 900（个），能组成的无重复数字的三位数个数为9×9×8 = 648（个），故能组成的有重复数字的三位数的个数为900 - 648=252（个），故选B.答案B二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）7 .如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有个.解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类,有一条公共边的三角形共有8X4 = 32（个）；第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32 + 8=40（个）.8 .有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现从三名工人中选两名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有种.解析若选甲、乙两人，则有甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙两人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙两人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法..∙.共有2 + 1 +1 = 4（种）不同的选派方法.答案49 .用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是（用数字作答）.解析若1在①或⑥号位，2在②或⑤号位，方法数各4种.若1在②、③、④、⑤号位，2的排法有2种，方法数各8种，故有4 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40（个）.答案40三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）10 .某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB 型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 解从O 型血的人中选1人有28种不同的因去,从A 型血的人 中选1人共有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人共有9种不 同的选法,从AB 型血的人中选1人共有3种不同的选法.⑴任选1人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任 选1人去献血”的事情就已完成，所以用分类加法计数原理，有28 + 7 + 9 + 3 = 47(种)不同选法.(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次 选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘 法计数原理，有28X7X9X3 = 5 292(种)不同的选法.子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在1,2号，B 球 必须放在与A 球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种?解根据A 球所在位置分三类： d小鬼放11.编号为A, B, C, D, E 的五 如图所示的五个盒⑴若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E ,则根据分步乘法计数原理得，3X2Xl = 6（种）不同的放法；（2）若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E ,则根据分步乘法计数原理得，3X2Xl = 6（种）不同的放法；⑶若A球放在4号盒子内，则8球可以放在2号、3号、5号盒子中的彳丑可一个，余下的三个盒子放球C。

专题十计数原理【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、计数原理、排列、组合1.分类加法计数原理,分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用两个原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.从近几年高考命题情况来看,这一部分主要考查分类加法、分步乘法计数原理以及排列、组合的简单应用.题型以选择题、填空题为主,在解答题中一般将排列、组合知识综合起来,有时也与求事件概率,分布列问题相结合考查.1.求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数求解所求的项.2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.1.用排列、组合知识解决计数问题时,如果遇到的情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太容易计算时,往往利用表格法、树状图法将其所有的可能一一列举出来,这样会更容易得出结果.2.求解二项展开式的特定项时,即求展开式中的某一项,如第n项,常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项,先准确写出通项T r+1=r a n-r b r,再把系数与字母分离出来(注意符号),最后根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出关系式求解即可.二、二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【真题探秘】§10.1计数原理与排列、组合基础篇固本夯基【基础集训】考点计数原理、排列、组合1.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( )A.60B.96C.48D.72答案 C2.在我国第一艘航空母舰“某某舰”的某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼-15”飞机甲、乙、丙、丁、戊准备着舰,规定乙机不能最先着舰,且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻),那么不同的着舰方法种数为( )A.24B.36C.48D.96答案 C3.中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( )A.72种B.36种C.24种D.18种答案 B5.将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C6.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有( )A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种答案 D7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有种.答案1808.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12综合篇知能转换【综合集训】考法一排列、组合问题的解题方法1.(2019某某万州二模,6)某中学某班主任要从7名同学(其中3男4女)中选出两名同学,其中一名担任班长,另一名担任学习委员,且这两名同学中既有男生又有女生,则不同的安排方法有( )A.42种B.14种C.12种D.24种答案 D2.(2018某某某某调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数,这样的四位数有( )A.250个B.249个C.48个D.24个答案 C3.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( )A.18种B.24种C.48种D.36种答案 B4.(2019某某嘉峪关一中模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为.答案605.(2020届某某某某执信中学10月月考,14)有6X卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4X,可排出的四位数有个.答案14考法二分组分配问题的解题方法6.(2018某某某某二模,8)某某西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( )A.90种B.180种C.270种D.360种答案 B7.(2019某某某某第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有( )A.72种B.108种C.180种D.360种答案 C8.(2018某某某某一模,5)某学校为了更好地培养尖子生,使其全面发展,决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”,要求每名教师的“包教”学生不超过2人,则不同的“包教”方案有( )A.60种B.90种C.150种D.120种答案 B9.(2020届某某某某一中10月月考,7)小明和小红都计划在国庆节的7天假期中,到某某“两日游”,若他们不同一天出现在某某,则他们出游的不同方案共有( )A.16种B.18种C.20种D.24种答案 C【五年高考】考点计数原理、排列、组合1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B3.(2015某某,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B4.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规X01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规X01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个答案 C5.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案166.(2017某某,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 0807.(2017某某,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6608.