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潘嘉震 柳 梁盛开 李照映
三亚学院理工学院
潘嘉震（1999-）男，浙江温州人，三亚学院理工学院电子信息工程专业学。
基金项目：2019年国家级大
本文针对
学生创新创业训练计划项目
（编号：201913892029）
图1 托盘坐标设定图
图2 接受强度距离图
第一种临界状态存在于X射线第1－54次旋转之间，也随X射线旋转方向的变化而变化。
第二种临界状态存在于X射线第55－145次旋转之间，
化简得：
Radon变化是二维分布函数在一定角度下的线积分，既实际的射线投影p，再采用Radon逆变换，通过一定量的投影角度下的投影数据p可重建物体断层图像
图3 临界状态示意图
图4 Radon逆变换参数示意图
图5 图像重构
（不含噪声数据）
图6 图像重构
（含噪声数据）
0.49。
当介质均匀时，吸收率数据为1，为了寻求重建图像的灰度值与模板的几何信息的吸收率基准值的关系，CT系统得到的未知介质的接收信息的原始数据作二倍增益处理，对新数据进行重建，得到输出图像椭圆部分的灰度值为0.98。
实现了灰度值与吸收率的统一，得到所求10个
9），数值结果图9 10个特征点位置重建2
图7 10个特征点位置图8 10个特征点位置重建1
图10 新模板模型。
即对于射线初始强度为，测器接收到的强度为，有，其中为吸收系数，射线穿过介质的长度。
对于不均匀介质，是重建图像问题的关键就在于根据接收信息确定的分根据现有图像重建的算法显示，探测器接收到的信息是与沿着投影方向的线积分成正比的认为本问题也存在类似的关系，即探测器接收信息与吸收率式中，为介质吸收率分布；为探测器接受信息，益处理的增益系数。
探测器间距率=1，因。
65等于穿过介质的弦长。
一个测量角度属于圆的投影的非零数据，射线与圆心距离，式中，为探测器间距；为探测器偏置，的弦长为：因此接收信息函数为：运用最小二乘拟合的方法，求出各个参数值为：旋转角度[3]及旋转中心以正方形模板中心为原点，那么在此坐标系中，方程分别可以写成：对于探测器上与圆心相距、与轴夹角为的一条射线，此射线与椭圆和圆相交所得弦长分别为：在旋转过程中，射线与椭圆或者圆不一定相交，3种情况：事实上，由于CT系统的安装存在误差，导致探测器中心并不与坐标原点重合，而是偏移了一定距离，弦长进行修正。
显然，沿着垂直于探测器的方向移动并不会影（15）带入式（11）、的拟合工具箱cftool中的非线性拟合工具进由于本题数据量较大，拟合过程所用时间较长，因此采用迭代的方式，首先对未知参数赋初值，一次取，，用附件中的数据进行拟合，个角度后对其进行平滑处理，作为第二次计算的初值，求解出0、0和0，再利用求得的参数作为已知参数进行求解，即每次迭代计算所得参数值基本相等，终结果如下：。
经过上述步骤便可得到吸收率函数，密度函数。
注意到实际安装中存在的误差，即CT中心并不在正方形中心处，此时对于每个角度假想有个探测（17）便可得到真实数据和处理数据之间的关系，对于与由傅里叶中心切片定理课得的傅里叶变换为：原二维图像的傅里叶变换为：所计算的密度函数均为离散的网格化结果，的区间均为（），则原二维图像的傅里叶逆变换可，。
，。
，。
，，，，。
66。
傅里叶中心切片定理建立了投影的傅里叶变换和图像的傅里叶变换之间的联系，因此可以通过傅里叶变换求得吸收率函数分布。
2017年国赛matlab创新奖a题的题目一、题目背景1.1 题目简介2017年国赛matlab创新奖a题是一道基于matlab编程的题目，要求参赛选手结合实际问题，运用matlab进行创新性编程。
1.2 matlab在工程学科中的应用matlab是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。
在工程学科中，matlab具有广泛的应用，可以用于信号处理、图像处理、控制系统设计、通信系统设计等多个领域。
1.3 创新奖题目的意义参加matlab创新奖的比赛不仅可以锻炼参赛选手的matlab编程和问题解决能力，同时也可以促进matlab在工程学科中的应用和发展，推动工程技术的进步和创新。
