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第三章第三讲泰勒公式

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第三节泰勒公式39页PPT

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Q
(n n

1
)
(
)

f (n1) ( )
(n 1) !
(在x0与x之间 )
Pn(n1)(x)0,Rn(n1)(x) f(n1)(x)
Rn(x)f(n(n 1)1()!)(xx0)n1
Qn(n1)(x)(n1)!
(在x0与x之间 )
证毕！
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p8(x)比 p2(x)在更大的范围内更接近余弦函数.
上页 下页 返回 结束
(1) 若f(x)在x0连续 , 则有 xl im x0 f(x)f(x0) 由极限和无穷小量间的关系
f(x)f(x0)
f(x)f(x0)
用常数代替函 数误差太大
(2) 若f(x)在x0可导 , 由微分有
f(x 0 x ) f(x 0 ) f(x 0 ) x
余项 公式
Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1
① 称为 f ( x)的 n 阶泰勒公式
②
（
.
在
x
0与x
之间）
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
证明: Pn(x) R n(x)f(x)P n(x)
上页 下页 返回 结束
余其项中f ( ：x R ) n (x Pf n)(( xx ) 0 f() n ( n 1f )1( )( x )!0 () x x f x( (0x n )n 0 )n) ( !1 x0f)②(2(（x !x0 )(x 在x0)xn x0与0)R2 xn之(x间①) ）
f(x)coxs
p1(x)
y1
y=1
令：p8(0)f(0),求出a0 1
p8 (0)f(0) a1 0

3-3泰勒公式

3-3泰勒公式

例3 解∵ f
f
(k )
(k )
( x) = sin( x + k⋅ ) ⋅
2
π
k = 2m (m = 1,2,⋯ 0, ) (0) = sink = − (−1)m−1 ,k = 2m − 1 2
π
3
5 2m−1
x x x m−1 − + ∴sinx= x− + −⋯ (−1) (2m − 1)! 3! 5! +R2m( x) 2m 其中 o( x ) m 2m+1π ) (−1) x + sin(θcos(θ x) 2m+1(0 < θ < 1) 2 R2m ( x) = x (2m+ 1)! +
2 3
f ( x) = x + 3x + 2x + 4, f (−1) = 4, 2 f ′( x) = 3x + 6x + 2, f ′(−1) = −1, f ′′(−1) = 0, f ′′( x) = 6x + 6, f ′′′( x) = 6, f ′′′( x) = 6, 故得 f ( x) = 4 + (−1)( x + 1)
3 2
麦克劳林(Maclaurin)公式 麦克劳林(Maclaurin)公式 泰勒公式: 泰勒公式(Maclaurin) :
0 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − 00 ) x 0 (n) 0 f ( x0 ) f ′′( x0 ) 0 n 2 ( x − 00 ) +⋯+ x + ( x − x0 ) 0 2! n! ( n+1) (ξ ) f (θ x) n+1 ( x − x0 ) + 0 ( n + 1) !

D3_3泰勒公式(PPT)-文档资料

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称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 例1. 求 y ln cos x 在 x 处的带有拉格朗日余项 的2阶 4 泰勒公式. 解: 要求到3阶导数
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1 2 f ln ln 2, 2 4 2
2
f x tan x f 1 4
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
x 的一次多项式
y
y f ( x)
p1 ( x)
特点:
f ( x0 ) f ( x0 )
O
x0 x
x
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为了提高精确度，我们考虑用n次多项式来近似 f ( x)
pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) 2 an ( x x0 ) n f x a0 f ( x0 ), 要求满足
3 5
f
(k )
f 0 1,
f 0 0, f 0 1,
π (0) sin k 2 4 f 0 0,

2 m 1 x x x sin x x (1) m1 R2m ( x) (2m 1) ! 3! 5!
f x sec x f 2, f x 2sec2 x tan x 4 2 1 ln cos x ln 2 x x 4 2 4 3 1 2 sec tan x 3 4
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f (3) ( ) ( x x0 )3 3!

