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[考纲传真] １．了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.２．理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．１．条件概率在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P（A|B）来表示，其公式为P（A|B）＝错误!（P（B）＞0）．２．相互独立事件（１）一般地，对两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称A，B相互独立．（２）如果A，B相互独立，则A与错误!，错误!与B，错误!与错误!也相互独立．（３）如果A１，A２，…，A n相互独立，则有P（A１A２…A n）＝P（A１）P（A２）…P（A n）．３．独立重复试验与二项分布（１）独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A i（i＝１,２，…，n）是第i次试验结果，则P（A１A２A３…A n）＝P（A１）P（A２）P（A３）…P（A n）．（２）二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：１每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；２每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为１—p；３各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P（X＝k）＝C错误!p（１—p）—（k＝0,１,２，…，n）．若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B（n，p）．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）相互独立事件就是互斥事件．（）（２）若事件A，B相互独立，则P（B|A）＝P（B）．（）（３）公式P（AB）＝P（A）P（B）对任意两个事件都成立．（）（４）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P（X＝k）＝C错误!p k（１—p）n—k，k＝0,１,２，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．[答案] （１）×（２）√（３）×（４）√２．设随机变量X～B错误!，则P（X＝３）等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!A[∵X～B错误!，∴P（X＝３）＝C错误!错误!6＝错误!.故选Ａ．]３．已知P（B|A）＝错误!，P（AB）＝错误!，则P（A）等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[由P（AB）＝P（A）P（B|A），得错误!＝错误!P（A），∴P（A）＝错误!.]４．某人射击，一次击中目标的概率为0．6，经过３次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．错误![P＝C错误!0．6２0．４＋C错误!0．6３＝错误!.]５．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0．２，乙地降雨概率是0．３．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．0．３8 [设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A错误!＋错误!B，∴P（A错误!＋错误!B）＝P（A错误!）＋P（错误!B）＝P（A）P（错误!）＋P（错误!）P（B）＝0．２×0．7＋0．8×0．３＝0．３8．]条件概率１．从１,２,３,４,５中任取２个不同的数，事件A＝“取到的２个数之和为偶数”，事件B＝“取到的２个数均为偶数”，则P（B|A）＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[法一：P（A）＝错误!＝错误!＝错误!，P（AB）＝错误!＝错误!.由条件概率计算公式，得P （B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.法二：事件A包括的基本事件：（１,３），（１,５），（３,５），（２,４）共４个．事件AB发生的结果只有（２,４）一种情形，即n（AB）＝１．故由古典概型概率P（B|A）＝错误!＝错误!.]２．某校组织由５名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!A[因为“A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的安排方法中，另外３人中任何一个第一个出场的概率相等，故“C第一个出场”的概率是错误!.]３．（２0１9·运城模拟）有一批种子的发芽率为0．9，出芽后的幼苗成活率为0．8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．0．7２[设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB（发芽，又成活为幼苗）．出芽后的幼苗成活率为P（B|A）＝0．8，P（A）＝0．9，根据条件概率公式得P（AB）＝P（B|A）·P（A）＝0．8×0．9＝0．7２，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0．7２．][规律方法] （１）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）＝错误!，这是求条件概率的通法．（２）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）＝错误!.【例１】某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．规定一名运动员出线记１分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为错误!，错误!，错误!，他们出线与未出线是相互独立的．（１）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（２）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．[解] （１）记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P（D）＝１—P（错误!错误!错误!）＝１—错误!×错误!×错误!＝错误!.（２）由题意可得，ξ的所有可能取值为0,１,２,３，则P（ξ＝0）＝P（错误!错误!错误!）＝错误!×错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝１）＝P（错误!错误!错误!）＋P（错误!错误!错误!）＋P（错误!错误!错误!）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝２）＝P（AB错误!）＋P（A错误!C）＋P（错误!BC）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!；P（ξ＝３）＝P（ABC）＝错误!×错误!×错误!＝错误!.所以ξ的分布列为ξ0１２３P错误!错误!错误!错误![规律方法] １．求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，先将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，再求概率．２．求相互独立事件同时发生的概率的方法：（１）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．（２）直接计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．（１）求他前两发子弹只命中一发的概率；（２）求他所耗用的子弹数X的分布列．[解] 记“第k发子弹命中目标”为事件A k（k＝１,２,３,４,５），则A１，A２，A３，A４，A５相互独立，且P（A k）＝错误!，P（错误!）＝错误!.（１）法一：他前两发子弹只命中一发的概率为P（A１错误!）＋P（错误!A２）＝P（A１）P（错误!）＋P（错误!）P（A２）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C错误!×错误!×错误!＝错误!.（２）X 的所有可能取值为２,３,４,５．P （X ＝２）＝P （A １A ２）＋P （错误! 错误!）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，P （X ＝３）＝P （A １错误! 错误!）＋P （错误!A ２A ３）＝错误!×错误!２＋错误!×错误!２＝错误!，P （X ＝４）＝P （A １错误!A ３A ４）＋P （错误!A ２错误! 错误!）＝错误!３×错误!＋错误!３×错误!＝错误!，P （X ＝５）＝１—P （X ＝２）—P （X ＝３）—P （X ＝４）＝错误!.综上，X 的分布列为X ２ ３ ４ ５ P错误!错误!错误!错误!【例２】 （２0１9·佛山模拟）某企业对新扩建的厂区进行绿化，移栽了银杏、垂柳两种大树各２株．假定银杏移栽的成活率为错误!，垂柳移栽的成活率为错误!，且各株大树是否成活互不影响．（１）求两种大树各成活１株的概率；（２）设ξ为两种大树成活的株数之和，求随机变量ξ的分布列．[解] （１）记“银杏大树成活１株”为事件A ，“垂柳大树成活１株”为事件B ，则“两种大树各成活１株”为事件AB ．由题可知P （A ）＝C 错误!·错误!·错误!＝错误!，P （B ）＝C 错误!·错误!·错误!＝错误!， 由于事件A 与B 相互独立，所以P （AB ）＝P （A ）·P （B ）＝错误!.（２）由题意知ξ的所有可能取值为0,１,２,３,４．P （ξ＝0）＝错误!２·错误!２＝错误!；P （ξ＝１）＝C 错误!·错误!·错误!·错误!２＋C 错误!·错误!·错误!·错误!２＝错误!；P （ξ＝２）＝错误!＋错误!２·错误!２＋错误!２·错误!２＝错误!；P （ξ＝３）＝C 错误!·错误!·错误!·错误!２＋C 错误!·错误!·错误!·错误!２＝错误!；P （ξ＝４）＝错误!２·错误!２＝错误!.所以ξ的分布列为ξ 0 １ ２ ３ ４ P错误!错误!错误!错误!错误![规律方法] 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略（１）在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．（２）在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率．作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（４90,４9５]，（４9５,５00]，…，（５１0,５１５]．由此得到样本的频率分布直方图如图．（１）根据频率分布直方图，求质量超过５0５克的产品数量；（２）在上述抽取的４0件产品中任取２件，设X 为质量超过５0５克的产品数量，求X 的分布列； （３）从该流水线上任取２件产品，设Y 为质量超过５0５克的产品数量，求Y 的分布列． [解] （１）质量超过５0５克的产品的频率为５×0．0５＋５×0．0１＝0．３， 所以质量超过５0５克的产品数量为４0×0．３＝１２（件）．（２）重量超过５0５的产品数量为１２件，则重量未超过５0５克的产品数量为２8件，X 的取值为0,１,２，X 服从超几何分布． P （X ＝0）＝错误!＝错误!， P （X ＝１）＝错误!＝错误!， P （X ＝２）＝错误!＝错误!，∴X 的分布列为X 0 １ ２ P错误!错误!错误!从流水线上任取２件产品互不影响，该问题可看成２次独立重复试验，质量超过５0５克的件数Y 的可能取值为0,１,２，且Y ～B 错误!，P （X ＝k ）＝C 错误!错误!２—k 错误!k ，所以P （Y ＝0）＝C 错误!·错误!２＝错误!，P （Y ＝１）＝C 错误!·错误!·错误!＝错误!，P （Y ＝２）＝C 错误!·错误!２＝错误!.∴Y 的分布列为Y 0 １ ２ P错误!错误!错误!１．（２0１５·全国卷Ⅰ）投篮测试中，每人投３次，至少投中２次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）Ａ．0．6４8 Ｂ．0．４３２ Ｃ．0．３6Ｄ．0．３１２A [３次投篮投中２次的概率为P （k ＝２）＝C 错误!×0．6２×（１—0．6），投中３次的概率为P（k＝３）＝0．6３，所以通过测试的概率为P（k＝２）＋P（k＝３）＝C错误!×0．6２×（１—0．6）＋0．6３＝0．6４8．故选Ａ．]２．（２0１４·全国卷Ⅱ）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．7５，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）Ａ．0．8 Ｂ．0．7５Ｃ．0．6 Ｄ．0．４５A[已知连续两天为优良的概率是0．6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝错误!＝0．8．]。