二、题目要求2.1 题目内容a题的具体内容是：根据给定的数据，利用matlab编程实现对图像或信号的处理和分析，展示出参赛选手的自己的独特见解和创新。
2.2 参赛要求1）参赛选手需在规定的时间内，完成题目的编程和实验。
2）参赛作品需要提交所用的matlab代码、处理后的图像或信号示意图等资料。
3）参赛作品需要附加参赛选手对于编程思路、处理过程和创新点的说明或分析。
2.3 思路和创新除了需要完成图像或信号处理的基本要求外，参赛选手可以根据自己的理解和创新，运用matlab进行更深层次的思考和处理，展示自己的独特见解和创意。
三、实施步骤3.1 参赛选手准备1）熟练掌握matlab编程基础知识，包括图像处理函数、信号处理函数等。
2）充分理解题目要求和题目内容，明确自己的创新方向和思路。
3.2 题目分析1）根据题目要求，在matlab环境下对图像或信号进行处理和分析。
2）思考如何展现自己的创新，可以是对于处理方法的改进、数据分析的深入等方面。
3.3 编程和实验1）根据自己的理解和创新思路，编写matlab代码，对图像或信号进行处理和分析。
2）进行实验，观察处理后的效果，调整优化代码和算法。
3.4 结果展示和总结1）根据题目要求，将处理后的图像或信号示意图和matlab代码整理成相应的资料进行提交。
CT系统参数标定及成像摘要本文主要针对CT系统进行研究与分析，根据附件中的信息对CT系统进行参数标定，并在此基础上，结合附件资料建立相关模型求解出所测介质的相关信息。
对于问题一，首先对附件二数据进行二值化处理并进行统计分析，判断得出X射线的180个方向信息。
选取最大目标值对能量的最大吸收量进行统计，分析得出测量过程中占据最大探测单元数的测量角度。
得到已知长度所对应的探测单元数，并对探测单元间距进行计算。
利用质心法，建立中心位置几何模型和旋转中心位置质心法模型对CT系统旋转中心位置进行求解，并对所得结果进行误差分析，验证模型可靠性。
对于问题二，经过对附件二中的信息进行验证分析，发现旋转中心的偏移对图像的重建影响较大。
为得到较准确的重建图像，应用CT系统旋转中心偏移校正原理对附件三的信息进行处理，得到一个新的数据信息。
在新的数据信息的基础上，利用代数迭代重建方法，建立射线的能量吸收模型，重复迭代，即可求出每个像素的吸收率。
再利用Radon逆变换原理，根据各像素吸收率，重建出原图像，进而求出各个位置的吸收率。
对于问题三，根据问题一已求解出来的标定参数，运用图像偏差校正法对附件五中数据进行校正。
运用Radon逆变换图像重建模型对校正后数据进行图像重建。
得出该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。
对图像进行二值化处理，求解出10个位置的实际坐标。
根据未知介质实际坐标，建立像素中心点提取模型，求出10个位置处的吸收率。
对于问题四，首先对问题一中的标定参量进行误差分析，以偏差（Bias）和均方根误差（RMS）作为精度评定标准，分别对旋转中心，探测器单元距离和CT 系统方向进行评定，求出参数标定精度，并分析其稳定性。
建立一个新模板，利用问题一模型，进行参数标定。
并对所求参数与已知参数做精度与稳定性分析。
为解决图像重建的问题，也可以建立卷积反投影模型，采用最小二乘法对CT系统的标定参数的最优解进行计算。
58 為紅科技2019年•第1期CT系统参数标定数学建模◊宿迁学院文理学院周克元■------------------------针对2017年全国大学生数学建模竞赛A题，建立X射线衰 减的微分方程模型，利用最小二乘法，建立探测器采集到模 板的接收信息理论值与实际值误差平方和最小为目标函数的 参数标定模型，求解出CT系统的旋转中心以及180个X射线的 方向的最优近似解。
1问题背景C T fi描是利用精确的X射线，在不破坏待探测样品的情况 下对其进行扫描，从而获得带探测样品的信息[1_3]。
该系统在安 装是一般会存在误差，最终会影响成像的质量，因此需要借助 已知的样品对该系统的参数进行标定，并利用标定后的系统对 未知的样品进行成像。
2017年全国大学生数学建模竞赛AM™对 此进行了分析研究，给出问题如下：在一个正方形托盘上放置 着两个已知结构的标定模板，要求根据该模板以及接收信息，确定CT系统旋转中心的位置、探测器的间距以及CT系统使用 X射线的180个方向。
