高考数学考点解读命题热点突破专题20不等式选讲理

高考数学不等式知识点解析不等式在高考数学中占据着重要的地位，它不仅是数学知识体系中的关键组成部分，也是解决各种数学问题和实际应用问题的有力工具。

掌握不等式的相关知识，对于提高数学解题能力和思维水平具有重要意义。

一、不等式的基本性质1、对称性：若 a＞b，则 b＜a；若 a＜b，则 b＞a。

比如，5＞3，那么 3＜5。

这一性质非常直观，也很好理解。

2、传递性：若 a＞b 且 b＞c，则 a＞c。

例如，7＞5，5＞3，所以 7＞3。

传递性在比较多个数的大小时经常用到。

3、加法性质：若 a＞b，则 a ＋ c ＞ b ＋ c。

比如，因为 8＞5，那么 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2，也就是 10 ＞ 7。

4、乘法性质：若 a＞b 且 c＞0，则 ac＞bc。

若 a＞b 且 c＜0，则 ac＜bc。

例如，4＞2，当 c ＝ 3 时，4×3 ＞ 2×3，即 12 ＞ 6；当 c ＝－2 时，4×（－2) ＜ 2×（－2)，即－8 ＜－4。

这些基本性质是解决不等式问题的基础，必须牢记并能熟练运用。

二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式称为一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（如果有分母的话）：在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，注意当乘以一个负数时，不等号方向要改变。

2、去括号：根据乘法分配律去掉括号。

3、移项：将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，注意移项要变号。

4、合并同类项：将同类项合并。

5、系数化为 1：在不等式两边同时除以未知数的系数，如果系数是负数，不等号方向要改变。

例如，解不等式 3x 5 ＞ 2x ＋ 1。

首先，移项得到 3x 2x ＞ 1 ＋ 5，即 x ＞ 6。

三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（a ≠ 0）的不等式称为一元二次不等式。

不等式选讲1．若f (x )＝log 13x ，R ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ，S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ，T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋b 2，a ，b 为正实数，则R ，S ，T 的大小关系为( ) A ．T ≥R ≥S B ．R ≥T ≥S C ．S ≥T ≥RD ．T ≥S ≥R解析 ∵a ，b 为正实数，∴2a ＋b ≤22ab ＝1ab ，2a ＋b＝4a 2＋b 2＋2ab≤2a 2＋b 2≤22a 2b2＝1ab，∵f (x )＝log 13x 在(0，＋∞)上为增函数，R ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ，S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ， T ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋b 2，∴T ≥R ≥S . 答案 A2．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|.(1)试求使等式f (x )＝|2x ＋1|成立的x 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝|x －4|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－5，9，－5<x <4，2x ＋1，x ≥4.又|2x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－12，2x ＋1，x >12，所以若f (x )＝|2x ＋1|，则x 的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞)．(2)因为f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|≥|(x －4)－(x ＋5)|＝9，所以若关于x 的不等式f (x )<a 的解集非空，则a >f (x )min ＝9，即a 的取值范围是(9，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)试求f (x )的值域；(2)设g (x )＝ax 2－3x ＋3x(a >0)，若任意s ∈(0，＋∞)，任意t ∈(－∞，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)函数可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－2，2x ＋1，－2≤x ≤1，3，x >1.∴f (x )∈[－3，3]．(2)若x >0，则g (x )＝ax 2－3x ＋3x ＝ax ＋3x－3≥23a －3，即当ax 2＝3时，g (x )min ＝23a －3，又由(1)知f (x )max ＝3.若∀s ∈(0，＋∞)，∀t ∈(－∞，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，则有g (x )min ≥f (x )max ，∴23a －3≥3， ∴a ≥3，即a 的取值范围是[3，＋∞)．4．设不等式|x －2|>1的解集与关于x 的不等式x 2－ax ＋b >0的解集相同． (1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )＝a x －3＋b 5－x 的最大值，以及取得最大值时x 的值．5．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )>2的解集；综上所述，不等式f (x )>2的解集为{x |x >1或x <－5}． (2)易得f (x )min ＝－52，若∀x ∈R 都有f (x )≥t 2－112t 恒成立，则只需f (x )min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5.7．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－1或a ＞3 B ．a ＜0或a ＞3 C ．－1＜a ＜3D ．－1≤a ≤3解析 |x －1|＋|x －3|的几何意义是数轴上与x 对应的点到1、3对应的两点距离之和，故它的最小值为2，∵原不等式解集为∅，∴a 2－2a －1＜2. 即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3. 故选C. 答案 C8．设f (x )＝1ax 2－bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(－1，3)，若f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围是________．解析 ∵1ax 2－bx ＋c <0的解集是(－1，3)，∴1a >0且－1，3 是1a x 2－bx ＋c ＝0的两根，则函数f (x )＝1a x 2－bx ＋c 图象的对称轴方程为x ＝ab2＝1， 且f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 又∵7＋|t |≥7>1，1＋t 2≥1， 则由f (7＋|t |)>f (1＋t 2)， 得7＋|t |>1＋t 2， 即|t |2－|t |－6<0， 亦即(|t |＋2)(|t |－3)<0， ∴|t |<3，即－3<t <3. 答案 (－3，3)9．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|.(1)试求使等式f (x )＝|2x ＋1|成立的x 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－5，9，－5<x <4，2x ＋1，x ≥4.又|2x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－12，2x ＋1，x >12，所以若f (x )＝|2x ＋1|，则x 的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞)． (2)因为f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|≥|(x －4)－(x ＋5)|＝9， ∴f (x )min ＝9.所以若关于x 的不等式f (x )<a 的解集非空，则a >f (x )min ＝9，即a 的取值范围是(9，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)试求f (x )的值域；(2)设g (x )＝ax 2－3x ＋3x(a >0)，若任意s ∈(0，＋∞)，任意t ∈(－∞，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)函数可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－2，2x ＋1，－2≤x ≤1，3，x >1.∴f (x )∈[－3，3]．(2)若x >0，则g (x )＝ax 2－3x ＋3x ＝ax ＋3x－3≥23a －3，即当ax 2＝3时，g (x )min ＝23a －3，又由(1)知f (x )max ＝3.若∀s ∈(0，＋∞)，∀t ∈(－∞，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，则有g (x )min ≥f (x )max ， ∴23a －3≥3，∴a ≥3，即a 的取值范围是[3，＋∞)． 11．设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥t 2－3t 在[0，1]上无解，求实数t 的取值范围．12．设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．(1)证明 由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a|＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.13．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2， 解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.14．已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1，1]． (1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1. 求证：a ＋2b ＋3c ≥9.(1)解：∵f (x )＝k －|x －3|，∴f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为[－k ，k ]． ∵f (x ＋3)≥0的解集为[－1，1]． 因此k ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，∵a ，b ，c 为正实数．∴a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋2b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋3c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3c ＋3c 2b ≥3＋2a 2b ·2ba＋ 2a 3c ·3c a ＋22b 3c ·3c2b＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c 时，等号成立． 因此a ＋2b ＋3c ≥9.15．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．(2)原不等式等价于|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，② 当1≤x ≤2时，②式化为4－x －(2－x )≥|x ＋a |， 解之得－2－a ≤x ≤2－a .由条件，[1，2]是f (x )≤|x －4|的解集的子集， ∴－2－a ≤1且2≤2－a ，则－3≤a ≤0. 故满足条件的实数a 的取值范围是[－3，0]． 16．已知正实数a ，b 满足：a 2＋b 2＝2ab . (1)求1a ＋1b的最小值m ；(2)设函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t (t ≠0)，对于(1)中求得的实数m 是否存在实数x ，使得f (x )＝m 2成立，说明理由．解：(1)∵2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≥ab (a >0，b >0)，则ab ≤1， 又1a ＋1b≥2ab≥2，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴1a ＋1b的最小值m ＝2.(2)函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1t －（x －t ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ＋t ＝|t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ≥2，对于(1)中的m ＝2，m2＝1<2.∴满足条件的实数x 不存在．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