第61讲n次独立重复试验与二项分布课前双击巩固1.条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=2.事件的相互独立性(1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=,则称事件A与事件B 相互独立.(2)性质:①若事件A与B相互独立,则P(B|A)=,P(A|B)=P(A),P(AB)=.②如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.3.独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作,并称p为计算公式Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验的结果,则P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An)在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)题组一常识题1.[教材改编]某地区气象台统计,该地区下雨的概率是,刮风的概率是,既刮风又下雨的概率为,设A表示“该地区下雨”,B表示“该地区刮风”,那么P(B|A)等于.2.[教材改编]甲、乙两人各射击1次,击中目标的概率分别是和,假设两人击中目标与否相互之间没有影响,每人各次击中目标与否相互之间也没有影响,则两人各射击4次,甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为.3.[教材改编]已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们的大小和形状完全相同,甲每次不放回地从盒中任取1球,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为.4.[教材改编]某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为.题组二常错题◆索引:间接法适用于计算对立事件的概率;条件概率公式套用错误;相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误.5.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为,,,则此密码能被破译的概率为.6.由0,1组成的三位数编号中,若事件A表示“第二位数字为0”,事件B表示“第一位数字为0”,则P(A|B)=.7.计算机毕业考试分为理论与操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,只有两部分考试都“合格”者,才给颁发计算机“合格证书”.甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为,,在操作考试中“合格”的概率依次为,,所有考试是否合格相互之间没有影响.则甲、乙进行理论与操作两项考试后,恰有一人获得“合格证书”的概率为.课堂考点探究探究点一条件概率1(1)[2017·铜仁一中期末]现抛掷两枚骰子,记事件A为“朝上的两个数之和为偶数”,事件B为“朝上的两个数均为偶数”,则P(B|A)=()A.B.C.D.(2)如图9-61-1,四边形EFGH是以O为圆心,1为半径的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形HOE(阴影部分)内”,则P(B|A)=.图9-61-1[总结反思]条件概率的求法:(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A).(2)基本事件法:用古典概型的概率公式,先求事件A包含的基本事件个数n(A),再求事件AB 所包含的基本事件个数n(AB),得P(B|A)=.式题(1)先后抛掷同一枚骰子两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x≠y”,则P(B|A)=()A.B.C.D.(2)在5道题中有3道代数题和2道几何题.如果不放回地依次抽取2道题,则在第1次抽到代数题的条件下,第2次也抽到代数题的概率为()A.B.C.D.探究点二相互独立事件的概率2本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).已知甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,,两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列.[总结反思]求相互独立事件同时发生的概率的方法:(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积;(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.式题一家医药研究所,从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为,.现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,则称该组为“甲类组”.求一个试用组为“甲类组”的概率.探究点三独立重复试验与二项分布3甲、乙两人做定点投篮游戏,已知甲每次投篮命中的概率均为p,乙每次投篮命中的概率均为,甲投篮3次均未命中的概率为,甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响.(1)若甲投篮3次,求至少命中2次的概率;(2)若甲、乙各投篮2次,设两人命中的总次数为X,求X的分布列和数学期望.[总结反思]二项分布满足的条件:(1)每次试验中,事件发生的概率是相同的;(2)各次试验中的事件是相互独立的;(3)每次试验只有两种结果,即事件发生或不发生;(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.式题某学校设有甲、乙两个实验班,为了了解各班学生的成绩情况,采用分层抽样的方法从甲、乙两班分别抽取8名和6名学生测试他们的数学与英语成绩(单位:分),用(m,n)表示.下面是乙班6名学生的测试成绩:A(138,130),B(140,132),C(140,130),D(134,140),E(142,134),F(134,132).当学生的数学、英语成绩满足m≥135且n≥130时,该学生定为优秀生.(1)已知甲班共有80名学生,用上述样本估计乙班优秀生的人数;(2)已知甲、乙两班优秀生的频率相同,以频率作为概率,从甲、乙两班学生中各随机抽取1名,其中优秀生人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.。
课下层级训练六十一 n 次独立重复试验与二项分布[A 级 基础强化训练]1．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A ．516 B ．316 C ．58D ．38【答案】A [X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，由二项分布可得，P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516.]2．(2019·山东临沂检测)周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )A ．0.80B ．0.75C ．0.60D ．0.48【答案】B [设“做对第一道题”为事件A ，“做对第二道题”为事件B ，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8·P (B )＝0.6，故P (B )＝0.75.]3．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则在甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天的概率为( )A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.66【答案】A [将“甲市为雨天”记为事件A ，“乙市为雨天”记为事件B ，则P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，故P (B |A )＝P AB P A ＝0.120.2＝0.6.]4．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A ．3281B ．1127C ．6581D ．1681【答案】B [因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127.] 5．(2019·陕西西安质检)中秋节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )A．5960 B ．35 C ．12D ．160【答案】B [“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A －)＝23，P (B －)＝34，P (C －)＝45，由题意知，A ，B ，C 相互独立．所以三人都不回老家过节的概率P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝25.故至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.]6．如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连结成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为____________．【答案】0．864 [可知K ，A 1，A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P K ·P ＝0.9×0.96＝0.864.]7．(2019·山东淄博月考)如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为_____________．【答案】12 [设女孩个数为X ，女孩多于男孩的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝3×18＋18＝12.]8．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝____________．【答案】14 [依题意，随机试验共有9个不同的基本结果．由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等．所以事件B 包含4个基本结果，事件AB 包含1个基本结果．所以P (B )＝49，P (AB )＝19．所以P (A |B )＝P ABP B ＝1949＝14.]9．某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5 概 率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；【答案】解 (1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55．(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.1＋0.05＝0.15．又P (AB )＝P (B )， 故P (B |A )＝P AB P A ＝P B P A ＝0.150.55＝311．因此所求概率为311．[B 级 能力提升训练]10．设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A ．56B ．45C ．3132D ．