2基于最小二乘法的约束规划CT标定模型2.1问题分析CT系统将X射线发射器与接收器按某固定点旋转，从多角 度观察，酣测量计算经过物体后射线的衰减，将原物体的实际影像重现出来。
因此，通过接收器所接收到的数据计算出旋转中心以及旋转角度是解决问题的关键。
对于题中问题，建立以CT系统中椭圆中心为原点，水平向右方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向的平面直角坐标系，如图1所示。
2.2 X射线所在直线方程的平面直角坐标系中，设滕t中心的坐标为P(a,6), X射线所在直线方程的斜率为由点斜式直线方程可得通过旋 转中心的X射线的方程为：y — b=k(x -a)X射线发射器发出》条平行射线，对上述直线方程平移即可 得到所有射线的方程：y-b +nL =k{x -a)(1)根据射线所在直线方程的斜率以及探测器单元的距离可 以求出每条直线的间距：L =d^l +k22.3 X射线穿过模板的长度由题目中提供的圆形模板以及椭圆形模板的位置和尺寸,可以求出椭圆模板方程：^+^=1(2)圆形木板方程：(x-49)2+/=16(3)将式（1)、（2)和（1)、（3)分别联立，可以求出射 线与椭圆及射线与圆相交的坐标分别为為(x2,j/2)、马〇c3，j3)，52(x4,>»4)，根据该坐标并结合两点间的举例公式，可以 求出每个探测器对应的X射线通过模板的长度为：la=^(xi-x2)2+(y i-y i)2，L=h)2+(y3_y J2 〇其中，512)为第a个探测器对应的X射线穿过的圆 形模板的长度，/6(1S W512)为第b个探测器对应的X射线穿过 的椭圆形模板的长度。
CT系统参数标定及成像摘要：CT系统的安装过程中往往会产生误差，从而会对成像质量产生一定的影响，因此需要对安装好的CT系统的参数重新进行标定。
关键词：CT系统扫描；反投影重建算法；坐标转化；降噪处理引言工业计算机断层成像简称ＣＴ，它是一种依据外部投影数据重建物体内部结构图像的无损检测技术[1]，工业ＣＴ能在非接触、不破坏被检测物体的条件下，以二维断层图像或三维立体图像的形式，极佳地展示被检测物体内部结构。
工业ＣＴ应用广泛，不仅应用于导弹装药、精密制造、航空航天等重要产品的检测，还用到材料疲劳、汽车铸件、装配分析、焊缝三维成像等许多领域。
1 参数标定1.1 方向范围的确定将数据运用MATLAB软件进行处理，可以得到CT系统扫描介质的示意图。
将得到的示意图进行旋转，并将旋转得到的图与原图进行拼接，由拼接图可以看出，旋转的图片与原图片完美拼接，所以旋转中心位于系统中心。
因此可以确定，X射线的180个方向包括的范围，步长为。
1.2 X射线方向的初步确定确定X射线的180个方向，首先需要确定CT系统的初始位置。
在计算之前，首先：设探测器单元个数为，对应的探测器可以表示为第个，其中，；旋转得到的位置为，其中；射线条数为，其中，；探测器单元间距为；水平向左建立坐标轴轴，X射线偏转角为。
在假设系统中：根据相关图像可知，在旋转过程中，从初始位置开始，小圆位于椭圆下方，且随着XT扫描系统的运动，两者距离逐渐缩小，因此可以确定：白色最宽处对应椭圆纵轴，此时；白色部分最窄处对应椭圆横轴，此时。
综上所述，CT系统使用的X射线的180个方向初始位置为，结束位置为，偏差为；步长为。
1.3探测器单元之间距离的初步确定由题目中相关数据进行分析可得：椭圆的长轴长度为80mm，其对应附件2中289行数据，即对应289条X射线；椭圆的短轴长度为30 mm，其对应附件中109行数据，即对应109条X射线。
因为一个探测器单元可以发射一条X射线，因此根据轴长度与X射线条数之比，可以得到探测器单元之间的距离为0.2760mm。
CT系统参数标定及成像建模作者：巢丽媛邹娜钟仁峰刘财辉来源：《数码设计》2018年第01期摘要：本文主要基于 Radon 正反变换，建模研究 CT 系统参数标定以及成像原理。
针对问题1，以正方形模板的中心点为直角坐标系的原点，水平方向为 X 轴，竖直方向为 Y 轴，运用几何方法、数据分析、图像拟合等方法，解出CT 系统探测器单元之间的距离为0.2768mm，其旋转中心的坐标为（-9.2734，5.9516）。