考点24 不等关系与一元二次不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.一、不等关系 1．不等式的概念（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系．（2）用数学符号“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．两个实数大小的比较（1）作差法：设a ，b ∈R ，则0a b a b >⇔->，a <b ⇔a −b <0. （2）作商法：设a >0，b >0，则a >b ⇔1a b >，a <b ⇔1ab<. 3．不等式的性质（1）实数的大小顺序与运算性质的关系 ①a >b ⇔0a b ->； ②0a b a b =⇔-=； ③a <b ⇔0a b -<. （2）不等式的性质①对称性：a b b a >⇔<；(双向性) ②传递性：a >b ，b >c ⇒a c >；(单向性)③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) ④a >b ，c >d ⇒a c b d +>+；(单向性)⑤可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；(单向性) a >b ，c <0⇒ac <bc ；(单向性) ⑥a >b >0，c >d >0⇒ac bd >；(单向性)⑦乘方法则：()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈≥N ；(单向性)⑧开方法则：a >b >0>n ∈N ，n ≥2)．(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.（2）可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号. 4．必记结论 （1）a >b ，ab >0⇒11a b<. （2）a <0<b ⇒11a b<. （3）a >b >0,0<c <d ⇒a b c d>. （4）0<a <x <b 或a <x <b <0⇒111b x a<<. （5）若a >b >0，m >0，则b b m a a m +<+；b b m a a m->-(b −m >0)； a a m b b m +>+；a a m b b m-<-(b −m >0)． 二、一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；（2）顶点式：224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠； （3）两根式：12()()(0)y a x x x x a =--≠.2．三个“二次”之间的关系2(,)x +∞12,)x3．一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>；（2）计算：求出相应的一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的根，有三种情况：0,0∆,∆∆=0<>；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.4．一元二次不等式恒成立问题（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -<∈R ．（2）20(0)ax bx c a ++≥≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -≤∈R ．（3）20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -<∈R ． （4）20(0)ax bx c a ++≤≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -≤∈R ．（5）20ax bx c ++>恒成立的充要条件是：0a b ==且0c >或0a >且240()b ac x -<∈R ．（6）20ax bx c ++<恒成立的充要条件是：0a b ==且0c <或0a <且240()b ac x -<∈R ．考向一 比较大小比较大小的常用方法：（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论． 注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. （4）利用单调性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.典例1 若a =2x 2+1，b =x 2+2x ，c =−x −3，试比较a ，b ，c 的大小. 【解析】∵a =2x 2+1，b =x 2+2x ，c =−x −3，∴a −b =(2x 2+1)−(x 2+2x)=x 2−2x +1=(x −1)2≥0，即a ≥b ， b −c =(x 2+2x)−(−x −3) =x 2+3x +3=(x +32)2+34>0，即b >c ，综上可得：a ≥b >c .典例2 已知0<a <b <1，则ba ，logb a ，1log ab 的大小关系是A ．1log ab <b a <log b a B ．1log ab <log b a <baC ．log b a <1log ab <ba D ．ba <1log ab <log b a【答案】A【解析】因为0<a <b <1,所以001b a a <<=,log log 1b b a b >=,又1a >1,所以1log ab <1log 1a=0. 综上，得1log ab <ba <logb a .故选A.【名师点睛】在用介值法比较时，中介值一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式（或数），其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等.1．已知,,a b c ∈R ，给出下列条件：①22a b >；②11a b<；③22ac bc >，则使得a b >成立的充分而不必要条件的是 A ．① B ．② C ．③D ．①②③考向二 求范围的问题求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键.在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误. 求范围的一般思路是：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.典例3 设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，则47x y的取值范围是______.【答案】[]2,27【解析】因为()324272x y x y xy⎛⎫⎪⎝⎭=，()322282714x xy y ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，,所以47827[,][2,27]41x y ∈=.典例4 若二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，求f (－2)的取值范围.【解析】方法一：∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴可设2(0())f x ax bx a =+≠.易知()()11f a b f a b =+⎧⎪⎨-=-⎪⎩，∴()()()()11121112a f f b f f ⎧=+-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩.则()2423)()11(f a b f f =---=+.∵)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，∴62()10f -≤≤.方法二：由题意设2(0())f x ax bx a =+≠，则f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b . 令m (a ＋b )＋n (a －b )＝f (－2)＝4a －2b ， ∴42m n m n +=⎧⎨-=-⎩，∴13m n =⎧⎨=⎩.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1).∵)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，∴62()10f -≤≤. 【名师点睛】同向不等式只能相加，不能相减.2．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦考向三 一元二次不等式的解法1．解不含参数的一元二次不等式的方法：（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.（3）若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法. 2．在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(∆>0),一根(∆=0),无根(∆<0)； （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：121212,,x x x x x x >=<.典例5 解下列不等式： （1）2230x x --+≥. （2）24410x x +≤+.【解析】（1）不等式两边同乘以－1,原不等式可化为2230x x -≤+，即(1)(3)0x x -+≤，则31x -≤≤.故不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是1{|}3x x ≤≤-.（2）24410x x +≤+，即2(21)0x +≤，则12x =-. 故不等式24410x x +≤+的解集为1{|}2x x =-.典例6 已知函数f(x)=ax 2−(2a +1)x +2. （1）当a =2时，解关于x 的不等式f(x)≤0； （2）若a >0，解关于x 的不等式f(x)≤0.【解析】（1）当a =2时，f (x )≤0⇒2x 2−5x +2≤0,可得(2x −1)(x −2)≤0， ∴12≤x ≤2,∴f (x )≤0的解集为[12,2].（2）不等式f (x )≤0可化为ax 2−(2a +1)x +2≤0,a >0， 即a (x −1a )(x −2)≤0,a >0， ①当0<a <12时，1a >2， 解得12x a≤≤， ②当a =12时，1a =2， 解得x =2.③当a >12时，1a<2，解得12x a≤≤. 综上，当0<a <12时，不等式的解集为1{|2}x x a≤≤； 当a =12时，不等式的解集为{x |x =2 }；当a >12时，不等式的解集为1{|2}x x a≤≤.3．已知关于x 的不等式20x ax b -++>.（1）若该不等式的解集为(4,2)-，求a ，b 的值； （2）若1b a =+，求此不等式的解集.考向四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系.（2）若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围.典例7 已知函数f (x )=−3x 2+a(6−a)x +c . （1）当c =19时,解关于a 的不等式f (1)>0；（2）若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(−1,4)，求实数a ,c 的值. 【解析】（1）当c =19时,f(x)=−3x 2+a(6−a)x +19, 所以f(1)=−3+a(6−a)+19=−a 2+6a +16, f(1)>0,即a 2−6a −16<0, 解得−2<a <8.(2)依题意:−1,4是方程−3x 2+a(6−a)x +c =0的解,由根与系数的关系可得()63343a a c -⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,解得{a =3c =12. 典例8 已知关于x 的不等式2230kx x k -+<.（1）若不等式的解集为{x|x <−3或x >−1}，求k 的值； （2）若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由不等式2230kx x k -+<的解集为{x|x <−3或x >−1}，可知k <0,−3和−1是一元二次方程2230kx x k -+=的两根，所以()()()()313231k⎧-⨯-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得12k =-. （2）由题意知不等式2230kx x k -+<的解集为∅，若k =0，则不等式为−2x <0，此时x >0，不合题意；若k ≠0，则04430k k k ∆>⎧⎨=-⨯≤⎩，解得3k ≥.综上，实数k 的取值范围为[)3+∞.4．已知二次函数()()21f x kx k x k =--+．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为R ，求实数k 的取值范围； （2）若关于x 的方程()f x x =有两个不等正实根，求实数k 的取值范围．考向五 一元二次不等式的应用对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.1．分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式，则不等式()0()f xg x >(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或;()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或;()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或. 对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式，其中a ≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 2．高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集． （2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．