(2015某某,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560教师专用题组考点计数原理、排列、组合1.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种答案 C2.(2014某某,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168答案 B3.(2014某某,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C4.(2014某某,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130答案 D5.(2014某某,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案 D6.(2014某某,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B7.(2014某某,14,4分)在8X奖券中有一、二、三等奖各1X,其余5X无奖.将这8X奖券分配给4个人,每人2X,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案608.(2014,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案369.(2018某某,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2…i n的一个逆序,排列i1i2…i n的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2), f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解析本题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以f n(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n(1)=n-1.为计算f n+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此, f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.当n≥5时,f n(2)=[f n(2)-f n-1(2)]+[f n-1(2)-f n-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22.因此,当n≥5时, f n(2)=n 2-n-22.疑难突破要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“f n(k)”的含义,不妨从比较小的1,2,3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的排列中的倒数第2个位置、f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到f n+1(2)与f n(2),f n(1), f n(0)的关系:f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n,从而得到f n(2)(n≥5)的表达式.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届九师联盟9月质量检测,8)从1,3,5,7,9中任取两个数,从0,2,4,6,8中任取2个数,则组成没有重复数字的四位数的个数为( )A.2 100B.2 200C.2 160D.2 400答案 C2.(2020届某某某某一中第一次月考,8)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,那么不同的选法有( )A.50种B.60种C.70种D.90种答案 C3.(2020届某某某某七中第二次月考,4)7个人排成一排准备照一X合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有( )A.480种B.720种C.960种D.1 200种答案 C4.(2020届某某洪湖二中月考,9)“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习版块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题版块.某人在学习过程中,“阅读文章”与“视听学习”两个学习版块之间最多间隔一个答题版块的学习方法有( )A.192种B.240种C.432种D.528种答案 C5.(2018全国百所名校冲刺卷(四),8)航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C6.(2019某某金卷先享题二,8)在高三下学期初,某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动,已知现有3名教师对4名学生家庭进行问卷调查,若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查,又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查,那么不同的问卷调查方案的种数为( )A.36B.72C.24D.48答案 A7.(2019某某某某一模)如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有( )A.6种B.9种C.12种D.36种答案 C8.(2018某某哈六中二模,9)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.48B.72C.90D.96答案 D9.(2019某某某某模拟,8)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的.现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品,每个仓库放2种,那么安全存放的不同方法种数为( )A.12B.24C.36D.48答案 D二、多项选择题(共5分)10.(改编题)下列说法正确的是( )A.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,不同的放法有A85种B.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子放球数量不限,不同的放法有85种C.5个相同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,则不同的放法有C85种D.8个相同的小球,放入5个不同的盒子中,每盒不空的放法有C84种答案ABC三、填空题(每题5分,共15分)11.(2020届某某夏季高考模拟,13)某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种.答案3612.(2020届某某寿光现代中学10月月考,14)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间.每个车间至少分配一名员工,甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为.答案3613.(2019某某某某中学第一次摸底考试,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有个.答案12014.(2020届某某东阳中学10月月考,14)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去某某、某某、某某三个城市进行暑期社会实践,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有种;其中学生甲被单独安排去某某的概率是.答案150;775。

专题26 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、单选题1．（2020·湖北省高二期中）将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（）A．12种B．9种C．8种D．6种【答案】C【解析】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的分配方案总数为328种.故选：C2．（2020·山东省高二期中）现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，有多少种不同的选法（）A．60 B．45 C．30 D．12【答案】D【解析】因为三个年级共有12名学生，由分类加法计数原理可得：从中任选1人参加市团委组织的演讲比赛，共有12种不同的选法.故选：D.3．（2020·广东省湛江二十一中高二开学考试）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（）A．21种B．315种C．153种D．143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.4．（2020·浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A．10种B．52种C．25种D．42种【答案】D【解析】共分4步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共42=16种. 故选D．5．（2020·天津大钟庄高中高二月考）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（）A．54B．45C．·45C D．45A【答案】A【解析】对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共有54种可能，答案为A.6．（2020·宁夏回族自治区宁夏育才中学高二开学考试（理））如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．25【答案】C【解析】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有5条，向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果⨯=种结果，选C根据分步计数原理知共有35157．