含字母系数的二次函数

二次函数的字母系数今天我们一起来谈一谈二次函数的一般式和顶点式中的字母系数的问题吧！例1：如图，根据图形来判别二次函数一般式：)0(2≠++=a c bx ax y 和顶点式：)0()(2≠++=a k m x a y 中字母系数的范围。

解：一般式：由开口方向可得0>a由对称轴可得02>-ab 因为0>a 所以0<b 由图像与y 轴交于正半轴，所以0>c顶点式：由开口方向可得0>a由对称轴可得0>-m 所以0<m由图像可得顶点在第四象限，所以0<k解：一般式：由开口方向可得0<a由对称轴可得02<-ab 因为0<a 所以0<b 由图像与y 轴交于正半轴，所以0>c顶点式：由开口方向可得0>a由对称轴可得0<-m 所以0>m由图像可得顶点在第二象限，所以0>k大家通过上面的问题应该对于二次函数的一般式)0(2≠++=a c bx ax y 中的字母系数所对应的图像特征应该掌握的不错了，那么对于关于字母系数的一些式子你是否了解呢？下面我们一起来看一看。

例1：如图为二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像，根据图形判别c b a b a ac b abc +++-、、、242的正负性解：由开口方向可得0>a由对称轴可得02>-ab 因为0>a 所以0<b 由图像与y 轴交于负半轴，所以0<c所以：0>abc因为由图可知抛物线与x 轴有两个交点 所以042>-ac b 因为由对称轴可知：12<-ab 因为0>a 所以02>+b a 因为抛物线经过点（1,0），所以0=++c b a例2：如图为二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像，根据图形判别c b a b a ac b abc +---、、、242的正负性解：由开口方向可得0>a由对称轴可得 因为0>a 所以0>b由图像与y 轴交于负半轴，所以0<c所以：0<abc因为由图可知抛物线与x 轴有两个交点 所以042>-ac b 因为由对称轴可知：12-=-ab 所以02=-b a 因为由图可得：当x=-1时，y 的值为负。

初中二次函数知识点总结(全面)初中二次函数知识点总结(全面)二次函数知识点（一）、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（二）、二次函数yax2bxc的性质b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．2a4a2a 当xbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当2a2a4acb2b．x 时，y有最小值4a2a2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2ab4acb2bb 时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增，．当x4a2a2a2a4acb2b大而减小；当x时，y有最大值．4a2a（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A.B.C.D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A.(1，-4)B.(-1，2)C.(1，2)D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上4.抛物线的对称轴是()A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A.ab>0，c>0B.ab>0，c10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A.C.二、填空题1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）yx20（3）yx2（2）y(x2)(x2)(x1)2B.D.1（4）yx22x3x2、二次函数y2(x3)25的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴是；3、当k为何值时，函数y(k1)xk2k1为二次函数？画出其函数的图象．3、函数yx(23x)，当x为时，函数的最大值是；14、二次函数yx22x，当x时，y0;且y随x的增大而减2小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.8.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数yx2x的对称轴是．10二次函数y2x2x1的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．11抛物线yax4x6的顶点横坐标是-2，则a=．12、抛物线yax2xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？222213．已知抛物线y=125x－３x－22（１）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（２）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（３）画出草图（４）观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.14、（20xx年宁波市）如图，已知二次函数y12xbxc2的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。

2013年中考数学专题复习 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、 二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a ≠0）那么y 叫做x 的二次函数名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列2、强调二次项系数a 0二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式2、在抛物y=kx 2+bx+c(a ≠0)中：（1）当a>0时，y 口向 ，当x<-2ba 时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，（2）当a<0时，开口向 当x<-2ba时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小.名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ,对称轴 定点坐标2、y= ax 2+k ，对称轴 定点坐标 3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标三、二次函数同象的平移名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越 b:对称轴位置，与a 联系一起，用 判断b=0时，对称轴是 c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点名师提醒：在抛物线y= ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012•常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=12-x2-7x+152，若自变量x分别取x1，x2，x 3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=12（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3 （2012•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=12-．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1对应训练4．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．【聚焦中考】1．（2012•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限2．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于03．（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是A． B． C． D．4．（2012•泰安）设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y25．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2012•日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-38．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：旋钮角度（度）20 50 70 80 90所用燃气量（升）73 67 83 97 115（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞32．