典例9 不等式()()23310x x x --+>的解集为_________. 【答案】()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】不等式()()23310x x x --+>可转化为x (x −3)(3x +1)<0, 且方程()()3310x x x -+=的根为12310,3,3x x x ===-， 则由穿针引线法可得原不等式的解集为()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.典例10 解关于x 的不等式:2x ax a -- <0(a ∈R ). 【解析】原不等式等价于：(x －a )(x －a 2)<0，其对应方程的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2.2211()x x a a a a -=-=-，分情况讨论如下：①若a <0或a >1，即a 2>a ，则所求不等式的解集为{}2|x a x a <<．②若a ＝0或a ＝1，原不等式可化为x 2<0或(x －1)2<0. 此时，所求不等式的解集为x ∈∅.③若0<a <1，即a 2<a ，则所求不等式的解集为{}2|x a x a <<． 综上所述：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{}2|x a x a <<；当a ＝0或a ＝1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，原不等式的解集为{}2|x a x a <<．5．已知函数()()2,1ax bf x a b x -=∈-R . （1）若关于x 的不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，求()0f x <的解集； （2）若12a =，解不等式()0f x >的解集. 考向六 含参不等式恒成立问题的求解策略解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果. （2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥);②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到.（4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数. 在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷．典例11 已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c ，且不等式f(x)<2x 的解集为(1,3)，对任意的x ∈R 都有f(x)≥2恒成立. （1）求f(x)的解析式；（2）若不等式k f (2x )−2x +1≤0在x ∈[1,2]上有解，求实数k 的取值范围. 【解析】（1）∵f(x)=ax 2+bx +c <2x 的解集为(1,3)， ∴方程ax 2−(2−b)x +c =0的两个根是1和3.则243ba c a-==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得{b =2−4a c =3a.又∵f(x)≥2在x ∈R 上恒成立，∴ax 2+(2−4a)x +3a −2≥0在x ∈R 上恒成立， 则Δ=(2−4a)2−4a(3a −2)≤0，即(a −1)2≤0， 又∵(a −1)2≥0，∴(a −1)2=0， 得a =1，故f(x)=x 2−2x +3.（2）由题意知kf(2x )−2x +1≤0，即k(22x −2⋅2x +3)≤2x −1，∵22x−2⋅2x+3=(2x−1)2+2>0，∴2212223x x x k -≤-⋅+，设t =2x −1∈[1,3]，则22tk t ≤+，又∵2122t t t t=≤++t =2t 即t =√2时取得最大值√24， ∴k ≤√24，即实数k的取值范围为⎛-∞ ⎝⎦. 典例12 已知函数()21f x mx mx =--.（1）若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于x ∈[1,3]，f (x )<5−m 恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】（1）因为()210f x mx mx =--<对x ∈R 恒成立,则①m =0时,()10f x =-<恒成立;②240m m m <⎧⎨+<⎩,解得40m -<<. 故实数m 的取值范围为(]4,0-.（2）f (x )<5−m ,即()216m x x -+<.因为210x x -+>,所以m <261x x -+对于x ∈[1,3]恒成立.记g (x )=261x x -+=2613()24x -+,x ∈[1,3],易知()()min 637g x g ==,所以67m <.即实数m 的取值范围为(6,)7-∞.6．若函数2()6(8)f x kx kx k =-++的定义域为R ，求实数k 的取值范围.1．已知集合()(){|140}A x x x =--≤，5{|0}2x B x x -=≤-，则A B = A ．{|12}x x ≤≤ B ．{|12}x x ≤< C ．{|24}x x ≤≤ D ．{|24}x x <≤2．下列命题正确的是 A ．若>a b ，则11a b< B ．若>a b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd3．2x >是220x x ->的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设0.321log 0.6,log 0.62m n ==，则 A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+5．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是 A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15]D ．[1,15]6．三个正整数x ，y ，z 满足条件:x y >，y z >，3xz >，若5z =，则y 的最大值是 A ．12 B ．13 C ．14D ．157．若不等式220ax x c ++<的解集是11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a ++≤的解集是 A ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[−2，3]D ．[−3，2]8．关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，则a 的取值范围为 A ．315a -<<B ．315a -≤≤ C ．315a -<≤或1a =- D ．315a -<≤ 9．设,a b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m -++=的两个实根，则22(1)(1)a b -+-的最小值是 A ．494- B ．18 C ．8D ．−610．设正数a ，b 满足2b a -<，若关于x 的不等式()222440a x bx b -+-<的解集中的整数解恰有4个，则a 的取值范围是A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(2,4)D ．(4,5)11．不等式2260x x --+≥的解集是_____．12．设P Q R ===,,P Q R 的大小顺序是______．13．不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________． 14．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________. 15．已知函数21()1()f x x a x x a ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭R . （1）当12a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若关于x 的不等式()0f x <有且仅有一个整数解，求正实数．．．a 的取值范围.16．已知函数21()(2)()2f x x m x m =+-∈R . （1）若关于x 的不等式()4f x <的解集为()2,4-，求m 的值； （2）若对任意[0,4],()20x f x ∈+恒成立，求m 的取值范围.1．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．3．（2019年高考天津卷文数）设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2019年高考浙江卷）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5．（2018年高考天津卷文数）设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2017年高考天津卷文数）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2017年高考山东卷文数）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝8．（2017年高考上海卷）不等式11x x->的解集为________. 9．（2018年高考北京文数）能说明“若a ﹥b ，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________.10．（2019年高考江苏）函数y =的定义域是 ▲ .1．【答案】C【解析】对于①，由22a b >，得||||a b >，不一定有a b >成立，不符合题意； 对于②，当1,1a b =-=时，有11a b<，但a b >不成立，所以不符合题意； 对于③，由22ac bc >，知c ≠0，所以有a b >成立，当a b >成立时，不一定有22ac bc >，因为c 可以为0，符合题意. 本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．【答案】C【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-，则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩， ∵13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤，①又11x y -≤+≤，② ∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yxx y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.求解时，利用待定系数法求得()()32x y x y x y -=++-，由11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，结合38212yx yx -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=，从而可得结果.3．【解析】（1）根据题意得()2424ab-=⎧⎨⨯-=-⎩，解得2a =-，8b =.（2）当1b a =+时，()22010x ax b x ax a -++>⇔--+<，即()()110x a x ⎡⎤-++<⎣⎦.当11a +=-，即2a =-时，原不等式的解集为∅； 当11a +<-，即2a <-时，原不等式的解集为()1,1a +-； 当11a +>-，即2a >-时，原不等式的解集为()1,1a -+.【名师点睛】本题考查一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系以及解一元二次不等式，考查基本应用求解能力.属基本题.（1）根据不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程，解得a ，b 的值； （2）先代入化简不等式，再根据对应一元二次方程根的大小分类讨论不等式解集. 4．【解析】（1）()0f x <，即()210kx k x k --+<，由二次函数知识得00k <⎧⎨∆<⎩，即220(1)40k k k <⎧⎨--<⎩， 解得1k <-.（2）()f x x =，即()21kx k x k x --+=，即()220kx k x k --+=，由二次方程有两个不等正实根知，112212000000x x x x x x ∆>∆>⎧⎧⎪⎪>⇔+>⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩，由根与系数间关系得，22(2)402010k k k k⎧-->⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎩，解得203k <<．5．【解析】（1）∵不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， ∴0a >，0a b =>， ∴()()()()210021101a x f x a x x x -<⇔<⇔--<-，∴()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. （2）12a =时，不等式()()()()00101x bf x f x x b x x ->⇔=>⇔-->-， 1当1b >时，不等式的解集为()(),1,b -∞+∞；2当1b =时，不等式的解集为{}1x x ≠； 3当1b <时，不等式的解集为()(),1,b -∞+∞.【名师点睛】本题考查不等式的求解应用，属于基础题. （1）()()()()210021101a x f x a x x x -<⇔<⇔--<-，然后求解即可.（2）12a =时，不等式()()()()00101x bf x f x x b x x ->⇔=>⇔-->-，然后分类讨论即可.6．【解析】∵f （x ）的定义域为R ， ∴不等式kx 2﹣6kx +k +8≥0的解集为R. ①k ＝0时，8＞0恒成立，满足题意；②k ≠0时，则()236480＞k k k k ⎧⎨∆=-+≤⎩，解得0＜k ≤1. 综上得，实数k 的取值范围为[0，1]．1．【答案】D【解析】依题意[](]1,4,2,5A B ==，故(]2,4A B =.