（2020·吉林省长春市实验中学高二期中（理））某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B ､C ､D 中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3､5､6､8､9中选择，其他号码只想在1､3､6､9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）A ．180种B ．360种C ．720种D ．960种【答案】D【解析】根据题意，车主第一个号码在数字3､5､6､8､9中选择，共5种选法，第二个号码只能从字母B ､C ､D 中选择，有3种选法，剩下的3个号码在1､3､6､9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法， 则共有5×3×64=960种， 故选：D.8．（2020·江苏省高二期中）由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）A ．36个B ．42个C ．48个D ．120个 【答案】B【解析】分两类：一、若五位数的个位数是0，则有1432124n =⨯⨯⨯=种情形；二、若五位数的个位数是2，由于0不排首位，因此只有1,3,5有3种情形，中间的三个位置有3216⨯⨯=种情形，依据分步计数原理可得23618n =⨯=种情形．由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为12241842n n n =+=+=，应选答案B ．9．（2020·北京十二中高二月考（理））将数字1，1，2，2，3，3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】A【解析】由题意，可按分步原理计数，第一步，第一行第一个位置可从1，2，3三数字中任意选一个，有三种选法，第二步，第一行第二个位置可从余下两数字中选一个，有二种选法，第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上的数字同，故其有两种选法，第四步，第二行第二个位置，由于不能与第一行第二个数字同也不能第二行第一个数字同，故它只能有一种填法，第五步，第三行第一个数字不能与第一行与第二行的第一个数字同，故其只有一种填法，第六步，此时只余下一个数字，故第三行第二列只有一种填法，由分步原理知，总的排列方法有3×2×2×1×1×1＝12种.故选：A．10．（2020·江西省高三三模（理））在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示1~9的数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以用7根小木棍表示“”，则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的个数是（）A．12B．18C．24D．27【答案】C【解析】数字7、2、1组成6个，数字7、6、1组成6个，数字6、3、1组成6个，数字3、2、1组成6个，共24个符合要求的三位数.故选:C.11．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（）A．46B．44C．42D．40【答案】B【解析】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下(5,0,0),(4,1,0),(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,3,0),(1,4,0),(1,3,1),(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4),2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，则上列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：++++++++++++++=.22242444442242244故选B.12．（2018·浙江省高三三模）三位数中，如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列，则称为“等差三位数”，例如：147，642，777，420等等.等差三位数的总个数为（）A．32 B．36 C．40 D．45【答案】D【解析】由题意得若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为0的“等差三位数”，则只要各位数字不为零即可，有9个；若百位数字、十位数字个位数字构成公差为1的“等差三位数”，则百位数字不大于7，有7个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”，则百位数字不大于5，有5个；若百位数字十位数字个位数字构成公差为3的“等差三位数”，则百位数字不大于3，有3个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为4的“等差三位数”，则百位数字只能为1，有1个；-的“等差三位数，则百位数字不小于2，有8个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为1若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2-的“等差三位数”，则百位数字不小于4，有6个；-的“等差三位数”，则百位数字不小于6，有4个；若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为3-的“等差三位数”，则百位数字不小于8有2个.若百位数字、十位数字个位数字构成公差为4++++++++=个，综上所述，“等差三位数”的总数为97531864245故选：D.二、填空题13．（2020·四川省泸县第二中学高二期中（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.【答案】45【解析】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有⨯=个不同的编号.594514．（2020·汪清县汪清第六中学高二期中（理））现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为__________.【答案】48【解析】根据题意，设需要涂色的四个部分依次分A、B、C、D，对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域C，与区域A,B相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域D，与区域B,C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，⨯⨯⨯=种.则不同的涂色方法有432248故答案为：48．15．（2018·浙江省高三月考）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每格子染一种颜色，并且从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为________．【答案】20从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有：全染黑色，有1种方法；第一个格子染黑色，另外5个格子中有1个格子染白色，剩余的都染黑色，有5种方法；第一个格子染黑色，另外5个格子中有2个格子染白色，剩余的都染黑色，有9种方法；第一个格子染黑色，另外5个格黑子中有3个格子染白色，剩余的都染黑色，有5种方法．+++=．所以从左往右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法数为159520故答案为：20．16．（2020·山东省高二期中）用0，1，2，3，4，5六个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是________；可以组成有重复数字的三位数的个数为________.【答案】100 180【解析】百位的数字可以选择的种数为5种，十位，个位可以选的种数分别为5种，4种⨯⨯；则可组成无重复数字的三位数的种数为554=100⨯⨯=.可组成有重复数字的三位数的种数为566180故答案为：(1).100；(2). 180三、解答题17．小明同学要从教学楼的一层到四层，已知从第一层到第二层有4个扶梯可走，从第二层到第三层有3个扶梯可走，从第三层到第四层有2个扶梯可走，那么小明同学从第一层到第四层有多少种不同的走法？【答案】24【解析】第1步，从第一层到第二层有4种不同的走法；第2步，从第二层到第三层有3种不同的走法；第3步，从第三层到第四层有2种不同的走法；⨯⨯=种．根据分步乘法计数原理，小明同学从教学楼的第一层到第四层的不同走法有43224 18．（2020·唐山市第十一中学高二期中）某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？【答案】（1）48；（2）560.（1）选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．（2）完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法． 19．（2020·宜昌市人文艺术高中（宜昌市第二中学）高二月考）已知集合{}3,2,1,0,1,2M =---，若a ，b ，c ∈M ，则：（1）2y ax bx c =++可以表示多少个不同的二次函数？（2）2y ax bx c =++可以表示多少个图象开口向上的二次函数？【答案】（1）180；（2）72.【解析】（1）因为a 不能取0，所以有5种取法，b 有6种取法，c 有6种取法，所以2y ax bx c =++可以表示566180⨯⨯=个不同的二次函数. （2）2y ax bx c =++的图象开口向上时，a 不能取小于等于0的数，所以有2种取法，b 有6种取法，c 有6种取法，所以2y ax bx c =++可以表示26672⨯⨯=个图象开口向上的二次函数20．（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期中（理））一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.（1）从两个口袋中任取一封信，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？（3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？