2015-2016学年北师大版必修二空间直角坐标系的建立 作业(含答案)

课时跟踪检测（二十五）空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标层级一学业水平达标1．已知A(－1,2,7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是()A．(4,8,2)B．(4,2,8)C．(4,2,1) D．(2,4,1)解析：选D由题意，得AB中点坐标为(－2，－4，－1)，∴关于原点对称的点的坐标为(2,4,1)．2．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C②③④正确．3．已知P(1,3，－1)关于xOz面对称点为P′，P′关于y轴对称的点为P″，则P″的坐标为()A．(1，－3，－1) B．(－1，－3,1)C．(1，－3,1) D．(－1,3,1)解析：选B由题意，得P′(1，－3，－1)，P″(－1，－3,1)．4．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是()A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)解析：选A过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.5．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为()A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C ．λ＝2，μ＝10，v ＝8D ．λ＝2，μ＝10，v ＝7解析：选D 两个点关于x 轴对称，那么这两个点的x 坐标不变，y 坐标与z 坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v )，∴λ＝2，μ＝10，v ＝7.6．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则CC 1中点N 的坐标为________．解析：由题意C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，∴N (0,2,1)． 答案：(0,2,1)7．点P (2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，________. 解析：P (2,3,4)在x 轴上的射影为(2,0,0)，在y 轴上的射影为(0,3,0)，在z 轴上的射影为(0,0,4)．答案：(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)8．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称的点的坐标是________．解析：点M 在xOz 上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)． 答案：(2,0,3)9．如图，棱长为a 的正方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试写出点Q 的坐标．解：因为OB ′与BD ′相交于点Q ，所以Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，z .同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的交点，所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，12a .10．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设|AB |＝1，则|AD |＝2，|AA 1|＝4， 所以|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)． 层级二 应试能力达标1．已知点A (x,5,6)关于原点的对称点为(－2，y ，z )，则P (x ，y )在平面直角坐标系的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由题可知，x ＝2，y ＝－5，z ＝－6，故(x ，y )＝(2，－5)，在第四象限． 2．设z 为任一实数，则点(2,2，z )表示的图形是( ) A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOyD ．与平面xOy 垂直的一直线解析：选D (2,2，z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线，即与平面xOy 垂直的直线． 3．正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，13，13B.⎝⎛⎭⎫23，23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，23，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，13解析：选D 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DC |＝23，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫23，23，13，故选D. 4．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，则DD 1C 1C 所在平面上点的坐标形式是( )A ．(0，－2，－1)B ．(x ，－2，z )C ．(－3，－2，－1)D ．(－3，y ，z )解析：选B DD 1C 1C 所在的平面平行于xOz 面，且与xOz 面的距离为2，上面任意一点的y 坐标都是－2，而x ，z 坐标可取任意实数．5．以棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B 1B 对角线交点的坐标为________．解析：如图所示，A (0,0,0)，B 1(1,0,1)．平面AA 1B 1B 对角线交点是线段AB 1的中点，所以由中点坐标公式得所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫12，0，12 6．如图所示，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，点P 在BD ′上，BP ＝13BD ′，则P 点坐标为________．上，∵BP ＝13解析：点P 在坐标平面xOy 上的射影在BD BD ′，所以P x ＝P y ＝23，P z ＝13∴P ⎝⎛⎭⎫23，23，13. 答案：⎝⎛⎭⎫23，23，137．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．∵点E 在z 轴上，且为D 1D 的中点， 故点E 坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，12.过F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，则|FM |＝|FN |＝12，故点F 坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0.因为点G 在y 轴上，又|GD |＝34，故点G 坐标为⎝⎛⎭⎫0，34，0. 过H 作HK ⊥CG 于点K ，由于H 为C 1G 的中点， 故|HK |＝12，|CK |＝18.∴|DK |＝78.故点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，78，12.8．依次连接四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，且已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，求顶点D 的坐标．解：设线段AC 与BD 的交点为M ，设点M 的坐标为M (x 1，y 1，z 1)，点D 的坐标为D (x 2，y 2，z 2)，由M 既是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，得x 1＝72，y 1＝4，z 1＝－1，又2＋x 22＝72，－5＋y 22＝4，1＋z 22＝－1，∴x 2＝5，y 2＝13，z 2＝－3. ∴顶点D 的坐标为(5,13，－3)．。

《空间直角坐标系的建立》提高练习本课时编写：崇文门中学 高巍巍一、选择题1. 点P (2,1,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．x 轴上2. 点(1,2,1)A -在xoy 平面上的射影点的坐标是（ ）A ．(1,2,0)-B ．(1,2,0)--C ．(1,0,0)-D ．(1,2,0)-3. 设a 是任意实数，则点(,1,2)P a 的集合在空间直角坐标系中所表示的图形是（）A ．垂直于平面xoy 的一条直线B ．垂直于平面yoz 的一条直线C ．垂直于平面xoz 的一条直线D ．以上均不正确4. 点P （x ，y ，z 2，则点P 在（ ）．A ．以点（1，1，－1B ．以点（1，1，－1C ．以点（1，1，－1）为球心，2为半径的球面上D ．无法确定5. 有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是（0，b ，c ）；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定是（0，b ，c ）；③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作（0，0，c ）；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是（a ，0，c ）.其中正确的个数是（ ）.A .1B .2C .3D .4二、填空题6. 已知点M （3，-4，5）是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，则点M 关于z 轴的对称点坐标是________．7. 设z 为任意实数，相应的所有点P （1，2，z ）组成的图形为___________.三、简单题8. 如图，在长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝1，|OC |＝3，|OD ′|＝2，点E 在线段AO 的延长线上，且|OE |＝12，写出B ′，C ，E 的坐标．。

课时分层作业(二十三)空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标(建议用时：45分钟)[合格基础练]一、选择题1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称B[由A，B两点的坐标可知关于y轴对称．]2．空间直角坐标系O-xyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内的射影是点Q，则点Q的坐标为()A．(1,2,0) B．(0,0,3)C．(1,0,3) D．(0,2,3)A[因为空间直角坐标系O-xyz中，在xOy平面内的点的竖坐标是0，所以点Q的坐标为(1,2,0)．]3．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是() A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)A[过点P向xOy平面作垂线，垂足为N(图略)，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.]4．以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12 B [A (0,0,0)，B 1(1,0,1)，所以AB 1的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12，0＋02，0＋12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 0，12.] 5．设z 为任一实数，则点(2,2，z )表示的图形是( )A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOyD ．与平面xOy 垂直的一直线D [(2,2，z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线，即与平面xOy 垂直的直线．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． (－4,1，－2) [空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．]7．