故选D.2．【答案】C【解析】A.若>a b ，则11a b<，取1,1a b ==-不成立； B.若>a b ，则22a b >，取0,1a b ==-不成立； C.若>a b ，c d <，则>a c b d --，正确；D.若>a b ，>c d ，则>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==-不成立. 故选C.【名师点睛】本题考查了不等式的性质，找出反例是解题的关键. 3．【答案】A【解析】由220x x ->解得：0x <或2x >，{}2x x ⊂>≠{}02或x x x <>，因此，2x >是220x x ->的充分不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查充分必要条件的判断，先解不等式220x x ->得出解集，根据集合之间的包含关系得出两条件的充分必要性.一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：（1）A ⊂≠B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）AB ，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件；（3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件. 4．【答案】A【解析】0.30.3log 0.6log 10,m =>=2211log 0.6log 10,22n =<=0mn <， 0.60.611log 0.3log 4m n +=+0.60.6log 1.2log 0.61=<=，即1m n mn+<，故m n m n +>. 又()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+. 故m n m n mn ->+>，所以选A.【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.求解时，先判断m ，n 的正负，即可得0mn <；计算11m n+0.6log 1.21=<，化简可得m n m n +>，再通过作差法比较m n -，m n +的大小，即可得结果. 5．【答案】B【解析】令m x y =-，4n x y =-,343n m x n my -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩,则859,33z x y n m =-=- 552041,,333m m -≤≤-∴≤-≤又884015,333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故本题选B.【名师点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键.令m x y =-，4n x y =-，得到关于,x y 的二元一次方程组，解这个方程组，求出9x y -关于,m n 的式子，利用不等式的性质，结合,m n 的取值范围，最后求出9x y -的取值范围. 6．【答案】B【解析】由不等式的性质结合题意有：,5,53xx y y >>>，即,5,15.15x y y x y x >><∴<<，由于,,x y z 都是正整数，故y 的最大值是13. 故选B.【名师点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，不等式的传递性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合不等式的性质和不等式的传递性即可确定y 的最大值. 7．【答案】D【解析】因为不等式220ax x c ++<的解集是11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以0211321132a ac a⎧⎪<⎪⎪-=-+⎨⎪⎪=-⨯⎪⎩，解得122a c =-⎧⎨=⎩，所以不等式220cx x a ++≤可化为222120x x +-≤，即260x x +-≤，解得32x -≤≤. 故选D.【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，熟记三个二次之间的关系即可，属于基础题型.先由题意求出,a c ，再代入不等式220cx x a ++≤求解，即可得出结果. 8．【答案】D【解析】当210a -=时，1a =±，若1a =，则原不等式可化为10-<，显然恒成立；若1a =-，则原不等式可化为210x -<不恒成立，所以1a =-舍去；当210a -≠时，因为()()221110a x a x ----<的解集为R ，所以只需()()222101410a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩，解得315a -<<； 综上，a 的取值范围为：315a -<≤.故选D.【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立的问题，需要用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.分情况讨论，当210a -=时，求出满足条件的a 的值；当210a -≠时，求出满足条件的a 的取值范围，即可得出结果. 9．【答案】C【解析】因为,a b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m -++=的两个实根， 所以由根与系数的关系得26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩ ，且()2460m m ∆=--≥，所以()()22222224(1)(1)610a b ab b y m a b a m =+-=-+--++=--2349444m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，且3m ≥或2m ≤-，由二次函数的性质知，当3m =时，函数2349444y m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最小值8， 即22(1)(1)a b -+-的最小值为8. 故选C.【名师点睛】本题考查二次函数的最小值问题，属于一般题.求解时，由根与系数的关系得26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩ ，且()2460m m ∆=--≥，则22(1)(1)y a b =-+-可变成2349444y m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再求最小值. 10．【答案】C【解析】()222440a x bx b -+-<，即()2222440a x x bx b --+<， ∴()22220a x x b --<，即()()220ax x b ax x b +--+<，∴()()220a x b a x b ⎡⎤⎡⎤+--+<⎣⎦⎣⎦， 由于解集中整数解恰有4个，则a ＞2，∴122b bx a a -<<<-+，则四个整数解分别为−3，﹣2，﹣1，0． ∴432b a -≤-<--，即342ba <≤-，即3648ab a -<≤-， 又2b a <+，∴362a a -<+，∴4a <， 又a ＞2，∴a 的取值范围是()2,4. 故选C.【名师点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的整数解的求法，考查不等式的性质的运用，考查运算能力，属于易错题．求解时，将不等式因式分解可得()()220a x b a x b ⎡⎤⎡⎤+--+<⎣⎦⎣⎦，由于解集中整数解恰有4个，则a ＞2，则有122b b x a a -<<<-+，且四个整数解分别为−3，﹣2，﹣1，0，则有432b a -≤-<--，结合条件2b a <+，可得a ＜4，进而得到a 的范围． 11．【答案】32,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦【解析】不等式2260x x --+≥可化为2260x x +-≤，解得322x -≤≤； ∴该不等式的解集是32,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为32,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦．【名师点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，解题时先把不等式化简，再求解集，是基础题．直接利用一元二次不等式的解法求解. 12．【答案】P R Q >>【解析】∵0P R -==>，∴P R >，R Q -=-，而29=+29=+>R Q >，∴P R Q >>，故答案为：P R Q >>．【名师点睛】本小题主要考查作差比较法比较数的大小，属于基础题.求解时，利用作差比较法先比较,P R 的大小，然后比较,R Q 的大小，由此判断出三者的大小关系. 13．【答案】()2,2-【解析】∵不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， ∴240＜k ∆=-，∴2-＜k ＜2， 故答案为：()2,2-.【名师点睛】（1）二次函数图象与x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式.（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法． 14．【答案】12(,]23【解析】x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0，即x 2﹣2x +1＜a （x +1）﹣1，分别令y ＝x 2﹣2x +1，y ＝a （x +1）﹣1，易知y ＝a （x +1）﹣1的图象过定点（﹣1，﹣1）， 分别画出两函数的图象，如图所示：∵集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得10120311＜a a a -≤⎧⎪-⎨⎪-≤⎩，解得12＜a 23≤. 故答案为：（12，23].【名师点睛】本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题.求解时，由x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0可得x 2﹣2x +1＜a （x +1）﹣1，即直线在二次函数图象的上方的点只有一个整数1，结合图象即可求出． 15．【答案】（1）1,22⎛⎫⎪⎝⎭；（2）12a <≤或112a ≤<.【解析】（1）当12a =时，不等式为25102x x -+<，即22520x x -+<，即(2)(21)0x x --<，所以122x <<， 所以不等式()0f x <的解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）原不等式可化为1()0x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， ①当1a a=，即1a =时，原不等式的解集为∅，不满足题意； ②当1a a >，即1a >时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时101a <<，所以12a <≤； ③当1a a <，即01<a <时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以只需112a <≤，解得112a ≤<；综上所述，12a <≤，或112a ≤<. 【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，（1）直接解不等式25102x x -+<得解集；（2）对a 分类讨论解不等式分析找到a 满足的不等式，解不等式即得解. 16．【答案】（1）1m =；（2）[0,)+∞.【解析】（1）法一：不等式()4f x <可化为2(42)80x m x ---<，其解集为()2,4-， 由根与系数的关系可知2442m -+=-，解得1m =， 经检验1m =时满足题意.法二：由题意知，原不等式所对应的方程()4f x =的两个实数根为2-和4， 将2-（或4）代入方程计算可得1m =， 经检验1m =时满足题意.（2）法一：由题意可知21(2)22m x x -≤+恒成立， ①若0x =，则02≤恒成立，符合题意. ②若(0,4]x ∈，则12(2)2m x x-≤+恒成立，而1222x x +≥=，当且仅当2x =时取等号， 所以min 12222m x x ⎛⎫-≤+=⎪⎝⎭，即0m ≥.故实数m 的取值范围为[0,)+∞.法二：二次函数21()(2)2f x x m x =+-的对称轴为2x m =-. ①若20m -≤，即2m ≥，函数()f x 在[]0,4上单调递增，()2(0)220f x f +≥+=≥恒成立，故2m ≥；②若024m <-<，即22m -<<，此时()f x 在[]0,2m -上单调递减，在[]2,4m -上单调递增，由22(2)()2(2)2(2)202m f x f m m -+≥-+=--+≥，得04m ≤≤.故02m ≤<；③若24m -≥，即2m ≤-，此时函数()f x 在[]0,4上单调递减， 由1()2(4)216(2)424202f x f m m +≥+=⨯+-⨯+=+≥，得12m ≥-，与2m ≤-矛盾，故m 不存在.综上所述，实数m 的取值范围为[0,)+∞.【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式的性质，不等式恒成立中含参问题，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度较大.（1）不等式()4f x <可化为2(42)80x m x ---<，而解集为()2,4-，可利用根与系数的关系或直接代入即可得到答案；（2）法一：讨论0x =和(0,4]x ∈时，分离参数利用均值不等式即可得到取值范围； 法二：利用二次函数在[0,4]x ∈上大于等于0恒成立，即可得到取值范围.1．【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤， 又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-.故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.。