【答案】（1）9，（2）20，（3）94【解析】（1）任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，是分类问题从第一个口袋中取一封信有5种情况，从第二个口袋中取一封信有4种情况+=种则共有549（2）各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能完成这件事，是分步问题应分两个步骤完成，第一步，从第一个口袋中取一封信有5种情况，第二步，从第二个口袋中取一封信有4种情况⨯=种由分步乘法计数原理，共有5420（3）第一封信投入邮筒有4种可能第二封信投入邮筒有4种可能第九封信投入邮筒有4种可能由分步乘法计数原理可知，共有94种不同的投法21．（2020·南京市中华中学高二月考）现有3名医生，5名护士、2名麻醉师．（1）从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？（2）从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？【答案】（1）10；（2）30【解析】（1）分三类：第一类：选出的是医生，共有3种选法；第二类：选出的是护士，共有5种选法；第三类：选出的是麻醉师，共有2种选法；根据分类加法计数原理，共有3+5+2=10种选法.（2）分三步：第一步：选出1名医生，共有3种选法；第二步：选出1名护士，共有5种选法；第三步：选出1名麻醉师，共有2种选法；⨯⨯=种选法.根据分步乘法计数原理，共有3523022．（2020·武汉市钢城第四中学高二期中）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？【答案】（1）15；（2）120；（3）74【解析】（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N=5+6+4=15种；（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N=5×6×4=120种；（3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择：N=5×6+6×4+4×5=74种．；。

第九章计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类加法计数原理.考纲索引2.分类乘法计数原理.1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.课标要求2.会用它们分析和解决一些简单的实际问题.知识梳理1.分类加法计数原理完成一件事情可以有n类方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法,那么完成这件事情共有种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法,那么完成这件事情共有种不同的方法.基础自测3.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有().A. 60种B. 63种C. 65种D. 66种4.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种.(用数字作答)5.有三只口袋装有小球,一只装有5个白球,一只装有6个黑球,一只装有7个红球,若三种颜色的球各取一个,则有种不同的取法.指点迷津◆分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.◆混合问题混合问题一般是先分类再分布.◆画图要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.考向一分类加法计数原理的应用例1高三(1)班有学生50人,男30人,女20人;高三(2)班有学生60人,男30人,女30人;高三(3)班有学生55人,男35人,女20人.(1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中,或从高三(3)班女生中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?【审题视点】运用分类加法计数原理,先求出每类方案的取法,再进行相加即可.【方法总结】分类时,首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注意满足一个基本要求,就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理.1.在所有的两位数中,个位数字小于十位数的两位数字共有多少个?考向二分步乘法计数原理的应用例2现要排一份5天的值班表,每天有一个人值班,共有5个人.每个人都可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共有多少种不同的排法?【审题视点】运用分步乘法计数原理,先分别求出每一天可排的人数,再进行相乘即可.【方法总结】利用分步乘法计数原理解决问题:①要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的;②各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.变式训练2.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?考向三两个计数原理的综合应用例3如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂1种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有().A. 72种B. 96种C. 108种D. 120种【审题视点】分成1,3同色与1,3不同色两类,分别求出涂色法,再进行相加.【方法总结】对于某些复杂的问题,有时既要用分类加法计数原理,又要用分步乘法计数原理.运用两个计数原理解题时是先分类、后分步,还是先分步、后分类,应视具体问题而定,并搞清分类或分步的具体标准是什么,完成事情的含义和标准是什么.3.用六种颜色给正四面体A-BCD的每条棱涂色,要求每条棱只涂一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色,问:有多少种不同的涂色方法?典例(2014·福建)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取,“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别红球,5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法是().A. (1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B. (1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C. (1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D. (1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)【解题指南】运用加法原理与乘法原理的基本方法(穷举法)解决.【解析】由题意可知:5个无区别的红球取出若干球可表示为1+a+a2+a3+a4+a5;5个无区别的蓝球都取出或都不取出可表示为1+b5;5个有区别的黑球取出若干球可表示为(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)=(1+c)5.由乘法原理可得所有取法可表示为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)·(1+c)5.故选A.【答案】 A1.(2014·四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有().A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种2.(2014·安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有().A.24对B.30对C.48对D.60对3.(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是().A. 72B. 120C. 144D. 168参考答案与解析知识梳理1.N=m1+m2+…+m n2.N=m1×m2×…×m n基础自测1.A2.B3.D4.365.210考点透析【例1】(1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法;从高三(2)班60人中选一人有60种选法;从高三(3)班中选一人有55种选法,∴共有50+60+55=165(种).(2)从高三(1)班、(2)班男生中选一人有30+30=60(种)选法,从高三(3)班女生中选有20种选法,∴共有30+30+20=80(种).【例2】先排第一天,可排5人中的任一人,有5种排法;再排第二天,此时不能排第一天已排的人,有4种排法;再排第3天,此时不能排第二天已排的人,仍有4种排法;同理,第四、五两天均各有4种排法.由分步乘法计数原理可得值班表共有不同排法数5×4×4×4×4=1280(种).变式训练1.一个两位数由十位数字和个位数字构成,考虑一个满足条件的两位数时,可先确定个位数字后再考虑十位数字.一个两位数的个位数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,把这样的两位数分成10类.(1)当个位数字为0时,十位数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9,有9个满足条件的两位数;(2)当个位数字为1时,十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9,有8个满足条件的两位数;(3)当个位数字为2时,十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9,有7个满足条件的两位数;以此类推,当个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时,满足条件的两位数分别有6,5,4,3,2,1,0个.由分类计数原理得,满足条件的两位数的个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45(个).2.(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,共有6种取法;第二步确定b的值,共有6种取法.