CT系统的初始角度为33.0363°，终止角度为208.4130°，总共转过 175.3767°。
针对问题二和三，以问题一中得到的角度信息作为Radon 反变换的参数，绘制附件 2 的 CT 系统成像图。
主要使用三次样条插值与像素坐标转化直角坐标等方法，解出成像图的吸收率和几何图的吸收率之间的关系为：μ1=2μ2，转换得出几何图中各点吸收率值。
关键词：傅里叶函数；CFTOOL 工具箱；Radon 正反变换；三次样条插值中图分类号：TP39 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2018）01-0027-05Parameter Calibration and Mmodeling of CT SystemCHAO Liyuan， ZOU Na， ZHONG Renfeng， LIU Caihui*（School of mathematics and computer science， Gannan Normal University， Jiangxi Ganzhou， 341000， China）Abstract：We built a model to study the parameter calibration and the image-forming principle of CT system based on Radon transform in two directions， i.e.， the positive direction and the negative direction. For question1， according to the image information of measured object gotten from CT system units， we got the following results： 1.The distance between CT system units is 0.2768mm， 2.The coordinates of the rotation center is （-9.2734， 5.9516） and 3.the 180 rotation directions of the CT system， the initial angle is 33.0363°， the end angel is 208.4130°， totally rotated 175.3767°. For the question 2 and question 3， we use the angel information gotten in question 1 as the parameter of Radon transform， to draw the image-forming picture of CT system ，and the relationship between two pictures： . We built an absorptivity matrix and finally by using the relationship between image-forming picture and geometric picture， we can get the ten absorptivity as show in affix 4 and affix 5.Keyword：Fourier Transform； CFTOOL； Radon Transform； Cubic Spline Interpolation引用：巢丽媛，邹娜，钟仁峰，等. CT系统参数标定及成像建模[J]. 数码设计， 2018，7（1）： 27-31.Cite：CHAO Liyuan， ZOU Na， ZHONG Renfeng， et al. Parameter Calibration and Mmodeling of CT System[J]. Peak Data Science， 2018， 7（1）： 27-31.引言CT（Computed Tomography）可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。