高考数学文科生高效提分热点解读之不等式佚名高考是人生的一种阅历，一次考验，更是一次锻炼。

不是有人说，没有历经过高考的人生是不完整的人生。

在高考中，要取得理想的效果，其数学效果起到关键的作用。

距离高考还有不到40天了，这个时分是冲刺的黄金阶段。

如何抓好这个时间段的温习至关重要，针对大少数文科考生来说，毋容置疑，其单薄环节就是数学。

那么作为文科生考前数学应怎样温习？考前提分的关键又何在？热点四不等式不等式既是高考数学中重要的基础知识，也是高中数学中重要的工具之一，高考中既有对本局部知识点的考察，也有综合函数、数列、导数及解析几何等停止考察，不等式在高考中占有极端重要的位置。

不等式自身的内容不多，在高考中主要是表达在与其他内容的综合运用上，考察重点是不等式的性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的运用、二元一次不等式组所表示的平面区域、复杂的线性规划效果等，试题难度中档偏上。

新课标中把不等式分红了必修和选修两个局部，高考对必修局部不等式的考察主要集中在一元二次不等式的解法、两个正数的基本不等式的复杂运用和复杂的线性规划效果。

另外，高考对不等式的考察也可交叉在其他知识点中，如在考察导数及其运用为主的试题中，解不等式往往是处置效果的关键一环；考察以解析几何为主的最值、范围类试题中，解不等式也是关键的一步，因此在温习时要从它在高考中的特点入手，在掌握基础知识的同时，重点处置如下几个效果：一是熟练掌握含有参数的一元二次不等式的解法〔导数类试题中的单调性求解〕；二是熟练掌握应用两个正数的基本不等式求最值的方法技巧，如常数代换、变形等；三是要留意线性规划类试题的新变化，高考在这个考点上的考察，目的函数曾经不只仅局限为线性的，但处置效果的方法依然是处置目的函数是线性的方法，要抓住效果的实质。

考点1不等式的解法不等式的解法是高考必考内容，主要以选择题、填空题的方式出现，小巧灵敏，方式新颖。

另外，在解答题中无不展现不等式的存在价值和运用价值。

数学《不等式选讲》复习知识要点一、141．不等式222log 2log x x x x -<+的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出0x >，分2log 0x >和2log 0x ≤两种情况讨论，结合222log 2log x x x x -<+可得出2log 0x >，解出该不等式即可.【详解】由题意得出0x >，当2log 0x ≤时，则222log 2log x x x x -=+. 当2log 0x >时，222log 2log x x x x -<+，解不等式2log 0x >得1x >. 因此，不等式222log 2log x x x x -<+的解集为()1,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查绝对值三角不等式的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.2．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.3．2018年9月24日，英国数学家.M F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记222111123S n=+++++L L ，则（ ）A ．413S << B ．4332S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--，利用放缩法和极限，即可得到答案. 【详解】 由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--， 所以2221111111113111()()()232334121n S n n n n =+++++>+-+-++-=-++L L L 22211111111111(1)()()2232231n S n n n nL L =++++<+-+-++-=--， 当n →+∞且n N +∈时，101n →+，且10n →，所以322S <<，故选C. 【点睛】本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用21n 进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.4．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c +++++ 的最小值为( ) A ．1 B ．3C ．6D ．9【答案】D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++Q ()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．40【答案】B 【解析】 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.6．若存在x ,∈R ,使2x a 23x 1-+-≤成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]75--，B ．()57，C ．[]57，D ．][()57∞∞-⋃+，， 【答案】C 【解析】 【分析】先利用绝对值三角不等式求223x a x -+-的最小值，即得实数a 的取值范围. 【详解】由题得223=262|6|x a x x a x a -+--+-≥-， 所以|6|1,161,57a a a -≤∴-≤-≤∴≤≤. 故选C 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和绝对值不等式的能成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．空间中两条不相交的直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是（ ） A ．平行或垂直 B ．平行C ．异面D ．垂直【答案】C 【解析】 【分析】利用反证法证明得解. 【详解】不妨设空间中不相交的两条直线为a b ，，另外两条异面直线为c d ，， 由于a b ，不相交，故a b ，平行或异面， 设a c ，确定的平面为α.不妨设a b ∥，①当b α⊂时，则a b ，与直线d 的交点都在α内，故d α⊂，而这与c d ，为异面直线矛盾；②当b α⊄时，由a b ∥可知b P α，又c α⊂，故b c ，没有公共点，与b c ，相交矛盾. 由①②知假设a b ∥错误，故a b ，为异面直线. 故选C. 【点睛】本题主要考查异面直线的判定和反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0D ．∅【答案】B 【解析】解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。