故P可表示平面上36个不同的点.(2)确定第二象限点,可分两步完成:第一步确定a,由于a<0,所以有3种取法;第二步确定b,由于b>0,所以有2种取法.由分步乘法计数原理,得到P可表示第二象限的点的个数是3×2=6.(3)点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b,因此a和b必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线y=x上的点有6个.由(1)得P可表示不在直线y=x上的点共有36-6=30(个).经典考题真题体验。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理【基础知识】1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[难点正本疑点清源]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．【题型讲解】题型一分类加法计数原理的应用分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪：用分类加法计数原理．解 (1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法．(2)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．综上知，共有30＋30＋20＝80种选法．例2 王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？[解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．根据分类加法计数原理，所以从口袋中任取一张英语单词卡片的方法种类为30＋20＝50(种). 例3 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 解法二：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．例4 方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？解 以m 的值为标准分类，分为五类．第一类：m ＝1时，使n >m ，n 有6种选择；第二类：m ＝2时，使n >m ，n 有5种选择；第三类：m ＝3时，使n >m ，n 有4种选择；第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法，即有20个符合题意的椭圆．题型二分步乘法计数原理的应用探究提高利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．例1已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有多少个？[解析]圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种，4种，2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．例1有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．思维启迪：可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．例1已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图像开口向上的二次函数．解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx ＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c图像的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图像开口向上的二次函数．例1(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，则有多少种不同分配方案？[解析](1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成，每一步把一本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．(2)中要完成的事件是把3名学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(种)不同的分配方案.题型三两个原理的综合应用例1一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？[解析](1)从书架上任取一本书，有三类方法：第一类方法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二类方法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三类方法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法．只要在书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分成三个步骤完成：第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；第二步：从书架中层取一本语文书，有3种不同的方法；第三步：从书架下层取一本英语书，有2种不同的方法．由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝30(种)．所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有30种不同的取法．例1一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．[答案]920[解析]由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．例1现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解析](1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法，所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．例1有三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？[解析]分为三类：一类是取白球、黑球，有5×6＝30种取法；一类是取白球、红球，有5×7＝35种取法；一类是取黑球、红球，有6×7＝42种取法．∴共有取法：30＋35＋42＝107(种)．例1如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．思维启迪：染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C 是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．方法三按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．探究提高用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．例1有一项活动，需在3名老师、8名男生和5名女生中选人参加．(1)若只需1人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男生、女生各一人参加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同的选法？解(1)分三类：取老师有3种选法；取男生有8种选法；取女生有5种选法，故共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，故共有3×8×5＝120种选法．(3)分两步：第一步选老师，第二步选学生．对第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有3×(8＋5)＝39种选法．对两个基本原理的特殊题型典例：(1)(5分)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有() A．24种B．4种C．43种D．34种(2)(5分)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意．．．．到一封信只能投在一个信箱中．．．．．．．．．．．．．；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算．解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种)．答案(1)C(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择．(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位奇数？[解析] 方法一：按末位是1,3,5分三类计数：第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个；第二类，末位是3的共有3×4×3＝36个；第三类末位是5的共有3×4×3＝36个，由分类加法计数原理知共有48＋36＋36＝120(个)．方法二：符合条件的数有3×4×4×3－2×4×3＝120(个)．3．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙2个不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A．300种B．240种C．144种D．96种[答案] B[解析]能去巴黎的有4个人，依次去伦敦，悉尼，莫斯科的有5个人，4个人，3个人，故不同的选择方案为4×5×4×3＝240(种)．故选B.5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有________种不同的播放方式．(结果用数值表示) [答案]48[解析]先安排首尾播放公益广告，共2种，再安排4种不同的商业广告共4×3×2×1＝24种，由分步乘法计数原理得24×2＝48种．方法与技巧1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．混合问题一般是先分类再分步．