（2012•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞33．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤34．（2012•北海）已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（）A．（-2，-1） B．（2，1）C．（2，-1） D．（-2，1）5．（2012•广元）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（）A．1 B．2 C．-2 D．-26．（2012•西宁）如同，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）A.当x=0时，y的值大于1B.当x=3时，y的值小于0C.当x=1时，y的值大于1D.y的最大值小于06．（2012•巴中）对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（）A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=-17．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个8．（2012•乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜19．（2012•扬州）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-210．（2012•宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A．（-2，3） B．（-1，4） C．（1，4） D．（4，3）11．（2012•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．6二、填空题12．（2012•玉林）二次函数y=-（x-2）2+94的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．13．（2012•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．14．（2012•孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（把正确的序号都填上）．15．（2012•苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．16．（2012•成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a （a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．17．（2012•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．18．（2012•宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．19．（2012•贵港）若直线y=m （m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是．19．（2012•广安）如图，把抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．三、解答题20．（2012•柳州）已知：抛物线y=34（x-1）2-3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．21．（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：xi0 1 2 3 4 5 …yi0 1 4 9 16 25 …y i+1﹣yi1 3 5 7 9 11 …由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 解：∵二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵x取0时所对应的点离对称轴最远，x取2时所对应的点离对称轴最近，∴y3＞y2＞y1．故选B．1．（2012•衢州）解：∵二次函数y=12-x2-7x+152，∴此函数的对称轴为：x=2ba-=7712()2--=-⨯-，∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，∴对称轴右侧y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3．故选：A．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）解：①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；②∵当x≤1时y随x 的增大而减小，∴函数的对称轴x=-22m --≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则22m--≥1，即m ≥1，故本选项错误；③将m=-1代入解析式，得y=x 2+2x-3，当y=0时，得x 2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x 1=1，x 2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x=420082+=1006，则22m--=1006，m=1006，原函数可化为y=x 2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，故本选项正确．故答案为①④（多填、少填或错填均不给分）． 对应训练2．（2012•河北）解：①∵抛物线y 2=12（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x 轴的上方，∴无论x 取何值，y 2的值总是正数，故本小题正确；②把A （1，3）代入，抛物线y 1=a （x+2）2-3得，3=a （1+2）2-3，解得a=23，故本小题错误；③由两函数图象可知，抛物线y 1=a （x+2）2-3过原点，当x=0时，y 2=12（0-3）2+1=112，故y 2-y 1=112，故本小题错误；④∵物线y 1=a （x+2）2-3与y 2=12（x-3）2+1交于点A （1，3），∴y 1的对称轴为x=-2，y 2的对称轴为x=3，∴B （-5，3），C （5，3）∴AB=6，AC=4，∴2AB=3AC ，故本小题正确．故选D ． 考点三：抛物线的特征与a 、b 、c 的关系例3 （2012•玉林）解：由抛物线与y 轴的交点位置得到：c ＞1，选项①错误；∵抛物线的对称轴为x=2ba-=1，∴2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x 轴有两个交点，得到b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到ax 2+bx+c=0，∵方程的两根为x 1，x 2，且2b a -=1，及b a -=2，∴x 1+x 2=ba-=2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C 对应训练3．（2012•重庆）解：A 、∵开口向上，∴a ＞0，∵与y 轴交与负半轴，∴c ＜0，∵对称轴在y 轴左侧，∴2ba-＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故本选项错误；B 、∵对称轴：x=2b a -=12-，∴a=b ，故本选项错误；C 、当x=1时，a+b+c=2b+c ＜0，故本选项错误；D 、∵对称轴为x=12-，与x 轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x 轴的另一个交点的取值范围为x 2＜-2，∴当x=-2时，4a-2b+c ＜0，即4a+c ＜2b ，故本选项正确．故选D ． 考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）解：∵A 在直线y=x 上，∴设A （m ，m ），∵OA=2，∴m 2+m 2=（2）2，解得：m=±1（m=-1舍去），m=1，∴A （1，1），∴抛物线解析式为：y=（x-1）2+1，故选：C ． 对应训练4．（2012•南京）解：原式可化为：y=（x+1）2-4，由函数图象平移的法则可知，将函数y=x 2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2-4，的图象，故①正确；函数y=（x+1）2-4的图象开口向上，函数y=-x 2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y=（x-1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2-4的图象，故③正确．故答案为：①③．【聚焦中考】1．解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y=mx+n 的图象经过二、三、四象限，故选C ． 