12【答案】C [∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点，∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4，∵X 服从X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，∴P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132.] 11．投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p ，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则p 的取值范围为____________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 [设P (B k )(k ＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉，出现k 次钉尖向上”的概率，由题意得P (B 2)<P (B 3)，即C 23p 2(1－p )<C 33p 3. ∴3p 2(1－p )<p 3. 由于0<p <1，∴34<p <1.]12．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ．则P (A |B )＝____________.【答案】59 [“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”的事件有9种，其中“抽出的学生为甲小组学生”的事件有5种，所以P (A |B )＝59.]13．(2019·浙江嘉兴模拟)已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6，且每次试跳成功与否之间没有影响．(1)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是____________； (2)若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是____________．【答案】(1)0.88 (2)0.302 4 [(1)记“甲在第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙在第i 次试跳成功”为事件B i ，“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C ．法一：P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1) ＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88． 法二：由对立事件的概率计算公式得P (C )＝1－P (A 1 B 1)＝1－P (A 1)P (B 1)＝1－0.3×0.4＝0.88．(2)设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件M i ，“乙在两次试跳中成功i 次”为事件N i ，所以所求概率P ＝P (M 1N 0)＋P (M 2N 1)＝P (M 1)P (N 0)＋P (M 2)P (N 1)＝C 12×0.7×0.3×0.42＋0.72×C 12×0.6×0.4＝0.302 4.]14．2017年1月25日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南，两种车型采用分段计费的方式，MobikeLite 型(Lite 版)每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算)；Mobike (经典版)每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算)．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次)．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为34，23，12，三人租车时间都不会超过60分钟．甲、乙均租用Lite 版单车，丙租用经典版单车．(1)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．【答案】解 (1)由题意得，甲、乙、丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为14，13，12．设甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A ，则P (A )＝34×23×12＋14×13×12＝724．即甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为724．(2)ξ的所有可能取值有2,2.5,3,3.5,4．P (ξ＝2)＝34×23×12＝14；P (ξ＝2.5)＝34×13×12＋14×23×12＝524； P (ξ＝3)＝34×23×12＋14×13×12＝724； P (ξ＝3.5)＝34×13×12＋14×23×12＝524； P (ξ＝4)＝14×13×12＝124．甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ 2 2.5 3 3.5 4 P1452472452412415．(2019·山东济南模拟)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有40人，不超过100 km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h 的有20人，不超过100 km/h 的有25人．(1)完成下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 km/h 与性别有关”？平均车速超过100 km/h 平均车速不超过100 km/h 总计 男性驾驶员 女性驾驶员 总计附：K 2＝2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0)0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8416.6357.87910.828(2)1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的车辆数为X ，求X 的分布列和数学期望E (X )．【答案】解 (1)完成的2×2列联表如下：平均车速超过100 km/h平均车速不超过100 km/h总计 男性驾驶员 40 15 55 女性驾驶员 20 25 45 总计6040100K 2＝100×40×25－15×20255×45×60×40≈8.249>7.879，所以有99.5%的把握认为“平均车速超过100 km/h 与性别有关”．(2)平均车速不超过100 km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 240，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 115C 125，所以所求的概率P (A )＝C 115C 125C 240＝15×2520×39＝2552．(3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25． 所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125； P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝36125； P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝8125． 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×125＋3×125＝5⎝⎛⎭⎪⎫或E X ＝3×5＝5．。
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课时作业(六十一)第61讲n次独立重复试验与二项分布基础热身1.[2017·莆田一中月考]一批产品次品率为4%,正品中一等品率为75%。
现从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为（）A。
0.75 B.0.71C。
0。
72 D.0。
32.［2017·武汉外国语学校期中］从甲袋内摸出1个白球的概率是，从乙袋内摸出1个白球的概率是,如果从两个袋内各摸出1个球，那么是（)A。
2个球不都是白球的概率B。
2个球都不是白球的概率C。
2个球都是白球的概率D.2个球恰好有1个球是白球的概率3.已知P(A)=,P(AB）=,P（B)=,则P(B｜A）=()A.B。
C。
D.4。
［2017·眉山期末］已知X~B8，,当P(X=k)(k∈N,0≤k≤8）取得最大值时，k的值是(）A.7B.6C。
5 D.45。
[2017·吉林大学附中模拟]某游戏中一个珠子从通道（图K61—1中实线表示通道）由上至下滑下,从最下面的六个出口（如图K61—1所示1,2，3，4，5,6)出来,规定猜中出口者为胜.如果你在该游戏中,猜得珠子从3号出口出来,那么你取胜的概率为.图K61-1能力提升6。
第61讲n次独立重复试验与二项分布考试说明1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.考情分析考点考查方向考例考查热度互斥事件及其发生的概率互斥事件及其发生的概率2015全国卷Ⅰ4★☆☆条件概率条件概率2016全国卷Ⅱ18,2014全国卷Ⅱ5★★☆二项分布二项分布2017全国卷Ⅱ13★★☆真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现1.[2015·全国卷Ⅰ]投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312[解析]A记事件M={恰好投中2次},N={3次都投中},E={通过测试},则事件M与N互斥,且E=M∪N.又P(M)=×(0.6)2×(1-0.6)=0.432,P(N)=×(0.6)3=0.216,所以P(E)=P(M∪N)=P(M)+P(N)=0.648.故选A.2.[2014·全国卷Ⅱ]某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45[解析]A设“第一天空气质量为优良”为事件A,“第二天空气质量为优良”为事件B,则P(A)=0.75,P(AB)=0.6,由题知要求的是在事件A发生的条件下事件B发生的概率,根据条件概率公式得P(B|A)===0.8.3.[2017·全国卷Ⅱ]一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX=.[答案]1.96[解析]X~B(100,0.02),故DX=100×0.02×0.98=1.96.4.[2016·全国卷Ⅱ]某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥5概率0.30.150.20.20.10.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解:(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.10+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)====,因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为X 0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·天津卷]从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解:(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=××=,P(X=1)=××+××+××=,P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××=.所以随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=×+×=.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.2.[2016·山东卷]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).