3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．失误与防范1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．3．确定题目中是否有特殊条件限制．1．(2011·大纲全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案 B解析依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C24＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)，选B.2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种．答案32解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)．3．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数为() A．6B．23 C．42 D．44答案 B解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，∴23＝8.4．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种答案 C解析自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37(种)．5．有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．答案12解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．6．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有()A．6种B．9种C．10种D．12种答案 B解析找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．7．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有__________种不同的排法．答案 1 280解析完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排人的相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法．8．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，则大师赛共有________场比赛．答案16解析小组赛共有2C24场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4(场)比赛；根据分类加法计数原理共有2C24＋4＝16(场)比赛．9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为 ()A．42 B．30 C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．10．已知I＝{1,2,3}，A、B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A、B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对答案 D解析依题意，当A、B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A、B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.11．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P所有的不同映射共有()A．32个B．27个C．81个D．64个答案 D解析可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q 的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.12．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有() A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析若选甲、乙二人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法．故共2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．故应选C.13．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有______个．答案162个解析一位数8个，两位数8×9＝72个．3位数有9×9＝81个，另外1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．14．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有________个．答案32解析和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与7,5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两个数，即子集中的元素取自5个组中的一个数．而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2＝25＝32.15．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案12解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．16. 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种答案 B解析分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F 有2种方法，故有A34×2＝48(种)方法；第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有3C13种方法，故共有A34·3C13＝216(种)方法．由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法.17．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解析(1)若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种．18．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？解析从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A．3 B．4 C．6 D．8答案 D解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9，共4个．把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个．2．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有() A．238个B．232个C．174个D．168个答案 C解析由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复数字的四位数共有3A33＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为() A．10 B．11 C．12 D．15答案 B解析方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论．。

分类计数加法原理与分步计数乘法原理一、单选题(共11道，每道9分)1.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，则（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )A.12B.60C.48D.72答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，则不同的选法有( )2.上接第1题．A.12B.60C.48D.72答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理3.用10元，5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法有( )A.3B.5C.9D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理4.现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有( )A.13种B.15种C.20种D.30种答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分类加法计数原理5.乘积展开后共有的项数为( )A.11B.14C.45D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理6.在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在内取值的不同点共有( )个A.36B.30C.12D.11答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理7.集合的不同子集有( )A.7个B.8个C.15个D.16个答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理8.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0到5这六个数字中拨号，这4个拨号盘可组成的四位数号码个数是( )A.6000个B.36个C.3645个D.32个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理9.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.60种B.15种C.12种D.10种答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理10.从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有( )A.15种B.27种C.60种D.125种答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理11.3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有( )A. B.4×3×2种C. D.1×2×3种答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分步乘法计数原理。