3-3泰勒公式98788

3-3泰勒公式98788

Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1(在 x0与 x之 间 )
f(x )P nx R n (x )
称为按 (xx0)的幂展开的n阶泰勒公式.
其 中 P n f((x x )0 ) kn f0(fx (0 k ) k )( (!x x 0)x (0 x ) x f0 2 )( k ! x 0 )(x x 0 )2
由计算可知当 n = 9 时上式成立, 因此
e11 1 1 2.718281
2!
9!
例3 写 出 sin x 的 麦 克 劳 林 公 式 .
解 f (k)(x) sin(xk )
2
f (k)(0)sink
2


0,
(1
)
m
1
,
k2m(m1,2, k2m1
f(x)f(0 ) ff (nn()0 !(0))x x n f(nn1)(1x! ) xn1
三、简单应用
麦克劳林(Maclaurin)公式
f(x ) f(0 ) f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n f(n 1 )(x )x n 1
n次泰勒多项式 余项
an ?
设 P n(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2
求an ?
an(xx0)n
(1)
假设 P n ( k ) ( x 0 ) f ( k ) ( x 0 ) ,k 0 , 1 ,2 ,n ( 2 )
对(1)求各阶导数,再分别将(2)式代入,得 P n ( x a ) 0 ,f af( n( x x 0 ) 0 n) 1,!a f 1 f( (nx )0 (f) x( (0x x ) 0)x ,a 0 ) 2 f 2 1 ! 2 ( ! x f0 ) (( x x 0 ),x 0 ) 2

高数第三章第三节泰勒

高数第三章第三节泰勒
因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
机动
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在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
e 3 Rn . ( n 1)! ( n 1)!
f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
f ( x ) cos x , f ( x ) sin x , f ( x ) cos x ,
2) x 与x0 靠近 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
例1. 求
取
的近似值 .
解: 设 f ( x) sin x ,
180
则 x x0

29 sin cos ( ) sin 29 sin 6 180 180 6 1 3 (0.0175) 2 2
n f ( x ) sin( x ) （详见" 高阶导数" P100例5 ） 2 f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0, f (0) 1, f ( 4) 0,
( n)
它们顺序循环地取四个数0，1，0，-1，…
sin x x x x x
o( x )
x3 3!
y x
x3 3!
x3 y x 3!
x5 5!
x7 7!
4 2

同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式

同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式

o
x0
x
LL LL
假设
0
Pn( k ) ( x0 ) = f ( k ) ( x0 ) k = 1,2,L, n

a = f ( x ),
1 ⋅ a = f ′( x ),
1 0
2!⋅a = f ′′( x )
2 0
L L , n!⋅a n = f ( n ) ( x 0 ) 1 (k ) 得 ak = f ( x0 ) ( k = 0,1,2,L , n ) k!
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′(ξ )( x − x 0 ) (ξ在x 0与x之间)
2.取 x 0 = 0, ξ 在0 与 x 之间,令ξ = θx
(0 < θ < 1) f ( n + 1) (θx ) n + 1 x 则余项 Rn ( x ) = ( n + 1)!
四、简单的应用
即 Rn ( x ) = o[( x − x0 )n ].
M ≤ ( x − x0 )n+1 (n + 1)!
皮亚诺形式的余项
∴ f ( x) = ∑
k =0
n
f
(k )
( x0 ) ( x − x0 )k + o[( x − x0 )n ] k!
注意:
1. 当 n = 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
(n + 1) !
(1 + θ x)α −n−1 x n+1 (0 < θ < 1)
(5) f ( x) = ln(1 + x) ( x > −1) k −1 ( k − 1) ! (k ) (k = 1, 2 ,L) 已知 f ( x) = (−1) k (1 + x) 类似可得 x 2 x3 xn n −1 ln(1 + x) = x − − L + (−1) + + Rn (x) 2 3 n

3,3泰勒公式-52页PPT精品文档


f ( x0) +
f ( x0 )( x - x0 ) +
f
( x0 2!
)
(x
-
x0 )2
+
+
f
(n) ( x0 n!
)
(x
-
x0 )n
+
Rn
(
x)
其中 Rn( x) =
f (n+1)( ) ( x
(n + 1)!
-
x0 )n+1(
在
x0与
x之间).
上页 下页
泰勒公式
证明: 由 假 设 , R n ( x )在 ( a ,b )内 具 有 直 到 ( n + 1 ) 阶
L+f(nn )(!x0)(x-x0)n=kn=0 f(kk)(!x0)(x-x0)k
称f为 (x)按 (x-x0)的幂展 n次近开 似多的 项式 .
f(x)=kn =0f(kk )(!x0)(x-x0)k+R n(x)
称f为 (x)按 (x-x0)的幂展 n阶泰 开 勒公的 式.
R n(x)=fn (n + + 1)1 (!)(x-x 0)n + 1(在 x 0 与 x 之 )间
x
以直代曲
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) x - ( x 0 ) + o ( x - x 0 )
例 如 ,当 x很 小 时 ,ex1+x,ln1+ (x)x
（如下图）
上页 下页
泰勒公式
以直代曲
y = ex
y = ex
y=x
y=1+x