2．解：A 、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y 的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B 、由图象知，当x=0时，y 的值就是函数图象与y 轴的交点，而图象与y 轴的交点在（1，1）点的左边，故y ＜1；故本选项错误；C 、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1时，y 的值小于x=-1时，y 的值1，即当x=-1时，y 的值小于1；故本选项错误；D 、当x=-3时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左边，所以y 的值小于0；故本选项正确．故选D ． 3．解：∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x=2ba-＜0，∴b ＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数ay x=位于第二四象限，纵观各选项，只有C 选项符合．故选C ． 4．解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图，∴对称轴是x=-1，∴点A 关于对称轴的点A ′是（0，y 1），那么点A ′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3．故选A ．5．解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选A ． 6．解：由二次函数图象与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，选项①正确；又对称轴为直线x=1，即2ba-=1，可得2a+b=0（i ），选项②错误；∵-2对应的函数值为负数，∴当x=-2时，y=4a-2b+c ＜0，选项③错误；∵-1对应的函数值为0，∴当x=-1时，y=a-b+c=0（ii ），联立（i ）（ii ）可得：b=-2a ，c=-3a ，∴a ：b ：c=a ：（-2a ）：（-3a ）=-1：2：3，选项④正确，则正确的选项有：①④．故选D ． 7．A8．解：（1）若设y=kx+b （k ≠0），由7320 6750k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得1577k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以y=15-x+77，把x=70代入得y=65≠83，所以不符合；若设k y x =（k ≠0），由73=20k ，解得k=1460，所以y=1460x，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；若设y=ax 2+bx+c ， 则由7340020 67250050 83490070a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1 508 597a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以y=150x 2-85x+97（18≤x ≤90），把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．所以二次函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x 度的变化规律； （2）由（1）得：y=150x 2-85x+97=150（x-40）2+65，所以当x=40时，y 取得最小值65．即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50（升） 设该家庭以前每月平均用气量为a 立方米，则由题意得：50115a=10，解得a=23（立方米），即该家庭以前每月平均用气量为23立方米．【备考真题过关】1．C 2．D 解：根据题意得：y=|ax 2+bx+c|的图象如右图：所以若|ax 2+bx+c|=k （k ≠0）有两个不相等的实数根，则k ＞3，故选D ．3．B 解：∵当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x ≤3时，总有y ≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c ≤0②，①②联立解得：c ≥3，故选B ． 4．B 5．C6.解：由图可知，当x ＞﹣1时，函数值y 随x 的增大而减小，A 、当x=0时，y 的值小于1，故本选项错误；B 、当x=3时，y 的值小于0，故本选项正确；C 、当x=1时，y 的值小于1，故本选项错误；D 、y 的最大值不小于1，故本选项错误．6．C 解：二次函数y=2（x+1）（x-3）可化为y=2（x-1）2-8的形式，A 、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；B 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；C 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确； D 、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误．故选C ． 7．B 解：根据图象可得：a ＞0，c ＜0，对称轴：2bx a=-＞0，①∵它与x 轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴2ba-=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a ＞0，∴b ＜0，∵c ＜0，∴abc ＞0，故②错误；③∵a-b+c=0，∴c=b-a ，∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a ）=2b-3a ，又由①得b=-2a ，∴a-2b+4c=-7a ＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x=4时，y ＞0，∴16a+4b+c ＞0，由①知，b=-2a ，∴8a+c ＞0；故④正确；故正确为：③④两个．8．B 解：∵二次函数y=ax 2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（-1，0），∴易得：a-b+1=0，a ＜0，b ＞0，由a=b-1＜0得到b ＜1，结合上面b ＞0，所以0＜b ＜1①，由b=a+1＞0得到a ＞-1，结合上面a ＜0，所以-1＜a ＜0②，∴由①②得：-1＜a+b ＜1，且c=1，得到0＜a+b+1＜2，∴0＜t ＜2．故选：B ． 9．B 10．D 11．B 解：当x=0时，y=-6，故函数与y 轴交于C （0，-6），当y=0时，x 2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得x=-2或x=3，即A （-2，0），B （3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2． 二、填空题12．7 解：∵二次项系数为-1，∴函数图象开口向下，顶点坐标为（2，94），当y=0时，-（x-2）2+94=0，解得x 1=12，得x 2=72．可画出草图为：（右图）图象与x 轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．13．解：∵抛物线y=a （x-3）2+k 的对称轴为x=3，且AB ∥x 轴，∴AB=2×3=6，∴等边△ABC 的周长=3×6=18．故答案为：18． 14．①②③ 解：根据图象可得：a ＜0，c ＞0，对称轴：x=2b a -=1，2b a=-1，b=-2a ，∵a ＜0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；把x=-1代入函数关系式y=ax 2+bx+c 中得：y=a-b+c ，由图象可以看出当x=-1时，y ＜0，∴a-b+c ＜0，故②正确；∵b=-2a ，∴a-（-2a ）+c ＜0，即：3a+c ＜0，故③正确；由图形可以直接看出④错误．故答案为：①②③． 15．y 1＞y 2 解：由二次函数y=（x-1）2+1可，其对称轴为x=1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞． 16．37解：∵x 2-2（a-1）x+a （a-3）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴[-2（a-1）]2-4a （a-3）＞0，∴a ＞-1，将（1，0）代入y=x 2-（a 2+1）x-a+2得，a 2+a-2=0，解得（a-1）（a+2）=0，a 1=1，a 2=-2．可见，符合要求的点为0，2，3．∴P=3 7 ．故答案为37． 17．y=x 2+x-2 18．y=-（x+1）2-2 解：二次函数y=（x-1）2+2顶点坐标为（1，2），绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=-（x+1）2-2．