不等式选讲高考导航考试要求重难点击命题展望1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c类型.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法.4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题.5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般形式∑∑∑===•nininiiiiibaba112122)(≥，理解它们的几何意义.掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用.7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：.)1,0,1＞(＞1)1(的正整数为大于nxxnxx n≠-++本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用.本章难点：三个正数的算术——几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式.本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求.知识网络§1 绝对值型不等式典例精析题型一解绝对值不等式【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0； 当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解； 当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3. 题型二 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ).又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ).解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤x f x 的解集为(－∞，－32]；②当－1＜x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤＜1x f x 的解集为∅；③当x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧3≥)(1,＞x f x 的解集为[32，＋∞).综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|不满足题设条件.若a ＜1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-1,≥1),(-2＜1,＜,1,≤,12x a x x a a a x a xf (x )的最小值为1－a .由题意有1－a ≥2，即a ≤－1.若a ＞1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,≥1),(-2,＜＜1,11,≤,12a x a x a x a x a xf (x )的最小值为a －1，由题意有a －1≥2，故a ≥3.综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ⊆B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a －1)2，解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0，①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}，因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}，因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1.综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1⇒1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.§2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例1】 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【证明】 由a ，b ，c 为正数，得lga ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c2≥lg ac . 而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2＝lg(abc )＝lg a ＋lg b ＋lg c .即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.求证：|ac ＋bd |≤1. 【证明】因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，所以|ac ＋bd |≤1. 题型二 用作差法证明不等式【例2】 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ). 【证明】a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2－a 2－b 2－c 2＝[(a －b )2－c 2]＋[(b －c )2－a 2]＋[(c －a )2－b 2].而在△ABC 中，||b －a ＜c ，所以(a －b )2＜c 2，即(a －b )2－c 2＜0.同理(a －c )2－b 2＜0，(b －c )2－a 2＜0，所以a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＜0. 故a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2.【证明】因为a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn≥0，所以不等式a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2成立.题型三 用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c ).【证明】因为a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以要证原不等式成立， 即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ] ≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b ).① 因为(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )＞0， (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )＞0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f (x )＝x －a (x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a ≥0).(1)求f (x )的单调区间；(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m )n ＜(1＋n )m . 【解析】(1)f ′(x )＝1－a ln(x ＋1)－a ，①a ＝0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数； ②当a ＞0时，f (x )在(－1，aa -1e －1]上单调递增，在[aa-1e －1，＋∞)单调递减.(2)证明：要证(1＋m )n ＜(1＋n )m ，只需证n ln(1＋m )＜m ln(1＋n )，只需证ln(1＋m )m ＜ln(1＋n )n.设g (x )＝ln(1＋x )x (x ＞0)，则g ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2＝x －(1＋x )ln(1＋x )x 2(1＋x ). 由(1)知x －(1＋x )ln(1＋x )在(0，＋∞)单调递减， 所以x －(1＋x )ln(1＋x )＜0，即g (x )是减函数， 而m ＞n ，所以g (m )＜g (n )，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.§3 不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【证明】 方法一：(放缩法) 因为a ＋b ＝1，所以左边＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2[(a ＋2)＋(b ＋2)2]2＝12[(a ＋b )＋4]2＝252＝右边.方法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2＜252，则 a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8＜252.由a ＋b ＝1，得b ＝1－a ，于是有a 2＋(1－a )2＋12＜252.所以(a －12)2＜0，这与(a －12)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【点拨】 根据不等式左边是平方和及a ＋b ＝1这个特点，选用重要不等式a 2 ＋ b 2≥ 2(a ＋ b 2)2来证明比较好，它可以将具备a 2＋b 2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b ＝1，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a 0，a 1，a 2，…，a n －1，a n 满足a 0＝a n ＝0，且有 a 0－2a 1＋a 2≥0， a 1－2a 2＋a 3≥0， …a n －2－2a n －1＋a n ≥0， 求证：a 1，a 2，…，a n －1≤0.【证明】由题设a 0－2a 1＋a 2≥0得a 2－a 1≥a 1－a 0. 同理，a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a 2－a 1≥a 1－a 0.假设a 1，a 2，…，a n －1中存在大于0的数，假设a r 是a 1，a 2，…，a n －1中第一个出现的正数. 即a 1≤0，a 2≤0，…，a r －1≤0，a r ＞0，则有a r －a r －1＞0，于是有a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a r －a r －1＞0. 并由此得a n ≥a n －1≥a n －2≥…≥a r ＞0.这与题设a n ＝0矛盾.由此证得a 1，a 2，…，a n －1≤0成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例2】用放缩法、数学归纳法证明： 设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，n ∈N *，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 【证明】 方法一：(放缩法)n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2，即n ＜n (n ＋1)＜2n ＋12.所以1＋2＋…＋n ＜a n ＜12[1＋3＋…＋(2n ＋1)].所以n (n ＋1)2＜a n ＜12·(n ＋1)(1＋2n ＋1)2，即n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.方法二：(数学归纳法)①当n ＝1时，a 1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即k (k ＋1)2＜a k ＜(k ＋1)22.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1×2＋2×3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)，所以k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＜a k ＋1＜(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2).而k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＞k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2，(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2)＜(k ＋1)22＋(k ＋1)＋(k ＋2)2＝k 2＋4k ＋42＝(k ＋2)22. 所以(k ＋1)(k ＋2)2＜a k ＋1＜(k ＋2)22.故当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综合①②知当n ∈N *，都有n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，…，8n (2n －1)2(2n ＋1)2，…，S n 为其前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081，观察上述结果推测出计算S n 的公式且用数学归纳法加以证明. 【解析】猜想S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时，S 1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2.则S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.即当n ＝k ＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n ∈N ＋，等式都成立. 题型三 用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量.(1)求a n 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a ，如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)【解析】(1)依题意得a 1＝a (1＋14)－b ＝54a －b ，a 2＝54a 1－b ＝54(54a －b )－b ＝(54)2a －(54＋1)b ，a 3＝54a 2－b ＝(54)3a －[(54)2＋(54＋1)]b ，由此猜测a n ＝(54)n a －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54－4[(54)n －1]b (n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，猜测成立.②假设n ＝k (k ≥2)时猜测成立，即a k ＝(54)k a －4[(54)k －1]b 成立.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫(54)k a －4[(54)k －1]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b ，即当n ＝k ＋1时，猜测仍成立.由①②知，对任意n ∈N ＋，猜测成立.(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a ，所以(54)n a －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ，整理得(54)n ＞5，两边取对数得n lg 54＞lg 5，所以n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时).(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如a 2＋1＞||a ，n (n ＋1)＞n ； (2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2；(4)利用常用结论，如k ＋1－k ＝1k ＋1＋k ＜12k，1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k ； 1k 2＞1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； 1k 2＜1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1) (程度小). 3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.§4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a 1，a 2，…，a n 都为正实数，证明：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】方法一：由柯西不等式，有(a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1)(a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1)≥ (a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…＋a n a 1·a 1)2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2. 不等式两边约去正数因式a 1＋a 2＋…＋a n 即得所证不等式.方法二：不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 由排序不等式有a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 故不等式成立.方法三：由均值不等式有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2na 1＋a 1≥2a n ，将这n 个不等式相加得 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1≥2(a 1＋a 2＋…＋a n )，整理即得所证不等式. 【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.【证明】左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，(或左边＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2b ac b c b b a ++++•＋2b a a c a c b a ++++•＋2c b ac a c c b ++++•＝9) 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.题型二 用柯西不等式求最值【例2】 若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝4(当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合x ＋2y ＋3z ＝2，解得x ＝17，y ＝27，z ＝37)，所以14(x 2＋y 2＋z 2)≥4.所以x 2＋y 2＋z 2≥27.故x 2＋y 2＋z 2的最小值为27.【点拨】 根据柯西不等式，要求x 2＋y 2＋z 2的最小值，就要给x 2＋y 2＋z 2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x ＋2y ＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值.【解析】因为(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋(13)2]≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2≥(3x ＋2y ＋z )2，所以(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23，当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时，3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3. 题型三 不等式综合证明与运用【例3】 设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .【证明】(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n ，由排序原理：顺序和≥反序和得 1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1， 即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .①又因为x ，x 2，…，x n ，1为序列1，x ，x 2，…，x n 的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋x n≥(n＋1)x n，②将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.③(2)当0＜x＜1时，1＞x＞x2＞…＞x n.由①②仍然成立，于是③也成立.综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a、b、c，则a＋b＋c＝3，且这三个正三角形面积和S满足：3S＝34(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥34(a＋b＋c)2＝934⇒S≥334.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇礤駴笪笪疸扼鄂锷萼珐旮虐暱咯臘國藍罵異燒嗄嗄锕茇。