高等数学：第三章 第三节 泰勒公式


2! 3!
(n 1)!
xe x x x2 1 x3 1 x4 (1)n1 xn o( xn )
2! 3!
(n 1)!
例4
计算
e x2 lim
x0
2cos x 3 . x4
解 e x2 1 x2 1 x4 o( x4 ) 2!
cos x 1 x2 x4 o( x5 ) 2! 4!
1).
取x 1, e 1 1 1 1
2!
n!
其误差
Rn
e (n 1)!
3. (n 1)!
例 2 求 f ( x) sin x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f (n)( x) sin( x n ),
2
f (0) 0, f '(0) 1, f ''(0) 0,
f '''(0) 1, f (4)(0) 0,
n!
f ' ( x0 ) ,
a2
f '' ( x0 ) 2
, ,
Pn( x) a0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 ) 2 a n ( x x0 ) n
a0 an
f ( x0 ) , a1 f (n) ( x0 ) ,
n!
f ' ( x0 ) ,
a2
f '' ( x0 ) 2
x
x0
|
n1
0
|(Biblioteka Rn( x) x x0 )
n
|
M | x x0 | (n 1)!
lim Rn( x) 0 x x0 ( x x0 ) n
即当 x x0时 Rn( x) 是比 ( x x0 ) n 高阶的无穷小

3.3 泰勒公式

答案
2
2 4

cos( ) 2+2

+1
cos = 1 − + − ⋯ + (−1)
+ (−1)

,
2! 4!
(2)!
(2 + 2) !
(0 < < 1)
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 求() = ln( 1 + )的阶麦克劳林公式.
解
∵
∴
() (0) = (−1)−1 ( − 1)!,
称为函数()在0 处(或按( − 0 )的幂展开)的次泰勒多项式.

() (0 )
(2) () = ෍
( − 0 ) + () ≈ ()
!
=0
∎佩亚诺余项 () = (( − 0 ) ) 不能具体估算出误差的大小.
+1 ( )
∎拉格朗日余项 () =
″ ( )
( − 0 )2 , 在0 与之间.
产生的误差为 1 () =
2!
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
(3)当 = 0时, 拉格朗日余项的泰勒公式变成拉格朗日中值公式
() = (0 ) + ′ ( )( − 0 )
′
2
() = (0) + (0) +
+ ⋯+
+ ( )
2!
!
称为麦克劳林（Maclaurin）公式.
第三节 泰勒公式
第三节 泰勒公式
第三章 微分中值定理与导数的应用