故答案为：y=-（x+1）2-2．18 解：分段函数y=的图象如图：故要使直线y=m （m 为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m 的取值范围为0＜m ＜2，故答案为：0＜m ＜2．19．272解：如图，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，∵抛物线平移后经过原点O 和点A （-6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=-3，得出二次函数解析式为：y=12（x+3）2+h ，将（-6，0）代入得出：0=12（-6+3）2+h ，解得：h=92-，∴点P 的坐标是（-3，92-），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，∴S=|-3|×|92-|=272．故答案为：272．三、解答题20．解：（1）抛物线y=34（x-1）2-3，∵a=34＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为x=1； （2）∵a=34＞0，∴函数y 有最小值，最小值为-3； （3）令x=0，则y=34（0-1）2-3=94-，所以，点P 的坐标为（0，94-），令y=0，则34（x-1）2-3=0，解得x 1=-1，x 2=3，所以，点Q 的坐标为（-1，0）或（3，0），当点P （0，94-），Q （-1，0）时，设直线PQ 的解析式为y=kx+b ，则940b k b ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得9494kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线PQ的解析式为y=94-x94-，当P（0，94-），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n ，则9430nm n⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得3494mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，直线PQ的解析式为y=34x94-，综上所述，直线PQ的解析式为y=94-x94-或y=34x94-．3．（2012•佛山）解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1；（2）有理数b=（n≠0）；（3）①当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=1时，y=1，当x=时，y=．故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…②当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=时，y=，当x=时，y=，故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…。

专题：二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与字母系数的关系二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)系数符号的确定：⑴a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．⑵b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x = -2ba判断符号(左同右异)． ⑶c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．⑷b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac =0；没有交点，b 2-4ac ＜0． ⑸当x =1时，y =a +b +c ，当x =-1时，y =a -b +c .故由点(1, a +b +c ) 所在的象限，可判断a +b +c 的符号；由点(-1, a -b +c ) 所在的象限，可判断a -b +c 的符号.同理，当x =2时，可确定4a +2b +c 的符号，当x =-2时，可确定4a -2b +c 的符号……⑹由对称轴x = -2b a 与x =±1的位置关系，可确定2a ±b 的符号.当x = -2b a =1时，b = -2a ，即2a +b =0；当x = -2ba=-1时，b = 2a ，即2a -b =0.例1.抛物线y =ax 2+bx +c 图象如图所示，则下列式子中正确的个数为（ ）①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④a +b +c ＞0；⑤ 4a -2b +c ＜0；⑥2a +b ＞0；⑦b 2-4ac ＞0；⑧4a +c ＜0C ．5D ．6c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a +b ＞0；②b ＞a ＞c ；③若-1＜m ＜n ＜1，则m +n ＜-ba；④3|a |+|c |＜2|b |．其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）．例3.二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，与y 轴相交点C ，与x 轴负半轴相交点A ，且OA =OC ，下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2a +b =0；⑤c +1a= -2，其中正确的结论有 ．（请填序号）强化训练1.如图为二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，则下列说法：①a ＞0②2a +b =0 ③a +b +c ＞0 ④当-1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的个数为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.已知二次函数y =ax 2+bx +c +2的图象如图所示，顶点为（-1，0），下列结论：①abc ＜0；②b 2-4ac =0；③a ＞2；④4a -2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论：①c =2；②b 2-4ac ＞0；③2a +b =0；④a -b +c ＜0．其中正确的为（ ）A ．①②③ B ．①②④ C ．①② D ．③④4.如图是二次函数y =ax 2+bx +c =（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x =-2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2-4ac ＞0；③9a -3b +c ＜0；④b -4a =0；⑤方程ax 2+bx =0的两个根为x 1=0，x 2=-4，其中正确的结论有（ ） A ．①③④ B ．②④⑤ C ．①②⑤ D ．②③⑤5.已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个6.如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设P =a -b +c ，则P 的取值范围是（ ）A ．-4＜P ＜0 B ．-4＜P ＜-2 C ．-2＜P ＜0 D ．-1＜P ＜07.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点（-2，0）、（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a -2b +c =0；②a -b +c ＜0；③2a +c ＞0；④2a -b +1＞0．其中正确结论的个数是（ ）个．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8.如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x =1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a +b ＜0；③-1≤a ≤-23；④4ac -b 2＞8a ；其中正确的结论是（ ）A ．①③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④9. 如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点（1，2）且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中-1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论：4a +2b +c ＜0，2a +b ＜0，b 2+8a ＞4ac ，a ＜-1，其中结论正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）满足条件：（1）4a -b =0；（2）a -b +c ＞0；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③a +b +c ＜0；④4c ＜a ＜3c，其中所有正确结论的序号是 .有已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a-b+1＞0．其中正确的结论是.（填写序号）。