配套K12高考数学考点解读+命题热点突破专题20不等式选讲文最新k12教育主题20不平等精选讲座【命题热点突破一】含绝对值的不等式的解法例1。

〔2022高考新课标第1卷〕（此分题的满分为10分）、选修课4-5：不等式、选修课上的已知函数F？十、十、1.2倍？三（i）在答题卡第（24）题图中画出y?f?x?的图像；（ii）求不等式f?x??1的解集．1.[答：]见分析（二），？3.1，3?? 5.教案试题最新k12教育f?x??1,当x≤?1,x?4?1,解得x?5或x?3,∴x≤?131,3倍？2.1.X？1还是x？2313∴? 1.十、还是1？十、3233当x≥,4?x?1,解得x?5或x?3,∴≤x?3或x?52211?? 总而言之，x？还是1？十、3还是x？5.∴F十、1.解决方案集是，？3.3.什么时候1.十、已知函数f（x）=|2x-a |＋|x+1 |（1）当a=1时，解不等式f（x）<3；（2）如果F（x）的最小值为1，则求A的值1，3??5，【特别提醒】解绝对值不等式的基本方法是分段去掉绝对值，将其转化为几个不等式组的解，最后找到并集，得到原不等式的解集【变式探究】函数f（x）=2 |x+2 |-|x-a |（a）∈ R）。

（1）当a=4时，求不等式f（x）的解集≤ 0;(2)当a>－2时，若函数f(x)的图像与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54，求a 的最大值．【解析】：(1)当a＝4时，f(x)≤0，即2|x＋2|－|x－4|≤0，即2|x＋2|≤|x－4|，两边平方得4x＋16x＋16≤x－8x＋16，即x＋8x≤0，解得－8≤x≤0，即不等式f(x)≤0的解集为[－8，0]．(或者分段去绝对值求解)教案试题二2二最新k12教育－x－4－a，x≤－2.(2)当a>－2时，f(x)＝?3x＋4－a，－2??x＋4＋a，x≥a.a－4a－4令f(x)＝0，解得x1＝－4－a，x2＝，f(x)的图像与x轴的交点为a(－4－a，0)，b(，0)，33F（x）在（-2，+∞), 在（-2，+∞), f（x）min=f（-2）=-（a+2）。

专题37 不等式选讲一．【学习目标】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ①|a ＋b |≤|a |＋|b |； ②|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c .3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)值． 4．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等． 二．【知识要点】1．绝对值的概念和几何意义代数：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.几何意义：|a |表示数轴上坐标为±a 的点A 到原点的距离．2．绝对值不等式性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时取等号； (2)|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≤0时取等号． 3．绝对值不等式的解法原则是转化为不含绝对值的不等式求解．基本型：a ＞0，|x |＜a ⇔-a<x<a ；|x |＞a ⇔x<-a 或x>a ．(1)c ＞0，|ax ＋b |≤c ⇔，|ax ＋b |≥c ⇔．(2)c ＞0，|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c .三种解法：图解法(数形结合)、零点分区法(定义)、绝对值的几何意义(数轴)． 4．比较法证明不等式 (1)作差比较法：知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明ａ－ｂ＞０即可，这种方法称为作差比较法． (2)作商比较法：由a ＞b ＞0⇔ab ＞1且a >0，b ＞0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明1a b即可，这种方法称为作商比较法．5．综合法证明不等式从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法．6．分析法证明不等式证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它 成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、性质、或已证明的定理 等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．7．反证法证明不等式先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． 8．放缩法证明不等式证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． 三．方法总结1.含绝对值不等式的求解策略(1)解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号.常用的方法是：①由定义分段讨论(简称零点分区间法)；②利用绝对值不等式的性质(题型法)；③平方法；④数形结合法等.(2)解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：①要考虑参数的总取值范围.②用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.(3)含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法.(4)灵活运用绝对值不等式的两个重要性质定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，特别注意等号成立的条件.2.作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，其关键是变形，通常通过因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断.3.综合法证明不等式时，主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严密的推理下推导出结论，综合法往往是分析法的逆过程，所以在实际证明时，用分析法分析，用综合法表述证明推理过程.4.某些不等式的条件与结论，或不等式的左右两边联系不明显，用作差法又难以对差进行变形，难以运用综合法直接证明，这时常用分析法，以便发现联系.分析的过程中，综合条件、定理等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法.5.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法，凡是含有“至少”“唯一”或者含有其他否定词的命题，适宜用反证法.6.放缩法是一种常用的证题技巧，放缩必须有目标，而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找.常用的放缩技巧有添舍放缩，拆项对比放缩，利用函数的单调性和重要不等式放缩等.四.典例分析（一）解绝对值不等式例1．设函数．（1）若，解不等式；（2）求证：．【答案】（1）;（2）详见解析.【解析】（1）因为，所以，即或故不等式的解集为（2）由已知得：所以在上递减，在递增即所以练习1已知函数，.（Ⅰ）若恒成立，求的最小值；（Ⅱ）若，求不等式的解集.【答案】（1）2（2）练习2．已知函数．（I）当时，求不等式的解集；（II）求证：．【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】（Ⅰ）当时，，由，得解得的解集为；（Ⅱ），当且仅当时等号成立.练习3．已知，其中。

2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 解绝对值不等式例1、设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0；当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解；当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【解析】(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174. 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .题型三 不等式的证明与应用例3、设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【答案】略.【解析】[证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【巩固训练】题型一 解绝对值不等式1.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________【答案】{x |x ≤－3或x ≥2}.【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围【答案】（1）{x |x ≤1或x ≥4}；（2）[－3,0]．【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．3.设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a ≥－3.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式1.已知函数.（1）图中画出的图像；()123f x x x =+--()y f x =（2）求不等式的解集．【答案】（1）见解析（2）. 【解析】⑴如图所示：（2）()()()()+∞⋃⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞->∴><<<><≤∴<>>-≥<<<<-∴<>>-<<--≤∴<>>-≤>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<---≤-=5,1,331,解集为1x f ，5x 或3x 1或31x 综上，5x 或3x 23，3x 或5x 解得14x ，23x 当23x 1或31x 131x 或1x 解得1,23x ，23x 1当1x ，3x 或5x 解得1,4x ，1x 当1,x f 23x x,423x 12,3x 1x 4,x f2.不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－3)【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，()1f x >()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．题型三不等式的证明与应用1.已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1；求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).【答案】略.【解析】证明：因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①因为(a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证.2.设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．【答案】略.【解析】证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．3.设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 【答案】略.【解析】(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.。