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称的点的坐标是________．(2,0,3) [点M 在xOz 上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)．]8．在空间直角坐标系中，点M (4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 平面的距离为n ，则m 2＋n ＝________.39 [由题意得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，∴m 2＋n ＝39.]三、解答题9．已知点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1，A 1关于xOz 平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标．[解]因为点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，－2，－3)，点A1(4，－2，－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2，－3), 点A2(4,2，－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)，所以AA3中点M的坐标为(－4,0,0)．10．如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长均为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当的坐标系写出各顶点的坐标．[解]取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO 1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝3，可得A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0，1,0)，A1(0，－1,2)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2)．[等级过关练]1．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7B．－7C．－1D．1D[点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.]2．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的主视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②D[由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的主视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故主视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.]。

空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式填一填1.空间直角坐标系的特征⎩⎪⎨⎪⎧①三条轴两两相交；②三条轴两两垂直；③有相同的单位长度.2．空间直角坐标系中点的坐标空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．3．空间两点间的距离公式空间两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.判一判1.空间直角坐标系中，y 轴上的点的坐标满足z ＝0，x ＝0.(√) 2．空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．(√) 3．长方体的对角线长度都相等．(√)4．空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．(×)5．将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．(×)6．空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．(√)7．关于坐标平面yOz 对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(√) 8．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是(2,1,1)．(√)想一想1.在空间直角坐标系中求空间一点P 的坐标的步骤是什么？ 提示：2．求空间两点间距离的关键及方法是什么？提示：关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．3．求空间对称点的方法是什么？提示：空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．4．两点间距离公式在几何中的两个应用是什么？ 提示：(1)求立体几何中线段长度问题①建系：将立体图形放在空间直角坐标系中．②定坐标：在空间直角坐标系中，根据条件确定有关的点的坐标． ③定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长． (2)判断三角形形状①利用两点间距离公式求三边长．②结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状． 思考感悟：练一练1.点Q (0,0,3)的位置是( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在z 轴上D ．在面xOy 上 答案：C2．点A (－3,1,5)，点B (4,3,1)的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，－2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，3 C ．(－12,3,5) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，2 答案：B3．已知点A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为( ) A ．(－1，－2，－7) B ．(－1，－2,7) C ．(1，－2，－7) D ．(1,2，－7) 答案：A4．已知点A (2,3,5)，B (－2,1,3)，则|AB |等于( ) A. 6 B ．2 6 C. 2 D ．2 2 答案：B5．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线长为6，且底面是边长为4的正方形，则该长方体的高为( )A ．9 B.92C ．4D ．2 答案：D知识点一空间中点的坐标及其位置1.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 1的坐标是( ) A ．(1,0,0) B ．(1,0,1) C ．(1,1,1) D ．(1,1,0)解析：点B 1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C. 答案：C 2.如图所示，已知四棱锥P －ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的等边三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，G 是棱PB 的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点P ，A ，B ，C ，D ，G 的坐标．解析：如图所示，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O .连接PE .因为AD ⊥PB ，PO ⊥AD ，PO ∩PB ＝P ，所以AD ⊥平面POB ，所以AD ⊥OB .因为PA ＝PD ，所以OA ＝OD . 于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .所以以垂足O 为原点，以OB ，OP 及在底面ABCD 内过O 且垂直于OB 的直线分别为y 轴、z 轴、x 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题意可得∠PEB ＝120°，∠PEO ＝180°－120°＝60°. 又等边三角形PAD 的边长等于2， 所以AE ＝ED ＝1，PE ＝ 3.所以在Rt△POE 中，OE ＝PE ·cos 60°＝32，PO ＝PE ·sin 60°＝32.又底面ABCD 为菱形，所以AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2.所以在Rt△AEB 中，BE ＝AB 2－AE 2＝3，所以OB ＝OE ＋BE ＝332.所以所求坐标分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，332，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，332，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，0. 又因为G 是棱PB 的中点，所以由中点坐标公式可得G ⎝⎛⎭⎪⎫0，334，34.知识点二 空间中点的对称问题3.在空间直角坐标系中，若P (3，－2,1)，则P 点关于坐标平面xOz 的对称点坐标为( )A ．(－3，－2，－1)B ．(3,2,1)C ．(－3,2，－1)D ．(3，－2，－1)解析：设所求的点为Q (x ，y ，z )，因为点Q (x ，y ，z )与点P (3，－2,1)关于平面xOz 对称，所以P ，Q 两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，即x ＝3，y ＝2，z ＝1，得Q 点坐标为(3,2,1)，故选B.答案：B4．点P (1,3,5)关于坐标原点对称的点P ′的坐标是( ) A ．(－1，－3，－5) B ．(1，－3,5) C ．(－1，－3,5) D ．(－1,3,5)解析：把点P (1,3,5)的横坐标、纵坐标、竖坐标均变为原来的相反数即可，故点P ′的坐标为(－1，－3，－5)．答案：A知识点三 空间两点间的距离5.已知空间中两点A (1,2,3)，B (4,2，a )，且|AB |＝10，则a 的值为( )A ．2B ．4C ．0D ．2或4解析：由空间两点间的距离公式得|AB |＝4－12＋2－22＋a －32＝10，即9＋a 2－6a ＋9＝10，所以a 2－6a ＋8＝0， 所以a ＝2或a ＝4.故选D. 答案：D6．在空间直角坐标系中，给定点M (2，－1,3)，若点A 与点M 关于xOy 平面对称，点B 与点M 关于x 轴对称，则|AB |等于( )A ．2B ．4C ．2 5D ．37解析：由题可知，A (2，－1，－3)，B (2,1，－3)，所以|AB |＝2－22＋1＋12＋－3＋32＝2.故选A. 答案：A7．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析：|AB |＝x －12＋3－2x 2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，|AB |最小．答案：C知识点四 距离公式的综合应用8.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)和B (1,0，－3)． (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标． 解析：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |，设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32，显然，此式对任意y ∈R 恒成立．这就是说，y 轴上所有点都满足|MA |＝|MB |. (2)假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形． 由(1)可知，对y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，所以只要|MA |＝|AB |就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA |＝3－02＋0－y 2＋1－02＝10＋y 2，|AB |＝1－32＋0－02＋－3－12＝20，于是10＋y 2＝20，解得y ＝±10，故在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).综合知识 空间直角坐标系9.点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．