二次函数知识点及解题方法总结、二次函数概念：1．二次函数的概一般地，形如y ax2 bx c（a，b，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y ax2 c 的性质：上加下减3. y a x h 2的性质：左加右减24. y a x h k 的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0向上 h ，kX=h x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值k ．a0向下h ，kX=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：①将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2 k ，确定其顶点坐标 h ，k ；②保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下：方法二：① y ax 2 bx c 沿 y 轴平移: 向上(下)平移m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y ax 2 bx c m (或 y ax 2 bx cm )：② y ax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c )2. 平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”．四、二次函数 y a x h k 与 y ax 2 bx c 的比较从解析式上看， y a x h k 与 y ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b 4ac b 2b 4ac b 2 者，即 y a x，其中 h ，k ．2a 4a 2a 4ay=ax 2y=ax 2+k平移 |k|个单位y=a (x-h) 2向右 (h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2 +k向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位向右( h>0) 【或左 (h<0)】 向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 (k <0) 】 平移 |k|个单位向右 (h>0)【或左(h<0)】 平移 |k| 个单位五、二次函数 y ax 2 bx c 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2 bx c 化为顶点式 ya(x h)2 k ，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点 x 1，0 ， x 2，0 (若与x 轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y ax 2 bx c 的性质21. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b ．当 x b 时，y2a 2a 4a 2a2随 x 的增大而减小；当x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x b 时，y 有最小值 4ac b ．2a 2a 4a2随 x 的增大而增大；当x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 xb时，y 有最大值 4ac b ．2a 2a 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax 2 bx c (a ，b ，c 为常数，a 0)；2. 顶点式：y a(x h)2 k (a ，h ，k 为常数，a 0)；3. 两根式：y a(x x 1)(x x 2)(a 0，x 1， x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解 析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然a 0 ．⑴ 当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 当a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb， 2a ，顶点坐标为b 2a4ac b 2 4a当x 2b a 时，y2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a 0 的前提下，当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵ 在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴x b在2ay 轴左边则ab 0，在y 轴的右侧则ab 0 ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当c 0 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；2. 关于y 轴对称y ax2 bx c关于y 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22y a x h k 关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；3. 关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）b2y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c b；2a22y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k ．5. 关于点m ，n 对称22y a x h k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：① 当b2 4ac 0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0 ，B x2 ，0 （x1 x2），其中的x1 ，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2 x1b 4ac.a② 当0时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0．2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 ，c）；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c 中a ，b ，c的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c a（ 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：一、二次函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y （m 2）x2 m2 m 2 的图像经过原点，则m的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题。

2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。

（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。

2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。