解:(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+BCD+A CD+AB D+ABC.由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(A CD)+P(AB D)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=×××+2××××+×××=,所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=×××=,P(X=1)=2××××+×××==,P (X=2)=×××+×××+×××+×××=,P (X=3)=×××+×××==,P (X=4)=2××××+×××==,P (X=6)=×××==.故随机变量X 的分布列为X 012346P所以数学期望E (X )=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.3.[2016·北京卷]A,B,C 三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):A 班66.577.58B 班6789101112C 班34.567.5910.51213.5(1)试估计C 班的学生人数.(2)从A 班和C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从A,B,C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)解:(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法,C 班的学生人数估计为100×=40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”,i=1,2,…,5,事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”,j=1,2,…,8.由题意可知,P (A i )=,i=1,2,…,5;P (C j )=,j=1,2,…,8.P (A i C j )=P (A i )P (C j )=×=,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8.设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )=P (A 1C 1)+P (A 1C 2)+P (A 2C 1)+P (A 2C 2)+P (A 2C 3)+P (A 3C 1)+P (A 3C 2)+P (A 3C 3)+P (A 4C 1)+P (A 4C 2)+P (A 4C 3)+P (A 5C 1)+P (A 5C 2)+P (A 5C 3)+P (A 5C 4)=15×=.(3)μ1<μ0.【课前双基巩固】知识聚焦1.P (B|A )+P (C|A )2.(1)P (A )P (B )(2)①P (B )P (A )P (B )3.X~B (n ,p )成功概率对点演练1.[解析]由题意可知P (AB )=,P (A )=,∴P (B|A )==.2.[解析]设事件A 表示“4次射击中甲恰好2次击中目标”,事件B 表示“4次射击中乙恰好3次击中目标”,由题意知事件A 与B 相互独立,所以P (AB )=P (A )P (B )=×××××=×=.3.[解析]设事件A 为“第一次拿到白球”,事件B 为“第二次拿到红球”,则事件AB 为“第一次拿到白球,第二次拿到红球”,所以P (A )==,P (AB )==,由条件概率公式得P (B|A )===.4.[解析]前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为1-2×=.5.[解析]三人都不能译出密码的概率P=××=,所以此密码能被破译的概率是1-P=1-=.6.[解析]因为第一位数字可为0或1,所以第一位数字为0的概率P(B)=,第一位数字为0且第二位数字也为0,即事件A,B同时发生的概率P(AB)=×=,所以P(A|B)===.7.[解析]甲获得“合格证书”的概率为×=,乙获得“合格证书”的概率是×=,两人中恰有一人获得“合格证书”的概率是×1-+1-×=.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)分别计算P(A),P(AB)的值,再据条件概率公式计算;(2)根据几何概型的特征,结合条件概率计算公式计算.(1)D(2)[解析](1)事件AB包括:(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共9个.事件A包括:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个.由题意可得P(AB)==,P(A)==,由条件概率公式可得P(B|A)==.选D.(2)P(B|A)===,故答案为.变式题(1)D(2)C[解析](1)因为事件A包含的基本事件为(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(2,4),(4,2),(3,3),(4,4),(4,6),(6,4),(5,5),(1,5),(5,1),(6,6),(3,5),(5,3),(6,2),(2,6),共18个.其中x=y包含的基本事件为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个,所以事件AB包含的基本事件有12个,则P(B|A)==.故选D.(2)记事件A为“第1次抽到代数题”,事件B为“第2次抽到代数题”,则P(A)=,P(AB)==,则在第1次抽到代数题的条件下,第2次也抽到代数题的概率为P(B|A)===.选C.例2[思路点拨](1)由题意可得,甲、乙租车时间及其概率如下表:(0,2](2,3](3,4]甲乙车费相同,即使用时间一样,将事件分成三个互斥事件,根据互斥事件的和事件与相互独立事件同时发生的概率公式可得,所求概率为×+×+×=.(2)由题意可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8,根据互斥事件的和事件与相互独立事件同时发生的概率公式分别计算可得.解:(1)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为,.记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A,则P(A)=×+×+×=,所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.(2)由题知ξ可能取的值为0,2,4,6,8.P(ξ=0)=,P(ξ=2)=×+×=,P(ξ=4)=×+×+×=,P (ξ=6)=×+×=,P (ξ=8)=×=.故ξ的分布列为ξ02468P变式题解:(1)设A i 表示事件“一个试用组中,服用甲种抗病毒药物痊愈的有i (i=0,1,2)人”;B 表示事件“一个试用组中,服用乙种抗病毒药物痊愈的有i (i=0,1,2)人”.依题意有P (A 1)=2××=,P (A 2)=×=,P (B 0)=×=,P (B 1)=2××=,所以所求概率P=P (B 0A 1)+P (B 0A 2)+P (B 1A 2)=.例3[思路点拨](1)至少命中2次的事件包括恰好命中2次和恰好命中3次,再根据独立重复试验的概率计算公式求得概率;(2)先确定随机变量的取值,再根据独立重复试验的概率计算公式求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.解:(1)由题意得(1-p )3=,解得p=.设“甲投篮3次,至少2次命中”为事件A ,则P (A )=××1-+×=.(2)由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X=0)=1-2×=;P (X=1)=××1-1××+1-2××=;P(X=2)=×+××1-1××+1-2×=;P(X=3)=××+××1-1×=;P(X=4)=×=.故X的分布列为X01234PE(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.变式题解:(1)设乙班学生人数为x,则由分层抽样可知=,解得x=60,即乙班学生人数为60.由测试数据可知学生A,B,C,E为优秀生,所以样本中优秀生的频率为=,由60×=40,可知乙班优秀生的人数大约为40.(2)由题知,从甲、乙两班学生中各任取1名是优秀生的概率均为.由题意可知ξ的所有可能取值为0,1,2,且满足二项分布,所以P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=××=,P(ξ=2)=×=.所以ξ的分布列为ξ012故E (ξ)=0×+1×+2×=.【备选理由】例1侧重考查条件概率的计算;例2考查相互独立事件的概率计算以及随机变量的分布列;例3考查二项分布的相关知识.1[配合例1使用]袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球,逐个不放回地摸出2个球,设“第一次摸到白球”为事件A ,“摸到的2个球同色”为事件B ,则P (B|A )=()A .B .C .D .[解析]C P (B|A )===,选C .2[配合例2使用]2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为“国际数学节”,其来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率.为庆祝该节日,某校举办的“数学嘉年华”活动中,设计了如下的有奖闯关游戏:参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,则分别获得5个、10个、20个学豆的奖励.游戏还规定:当选手闯过一关后,可以选择带走相应的学豆,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关没有闯关成功,则全部学豆归零,游戏结束.设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为,,,选手选择继续闯关的概率均为,且各关之间闯关成功与否互不影响.(1)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率;(2)设该选手所得学豆总数为X ,求X 的分布列.解:(1)设“甲第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A ,“甲第一关闯关成功但第二关闯关失败”为事件A 1,“甲前两关闯关成功但第三关闯关失败”为事件A 2,则事件A 1,A 2互斥.P (A 1)=××=,P (A 2)=××××=,故P (A )=P (A 1)+P (A 2)=+=.(2)X 所有可能的取值为0,5,15,35.P (X=0)=+P (A )=,P (X=5)=×=,P (X=15)=×××=,P (X=35)=××××=.所以X 的分布列为X 051535P3[配合例3使用]新生儿Apgar 评分,即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估,主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面进行评分,8-10分者为正常新生儿,评分在4~7分之间的新生儿考虑患有轻度窒息,评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息,大部分新生儿的评分多在7~10分之间.某市级医院的妇产科对1月份出生的新生儿随机抽取了16名,记录了他们的评分情况如下表:分数段[0,7)[7,8)[8,9)[9,10]新生儿数1384(1)现从16名新生儿中随机抽取3名,求至多有1名的评分不低于9分的概率;(2)用这16名新生儿的数据来估计本年度的总体数据,若从本市本年度新生儿中任选3名,记X 表示抽到评分不低于9分的新生儿数,求X 的分布列.解:(1)设A i 表示“所抽取的3名新生儿中有i (i=0,1,2,3)名新生儿的评分不低于9分”,事件A 为“至多有1名新生儿的评分不低于9分”,则P (A )=P (A 0)+P (A 1)=+=.(2)由表格数据知,从本市本年度新生儿中任选1名,评分不低于9分的概率约为=.由题意知X 的可能取值为0,1,2,3.P (X=0)==,P (X=1)=××=,P (X=2)=××=,P (X=3)=×=,所以X 的分布列为X 0123P。