27解析：点A 关于平面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC |＝1－12＋2＋22＋1－12＝4.答案：B10．已知ABCD 为平行四边形，且A (1,2,3)，B (2，－5,1)，C (－3,2，－1)，求D 点坐标． 解析：设D (x ，y ，z )，A 、C 的中点坐标(－1,2,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22＝－1y －52＝2z ＋12＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝9z ＝1∴D 点坐标为(－4,9,1)基础达标一、选择题1．若A (1,3，－2)，B (－2,3,2)，则A ，B 两点间的距离为( ) A.61 B ．25 C ．5 D.57解析：|AB|＝1＋22＋3－32＋－2－22＝5.答案：C2．空间直角坐标系O－xyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内的射影是点Q，则点Q的坐标为( )A．(1,2,0) B．(0,0,3)C．(1,0,3) D．(0,2,3)解析：因为空间直角坐标系O－xyz中，在xOy平面内的点的竖坐标是0，所以点Q的坐标为(1,2,0)．答案：A3．在空间直角坐标系中，点M(－5,3,1)关于x轴的对称点的坐标为( )A．(－5，－3，－1) B．(5,3，－1)C．(5，－3,1) D．(5，－3，－1)解析：关于x轴的对称点的坐标中，横坐标不变，其余坐标变为相反数，故点M关于x 轴的对称点的坐标为(－5，－3，－1)．答案：A4．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点间的距离为( )A．10 B.10C.38 D．38解析：由于A，B关于xOy平面对称，则A，B的横、纵坐标相等，竖坐标互为相反数，故点B的坐标为(2，－3，－5)，所以|AB|＝2－22＋－3＋32＋5＋52＝10.答案：A5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( ) A．(6,0,0) B．(6,0,1)C．(0,0,6) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－12＋1＋1，|PB|＝x－32＋9＋9，由|PA|＝|PB|得x＝6，故选A.答案：A6．在空间直角坐标系中，已知三点A(1,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，则三角形ABC是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：由题|AB|＝1－12＋0－12＋0－12＝2，|AC|＝0－12＋1－02＋1－02＝3，|BC|＝0－12＋1－12＋1－12＝1，所以AC2＝AB2＋BC2，所以三角形ABC是直角三角形．答案：A7．已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，点C在yOz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为( )A．(0,1，－1) B．(0，－1,6)C．(0,1，－6) D．(0,1,6)解析：由题意设点C的坐标为(0，y，z)，所以1＋y－22＋z－22＝1＋y＋32＋z－12，即(y－2)2＋(z－2)2＝(y＋3)2＋(z－1)2.经检验知，只有选项C满足．答案：C二、填空题8．点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是________________________________________________________________________．解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.所以中点坐标是(2,1,1)．答案：(2,1,1)9．已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2，|PC |＝3. 而⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2]2＝3，解为z ＝0，或z ＝－4. 答案：0或－410．已知平行四边形ABCD 中，A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3，7，－5)，则点D 的坐标为________．解析：设平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为点P ，则P 为AC ，BD 的中点．由A (4,1,3)，C (3,7，－5)，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1.又点B (2，－5,1)，所以点D 的坐标为(5,13，－3)．答案：(5,13，－3)11．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′点关于原点的对称点的坐标是________．解析：点M (－2,4，－3)在平面xOz 上的射影M ′(－2,0，－3)，M ′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3)．答案：(2,0,3)12．三棱锥P －ABC 各顶点的坐标分别为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,3)，则三棱锥P －ABC 的体积为________．解析：由A ，B ，C ，P 四点的坐标，知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC ，PA ⊥底面ABC .由空间两点间的距离公式，得|AB |＝1，|AC |＝2，|PA |＝3，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13Sh ＝13×12×1×2×3＝1. 答案：1 三、解答题13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长．解析：如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz .则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，设点E 的坐标为(x ，y,0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，又DE ⊥AC ，直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45，0.∴|B 1E |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－42＋0－22＝6105，即B 1E 的长为6105.14．已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若|CM |＝|BN |＝a (0<a <2)．(1)求|MN |的长；(2)当a 为何值时，|MN |的长最小． 解析：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB ，BC ，BE 两两垂直． 过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ， 垂足分别为G ，H ， 连接NG ，易证NG ⊥AB . ∵|CM |＝|BN |＝a ，∴|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝22a ，∴以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0.(1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222＋12.(2)由(1)得，当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M ，N 恰好为AC ，BF 的中点.能力提升15.已知三点A (－1,1,2)，B (1,2，－1)，C (a,0,3)，是否存在实数a ，使A 、B 、C 共线？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析：AB ＝－1－12＋1－22＋2＋12＝14，AC ＝－1－a 2＋1－02＋2－32＝a ＋12＋2，BC ＝1－a 2＋2－02＋－1－32＝a －12＋20，因为BC >AB ，所以，若A ，B ，C 三点共线，有BC ＝AC ＋AB 或AC ＝BC ＋AB ，若BC ＝AC ＋AB ，整理得：5a 2＋18a ＋19＝0， 此方程无解；若AC ＝BC ＋AB ，整理得：5a 2＋18a ＋19＝0，此方程也无解． 所以不存在实数a ，使A 、B 、C 共线． 16.如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当2|DQ |＝|QC |时，求|PQ |；(2)当点P 为对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值； (3)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值． 解析：设正方体的棱长为a .(1)当点P 为对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2. 由2|DQ |＝|QC |，易知|QC |＝23a ，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，23a 从而|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－02＋a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－23a 2＝196a . (2)∵点Q 在线段CD 上，设Q (0，a ，z ) ∴|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |的最小值为22a .即点Q 在棱CD 的中点时，|PQ |有最小值22a . (3)如图，当Q 为CD 的中点时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，设P 的坐标为(x ，x ，z )，则由三角形相似可得z a ＝2a －2x 2a，则z ＝a －x . ∴|PQ |2＝x 2＋(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－x 2＝3x 2－3ax ＋54a 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 22.当x ＝a 2时，|PQ |有最小值为22a ，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2为AB 的中点．。