同济高数（第七版）--第三章

第三章：泰勒公式以及导数运用1.泰勒公式（注意：麦克劳林公式是特殊的泰勒公式，即00=x ）（1）)(!!212x xxe n nx o n x +++= 证：令e x x f =)(，e f x n x x f x f x f ='''=''=')()()()()( ，那么就有1)0()0()0()0()(='''=''='f n f f f ，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()(x x fennn xo n x f f +'+==)(!!212x xxn no n x +++ （2）)()!12(!5!3sin 121253)1(x xxxm m mo m x x ++++++-=- 证：令x x f sin )(=，)2sin()()(π⋅+=n x x f n ，故 2,1,0,12,2,02sin )0()1()(=⎪⎩⎪⎨⎧+===⋅=-m m n m n n mn f π，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+= ，故)()!12(!5!3)(121253)1(x xxxm m mo m x x f ++++++-=- （3）)()!2(!4!21cos 2242)1(x xx x m mm o m x +++-=- 证：令x x f cos )(=，)2cos()()(π⋅+=n x x f n ，故 2,1,0,12,02,2cos )0()1()(=⎪⎩⎪⎨⎧+===⋅=-m m n mn n m n f π,而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)()!2(!4!21)(2242)1(x xxxm mmo m x f +++-=- （4）)(!)1()1(!2)1(12)1(x x x x n n o n n x ++--+-++=+ααααααα 证：令)1()(x x f +=α，)1()1()1()()(x fnn n x +-+--=αααα ，故)1()1()0()(+--=n f n ααα ，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)(!)1()1(1)(x x n no n n x x f ++--++=αααα（5）)(3!2)1ln()1(132x x x x n nn o nx x ++-=+-- 证：令)1ln()(x x f +=，)1()1()!1()(1)(x f nn n n x +--=-，故)!1()0()1(1)(-⋅=--n n n f，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)(3!2)()1(132x x x x n nn o nx x f +++-=-- （6）按（4-x ）的幂展开多项式435)(234+-+-=x x f x x x 由32154)(23-+-='x x f x x ，23012)(2+-=''x x f x ，3024)(-='''x x f ，24)()4(=x f ，)5(0)()(≥=n x f n ，而21)4(='f ，74)4(=''f ，66)4(='''f ，根据泰勒公式得!)4()4)(4()4()()4()(n x f f x f x fnn -+-'+=（未带有余项），故)4()3()4(4321137)4(2156)(---+++-+-=x x x x x f 解：x x f 2121)(-='，x x f 2341)(--=''，x x f 2583)(-='''，x f x 27)4(1615)(--=，故41)4(='f ，321)4(-=''f ，2563)4(='''f ，ξ27)4(1615)(--=f，故根据带有拉格朗日余项的泰勒公式则有)!1()(!)4()4)(4()4()()4()4(1)1()(+++-'+=--++n n x f f x f x fx f n n nn ξ)4()4()4(42732384155121641)4(412)(-----+--+=⇒x x x x x f ξ（ξ在x 与4之间）（8）求函数x x f ln )(=按)2(-x 的幂展开的带有佩亚诺余项的n 阶泰勒公式解：xf n n n n x 1)!1()()1(1)(-=--2)1(1)!1()2(1)(n n n n f -=⇒--,故根据带有佩亚诺余项的泰勒公式则有][!)2()2)(2()2()()2()2()(--+++-'+=⇒x x fnnn o n x f f x f ][81)2(212ln )()2()2()1()2(12----+⋅+--+=⇒-x x x nnnn o n x x f解：⇒=+-xfn nn n x 1)(1!)()1()1()1(1)(1!)1(--+=-n nn n f)1()1(!)1()(++-=-⇒x x fnnn n ，故根据带有拉格朗日余项的泰勒公式得)!1()(!)1()1)(1()1()()1()1(1)1()(++-+-'+-=++++n n x f f x f x fx fn n n n ξξ2112)1()1()1()1()1(1)(++++-+++--+--=⇒n n n nx x x x x f ξ在1-与x 之间。