§2.5二次函数1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝______________________.②顶点式：f(x)＝________________________.③零点式：f(x)＝________________________.2.二次函数的图象和性质a<03.二次函数f(x)M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝Δ|a|.[难点正本疑点清源]1.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.①已知三个点的坐标时，宜用一般式.②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便. 2.二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置. 在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.1.若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.2.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________.3.若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________.4.已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为____________.5.若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此 二次函数.探究提高 二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).已知函数的类型(模型)，求其解析式，用待定系数法，根据题设恰当选用二次函数解析式的形式，可使解法简捷.设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分.(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域.题型二二次函数的图象与性质例2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间.探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a 的值.题型三二次函数的综合应用例3若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围.2.分类讨论在二次函数中的应用试题：(14分)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集.审题视角 (1)求a 的取值范围，是寻求关于a 的不等式，解不等式即可.(2)求f (x )的最小值，由于f (x )可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起.(3)对a 讨论时，要找到恰当的分类标准. 规范解答解 (1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a >0， 即a <0，由a 2≥1知a ≤－1，因此，a 的取值范围为(－∞，－1].[3分] (2)记f (x )的最小值为g (a )，则有 f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎨⎧3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋2a 23，x >a ① (x ＋a )2－2a 2，x ≤a ② [5分] (ⅰ)当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2. [7分] (ⅱ)当a <0时，f ⎝⎛⎭⎫a 3＝23a 2，若x >a ，则由①知f (x )≥23a 2. 若x ≤a ，由②知f (x )≥2a 2>23a 2.此时g (a )＝23a 2，综上，得g (a )＝⎩⎨⎧－2a 2，a ≥0 2a 23，a <0.[10分](3)(ⅰ)当a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－62∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)； (ⅱ)当a ∈⎣⎡⎭⎫－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞； (ⅲ)当a ∈⎝⎛⎭⎫－62，－22时，解集为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.[14分]批阅笔记 分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a 的值时，讨论的过程中没注意a 自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论. 除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分： 1.含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2.分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；3.解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻.方法与技巧1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路.2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等.3.关于二次函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数).(3)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x ＋2a )＝f (x )，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数).注意：(2)(3)中，f (a ＋x )＝f (a －x )与f (x ＋2a )＝f (x )是等价的.(4)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)对称轴方程为x ＝－b 2a；(5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数y ＝f (x )对应方程f (x )＝0的两根为x 1、x 2，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.失误与防范1.求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟练准确利用配方法.2.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c 要认为它是二次函数，就必须认定a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.3.对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)给定了定义域为一个区间[k1，k2]时，利用配方法求函数的最值4ac－b24a是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：①－b2a<k1；②k1≤－b2a<k1＋k22；③k1＋k22≤－b2a<k2；④－b2a≥k2.对于这种情况，也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值.这两种方法运算量相当.4.注意判别式作用，正确利用判别式.§2.5二次函数(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.(2010·安徽)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()2.(2010·四川)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A.m＝－2B.m＝2C.m＝－1D.m＝13.已知函数f(x)＝ax2＋(b＋c)x＋1 (a≠0)是偶函数，其定义域为[a－c，b]，则点(a，b)的轨迹是() A.线段 B.直线的一部分C.点D.圆锥曲线二、填空题4.二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________.5.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________.6.若函数f(x)＝ax＋b (a≠0)的一个零点是1，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.三、解答题7.是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由.8.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx (a，b为常数，且a≠0)，满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n (m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由.B组专项能力提升题组一、选择题1.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()A.(－∞，0]B.[2，＋∞)C.(－∞，0]∪[2，＋∞)D.[0,2]2.已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(－∞，0)3.函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( ) A.a >23B.12<a <32 C.a >12D.a <12二、填空题4.