课时跟踪检测 (二十五) 空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标、基本能力达标1.已知A — 1,2,7) , B ( — 3, - 10,— 9)，则线段AB 的中点关于原点对称的点的坐标是 ( )A.(4,8,2) B . (4,2,8) C . (4,2,1)D . (2,4,1)解析：选D 由题意，得AB 中点坐标为(一2, — 4, — 1) ,•••关于原点对称的点的坐标为 (2,4,1)Ox 轴上的点的坐标一定是(0 , b , c ); yOz 平面上的点的坐标一定是(0 , b , c ); Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0 , c ); xOz 平面上的点的坐标是(a, 0, c ). B.2D . 43 •已知P (1,3 , — 1)关于xOz 面对称点为 P', P'关于y 轴对称的点为 P 〃，贝U P 〃的 坐标为 ()C.(1,—3,1)D . (—1,3,1)解析：选 B 由题意，得 P' (1 , — 3, — 1) , P " ( — 1, — 3,1). 4•在空间直角坐标系中，点 R — 2,1,4)关于xOy 平面的对称点的坐标是()A. (—2,1，—4) B . (—2，—1，—4) C. (2 ，— 1,4)D . (2,1 ，— 4)解析：选A 过点P 向xOy 平面作垂线，垂足为 N,则N 就是点P 与它关于xOy 平面的对称点P'连线的中点，又 N — 2,1,0)，所以对称点为 P' ( — 2,1 , — 4)，故选A.5 .已知点A (2,3 — ^ ,— 1 + V )关于x 轴的对称点为 A'(入，7，— 6)，则入，卩，v 的 值为 ()A . 入=—2, 口= — 4, v = — 5B . 入=2, 口= — 4, v =— 5 C.入=2, (1= 10, v = 8D.入=2,(1 = 10, v = 7解析：选 D 两个点关于 x 轴对称，那么这两个点的 x 坐标不变， y 坐标与 z 坐标均互为2.有下列叙述：① 在空间直角坐标系中，在 ② 在空间直角坐标系中，在 ③ 在空间直角坐标系中，在 ④ 在空间直角坐标系中，在 其中正确的个数是 ( )A . 1 C . 3解析：选 C ②③④正确.A. (1 ,— 3,— 1)B. (— 1,— 3,1)相反数，故有 入=2,7 =— (3 — [1 ), — 6=— ( — 1 + V ) ,.•.入=2, [1 = 10, v = 7.6.如图，已知正方体 ABCDABGD 的棱长为2,贝U CG 中点N 的坐标为 ____________ . 解析：由题意 C (0,2,0) , C (0,2,2) ,. N0,2,1).答案：(0,2,1)7 .点P (2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是 _____________ , ________ , ________ . 解析：P (2,3,4)在x 轴上的射影为(2,0,0)，在y 轴上的射影为(0,3,0)，在z 轴上的射 影为(0,0,4). 答案：(2,0,0)(0,3,0)(0,0,4)8 .在空间直角坐标系中，点 M — 2,4，— 3)在xOz 平面上的射影为 M 点，贝U M 关于原 点对称的点的坐标是 _________ .解析：点M 在xOz 上的射影为(一2,0，— 3)，其关于原点对称的坐标为 (2,0,3).答案：(2,0,3)9•如图，棱长为a 的正方体OABCD' A B' C'中，对角线 OB 与BD 相交于点 Q 顶二、综合能力提升1.已知点A (x, 5,6)关于原点的对称点为(一2,y ,z )，则P (x ,y )在平面直角坐标系的( )A .第一象限B .第二象限点O 为坐标原点, OA OC 分别在x 轴、 y 轴的正半轴上，试写出点 Q 的坐标.解：因为OB 与BD 相交于点 Q 所以Q 点在xOy 平面内的投影应为 OB 与AC 的交点, 一 1 、所以Q 的坐标为j ^a ，^a ，z .同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为 AD 与OA 的交点, 一 i'1 1 1、所以Q 点的坐标为i ^a ,护，尹•10.如图，在长方体 ABCDABCD 中，E , F 分别是棱BC CC 上的点, | CF = | AB = 2| CE , | AB ： | AD ： I AA | = 1 : 2 : 4.试建立适当的坐标系， 写出E , F 点的坐标.解：以A 为坐标原点，射线 AB AD , AA 的方向分别为正方向建立空间 直角坐标系，如图所示.设| AB = 1,则 I AD = 2, | AA | = 4,1 1所以|CF =|AB = 1, |CE = JAB = 2, 1 3所以 | BE = | BC | — |CE = 2 — = ?•所以点E 的坐标为1, 1, 0，点F 的坐标为(1,2,1)C.第三象限D.第四象限解析：选D 由题可知，x = 2, y =— 5, z = — 6，故(x , y ) = (2 , — 5)，在第四象限. 2 •设z 为任一实数，则点(2,2 , z )表示的图形是()A. z 轴B. 与平面xOy 平行的一直线C. 平面xOyD. 与平面xOy 垂直的一直线解析：选D (2,2 , z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线，即与平面 xOy 垂直的直线. 3 .正方体ABCDV B' C D 的棱长为1，且|BR = 3| BD |，建立如图所示的空间直角3 坐标系，贝y P 点的坐标为()C.D 謬2 nD.3，3，3别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F, G 由于I BP = 3| BD |，所以| DH =弓DD | = 3, | DF =||DA = |, |DG = 3|DC = |,所以 P 点的坐标为 |, |, 1，故选 D.4.长方体ABCDABCD 在空间直角坐标系中的位置如图所示，AB= 3, AD= 2, AA = 1，则DDCC 所在平面上点的坐标形式是 (A . (0，— 2,— 1)B .(X ,— 2, z ) C. ( — 3，一 2，一 1)D. ( — 3, y , z )解析：选B DDCC 所在的平面平行于 xOz 面，且与xOz 面的距 离为2，上面任意一点的y 坐标都是—2,而x , z 坐标可取任意实数.5 .以棱长为1的正方体ABCDABCD 的棱AB AD AA 所在的直线为坐标轴，建立空间 直角坐标系，则平面 AABB 对角线交点的坐标为 ___________解析：如图所示，A (0,0,0) , B (1,0,1)B.3,解析：选D 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为 E , H,过E 分•••| DK = 7.故点H 的坐标为 8平面AABB 对角线交点是线段 AB 的中点，所以由中点坐标公式得所求点的坐标为i6. 如图所示，在正方体 ABCDA' B' C D'中，棱长为 1，点P 在BD 上，BP= 3BD , 3则P 点坐标为 ________ .一 亠 1 2解析：点P 在坐标平面xOy 上的射影在BD 上，BP= -BD ，所以R = R= 3,P = 1• pi? 2 Hz3 …P 3，3，3 .,■2 2 1^答案：3，3, 37. 如图，在棱长为 1的正方体 ABCDABCD 中，E, F 分别是 DD, BD 的中点，G 在棱CD1上，且CG^-CD H 为CG 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E, F , G H 的坐标.4解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 所在直线为z 轴建立空间 直角坐标系.•••点E 在z 轴上，且为 DD 的中点, 故点E 坐标为\0, 0, 11 过 F 作 FM L AD FN 丄 DC 则 | FM = | FN | =-,故点F 坐标为2，1，0 .<2 2〕因为点G 在y 轴上,过H 作HK 丄CG 于点K 由于H 为CG 的中点,1 1 故|HK = 2, |CK = 8.3又I GD =4,故点G 坐标为答案:0,37 8，探究应用题8 •依次连接四点 A , B, C, D 构成平行四边形 ABCD 且已知 A (4,1,3) , B (2 , - 5,1),C (3,7，- 5)，求顶点D 的坐标.解：设线段 AC 与 BD 的交点为 M 设点M 的坐标为 Mx i , y i , z i )，点D 的坐标为D (x 2, y 2,Z 2)，由M 既是线段 AC 的中点，也是线段 BD 的中点，得 x i = 7 y i = 4, z i =- 1,X 2= 5, y 2= i3, Z 2=— 3. •••顶点D 的坐标为(5,i3 , — 3).2 +X 2 2 7 — 5+ y 2_2，2= 4, i + Z 2 2。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．下列说法：①在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为(，，)；②在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为(，，)；③在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为(，)；④在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为(，)．其中，正确的个数是( )．．．．解析：由定义可知，在轴上的点(，，)，有＝＝，所以点的坐标可记为()，故①错，②③④正确，故选.答案：.如图，在空间直角坐标系中，点(，，)，过点作平面的垂线，则垂足的坐标为( )．(，，)．(，，)．(，，)．(，)解析：点在平面上，＝，其余不变，∴(，，)．答案：．在空间直角坐标系中()，(－)两点的位置关系是( )．关于平面对称．关于轴对称．以上都不对．关于坐标原点对称解析：∵、两点对应的横坐标互为相反数，∴、关于平面对称．答案：．如图，在正方体－中，棱长为，是上的点，且＝，则点的坐标为( )．．()．解析：∵＝，∴＝＝.又在上，∴的坐标为.答案：二、填空题(每小题分，共分)．在空间直角坐标系中，点的坐标是()，则点关于轴对称的点在坐标平面上的射影的坐标为．解析：点关于轴对称点为(－，－)，在上的射影的坐标为，即(－，－)．答案：(－，－)．以正方体－的棱、、所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱中点坐标为．答案：三、解答题(每小题分，共分)．已知－为正四棱锥，为底面中心，＝，＝，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．解析：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以为原点，互相垂直的对角线、所在直线为轴、轴，为轴建立如图所示坐标系．∵正方形边长＝，∴＝＝＝＝，又∵＝.∴(，－，)，(，)，(，，)，(－，)，()．．已知为平行四边形，且()，(，－)，(，－)，求点的坐标．解析：∵为平行四边形，且()，(，－)，∴线段的中点坐标为.设点的坐标为(，，)，则对角线的中点坐标也为.∴(\\((＋)＝(),(－)＝,(＋)＝－))，解得(\\(＝＝＝－)).。

§3 空间直角坐标系3．1 空间直角坐标系的建立3．2 空间直角坐标系中点的坐标一、选择题1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c )；③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作(0，0，c )； ④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a ，0，c )．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标答案 C解析 ②③④正确．2．以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线的交点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12，12 B.⎝⎛⎭⎫12，0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，12，0D.⎝⎛⎭⎫12，12，12考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标答案 B解析 由题图得A (0，0，0)，B 1(1，0，1)，所以对角线的交点即为AB 1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，12. 3．已知点A (x ，5，6)关于原点的对称点为(－2，y ，z )，则P (x ，y )在平面直角坐标系的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点题点答案 D解析 由题知x ＝2，y ＝－5，z ＝－6，故(x ，y )＝(2，－5)在第四象限．4．若点P (－4，－2，3)关于xOy 平面及y 轴对称的点的坐标分别是(a ，b ，c )，(e ，f ，d )，则c 与e 的和为( )A ．7B ．－7C ．－1D ．1考点 空间中点的对称问题题点 关于对称的综合问题答案 D解析 ∵点P (－4，－2，3)关于xOy 平面及y 轴对称的点的坐标分别为(－4，－2，－3)，(4，－2，－3)，∴c ＝－3，e ＝4，则c ＋e ＝1.5．设y ∈R ，则点P (1，y ，2)的集合为( )A ．垂直于xOz 平面的一条直线B ．平行于xOz 平面的一条直线C ．垂直于y 轴的一个平面D ．平行于y 轴的一个平面考点 已知坐标系中点的坐标确定位置题点 已知坐标系中点的坐标确定位置答案 A解析 点P (1，y ，2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P (1，y ，2)的集合为垂直于xOz 平面的一条直线，故选A.6．已知点A (2，3－μ，－1＋v )关于x 轴的对称点为A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，v 的值为( )A ．λ＝－2，μ＝－4，v ＝－5B ．λ＝2，μ＝－4，v ＝－5C ．λ＝2，μ＝10，v ＝7D ．λ＝2，μ＝10，v ＝8 考点 空间中点的对称问题题点 关于坐标轴的对称问题答案 C解析 两个点关于x 轴对称，那么这两个点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v )，∴λ＝2，μ＝10，v ＝7.7．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，13，13B.⎝⎛⎭⎫23，23，23C.