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2.5 平稳随机过程相关性分析
2.5.1 自相关函数的性质
性质1 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即 )()(ττ-=X X R R 同样可得 )()(ττ-=X X C C
性质2 平稳过程的均方值就是自相关函数在0=τ时的非负值
0)]([)0(2≥=t X E R X
性质3 平稳过程X(t)自相关函数的最大值在0=τ处 )()0(τX X R R ≥ 同理可证 )()0(τX X C C ≥
性质4 周期平稳过程X(t)的自相关函数是周期函数，且与周期平稳过程的周期相同 )()(ττX X R T R =+
注：若平稳过程X(t)满足X(t)=X(t+T)，则称它为周期平稳过程，其中T 为过程的周期。
性质5 非周期平稳过程X(t)的自相关函数满足
)
()0()()(lim 22∞-==∞=∞→X X X X X X R R m R R σττ
从上面的讨论看出，对于一个平稳随机过程，自相关函数是它的最重要的数字特征，由它可得到其它的数字特征：
数学期望 )(∞±=X X R m
均方值 )0()]([2X R t X E =
方差 )()0(2∞-=X X X R R σ
协方差 )()()(∞-=X X X R R C ττ
例：已知非周期平稳随机过程X(t)的自相关函数为
2
51436)(ττ++=X R 求：X(t)的均值和方差。
2.5.2 相关系数和相关时间
1. 相关系数
相关系数实际上是对平稳随机过程的协方差函数作归一化处理，即 )
()0()()()
()(2∞-∞-==X X X X X X X R R R R C r τσττ )(τX r 有时也叫归一化自相关函数。
显然，)(τX r 具有与)(τX C 相同的性质，且有
1
)0()(1)()0()()0()0(2=≤=∞-∞-=
X X X X X X X X C r R R R R r στ
)(τX r 可能为正值、零、负值。
)(τX r 为正值，表示正相关；负值表示负相关；0)(=τX r 表示不相关；1)(=τX r 表示完全相关。
2. 相关时间
定义1：经常取，满足05.0)(0≤τX r 时的τ作为相关时间0τ。
定义2：将)(τX r 曲线在),0[∞之间的面积等效成)0(0X r ⨯τ的矩形，也就
是有 τττd r X ⎰∞=00)(
相关时间0τ越小，就意味着相关系数)(τX r 随τ增加而降落得越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。
反之，0τ越大，则表明随机过程随时间变化越缓慢。
2.5.3 互相关函数性质
联合宽平稳随机过程的互相关函数具有如下性质： 性质1：)()(ττ-=YX XY R R ，互相关函数是非奇非偶函数。
同理可证 )()(ττ-=YX XY C C
性质2：)0()0()(2
Y X XY R R R ≤τ
同理可证 2
22
)0()0()(Y X Y X XY C C C σστ=≤
证明：由柯西－许瓦兹不等式可证：
对于两个随机变量V 、W ，若][],[22W E V E 存在，则有
][][])[(222W E V E VW E ≤
性质3：)]0()0([21
)(Y X XY R R R +≤τ
同理可证 ][21
)]0()0([21
)(2
2
Y X Y X XY C C C σστ+=+≤
作业题：书90页2.11。