第55讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理思维导图知识梳理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．题型归纳题型1 分类加法计数原理【例11】满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12 D．10【解析】选B当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有13个．故选B.【例12】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．【解析】按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数．【答案】36【跟踪训练11】如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．【解析】分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法．由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．【答案】5【跟踪训练12】若椭圆x2m＋y2n＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．【解析】当m＝1时，n＝2,3,4,5,6,7，共6个；当m＝2时，n＝3,4,5,6,7，共5个；当m＝3时，n＝4,5,6,7，共4个；当m＝4时，n＝5,6,7，共3个；当m＝5时，n＝6,7，共2个．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆．【答案】20【跟踪训练13】如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________．【解析】若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．【答案】240【名师指导】题型2 分步乘法计数原理【例21】(1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为()A．6B．12C．24 D．36(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．(3)(2019·郑州市第一次质量预测)《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有________种．(用数字作答)【解析】(1)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b>0，所以有2种方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．(3)分两步完成：①《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》进行全排有A44种，若《蜀道难》排在《游子吟》的前面，则有12A44种；②《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》插入已经排列好的四首诗词形成的前4个空位(不含最后一个空位)中，插入法有A24种．由分步乘法计数原理，知满足条件的排法有12A44A24＝144(种)．【答案】(1)A(2)120(3)144【跟踪训练21】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9【解析】选B从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G 点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B.【跟踪训练22】如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种．【解析】因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况．【答案】63【名师指导】利用分步乘法计数原理解决问题的策略(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成．题型3 两个计数原理的综合应用【例31】用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)【解析】①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．【答案】 1 080【例32】如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法有()A．360 种B．720 种C．780 种D．840 种【解析】首先从6种不同颜色的涂料中选出4种分别涂2和9、3和6、4和7、5和8八块，共有A46种涂法，然后根据条件可知只需从余下的两种不同颜色的涂料中选一种涂区域1即可，有2种涂法，所以满足要求的涂法有2×A46＝720(种)．选B.【答案】B【例33】(1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是() A．48 B．18C．24 D．36(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48C．36 D．24【解析】(1)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．(2)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.【答案】(1)D(2)B【跟踪训练31】如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A．24 B．48C．72 D．96【解析】选C分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法．②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂色．故共有24＋48＝72种涂色方法．【跟踪训练32】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有() A．144个B．120个C．96个D．72个【解析】选B由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数．故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个)．【跟踪训练33】如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8个．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．【答案】40【名师指导】。

高中数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()A．182 B．14C．48 D．91[答案] C[解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为68＝48，故选C.2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为()A．13种 B．16种C．24种 D．48种[答案] A[解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A.3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是()A．24 B．81C．6 D．64[答案] D[解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D.4．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法()A．720种 B．7776种C．360种 D．3888种[答案] B[解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种．5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()A．8种 B．9种C．10种 D．11种[答案] B[解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3311＝9(种)不同的安排方法．6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为()A．2 000 B．4 096C．5 904 D．8 320[答案] C[解析] 可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8888＝4 096个，所以符合题意的共有5 904个．7．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()A．26 B．24C．20 D．19[答案] D[解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：1253,1264,1267,1286，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D. 8．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A．42 B．30C．20 D．12[答案] A[解析] 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共67＝42(种)．9．