高考达标检测（四十八） n 次独立重复试验与二项分布一、选择题1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为15.则甲获第一名且丙获第二名的概率为( )A.1112 B.16 C.130D.215解析：选D 设“甲胜乙”、“甲胜丙”、“乙胜丙”分别为事件A ，B ，C ， 事件“甲获第一名且丙获第二名”为A ∩B ∩C ，所以P (甲获第一名且丙获第二名)＝P (A ∩B ∩C )＝P (A )P (B )·P (C )＝23×14×45＝215.2．把一枚硬币任意掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现正面”，则P (B |A )＝( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 由题可得，所有的基本事件数是4个，事件A 包含2个基本事件，所以P (A )＝12，事件AB 包含1个基本事件，所以P (AB )＝14，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.3．若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝6，np (1－p )＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝12，p ＝0.5.所以P (ξ＝1)＝C 112(0.5)1(1－0.5)11＝3×2－10.4．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A 表示“三次抽到的号码之和为6”，事件B 表示“三次抽到的号码都是2”，则P (B |A )＝( )A.17B.27C.16D.727解析：选A 因为P (A )＝A 33＋133＝727，P (AB )＝133＝127，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝17. 5．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.2027B.827C.727D.127解析：选C 由题知随机变量符合二项分布，且它们的概率相同，P (ξ＝0)＝C 02(1－p )2＝1－59，解得p ＝13，则P (η≥2)＝C 33p 3＋C 23p 2(1－p )1＝127＋627＝727. 6．甲、乙两人练习射击， 命中目标的概率分别为12和13， 甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×13；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×23，以上说法正确的是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．②④D ．①③解析：选C 对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为12×23＋12×13＝12，所以①错误，结合选项可知，排除B 、D ；对于说法③，目标被命中的概率为12×23＋12×13＋12×13，所以③错误，排除A.故选C. 二、填空题7.如图，△ABC 和△DEF 是同一圆的内接正三角形，且BC ∥EF .将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M 表示事件“豆子落在△ABC 内”，N 表示事件“豆子落在△DEF 内”，则P (N |M )＝________.解析：如图，作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC 包含9个小三角形， 满足事件MN 的小三角形有6个， 故P (N |M )＝69＝23.答案：238.如图，A, B, C 表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9,0.8,0.7，如果系统中至少有1个开关能正常工作，则该系统就能正常工作， 那么该系统正常工作的概率是________．解析：由题意知，系统不能正常工作的概率是(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7)＝0.006， 所以系统能正常工作的概率是1－0.006＝0.994. 答案：0.9949．已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6，且每次试跳成功与否之间没有影响．(1)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是________； (2)若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是________．解析：(1)记“甲在第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙在第i 次试跳成功”为事件B i ，“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C .法一：P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1) ＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88. 法二：由对立事件的概率计算公式得P (C )＝1－P (A 1 B 1)＝1－P (A 1)P (B 1)＝1－0.3×0.4＝0.88.(2)设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件M i ，“乙在两次试跳中成功i 次”为事件N i ， 所以所求概率P ＝P (M 1N 0)＋P (M 2N 1)＝P (M 1)P (N 0)＋P (M 2)P (N 1)＝C 12×0.7×0.3×0.42＋0.72×C 12×0.6×0.4＝0.302 4.答案：(1)0.88 (2)0.302 4 三、解答题10．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率； (2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列．解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ， 则P (A )＝C 12×13×23＝49. (2)X 的所有可能取值为0,5,10,15,20. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P (X ＝5)＝C 12×13×⎝⎛⎭⎫232＝827， P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝627， P (X ＝15)＝C 12×⎝⎛⎭⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133＝127. 所以X 的分布列为11．为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拔赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单．现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为35，丙胜甲的概率为34，乙胜丙的概率为p ，且各场比赛结果互不影响．若甲获第一名且乙获第三名的概率为110.(1)求p 的值；(2)设在该次对抗比赛中，丙得分为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为110.即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为110，∴35×14×(1－p )＝110，∴p ＝13. (2)依题意，丙得分X 的所有取值为0,3,6. ∵丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为23，∴P(X＝0)＝14×13＝112，P(X＝3)＝34×13＋14×23＝512，P(X＝6)＝34×23＝12，∴X的分布列为∴E(X)＝0×112＋3×512＋6×12＝174.12．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下所示：(1)根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；(2)以上述样本的频率作为概率，从该校高三学生中有放回地抽取3名，记抽取的学生本次数学考试的成绩不低于110分的人数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由频率分布直方图，可得该校高三学生本次数学考试的平均分大约为0.005 0×20×40＋0.007 5×20×60＋0.007 5×20×80＋0.015 0×20×100＋0.012 5×20×120＋0.002 5×20×140＝92(分)．(2)样本中成绩不低于110分的频率为0.012 5×20＋0.002 5×20＝0.3，所以从该校高三学生中随机抽取一名，分数不低于110分的概率为0.3.由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝C03×(0.3)0×(0.7)3＝0.343，P(ξ＝1)＝C13×(0.3)1×(0.7)2＝0.441，P(ξ＝2)＝C23×(0.3)2×(0.7)1＝0.189，P(ξ＝3)＝C33×(0.3)3×(0.7)0＝0.027.所以ξ的分布列为某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3＋3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S ，从学生群体S 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：(1)概率；(2)从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望；(3)将频率视为概率，现从学生群体S 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ，求事件“Y ≥2”的概率．解：(1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A ，则P (A )＝C 25＋C 225＋C 220C 250＝2049， 所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为1－P (A )＝2949.(2)由题意可知X 的可能取值分别为0,1,2. 由(1)知，P (X ＝0)＝2049， 又P (X ＝1)＝C 15C 125＋C 120C 125C 250＝2549， P (X ＝2)＝C 15C 120C 250＝449，从而X 的分布列为E (X )＝0×2049＋1×2549＋2×449＝3349.(3)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名， 相应的频率为p ＝2550＝12，由题意知，Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，12，1 22⎝⎛⎭⎫1－122＋C34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－12＋C44⎝⎛⎭⎫124＝1116.所以事件“Y≥2”的概率为P(Y≥2)＝C24⎝⎛⎭⎫。
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课时跟踪检测(六十二) ｎ次独立重复试验与二项分布(一)普通高中适用作业Ａ级——基础小题练熟练快1．打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打１0次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是（ )A.＼f(3,5) B 。
＼f （3，4)C.错误!ﻩ D ．错误!解析：选D 由题意知甲中靶的概率为错误!,乙中靶的概率为错误!,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P =错误!×错误!＝错误!。
２.设随机变量Ｘ～B 错误!,则Ｐ(X ＝3)=( ）A 。
错误!ﻩ Ｂ.错误!C.错误!ﻩ Ｄ。
错误!解析：选A 因为Ｘ～Ｂ错误!,由二项分布可得，Ｐ（X ＝３）=C 错误!错误!3·错误!3＝错误!．３．根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为错误!，下雨的概率为错误!,既吹东风又下雨的概率为错误!,则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A.911Ｂ.８9C 。