⎝⎛⎭⎫13，23，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，13考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标答案 D解析 连接BD ，点P 在xDy 平面的射影落在BD 上，∵|BP |＝13|BD ′|，∴P x ＝P y ＝23，P z ＝13， 故P ⎝⎛⎭⎫23，23，13.8．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，则DD 1C 1C 所在平面上点的坐标形式是( )A ．(0，－2，－1)B ．(x ，－2，z )C ．(－3，－2，－1)D ．(－3，y ，z )考点题点答案 B解析DD1C1C所在的平面平行于xOz平面，且与xOz平面的距离为2，上面任意一点的y 坐标都是－2，而x，z坐标可取任意实数．二、填空题9．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2，3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．考点空间直角坐标系题点空间中的点的坐标答案(－4，0，0)解析过空间任意一点P作x轴的垂线，垂足均为(a，0，0)的形式，其中a为点P在x轴上的分量，所以垂足的坐标为(－4，0，0)．10．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为点M′，则M′关于原点对称的点的坐标是________．考点空间中点的对称问题题点关于坐标平面的对称问题答案(2，0，3)解析点M在xOz上的射影为(－2，0，－3)，其关于原点对称的点的坐标为(2，0，，)．11．如图所示的是棱长为3a的正方体OABC－O′A′B′C′，点M在B′C′上，且|C′M|＝2|MB′|，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为________．考点空间直角坐标系题点空间中的点的坐标答案(2a，3a，3a)解析∵|C′M|＝2|MB′|，∴|C′M|＝23|B′C′|＝2a，∴点M的坐标为(2a，3a，3a)．12．已知平行四边形ABCD的两个顶点的坐标分别为A(2，－3，－5)，B(－1，3，2)，对角线的交点是E(4，－1，7)，则C，D的坐标分别为________________．考点空间中点的对称问题题点关于点的对称问题答案(6，1，19)，(9，－5，12)解析 由题意知，E 为AC 与BD 的中点，利用中点坐标公式，可得C (6，1，19)，D (9，－5，12)．三、解答题 13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AD |＝|AA 1|＝2，|AB |＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求点E 的坐标．考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标 解 如图，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，B 1(2，4，2)，A (2，0，0)，C (0，4，0)，设点E 的坐标为(x ，y ，0)．在坐标平面xDy 内，直线AC 的方程为x 2＋y 4＝1， 即2x ＋y －4＝0，∵DE ⊥AC ，∴直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0，得⎩⎨⎧ x ＝85，y ＝45，∴E ⎝⎛⎭⎫85，45，0.四、探究与拓展14．如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中|P A |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________________．考点 空间直角坐标系题点 空间中的点的坐标答案 ⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3解析 由题意知A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，C (0，0，c )．由重心坐标公式得点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3.15．依次连接四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，且已知A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，－5)，求顶点D 的坐标．考点题点解 设线段AC 与BD 的交点为M ，设点M 的坐标为M (x 1，y 1，z 1)，点D 的坐标为D (x 2，y 2，z 2)，由M 既是线段AC 的中点，又是线段BD 的中点，得x 1＝72，y 1＝4，z 1＝－1， 又2＋x 22＝72，－5＋y 22＝4，1＋z 22＝－1， 解得x 2＝5，y 2＝13，z 2＝－3.∴顶点D 的坐标为(5，13，－3).。

课后练习与提升1.P(1， 2， 3) ，过点 P作平面 xOy的垂线 PQ，则 Q的坐标为（）在空间直角坐标系中，点Ａ． (0， 2，0) Ｂ． (0， 2， 3) Ｃ． (10，， 3) Ｄ． (1， 2，0)2.已知点 A( 31，，4) ，则点 A 对于原点的对称点的坐标为（）Ａ． (1， 3， 4) Ｂ． ( 41，， 3)Ｃ． (3， 1， 4)Ｄ． (4， 1，3)3.坐标原点到以下各点的距离最小的是（）Ａ． (111)，，Ｂ． (1，2，2)Ｃ． (2， 3，5)Ｄ． (3，0，4)4.在空间直角坐标系O xyz 中， z 1的全部点组成的图形是．5.点 P( 3，2， 1) 对于平面 xOy 的对称点是，对于平面 yOz 的对称点是 ，对于平面 zOx 的对称点是，对于 x 轴的对称点是，对于 y 轴的对称点是，对于 z 轴的对称点是．6. 求证：以 A( 4， 1， 9) ， B( 101，， 6) ， C ( 2， 4， 3) 为极点的三角形是等腰直角三角形．7. 已知空间中两点 P(－１，２，－３ ) ，Ｑ ( ３，－２，－１） ，则 P 、 Q 两点间的距离是 （ ）A. ６ B ． 22C ． 36D ． 2 58.点 A(3，－ 2,4)对于点 (0,1，－ 3)的对称点的坐标是 ( )A ．(－ 3,4，－ 10)B ． (－ 3,2，－ 4)3，－ 1，1D ． (6，－ 5,11)C ．22 219.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0) 和 B(x ，－ 1,6)的距离为 86，则 x 的值为 ()A ．2B ．－ 8C ． 2 或－ 8D ． 8 或－ 210.若 A(1,3，－ 2)、 B(－ 2,3,2)，则 A 、 B 两点间的距离为 ()A ． 61B ． 25C ． 5D ． 5711.在空间直角坐标系中，点P(3,4,5) 对于 yOz 平面的对称点的坐标为()A ．(－ 3,4,5)B ． (－ 3，－ 4,5)C ． (3，－ 4，－ 5)D ． (－ 3,4，－ 5)12.在空间直角坐标系中，P(2,3,4) 、 Q( － 2，－ 3，－ 4)两点的地点关系是 ()A ．对于 x 轴对称B ．对于 yOz 平面对称C ．对于坐标原点对称D ．以上都不对13.点 P(a ，b ， c)到坐标平面 xOy 的距离是 ()A ． a 2＋ b 2B ． |a|C ．|b|D ． |c|14. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的表示图 (可当作是八个棱长为 12的小正方体聚积成的正方体 )．此中实圆 ?代表钠原子，空间圆 代表氯原子．成立空间直角坐标系 Oxyz 后，图中最上层中间的钠 原子所在地点的坐标是 ( )11A ． 2，2， 1B ． (0,0,1)C ． 1， 1， 1D ． 1，1， 122215.在空间直角坐标系中，点 A(1,2，－ 3)对于 x 轴的对称点为 ()A ．(1，－ 2，－ 3)B ． (1，－ 2,3)C ．(1,2,3)D ． (－ 1,2，－ 3)16.设 y ∈ R ，则点 P(1 ，y,2)的会合为 ()A ．垂直于 xOz 平面的一条直线B ．平行于 xOz 平面的一条直线C ．垂直于 y 轴的一个平面D ．平行于 y 轴的一个平面17. 已知 A(2,1,1) ，B(1,1,2) ， C(2,0,1) ，则以下说法中正确的选项是( )A ．A 、B 、C 三点能够组成直角三角形 B ．A 、 B 、 C 三点能够组成锐角三角形 C ．A 、 B 、 C 三点能够组成钝角三角形D ．A 、 B 、 C 三点不可以组成任何三角形18.已知 A(x,5－ x,2x － 1)， B(1， x ＋2,2－ x)，当 |AB |取最小值时， x 的值为 ()A ．19B ．－ 8C ． 8D ． 197 7 14219.到点 A(－ 1，－ 1，－ 1)， B(1,1,1) 的距离相等的点C(x， y， z)的坐标知足 ()A ．x＋ y＋ z＝－ 1B． x＋ y＋ z＝0C．x＋ y＋ z＝ 1D． x＋ y＋ z＝420.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D (0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为 ()A ．9B．29C． 5D． 2621.点 P(x， y， z)知足x－ 1 2＋ y－1 2＋ z＋ 1 2＝ 2，则点 P 在()A ．以点 (1,1，－ 1)为球心，以2为半径的球面上B ．以点 (1,1，－ 1)为中心，以2为棱长的正方体内C．以点 (1,1，－ 1)为球心，以 2 为半径的球面上D ．没法确立22. 点在x轴上的射影和在平面上的射影点分别为（）.A.、B.、C.、D.、23. 点分别在面（）.A.上 B .上C.上D.上24. 在空间直角坐标系中，以下说法中：①在x 轴上的点的坐标必定是；②在平面上的点的坐标必定可写成；③在 z 轴上的点的坐标可记作；④在平面上的点的坐标是.此中正确说法的序号挨次是（）.A.①②B.②③C.①④D.②③④25、连结平面上两点、的线段的中点 M的坐标为，那么，已知空间中两点、，线段的中点 M的坐标为.26、点对于原点对称的点的坐标是.27、连结平面上两点P1(x1，y1)、P2(x2， y2)的线段 P1P2的中点 M 的坐标为121＋ y2x＋ x，y，那么，已知22空间中两点 P1(x1， y1，z1)、 P2(x2， y2， z2)，线段 P1P2的中点 M 的坐标为 ____________________．28、在空间直角坐标系中，点P 的坐标为 (1，2，3)，过点 P 作 yOz 平面的垂线PQ，则垂足Q 的坐标是______．329、x 轴上的点的坐标必定是(0，b，c) ；②在 yOz 平面上的点的在空间直角坐标系中，以下说法中：①在坐标必定可写成(0，b，c)；③在 z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在 xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确说法的序号是________．30、在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的极点A(3，－1,2)，此中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为 ________．31、已知P 3，5， z 到直线 AB 中点的距离为3，此中 A(3,5，－ 7)， B(－2,4,3) ，则 z＝ ________．2232、在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2) ，B(1，－ 3,1)，点 M 在 y 轴上，且M 到 A 与到 B 的距离相等，则M 的坐标是 ________．33. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点 B 是点 A(1,2,3) 在座标平面yOz 内的正射影，则OB＝ ______．34.已知点 A(－ 2,3,4) ，在 y 轴上有一点B，且 |AB |＝ 3 5，则点 B 的坐标为 ________．4。