【最新】数学高考《不等式选讲》专题解析一、141．已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，则A B =I ( )A ．∅B ．{|3x x >或2}x ?C ．{|3x x >或0}x <D ．{|3x x >或0}x < 【答案】B【解析】【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】∵A ＝{x |x ≤﹣2，或x ≥2}，B ＝{x |x ＜0，或x ＞3}，∴A ∩B ＝{x |x ≤﹣2，或x ＞3}．故选：B ．【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+ 【答案】C【解析】【分析】 先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解.【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立. 故选：C.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.3．若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞ 【答案】C【解析】【分析】 先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得到关于t 的不等式，解得t 的范围【详解】关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，当0t ≤时，可得此时不等式无解，当0t >时，()2222221221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥21t =--， 所以要使不等式无解，则213t t --≥，平方整理后得20541t t ≤--， 解得115t ≤≤-， 所以01t <≤，综上可得t 的范围为(],1-∞，故选：C.【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.4．不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][),13,-∞+∞UB ．()(),13,-∞⋃+∞C ．[]1,3D ．()1,3 【答案】C【解析】【分析】令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.【详解】令()12f x x x =+--，当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-；当2x >时，()()123f x x x =+--=；∴()min 3f x =-. ∵不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，∴()2min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3. 故选C.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．5．设2sin1sin 2sin 222n n n a =++⋅⋅⋅+，对任意正整数m 、n （m >n ）都成立的是（ ）. A ．12n m m a a -<B ．12n m m a a ->C ．12n m n a a -<D ．12n m na a -> 【答案】C【解析】【分析】 先作差，再根据三角函数有界性放缩，进而根据等比数列求和确定选项.【详解】212sin1sin 2sin sin(1)sin(2)sin 222222n m n n n n mn n n m a a a ++++=++⋅⋅⋅+∴-=++⋅⋅⋅+Q 12sin(1)sin(2)sin ||||222m n n n m n n m a a ++++∴-=++⋅⋅⋅+ 12sin(1)sin(2)sin ||||||222n n m n n m ++++≤++⋅⋅⋅+ 11211(1)11111122122222212n m n n n m n m n +-++-≤++⋅⋅⋅+==-<- 故选：C【点睛】本题考查三角函数有界性、等比数列求和以及放缩法，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.6．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．13C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号， 222213b e a =-=，e =． 故选D ．【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．7．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1≤m≤2B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B【解析】【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可.【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩，无解，若p 假q 真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B. 【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.8．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，1211120n n a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，B ．(]1∞-，C ．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【答案】C【解析】【分析】 2212,21n n a a S n +==++ ()*n N ∈，可得2n ≥时，()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ的取值范围．【详解】2212,21n n a a S n +==++Q ()*n N ∈，2n ∴≥时，()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+，化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >． 11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=．1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()111110222112122n n b b n n n n n +-=+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++.Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，． 故选C ．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知1a >，且函数()2224f x x x a x x a =-++-+．若对任意的()1,x a ∈不等式()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,25B ．(]1,25C ．(]1,16D ．[]4,16【答案】C【解析】【分析】由题目得已知函数和要求解的不等式中都含有待求的参数，且已知函数中含有两个绝对值符号，直接求解难度很大，因此考虑用排除法，代值验证可得解.【详解】当25a =时，()22252425f x x x x x =-++-+ 且22250,4250x x x x -+≥-+≥所以()23975f x x x =-+， 此时()()1f x a x ≥-化为()24f x x ≥，即2397524x x x -+≥，所以212250x x -+≥在()1,25x ∈不是恒成立的.故A 、B 不对；当3a =时，()223243f x x x x x =-++-+， 当()1,3x ∈时，2230,430x x x x -+>-+<， 所以()()222324373f x x x x x x x =-+--+=-+-， 此时()()1f x a x ≥-化成()27331x x x -+-≥-， 即2530x x -+-≥满足()1,3x ∈恒成立，所以当3a =时成立，故D 不对，C 正确；故选C.【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立的问题，考查了小题小做的技巧方法，属于中档题.10．设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】分别求解三次不等式和绝对值不等式确定x 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】由31x <可得1x <， 由1122x -<可得01x <<， 据此可知“31x <”是“1122x -<”的必要而不充分条件. 故选B .【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( )A ．65B ．635 C ．3635 D ．6【答案】C【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可.【详解】由柯西不等式,得：x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++ ≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立.即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项.【点睛】 根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.12．设0x >，则()2142f x x x =--的最大值为（ ）A ．42-B ．4C ．不存在D ．52【答案】D【解析】【分析】化简得到()214222x x f x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭ 当21222x x x==即1x =时等号成立 故选：D【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.13．设不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．15a <-或47a >B ．15a <-C ．47a >或01a <<D ．15a <-或1064a << 【答案】A【解析】【分析】 根据不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2431a ->,解得15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为281t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况讨论2()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】解:因为不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立, 当2x =时,312x +-有最大值31,不等式显然要成立, 即2431a ->,解得15a <-或47a >,当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x t =∈,则24[4,16]x t =∈,328[16,32]x t +=∈, 所以3412x x a +->-等价于281t a t ->-, ①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立,即281()a t t h t >+-=,即求2()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >; ②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立,即281()a t t f t <-+=,即求2()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-; 综上:15a <-或47a >.故选:A【点睛】本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.14．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(],0-∞D ．][(),01,-∞⋃+∞【答案】D【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤⇒+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-⇒+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-⇒≥.选D.考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.15．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r ，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1-BC 1D【答案】C【解析】【分析】 设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放.【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤+=+ 取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.故选：C.【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.16．设x,y,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）A ．2211x x x x++≥B C ．12x y x y -+≥- D ．x y x z y z -≤-+-【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：x y x z z y x z z y x z y z -=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立； 由于函数()1f x x x=+,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增, 当1x >时, ()()221,x x f x f x >>>即2211x x x x +>+,当01x <<,()()2201,x x f x f x <<即2211x x x x ++≥正确，即A 正确；=<=,故B 恒成立， 若1x y -=-,不等式12x y x y-+≥-不成立, 故C 不恒成立,故选C ． 考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式．17．函数y =的最大值是( )A B C ．3 D ．5【答案】B【解析】【分析】利用柯西不等式求解.【详解】因为y =≤==，即265x =时，取等号. 故选：B【点睛】 本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.18．已知,,a b c R +∈ ，则()()()222222aa bcb b ac c c ab -+-+- 的正负情况是（ ） A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零 【答案】B【解析】【分析】 设0a b c >厖，所以333a b c 厖，根据排序不等式即可得出答案.【详解】设0a b c >厖，所以333a b c 厖根据排序不等式得333333a a b b c c a b b c c a ⋅+⋅+⋅++…又ab ac bc 厖，222a b c 厖，所以333222a b b c c a a bc b ca c ab ++++….所以444222a b c a bc b ca c ab ++++…即()()()2222220a a bc b b ac c c ab -+-+-…. 故选：B【点睛】本题主要考查了排序不等式的应用，属于中档题.19．已知下列命题：①,122x R x x ∀∈-++>；②函数21()lg 3f x x x=+-的零点有2个；③2x >是2320x x -+>的充分不必要条件；④命题：32,10x x x ∀∈--≤R 的否定是：32,10x x x ∃∈-->R ，其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】【分析】由绝对值不等式，得()()12123x x x x -++≥--+=，故①正确；由图象可知lg y x =和23y x =-在()0,+?上有两个交点，故②正确；由2320x x -+>，得2x >或1x <，故③正确；全称命题的否定为特称命题，并将“≤”改为“>”，故④正确.【详解】 Q ()()12123x x x x -++≥--+=，∴ ,122x R x x ∀∈-++>，①正确；函数21()lg3f x x x =+-定义域为()0,+?， 由21()lg30f x x x =+-=， 得2lg 30x x -+-=即2lg 3x x =-，由图可知lg y x =的图象和23y x =-在()0,+?上有两个交点，所以方程2lg 3x x =-有两个解，即21()lg 3f x x x=+-有2个零点，②正确； 由2320x x -+>，解得2x >或1x <，所以2x >是2320x x -+>的充分不必要条件，③正确；命题：32,10x x x ∀∈--≤R 的否定是：32,10x x x ∃∈-->R ，④正确.故选：D【点睛】本题考查了绝对值不等式、函数的零点问题、充分条件与必要条件的判断以及全称命题的否定，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.20．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】A【解析】【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解.【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1，所以|x-3|+|x-4|的最小值为1，所以1＜a,即a ＞1.故选：A【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。