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f ( n) ( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n n!
写成 (5) 2)当 2)当 n = 0时,泰勒公式变成拉氏中值公式 f ( x) = f ( x0 ) + f ′(ξ )( x − x0 ) (ξ在x0与x之间)
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f ( n) ( x0 ) ( x − x0 )n + Rn ( x) + L+ n!
f ( n+1) (ξ ) ( x − x0 )n+1(ξ 在 x0 与 x之间). 其中 Rn ( x) = (n + 1)!
x x x ln(1 + x) = x − + − L+ (−1) + o( x ) 2 3 n+1 1 = 1 + x + x2 + L+ xn + o( xn ) 1− x m(m − 1) 2 m (1 + x) = 1 + mx + x +L 2! m(m − 1)L(m − n + 1) n x + o( xn ) + n! 2012-4-22
误差 Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x)
2012-4-22
泰山医学院信息工程学院 刘照军
4
2、问题的提出 设函数f( )在含有x 的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 设函数 (x)在含有 0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试 (n+1)阶导数 找出一个关于( 找出一个关于(x-x0)的n次多项式
+ o[( x − x0 )n ]
2012-4-22
泰山医学院信息工程学院 刘照军
10
3)取 3)取 x0 = 0, ξ 在 0与 x之间,令ξ = θx (0 < θ < 1) 之间, f ( n+1) (θx) n+1 则余项 Rn ( x) = x (n + 1)!
麦克劳林( 麦克劳林(Maclaurin)公式 )
n+1
Rn ( x ) Rn ( x ) − Rn ( x0 ) n +1 = ( x − x0 ) ( x − x0 ) n + 1 − 0 ′ Rn (ξ 1 ) = ( n + 1)(ξ 1 − x0 ) n
(ξ在x0与x之间)
2012-4-22
泰山医学院信息工程学院 刘照军
7
′ (x) 及 (n + 1)( x − x0 )n 在以 x0 及ξ1 为端点的 两函数 Rn
2012-4-22 泰山医学院信息工程学院 刘照军 16
四、小节： 本讲主要讲述了洛必达法则、泰勒公式。该内 容非常重要，必须熟练掌握。对于不定式能够根据具 体情况进行变换，对于泰勒公式，会证明、会表达余 项、会正确应用，对于常用泰勒展式，熟练掌握。
五、作业： CT3-3 P145 1 3 9 10
f ′′(0) 2 f ( n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0) x + x + L+ x 2! n! f ( n+1) (θx) n+1 x (0 < θ < 1) + (n + 1)! f ′′(0) 2 f ( n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0) x + x + L+ x 2! n! + O( xn )
泰山医学院信息工程学院 刘照军
13
3、常用函数的麦克劳林公式 、
x 3 x5 x2n+1 sin x = x − + − L+ (−1)n + o( x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! x 2 x 4 x6 x 2n cos x = 1 − + − + L+ (−1)n + o( x2n ) 2! 4! 6! (2n)!
2012-4-22 泰山医学院信息工程学院 刘照军 17
2012-4-22
泰山医学院信息工程学院 刘照军
2
泰勒公式**** 第三节 泰勒公式****
一、导入 1、引例
泰勒公式主要是用多项式近似代替函数, 泰勒公式主要是用多项式近似代替函数,且误差可由公式表 主要是用多项式近似代替函数 示出来. 示出来.这样对精确度要求较高且需要估计误差的情形就可 用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式. 用高次多项式来近似表示函数,同时给出误差公式. 在利用微分作近似计算时
一、复习提问 1、费马引理 、 2、罗尔定理 、 3、拉格朗日定理 、 4、格西中值定理 、 5、洛必达法则 、
2012-4-22
泰山医学院信息工程学院 刘照军
1
重点： 重点：泰勒公式定理与应用 难点： 难点：泰勒公式定理的证明方法 关键： 关键：泰勒公式定理的证明构造方法
知识延伸： 知识延伸：泰勒公式的应用方法在高数的 学习中占有非常重要的地位！！！ 学习中占有非常重要的地位！！！
f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) a0 = f ( x0 ), a1 = f ′( x0 ), a 2 = , L, an = 2! n!
将求得的系数 a0,a1,a2,…,an代入(1)式,有 , 代入(
f ′′( x0 ) pn ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + L 2! ( n) f ( x0 ) ( x − x0 ) n (2) + n!
n n+1
2
3
n+1
泰山医学院信息工程学院 刘照军
14
e + 2cos x − 3 例 2 计算 lim . 4 x→0 x
x2
解
1 4 Q e = 1 + x + x + o( x4 ) 2! x 2 x4 cos x = 1 − + + o( x5 ) 2! 4! 1 1 4 x ∴ e + 2cos x − 3 = ( + 2 ⋅ ) x + o( x4 ) 2! 4! 7 4 x + o( x4 ) 7 原式 = lim 12 = . 4 x→0 12 x
x3 x3 sin x = x − + o( x 3 ), x cos x = x − + o( x 3 ) 3! 2! 1 3 ∴ sin x − x cos x = x + o( x 3 ) 3 1 3 x + o( x 3 ) sin x − x cos x 1 3 ∴ lim = lim = 3 3 x →0 x →0 sin x x 3 返回
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f ( n+1) (ξ ) Rn ( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间) (n + 1)! 拉格朗日形式的余项
1)在不需要余项的精确表达式时 在不需要余项的精确表达式时， 注: 1)在不需要余项的精确表达式时，n 阶泰勒公式也可
估计误差 (设 x > 0)
eθx ex Rn ( x) = xn+1 < xn+1(0 < θ < 1). (n + 1)! (n + 1)! 1 1 取x = 1, e ≈ 1 + 1 + + L+ 2! n! 3 e 其误差 Rn < . < (n + 1)! (n + 1)!
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x2 2
2
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例3
利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式， 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限
sin x − x cos x lim 3 x →0 sin x
解 由于分式的分母 sin x ≈ x ( x → 0)
3 3
所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即 所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，
(ξ2在x0与ξ1之间 )
(ξ 在x0与ξ n之间 )
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( Q Pn( n+1) ( x) = 0, ∴ Rnn+1) ( x) = f ( n+1) ( x)
则由上式得
f (n+1) (ξ ) Rn ( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间) (n + 1)!
注意到 f
x
( n+1 )
(θx) = eθ 代入公式,得 代入公式,
x
x x e e = 1 + x + + L+ + x 2! n! (n + 1)!
2
n
θ x
n+1
(0 < θ < 1).
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x2 xn x 由公式可知 e ≈ 1 + x + + L+ 2! n!
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证明: 证明: 数 ,且
由假设, Rn (x) 在 (a, b) 内具有直到 (n + 1) 阶导 由假设 ,