一、单选题1. 已知点，则点A关于原点的对称点的坐标为（）A．B．C．D．2. 在空间直角坐标系中，点与点（）A．关于原点对称B．关于平面对称C．关于轴对称D．关于轴对称3. 如图，在空间直角坐标系中，点的坐标为（）A．B．C．D．4. 在空间直角坐标系，点关于xOy平面的对称点B的坐标为（）．A．B．C．D．5. 如图长方体中，分别是的中点，如图所示建系，则中点的坐标为（）A．B．D．C．6. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（）A．B．C．D．二、多选题7. 下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（）A．线段的中点的坐标为B．点关于轴对称的点的坐标为C．点关于坐标原点对称的点的坐标为D．点关于平面对称的点的坐标为8. 已知点,在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（）A．B．C．D．三、填空题9. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为________.10. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______.11. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为_________.12. 已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是___四、解答题13. 如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点.(1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；(2)若点C到平面的距离为，求正四棱柱的高；(3)在（2）的条件下，若平面内存在点P满足P到线段BC的距离与到线段的距离相等，求的最小值.14. 如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，，M为线段AD上一点，，N为PC的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标15. 如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．16. 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．。

§3 空间直角坐标系 同步测试试卷（数学北师版必修2）一、选择题（本题包括10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1.点(3,4,5)P 在平面上的投影点1P 的坐标 是（ ）A ．(3,0,0)B ．(0,4,5)C ．(3,0,5)D ．(3,4,0)2.已知点(1,2,11),(4,2,3),(6,1,4)A B C --，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 3．已知(4,3,1)M -，记M 到x 轴的距离为a ，M 到y 轴的距离为b ，M 到z 轴的距离为c ，则（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >> 4. 在直角坐标系中，已知两点(4,2),(1,3)M N -，沿x 轴把直角坐标平面折成直二面角后，,M N 两点间的距离为( )A ．38B ．34C ．22D ．105．在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z 满足 方程222(2)(1)(3)1x y z -+++-=，则点P 的 轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．球面D ．线段6．在空间直角坐标系中，y a =表示（ ） A ．y 轴上的点 B ．过y 轴的平面 C ．垂直于y 轴的平面 D ．平行于y 轴的直线 7．给定空间直角坐标系中，x 轴上到点(4,1,2)P 的距离为30的点有（ ）A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个8．如图，在空间直角坐标系中有一棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，1A C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为（ ）A ．2aB ．22aC ．aD ．2a9．在空间直角坐标系中，点(3,2,1)P --到x 轴的距离为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．510．已知(,5,21),(1,2,2)A x x x B x x --+-，当,A B 两点间距离取得最小值时，x 的值为（ ）A ．19B ．87-C ．87D ．1914二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.请将正确的答案填到横线上）建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟100分1DA C1CO E 1BB1AF(D )11．已知平行四边形ABCD 的两个顶点的坐标分别为(2,3,5)A --和(1,3,2)B -，对角线的交点是(4,1,7)E -，则,C D的坐标分别为 .12.已知球面222(1)(2)(3)9x y z -+++-=，点(3,2,5)A -，则球面上的点与点A 距离的最大值与最小值分别是 . 13．已知(0,1,1),(2,0,4),(2,2,2)A B C ----，则,,A B C 三点 .（填共线或不共线）14．在空间直角坐标系中，自点(4,2,3)P --引x 轴的垂线，则垂足的坐标为 . 三、解答题（本题共4小题，共44分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤） 15．（10分）在平面内的直线1x y +=上确定一点M ，使M 到点(6,5,1)N 的距离最小.16.（10分）对于任意实数,,x y z ，求222222(1)(2)(1)x y z x y z +++++-+-的最小值.17．（12分）已知点(1,1,0)A ，对于Oz 轴正半轴上任意一点P ，在Oy 轴上是否存在一点B ，使得PA AB ⊥恒成立？若存在，求出B 点的坐标；若不存在，说明理由. 18.（12分）已知三点(1,1,2),(1,2,1),(,0,3)A B C a --，这三点能共线吗？若能共线，求出a 的值；若不能共线，说明理由.XAYB O Z P§3 空间直角坐标系同步测试试卷（数学北师版必修2）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题11． 12． 13. 14.三、解答题15.16.17.18.§3 空间直角坐标系 同步测试试卷（数学北师版必修2）答案一、选择题1.B 解析：平面上点的坐标特征是(0,,)b c ．2.C 解析：根据两点间距离公式89,75,14AB AC BC ===，则有222AC BC AB +=．3.B 解析：M 到x 轴的距离10a =，M 到y 轴的距离17b =，M 到z 轴的距离5c =， 所以c b a >>．4.B 解析：翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系，,M N 两点的坐标分别为(4,2,0)M ，(1,0,3)N ，利用空间直角坐标系中两点间距离公式得，,M N 两点间的距离为222(41)(20)(03)22-+-+-=． 5.C 解析：动点P 到定点(2,1,3)-的距离为定值1，所以点P 的轨迹是球面．6.C 解析：在空间直角坐标系中，y a =表示垂直于y 轴的平面．7.A 解析：设满足条件的点为(,0,0)x ，代入两点间距离公式：222(4)(01)(02)30x -+-+-=，解得9x =或1x =-，所以满足条件的点为(9,0,0)或(1,0,0)-．8.B 解析：点E 的坐标为(,,)222a a a ，点F 的坐标为(,,0)2a a ，所以222()()222a a EF a =+=， 故选B ．9.D 解析：点(3,2,1)P --到x 轴的距离为222(1)5+-=．10.C 解析：2143219AB x x =-+，所以当87x =时，,A B 两点间距离取得最小值． 二、填空题11. (6,1,19)与(9,5,12)-解析：点E 分别是点A 与点C 、点B 点D 的中点，所以,C D 的坐标分别为(6,1,19)与(9,5,12)-． 12. 9与3解析：球心为(1,2,3)-，半径为3，所以点A 到球心距离为6，所以球面上的点与点A 距离的最大值与最小值分别是9与3． 13. 共线解析：222(02)(10)(14)14AB =-+--+-=，222(02)(12)(12)14AC =++-+++=，222(22)(02)(42)214BC =+++++=，因为BC AB AC =+，所以,,A B C 三点共线．xz yNMO14. (4,0,0)-解析：过空间任意一点P 作x 轴的垂线，垂足均为(,0,0)a 的形式，其中a 为点P 在x 轴上的坐标． 三、解答题15．解：因为点M 在平面内的直线1x y +=上，故可设点M 为(,1,0)x x -+，所以222(6)(4)12453MN x x x x =-+++=-+，所以当1x =时MN 取得最小值，此时点M 坐标为(1,0,0).16．解：在空间直角坐标系中，222222(1)(2)(1)x y z x y z +++++-+-表示空间中点(,,)x y z 到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)-的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点(1,2,1)-之间的线段长，所以222222(1)(2)(1)x y z x y z +++++-+-的最小值为6. 17．解：若PA AB ⊥恒成立，则AB ⊥平面POA ，所以AB OA ⊥.设(0,,0)B x ，则有22,,1(1)OA OB x AB x ===+-，由222OB OA AB =+，得2221(1)x x =++-，解得2x =.所以存在点B ，当点B 为(0,2,0)时，PA AB ⊥恒成立.18．解：根据空间直角坐标系两点间距离公式，222(11)(12)(21)14AB =--+-++=，2222(1)(10)(23)(1)2AC a a =--+-+-=++， 2222(1)(20)(13)(1)20BC a a =-+-+--=-+，因为BC AB >，所以若,,A B C 三点共线，则BC AC AB =+或AC BC AB =+， 若BC AC AB =+，整理得2518190a a ++=，此方程无解； 若AC BC AB =+，整理得2518190a a ++=，此方程也无解. 所以,,A B C 三点不能共线..。

．空间直角坐标系的建立．空间直角坐标系中点的坐标时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题(每小题分，共×＝分)．在空间直角坐标系中，点的坐标是()，则点关于轴对称的点在平面上的射影的坐标为( )．() ．(－，－)．(－，－) ．(－)答案：解析：点关于轴对称的点是′(－，－)，点′在平面上的射影的坐标为(－，－)．．在空间直角坐标系中，已知点(，，)，过作平面的垂线，则垂足的坐标为( )．(，，) ．(，，)．(，) ．(，，)答案：解析：根据空间直角坐标系的概念知，平面上点的坐标为，坐标、坐标与点的坐标，坐标分别相等，∴(，，)．．在空间直角坐标系中，＝表示( )．轴上的点．过轴的平面．垂直于轴的平面．平行于轴的直线答案：解析：＝表示所有在轴上的投影是点(，)的点的集合，所以＝表示经过点(，)且垂直于轴的平面．．已知(，－)，记到轴的距离为，到轴的距离为，到轴的距离为，则( )．>>．>>．>>．>>答案：解析：借助长方体来思考，、、分别是三条面对角线的长度．∴＝，＝，＝.．空间直角坐标系中，到坐标平面, ，的距离分别为的点有( )．个．个．个．个答案：解析：分别为()、(，－)、(，－)、(，－，－)、(－)、(－，－)、(－，－)、(－，－，－)．三棱锥－中，()，()，()，()此三棱锥的体积为( )．．．．答案：解析：，，两两垂直，－＝····＝二、填空题(每小题分，共×＝分)．已知点(－)，()，则线段的中点坐标是．答案：解析：由两点(，，)，(，，)的中点坐标为，知线段的中点坐标是.．已知平行四边形中，()，(，－)，(，－)，则点的坐标为．答案：(，－)解析：设平行四边形的两条对角线的交点为点，则为，的中点．由()，(，－)，得点的坐标为.又点(，－)，所以点的坐标为(，－)．．在空间直角坐标系中，点(－，－)在平面上的射影为点，则点关于原点对称的点的坐标是．答案：()解析：由题意，知点的坐标为(－，－)，点关于原点对称的点的坐标是()．三、解答题(共分，＋＋)．已知正方体－，，，分别是，，的中点，且正方体的棱长为.请建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点及点，，的坐标．解：建立如图所示的空间直角坐标系－.则()，()，()，()，()，()，()，()，，，.．如图，已知长方体－的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点(－，－，－)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点与点关于平面对称，故点的坐标为(－，－)；点与点关于平面对称，故点的坐标为(，－，－)；点与点关于轴对称，故点的坐标为(，－)；由于点，，，分别与点，，，关于平面对称，故点，，，的坐标分别为(－，－，)，(－)，()，(，－)．．如图，，分别是⊙，⊙的直径，与两圆所在的平面均垂直，＝，是⊙的直径，＝＝，∥，试建立适当的空间直角坐标系，求出点，，，，，的坐标．解：因为与两圆所在的平面均垂直，∥，所以⊥平面.又平面，平面，所以⊥，⊥.又是圆的直径，所以＝.又＝＝，所以⊥，＝.所以＝＝＝＝.如图所示，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，。