＼f(2,5)ﻩ D.错误!解析:选B 设事件A 表示宜都三月份吹东风,事件B 表示三月份下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P (B ｜Ａ）＝错误!＝错误!.4．两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为错误!和错误!，两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ )A 。
第61讲 条件概率、n 次独立重复试验与二项分布[解密考纲]对事件的独立性与条件概率、独立重复试验与二项分布的考查在高考中三种题型均有呈现．一、选择题1．(2018·陕西西安模拟)甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)．甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P(AB)，P(A|B)的值分别是( A )A ．14，59 B ．14，49 C ．15，59D ．15，49解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝920，P (AB )＝14，∴P (A |B )＝P AB P B ＝59.2．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( B )A ．0.85B ．0.819 2C ．0.8D ．0.75解析 P ＝C 340.83·0.2＋C 440.84＝0.819 2.3．从甲袋中摸出1个红球的概率为13，从乙袋中摸出1个红球的概率为12，从两袋中各摸出一个球，则23等于( C )A ．2个球都不是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析 因为从两个袋中各摸出一个球都不是红球的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝13，所以至少有1个红球的概率为1－13＝23.4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( D )A ．310 B ．29 C ．78D ．79解析 设事件A 为“第1次抽到的螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，则所求概率为P (B |A )＝P ABP A ＝730310＝79.5．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是13，从B中摸出一个红球的概率为p .若A ，B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A ，B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，则p 的值为( B )A ．13 B ．1330 C ．1730D ．12解析 设A 中有x 个球，B 中有y 个球，则因为A ，B 两个袋子中的球数之比为1∶2，将A ，B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是25，所以13x ＋py x ＋y ＝25且x y ＝12，解得p ＝1330.6．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面向上的概率等于出现k ＋1次正面向上的概率，那么k 的值为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C k ＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫125，∴k ＋(k ＋1)＝5，k ＝2.二、填空题7．如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为__18__.解析 ∵a ，c 闭合，b 断开，灯泡甲亮，∴概率为18.8．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球，2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是__1528__.解析 记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有P (B |A )＝P AB P A＝C 26C 28＝1528，即所求事件的概率是1528. 9．设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为__964__.解析 假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－342＝964.三、解答题10．某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．规则是：每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立．(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列；(2)若教师乙与教师甲在A ，B 点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．解析 (1)设“教师甲在A 点投中”的事件为A ，“教师甲在B 点投中”的事件为B . 依题可知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7.P (X ＝0)＝P (A ·B ·A )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－122×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝16，P (X ＝2)＝P (A ·B ·A ＋A ·B ·A )＝C 12×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝13， P (X ＝3)＝P (A ·B ·A )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝112，P (X ＝4)＝P (A ·B ·A )＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×12＝16，P (X ＝5)＝P (A ·B ·A ＋A ·B ·A )＝C 12×12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝16，P (X ＝7)＝P (A ·B ·A )＝12×13×12＝112.则教师甲投篮得分X 的分布列为(2) 这五种情形之间彼此互斥，因此所求事件的概率为P ＝13×16＋112×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋112＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋112＋16＋112×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112＝1948. 11．(2018·湖北黄冈期末)甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个(其中“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”各一个)，现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止．记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ.(1)求掷骰子的次数为7的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解析 (1)当ξ＝7时，“甲赢”即“第七次甲赢，前6次赢5次，且前5次中必输1次”，依题意，每次甲赢或乙赢的概率均为12，∴P (ξ＝7)＝2×C 15×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×12×12＝564.(2)设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m ，向上的点数是偶数出现的次数为n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |＝5，m ＋n ＝ξ，5≤ξ≤9或⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |<5，m ＋n ＝9得：当m ＝5，n ＝0或m ＝0，n ＝5时，ξ＝5； 当m ＝6，n ＝1或m ＝1，n ＝6时，ξ＝7； 当m ＝7，n ＝2或m ＝2，n ＝7时，ξ＝9； 当m ＝5，n ＝4或m ＝4，n ＝5时，ξ＝9； 当m ＝6，n ＝3或m ＝3，n ＝6时，ξ＝9； ∴ξ的可能取值是5,7,9.每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是12.P (ξ＝5)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝116，P (ξ＝7)＝564，P (ξ＝9)＝1－P (ξ＝5)－P (ξ＝7)＝5564，∴ξ的分布列是E (ξ)＝5×116＋7×564＋9×64＝32. 12．(2018·福建泉州模拟)在一种电脑屏幕保护画面中，符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则记a k ＝1；出现“×”，则记a k ＝－1，令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1)当p ＝q ＝12时，记ξ＝|S 3|，求ξ 的分布列；(2)当p ＝13，q ＝23时，求S 8＝2且S i ≥0(i ＝1,2,3,4)的概率．解析 (1)因为ξ＝|S 3|的取值为1,3，又p ＝q ＝12，所以P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＝34， P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14.所以ξ的分布列为(2)当S 8＝2次，又已知S i ≥0(i ＝1,2,3,4)，若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任意出现“○”3次． 故所求的概率P ＝(C 36＋C 35)×⎝ ⎛⎭⎪⎫135×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝30×838＝8037⎝ ⎛⎭⎪⎫或802 187.。