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|xA，yB}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为()A．34 B．43C．12 D．24[答案] C[解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B 中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有34＝12个元素．故选C.10．某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有()A．16种 B．15种C．14种 D．13种[答案] C[解析] 解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题．试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；②消炎药为X3、X4，退烧药有3种选法；③消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；④消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种)．二、填空题11．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答)．[答案] 24[解析] 可以分三类情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个．12．三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个．[答案] 36[解析] 另两边长用x，y表示，且不妨设1y11.要构成三角形，需x＋y12.当y＝11时，x{1,2，…，11}，有11个三角形；当y＝10时，x{2,3，…，10}，有9个三角形……当y ＝6时，x＝6，有1个三角形．所以满足条件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)．13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)[答案] 48[解析] 本题可分为两类完成：两老一新时，有322＝12(种)排法；两新一老时，有2332＝36(种)排法，即共有48种排法．14．已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q 接通的情况有______种．[答案] 16[解析] 五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1＋5＋8＋2＝16种情况能使电路接通．三、解答题15．有不同的红球8个，不同的白球7个．(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？[解析] (1)由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8＋7＝15种；(2)由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有87＝56种．16．若x，yN*，且x＋y6，试求有序自然数对(x，y)的个数．[分析] 由题目可获取以下主要信息：(1)由x，yN*且x＋y6，知x，y的取值均不超过6；(2)(x，y)是有序数对．解答本题可按x(或y)的取值分类解决．[解析] 按x的取值时行分类：x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．[点评] 本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x，y 的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y的取值进行分类解决．计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类．17．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？[解析] 将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有2625241098＝11 232 000(个)．同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个．所以，共能给11 232 000＋11 232 000＝22 464 000辆汽车上牌照．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均为实数．(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？[解析] (1)因为集合A中的元素ai(i＝1,2,3,4)与集合B 中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成AB的映射有N＝24＝16个．(2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．。

(精选)高考数学大一轮复习作业本52《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》一、选择题1.去年“3·15”，某报社做了一次关于“虚假广告”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成公差为正数的等差数列，共回收1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽取30份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是( )A.45B.50C.60D.652.某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4 300人中抽取一个样本，这4 300人中青年人1 600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为( )A.90B.180C.270D.3603.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )A.100B.150C.200D.2504.完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次是( )A.①简单随机抽样，②系统抽样B.①分层抽样，②简单随机抽样C.①系统抽样，②分层抽样D.①②都用分层抽样5.以下抽样方法是简单随机抽样的是( )A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验6.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )A.2160B.720C.240D.1207.集合P={x,1}，Q={y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A.9B.14C.15D.218.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )A.180种B.360种C.720种D.960种9.在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止.若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A.6种B.12种C.18种D.20种10.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A.18个B.15个C.12个D.9个11.某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( )A.36人B.30人C.24人D.18人12.某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )A.16B.17C.18D.19二、填空题13.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答).14.如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点).15.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个.16.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种.。

考点44分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合7.(2023·全国乙卷·理科·T7)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有() A.30种B.60种C.120种D.240种【解析】选C.首先确定相同的读物,共有C61种情况,然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里,选出两种进行排列,共有A52种,根据分步乘法计数原理,则共有C61·A52=120种.、13.(2023·新高考Ⅰ卷·T13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答).【命题意图】本题考查排列组合的基本知识,实际中的组合计数问题,考查学生的分类讨论思想.【解析】若选修2门课,则需要从体育类和艺术类中各选择1门,共有C41C41=16种;若选修3门课,则分为两种情况,2门体育类1门艺术类或2门艺术类1门体育类,共有2C42C41=48种.故选课方案一共有48+16=64种.答案:64【误区警示】本题易忽略对选3门课时的讨论致错,解决排列组合问题时要做到分步、分类不重、不漏.9.(2023·全国甲卷·理科·T9)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为() A.120B.60C.40D.30【解析】选B.不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连续参加两天社区服务,再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务,共有A42=12种选择,同理,b,c,d,e连续参加两天社区服务,也各有12种选择,所以恰有1人连续参加两天社区服务的选择种数为5×12=60.。