方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，则实数m 的取值范围是_________________.5.若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________.6.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则y ＝f (x )的值域为_________.7.已知函数f (x )的自变量的取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间.函数f (x )＝x 2形如[n ，＋∞) (n ∈(0，＋∞))的保值区间是__________. 三、解答题8.已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12上各有一个实根.答案要点梳理1．(2)①ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②a (x －m )2＋n (a ≠0) ③a (x －x 1)(x －x 2) (a ≠0) 基础自测1．2 2.[1,2] 3.6 4.(－∞，－2] 5.B 题型分类·深度剖析例1 解 方法一 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴所求二次函数为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二 设f (x )＝a (x －m )2＋n ，a ≠0. ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解之，得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 依题意知：f (x )＋1＝0的两根为 x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0. 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8， 即4a (－2a －1)－a 24a＝8，解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)． ∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.变式训练1 解 (1)设顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的方程为y ＝a (x －3)2＋4，将(2,2)代入可得a ＝－2， ∴y ＝－2(x －3)2＋4，即x >2时，f (x )＝－2x 2＋12x －14. 当x <－2时，即－x >2.又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝－2×(－x )2－12x －14， 即f (x )＝－2x 2－12x －14.∴函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式为 f (x )＝－2x 2－12x －14. (2)函数f (x )的图象如图：(3)由图象可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]．例2 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．变式训练2 解 f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a2，顶点为⎝⎛⎭⎫a 2，－4a . ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0,1]上递增．∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5， ∴a ＝±1<2(舍去)．②当0<a 2<1，即0<a <2时， y max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0,2)． ③当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在区间[0,1]上递减，此时f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2. 令－4a －a 2＝－5，即a 2＋4a －5＝0，∴a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5. 例3 解 (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．变式训练3 解 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1，f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1.又f (－1＋x )＝f (－1－x )，∴m －2＝2－m ，即m ＝2.又f (x )的图象过点(1,3)，∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2，∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称，∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )， ∴g (x )＝－x 2＋2x .(2)∵F (x )＝g (x )－λf (x )＝－(1＋λ)x 2＋(2－2λ)x ，当λ＋1≠0时，F (x )的对称轴为x ＝2－2λ2(1＋λ)＝1－λλ＋1，又∵F (x )在(－1,1]上是增函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ<01－λ1＋λ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ>01－λ1＋λ≥1.∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数．综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]．课时规范训练A 组1.D2.A3.B4.y ＝12(x －2)2－1 5．0≤m ≤14 6．0或－17.解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1；当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝a －a 2＝－2，f (－1)＝1＋3a ＝2⇒a 不存在；当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ＝－2⇒a 不存在．综上可得a ＝－1.8.解 (1)∵f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称．而二次函数f (x )的对称轴为x ＝－b2a ，∴－b2a ＝1.① 又f (x )＝x 有等根，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，∴Δ＝(b －1)2＝0.②由①②得b ＝1，a ＝－12. ∴f (x )＝－12x 2＋x . (2)∵f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12. 如果存在满足要求的m ，n ，则必需3n ≤12，∴n ≤16. 从而m <n ≤16<1，而x ≤1，f (x )单调递增，∴⎩⎨⎧ f (m )＝－12m 2＋m ＝3m f (n )＝－12n 2＋n ＝3n ， 可解得m ＝－4，n ＝0满足要求．∴存在m ＝－4，n ＝0满足要求．B 组1.D2.B3.C4.⎝⎛⎭⎫2，525.0<a ≤146.⎣⎡⎦⎤1，31277.[1，＋∞)8.证明 (1)由于f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .∴f (x )＝1⇔(x ＋2t )(x －1)＝0，(*) ∴x ＝1是方程(*)的根，即f (1)＝1.因此x ＝1是f (x )＝1的实根，即f (x )必有实根．(2)当12<t <34时，f (－1)＝3－4t >0. f (0)＝1－2t ＝2⎝⎛⎭⎫12－t <0.f ⎝⎛⎭⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t＝34－t >0. 又函数f (x )的图象连续不间断．因此f (x )＝0在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12上各有一个实根．。

二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：图像参考：y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型2-321． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。