一、自我诊断 知己知彼1．已知随机变量X 服从正态分布()5,4N ，且()()4P kP k ξξ>=<-，则k 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B 【解析】∵()452k k -+=，∴7k =.故选B .2.袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.( ) 【答案】√3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13 B. 15 C. 5,6D.34【答案】A【解析】A 至少发生一次的概率为6581，事件A 都不发生的概率为465162181813⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以A 在一次试验中出现的概率为21133-= 4．由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则()|P A B ＝( )A.12 B. 14 C. 16 D. 18【答案】A【解析】因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率()12P B =，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率()111224P AB =⨯=所以()()()1|2P AB P A B P B ==5．将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则n 的最小值为________． 【答案】4【解析】由题意，1151216n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴4n ≥，∴n 的最小值为4二、温故知新 夯实基础1．正态分布 1.1．正态曲线的性质(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．1.2．正态分布的三个常用数据 (1)()0.6826P X μσμσ-<<+=； (2) ()220.9544P X μσμσ-<<+=(3) ()330.9974P X μσμσ-<<+=2.条件概率及其性质3. 事件的相互独立1.设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，那么称事件A 与事件B 相互独立． 2．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． 4. 独立重复试验与二项分布 1．独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用i A (i ＝1,2，…，n )表示第i次试验结果，则)()()()()()()()()(321321321n n n A P A P A P A P A P A P A P A P A A A A P ==.2．二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．(1)A A A = ,φφ= A ,A A A = ，A A =φ . (2)φ=A C A U ，U A C A U = ，A A C C U U =)(.(3)φ=⇔⊇⇔=⇔=⇔⊆)(B C A B C A C B B A A B A B A U U U .三、典例剖析 思维拓展考点一 正态分布例1 为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是( )A ．997B ．954C ．819D ．683【答案】D【解析】由题意，可知60.5,2μσ==，故()58.562.5P X <<＝()0.6826P X μσμσ-<<+=，从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683. 考点二 条件概率例1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则()|P B A ＝( )A. 18B. 14C.25 D.12【答案】B【解析】()22322525C C P A C +==，又，则()()2225110C P AB P B C ===，所以()()()1|4P A B P B A P A ==例2.从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，事件B 为“第二次取到的是奇数”，求()|P B A 的值． 【答案】12【解析】从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有25A 种方法；其中第一次取到的是奇数，有1413A A 种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有1213A A 12种方法．则53)(251413==A A A A P ，103)(251213==A A A AB P ， ∴21)()()(==A P AB P A B P .考点三 相互独立事件的概率例1.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】1312；1148【解析】 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.41411311211)0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ，2411413112114113121141131121)1(=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ，41411312141311214131211)2(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ，()1111323424P X ==⨯⨯=. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()111112012342442413E X =⨯+⨯+⨯+⨯= (2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为()()()10,11,0P Y Z P Y Z P Y Z +====+== ()()()()0110P Y P Z P Y P Z ===+==1111111142424448=++⨯= 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 考点四 独立重复试验与二项分布例1.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列及期望．【答案】(1)710；（2）略.【解析】(1)记事件1A ＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，2A ＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖1次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥，且211A A B =，21212A A A A B +=，21B B C +=.因为52)(1=A P ，21)(2=A P ，所以512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ， 2152121152)()()()()()()()(2121212121212=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+=+=+=A P A P A P A P A A P A A P A A A A P B P .故所求概率为)()()()(2121B P B P B B P C P +=+==15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以)51,3(~B X .于是125645451)0(303=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 125485451)1(2113=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==C X P125125451)2(1223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P . 12515451)3(0333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P . 故X 的分布列为例2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．【解析】(1)将通过每个交通岗看作一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的，故⎪⎭⎫ ⎝⎛31,6~B X . 所以X 的分布列为(2)由于0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y ＝k }(k ＝0,1,2,3,4,5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．3132)(⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==kk Y P (k ＝0,1,2,3,4,5)，而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为632)6(⎪⎭⎫⎝⎛==Y P ，因此Y 的分布列为四、举一反三 成果巩固考点一 正态分布1.某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人． 【答案】100【解析】∵数学考试成绩()2~100,N ξσ，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x ＝100对称．显然()()1801001001203P P ξξ<<=<<=；∴()()80120P P ξξ<=>．又∵()()1801203P P ξξ<+>=，∴()11206P ξ>=， ∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．2、已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【答案】B 【解析】由正态分布N (0,32)，可知ξ落在(3,6)内的概率为P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.3、若随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，已知P (ξ<－1.96)＝0.025，则P (|ξ|<1.96)＝( )A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975【答案】C【解析】由随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，得P (ξ<1.96)＝1－P (ξ≤－1.96)，所以P (|ξ|<1.96)＝P (－1.96<ξ<1.96)＝P (ξ<1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.考点二 条件概率1、从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为奇数”，则P (B |A )＝ 【答案】34【解析】P (A )＝252223C C C +＝25，P (B )＝2523C C ＝310，又A ⊇B ，则P (AB )＝P (B )＝310，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝34.2、在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________． 【答案】499【解析】解法一：设A ＝{第一次取到不合格品}，B ＝{第二次取到不合格品}，则210025)(C C AB P =，所以99410059910045)()()(=⨯⨯==A P AB P A B P . 解法二：第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为499.3、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率． 【答案】0.72【解析】设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9， 由P (B |A )＝P (AB )P (A )，得 P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72. 故这粒种子成长为幼苗的概率为0.72.考点三 相互独立事件的概率1、某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．规则是：每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立．(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列；(2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．【答案】（1）略；（2）1948【解析】(1)根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7，61311211)0(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ，3131121121)2(12=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C X P ，12121131211)3(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 612131121)4(=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ， 613121121)5(12=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C X P ，P (X ＝7)＝12×13×12＝112，∴教师甲投篮得分X 的分布列为(2)此互斥，因此，所求事件的概率为P ＝13×16＋112×⎪⎭⎫ ⎝⎛+3161＋16×⎪⎭⎫ ⎝⎛++1213161＋16×⎪⎭⎫ ⎝⎛+++611213161＋112×⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211＝1948. 