【优化课堂】2016秋高中数学 2.3 空间直角坐标系练习 北师大版必修2[A 基础达标]1．若P (a ，b ，c )既在平面xOy 内，又在平面yOz 内，则一定有( ) A ．a ＝b ＝0 B ．a ＝c ＝0 C ．b ＝c ＝0 D ．a ＝b ＝c ＝0解析：选B ．平面xOy 内的点，z 坐标为0；平面yOz 内的点，x 坐标为0.2．在空间直角坐标系中，设A (1，2，a )，B (2，3，4)，若|AB |＝3，则实数a 的值是( )A ．3或5B ．－3或－5C ．3或－5D ．－3或5 解析：选A.由已知得 （1－2）2＋（2－3）2＋（a －4）2＝3，解得a ＝3或a ＝5.3．若△ABC 的顶点坐标分别为A (2，3，1)，B (4，1，－2)，C (6，3，7)，则△ABC 的重心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫6，72，3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8，143，4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76，1 解析：选B ．设三角形的三个顶点坐标分别为A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)，其重心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，z 1＋z 2＋z 33，故所求重心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，2. 4．已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 解析：选 C.|AB |＝（1－4）2＋（－2－2）2＋（11－3）2＝89，|BC |＝（4－6）2＋（2＋1）2＋（3－4）2＝14，|AC |＝（1－6）2＋（－2＋1）2＋（11－4）2＝75，所以|AB |2＝|BC |2＋|AC |2.所以△ABC 为直角三角形．5．不在正方体的同一表面上的两个顶点分别是A (1，0，4)，B (3，－2，6)，则该正方体的棱长等于( )A ．1B ． 2C ．2D ． 3解析：选C.依题意，正方体的对角线的长为|AB |＝（1－3）2＋（0＋2）2＋（4－6）2＝23，设正方体的棱长为a ，则有3a ＝23，解得a ＝2.6．已知点A (－3，1，4)，B (5，－3，－6)，则点B 关于点A 的对称点C 的坐标为________． 解析：设C 点的坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋52＝－3y －32＝1z －62＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－11y ＝5z ＝14. 则C 点的坐标为(－11，5，14)． 答案：(－11，5，14)7．设点P 在x 轴上，它到P 1(0，2，3)的距离为到点P 2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P 的坐标为________．解析：因为点P 在x 轴上，所以设点P 的坐标为(x ，0，0)． 由题意|PP 1|＝2|PP 2|，所以（x －0）2＋（0－2）2＋（0－3）2＝2（x －0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2，解得x ＝±1.所以所求点的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0)． 答案：(1，0，0)或(－1，0，0)8．在空间直角坐标系中，点M (x ，y ，z )满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则M 的轨迹是________________．解析：由x 2＋y 2＋z 2＝1， 得（x －0）2＋（y －0）2＋（z －0）2＝1， 即动点M 到定点O (坐标原点)的距离为常数1.所以M 的轨迹是以原点O 为球心，半径为1的球面． 答案：以原点O 为球心、半径为1的球面9．在三棱锥S ­ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，且SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，E 为SD 的中点，建立适当的坐标系，求点S ，A ，B ，C ，D ，E 的坐标．解：因为在三棱锥S ­ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，所以以点A 为坐标原点，AB，AC ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，所以A (0，0，0)，B (a ，0，0)，C (0，a ，0)，S (0，0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，连接AD ，因为SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，所以SA ⊥平面ABC ，则有平面SAD ⊥平面ABC ，交线为AD ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，则EF ⊥平面ABC .因为E 为SD 的中点，所以F 为AD 的中点，所以EF ＝12AS ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，a 4，a2，即点S (0，0，a )，A (0，0，0)，B (a ，0，0)，C (0，a ，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，a 4，a2. 10. 在河的一侧有一塔|CD |＝5 m ，河宽|BC |＝3 m ，另一侧有点A ，|AB |＝4 m ，如图，求A 与塔顶D 的距离|AD |.解：以C 点为原点，CB 、CD 、CM 所在直线为x 轴、z 轴、y 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (3，－4，0)，D (0，0，5)．所以|AD |＝（3－0）2＋（－4－0）2＋（0－5）2＝52，即A 到塔顶D 的距离是5 2 m.[B 能力提升]1. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO ­A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为( )A.2a B ．22a C ．aD ．12a 解析：选B ．因为A ′(a ，0，a )，C (0，a ，0)，E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0. 所以|EF |＝a 24＋02＋a 24＝22a ，所以选B ． 2．已知x ，y ，z 满足方程C ：(x －3)2＋(y －4)2＋(z ＋5)2＝2，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．解析：x 2＋y 2＋z 2表示坐标原点(0，0，0)到点(x ，y ，z )的距离的平方，则点(0，0，0)到(3，4，－5)的距离d ＝32＋42＋（－5）2＝52，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为(52－2)2＝(42)2＝32. 答案：323．在空间直角坐标系中，已知A (3，0，1)和B (1，0，－3)，试问： (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |. 因M 在y 轴上，可设M (0，y ，0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32， 显然，此式对任意y ∈R 恒成立．这就是说y 轴上所有点都满足关系|MA |＝|MB |. (2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形． 由(1)可知，y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，所以只要|MA |＝|AB |就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA | ＝（3－0）2＋（0－y ）2＋（1－0）2＝10＋y 2，|AB |＝（1－3）2＋（0－0）2＋（－3－1）2＝20，于是 10＋y 2＝20，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M 使△MAB 为等边三角形，且点M 坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．4. (选做题)已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1(侧棱与底面垂直)中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E ，F ，M ，N 分别是A 1B 1，AB ，C 1B 1，CB 的中点．如图所示，建立空间直角坐标系．(1)在平面ABB 1A 1内找一点P ，使△ABP 为等边三角形； (2)在线段MN 上是否存在一点Q ，使△AQB 为以AB 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请予以说明．解：(1)因为EF 是AB 的中垂线，在平面ABB 1A 1内只有EF 上的点与A ，B 两点的距离相等．又A (2，0，0)，B (0，4，0)，设点P 坐标为(1，2，m )， 由|PA |＝|AB |得，（1－2）2＋（2－0）2＋（m －0）2＝20，所以m 2＝15.因为m ∈[0，4]，所以m ＝15，故平面ABB 1A 1内的点P (1，2，15)使得△ABP 为等边三角形．(2)设MN 上的点Q (0，2，n )满足题意，由△AQB 为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，所以|QF |＝12|AB |.又F (1，2，0)，则（0－1）2＋（2－2）2＋（n－0）2＝12（0－2）2＋（4－0）2＋（0－0）2，整理得，n2＋1＝5，所以n2＝4.因为n∈[0，4]，所以n＝2.故在MN上存在点Q(0， 2，2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．。

课时跟踪检测（二十五）空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标层级一学业水平达标．已知(－)，(－，－，－)，则线段的中点关于原点对称的点的坐标是( )．() ．()．() ．()解析：选由题意，得中点坐标为(－，－，－)，∴关于原点对称的点的坐标为()．．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是(，，)；②在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定是(，，)；③在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标可记作(，)；④在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标是(，)．其中正确的个数是( )．．．．解析：选②③④正确．．已知(，－)关于面对称点为′，′关于轴对称的点为″，则″的坐标为( )．(，－，－) ．(－，－)．(，－) ．(－)解析：选由题意，得′(，－，－)，″(－，－)．．在空间直角坐标系中，点(－)关于平面的对称点的坐标是( )．(－，－) ．(－，－，－)．(，－) ．(，－)解析：选过点向平面作垂线，垂足为，则就是点与它关于平面的对称点′连线的中点，又(－)，所以对称点为′(－，－)，故选.．已知点(－μ，－＋)关于轴的对称点为′(λ，，－)，则λ，μ，的值为( )．λ＝－，μ＝－，＝－．λ＝，μ＝－，＝－．λ＝，μ＝，＝．λ＝，μ＝，＝解析：选两个点关于轴对称，那么这两个点的坐标不变，坐标与坐标均互为相反数，故有λ＝＝－(－μ)，－＝－(－＋)，∴λ＝，μ＝，＝.．如图，已知正方体-的棱长为，则中点的坐标为．解析：由题意()，()，∴()．答案：()．点()在三条坐标轴上的射影的坐标分别是，，.解析：()在轴上的射影为()，在轴上的射影为()，在轴上的射影为()．答案：() () ()．在空间直角坐标系中，点(－，－)在平面上的射影为′点，则′关于原点对称的点的坐标是．解析：点在上的射影为(－，－)，其关于原点对称的坐标为()．答案：()．如图，棱长为的正方体-′′′′中，对角线′与′相交于点，顶点为坐标原点，，分别在轴、轴的正半轴上，试写出点的坐标．解：因为′与′相交于点，所以点在平面内的投影应为与的交点，所以的坐标为.同理可知点在平面内的投影也应为′与′的交点，所以点的坐标为.．如图，在长方体-中，，分别是棱，上的点，＝＝，∶∶＝∶∶.试建立适当的坐标系，写出，点的坐标．解：以为坐标原点，射线，，的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．＝，＝，设＝，则所以＝＝，＝＝，所以＝－＝－＝.所以点的坐标为，点的坐标为()．层级二应试能力达标．已知点()关于原点的对称点为(－，，)，则(，)在平面直角坐标系的( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：选由题可知，＝，＝－，＝－，故(，)＝(，－)，在第四象限．．设为任一实数，则点(，)表示的图形是( )．轴．与平面平行的一直线．平面．与平面垂直的一直线解析：选(，)表示过点()且与轴平行的直线，即与平面垂直的直线．．正方体-′′′′的棱长为，且＝′，建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为( )。

3.2 空间直角坐标系中点的坐标练习1．xOy平面内点的坐标的特点是()．A．z坐标是0 B．x坐标和y坐标都是0C．x坐标是0 D．x坐标，y坐标和z坐标不可能都是0 2．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于xOz平面对称的点的坐标是()．A．(－1,3，－5) B．(1，－3,5)C．(1，－3，－5) D．(－1，－3,5)3．点10,26,3M⎛⎫-⎪⎝⎭所在的位置是()．A．x轴上B．xOz平面内C．xOy平面内D．yOz平面内4．在空间直角坐标系中，已知点P(1)，过P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是()．A．(00) B．(0C．(1,0D．(1，0)5．在空间直角坐标系中，已知M(－1,2,3)，过该点作x轴的垂线，垂足为H，则H点的坐标是()．A．(－1,2,0) B．(－1,0,3)C．(－1,0,0) D．(0,2,3)6．设x为任意实数，相应的点(3，x,3)的集合是()．A．一个平行于y轴的平面B．一条平行于y轴的直线C．一个垂直于y轴的平面D．一条垂直于y轴的直线7．点P(－4,2，－3)关于xOy平面的对称点是________；关于yOz平面的对称点是________；关于xOz平面的对称点是________；关于x轴的对称点是________；关于y轴的对称点是________；关于z轴的对称点是________．8．以正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点坐标为________．9．如图所示的空间直角坐标系中，正方体棱长为2，|PQ|＝3|PR|，则点R的空间直角坐标为________.10．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，|PA|＝|AC|＝12AB＝4，N为AB上一点，|AN|＝14AB，M，S分别为PB，BC的中点．试建立适当的空间直角坐标系，求点M，N，S的坐标．参考答案1. 答案：A2．答案：C3. 答案：D4. 解析：根据空间直角坐标系的概念知yOz 平面上的点Q 的x 坐标为0，y 坐标，z 坐标分别等于点P 的y ，z Q 的坐标为(0．答案：B5. 解析：因为垂足H 在x 轴上，故点H 与M 的x 坐标相等，其余两个坐标均为0. 答案：C6. 答案：B7. 答案：(－4,2,3) (4,2，－3) (－4，－2，－3)(－4，－2，3) (4,2,3) (4，－2，－3)8. 解析：如图，CC 1的中点坐标为11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭9. 答案： 44,2,33⎛⎫⎪⎝⎭ 10. 解：由线面垂直的性质可知AB ，AC ，AP 三条直线两两垂直，如图，分别以AB ，AC ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (8,0,0)，C (0,4,0)，P (0,0,4)，因为M ，S 分别为PB ，BC 的中点，由中点坐标公式可得，M (4,0,2)，S (4,2,0)．因为N 在x 轴上，|AN |＝2，所以N (2,0,0)．。

人教版全能练习必修2 第二章 3.1 空间直角坐标系的建立、 3.2空间直角坐标系中点的坐标一、单选题1. 下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是()A.点中x，y，z的位置可以互换B.空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一一对应关系C.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D.某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置一定不同2. 在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标可记为（）A. B. C. D.3. 点位于( )A.轴上B.轴上C.平面内D.平面内4. 如图所示，在棱长为1的正方体中，下列各点在正方体外的是（）A. B. C. D.5. 在空间直角坐标系中，点与点的位置关系是()A.关于x轴对称B.关于xOy平面对称C.关于坐标原点对称D.关于xOz平面对称6. 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是()A. B. C. D.7. 若点P(−4, −2, 3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别为(a, b, c)，(e, f, d)，则c与e的和为( )A.7B.−7C.−1D.18. 已知点，且该点在三个坐标平面yOz，xOz，xOy上的投影的坐标依次为，和，则()A. B.C. D.以上结论都不对二、填空题若点关于点对称的点是，则________．集合的几何意义是________．晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞（设为棱长为1的正方体）是示意图．其中，灰点代表钠原子，黑点代表氯原子．建立空间直角坐标系后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是________．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________．连接平面上两点，则线段的中点M的坐标为，那么空间中连接两点，则线段的中点M的坐标为________．已知B与点关于点对称，则点B的坐标是________．三、解答题在长方体中，，E，F分别是的中点，建立空间直角坐标系，求点E，F的坐标．参考答案与试题解析人教版全能练习必修2 第二章 3.1 空间直角坐标系的建立、 3.2空间直角坐标系中点的坐标一、单选题1.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】根据空间直角坐标系相关概念进行识别判断．【解答】点P(x,y,z)中x，y，z数值不同时，对应的位置不可以互换，空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是——对应关系，空间直角坐标系中的三条坐标轴所确定的三个平面把空间分为八个部分，某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同，选B．2.【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】试题分析：因为在空间直角坐标系中，二轴上的点横纵均为零，所以在乙轴上的点的坐标可记为(0,0,c)，故选C．【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】由所给的坐标的特点可知，它的纵坐标为0，所以点必在平面xO2内，即可得到答案．【解答】因为点P(−2,0,3)的纵坐标为0，故点P在平面xOz内，故选C．4.【答案】B【考点】空间直角坐标系【解析】由已知中正方体及所在的空间坐标系，可以分析出若P(x,y,z)不在正方体外部时，横、纵、竖坐标所满足的条件，逐一分析四个答案，即可得到正确的结论．【解答】由已知中的坐标可得，若P(x,y,z)为正方体内的一个点，则0≤x≤10≤y≤10≤2≤1分析四个答案中，A，C，D均符合上述条件，只有B不符合条件．故选B．5.【答案】D【考点】空间中的点的坐标二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】根据对称关系确定结果【解答】：点P(2,3,4)与点Q(2,−3,4)的》轴坐标和2轴坐标相等，而）轴坐标相反，…两个点关于xOz平面对称．选D．6.【答案】C【考点】空间中的点的坐标平面向量的基本定理函数与方程的综合运用【解析】P(1,3,−5)关于xOy面对称的点为(1.3.5)【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】函数与方程的综合运用空间中的点的坐标对数函数的单调性与特殊点【解析】求出点P(−4,−2,3)关于坐标平面xOy的对称点坐标，以及P(−4,−2,3)关于）轴的对称点的坐标，可得c与♀的值，从而可得结果【解答】点P(−4,−2,3)关于坐标平面xOy的对称点为(−4,−2,−3)点P(−4,−2,3)关于y轴的对称点的坐标(4,−2,−3)c=−3,e=4.c+e=1，故选D．8.【答案】B【考点】空间中的点的坐标共线向量与共面向量单位向量【解析】根据对称性确定对应参数的值，再代入计算、判断选择【记6】点P(−1,3,−4)在y2平面上的射影的坐标(x1,y1,z1)=(0,3,−4)x1=0；在xOz 平面上的射影的坐标(x2,y2,z2)=(−1,0,−4)y2=0；在xo0平面上的射影的坐标(x3,y3)=(−1,3,0),z3= 0．所以x12+y22+z32=0．选B．【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】2【考点】函数的概念换底公式的应用区间与无穷的概念【解析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求参数．【解答】一点P(1,−2,4)关于点A(1,−1,a)对称的点是Q(b,c,−2)1+b 2=1−2+c2=−14−22=ab=1,c=0a=1．∴a+b+c=2【答案】过点(0,0,3)且垂直于2轴的平面【考点】空间中的点的坐标平面的基本性质及推论复数的代数表示法及其几何意义【解析】根据坐标确定轨迹，即得几何意义，【解答】集合{(x,y,z)||z =3,x ∈R,y ∈R)是纵坐标为3的所有点的集合． 表示过点(0,0,3)且垂直于2轴的平面．【答案】(11【考点】程序框图频率分布直方图由三视图求体积【解析】根据坐标分解得结果．【解答】从O 沿x 正半轴走12，再沿y 轴正半轴走12，最后沿z 轴正半轴走1，到达图中最上层中间的钠原子所在位置，所以坐标是(12,12,1) 【答案】(−2, −1−4)【考点】空间中的点的坐标空间直角坐标系空间两点间的距离公式【解析】根据对称关系确定点的坐标【解答】：在空间直角坐标系中，点(x,y,z )关于∼轴对称的点的坐标为(x,−y,−z ) …点(−2,1,4)关于∼轴对称的点的坐标为(−2,−1,−4)【答案】[（五+x 22,y 1+y 22,z 1+z 22）【考点】简单线性规划平面向量数量积的运算类比推理【解析】根据类比可得结果【解答】根据类比可得P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)的中点M 的坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22,z 1+z 22)【答案】(−1, ∼4.1)【考点】空间中的点的坐标中点坐标公式与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【解答】设B(x,y,z)，则0=1+x2,−1=2+y2,2=3+z2，所以x=−1,y=−4,z=1，所以B的坐标为(−1,−4,1)三、解答题【答案】见解析【考点】三角形五心直线与平面平行的判定直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】根据长方体建立空间直角坐标系，再根据投影得坐标【解答】以4为坐标原点，分别以AB，ADAA1所在直线为∼轴、Ⅴ轴、﹦轴，建立空间直角坐标系A−xyz（如图所示）．点E在xO3平面上的投影为点B(12,0,0)，所以点E的坐标为(12,0,4)点F在xOy平面上的投影为BD的中点G(6,4,0)，所以点F的坐标为(6,4,8)。