考点四 独立重复试验与二项分布1、某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(2)生产1件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元；生产1件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元．在(1)的前提下：①记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列； ②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率． 【答案】（1）略；（2）112243【解析】甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23.①随机变量X 的所有可能取值为190,85,70，－35， 且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14，P (X ＝70)＝14×23＝16，P (X ＝－35)＝14×13＝112.所以随机变量X 的分布列为②设生产的5则不合格品有(5－n )件， 依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，又因为0≤n ≤5，且n 为整数，所以n ＝4或n ＝5，设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则5445323132)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A P =112243.2、为了检验某大型乒乓球赛男子单打参赛队员的训练成果，某校乒乓球队举行了热身赛，热身赛采取7局4胜制(即一场比赛先胜4局者为胜)的规则．在队员甲与乙的比赛中，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）112243【解析】(1)由题意得，甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率2431123132324144=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=C P . (2)由题意知，X 的所有可能取值为4,5,6,7，且81173132)4(44=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，27831323132)5(414414=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P ，72920031323132)6(42252425=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P ， 72916031323132)7(43363436=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P . 所以X 的分布列为E (X )＝4×1781＋5×827＋6×200729＋7×160729＝4012729.五、分层训练 能力进阶【基础达标】1、已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤ξ≤4)＝0.6826，则P (ξ>4)＝( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585【答案】B【解析】由正态曲线性质知，其图象关于直线x ＝3对称，∴P (ξ>4)＝2)42(1≤≤-ξP ＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B .2、甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88【答案】 D【解析】 因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式，知P ＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.3、投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312【答案】A【解析】3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝23C ×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝23C ×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A .4、如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________. 【答案】(1)2π (2)14【解析】 本题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4.P (A )＝2π，P (AB )＝圆SS EOH ∆＝12π，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14.5、一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列． 【答案】（1）364【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有)()(2211B A B A A =，且11B A 与22B A 互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝416×116＋116×12＝364. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝1－416－116＝1116，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为【能力提升】1、已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm )服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套【答案】B【解析】P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B .2、设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.2764【答案】 C【解析】 假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为21343143⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯C ＝964.3、某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________． 【答案】 16【解析】 设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则2716)(C C A P =，271)(C AB P =，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16. 4、某公司甲、乙、丙三位员工参加某项专业技能测试，每人有两次机会，当且仅当第一次不达标时进行第二次测试．根据平时经验，甲、乙、丙三位员工每次测试达标的概率分别为12，23，12，各次测试达标与否互不影响． (1)求甲、乙两位员工均需测试两次才达标的概率；(2)记甲、乙、丙三位员工中达标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)118;(2)略【解析】(1)甲员工需测试两次才达标的概率为4121211=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-； 乙员工需测试两次才达标的概率为9232321=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 因为各次测试达标与否互不影响，所以甲、乙两位员工均需测试两次才达标的概率为14×29＝118.(2)由题意可知，甲员工测试达标的概率为12＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-211×12＝34，乙员工测试达标的概率为23＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-321×23＝89，丙员工测试达标的概率为12＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-211×12＝34.随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.1441431981431)0(=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 14414439814314319843143198143)1(=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ＝772，439843143981434319843)2(⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==X P ＝57144＝1948， P (X ＝3)＝34×89×34＝72144＝12.所以随机变量X 的分布列为E (X )＝0×1144＋1×772＋2×1948＋3×12＝4318。
课后限时集训(六十一) n 次独立重复试验与二项分布(建议用时：60分钟) A 组 基础达标1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为15.则甲获第一名且丙获第二名的概率为( ) A.1112B.16 C.130D.215D [设“甲胜乙”“甲胜丙”“乙胜丙”分别为事件A ，B ，C ，事件“甲获第一名且丙获第二名”为A ∩B ∩C ，所以P (甲获第一名且丙获第二名)＝P (A ∩B ∩C )＝P (A )P (B )P (C )＝23×14×45＝215.] 2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×13；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×23，以上说法正确的是( )A ．②③B ．①②③C ．②④D ．①③C [对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为12×23＋12×13＝12，所以①错误，结合选项可知，排除B 、D ；对于说法③，目标被命中的概率为12×23＋12×13＋12×13，所以③错误，排除A.故选C.]3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12B.512 C.14D.16B [设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品； 事件B ：乙实习生加工的零件为一等品， 则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝ 23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.]4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.110B.15 C.25D.12C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P AB P A ＝25，故选C.]5．(2018·某某诊断)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为( ) A.89B.7381 C.881D.19C [因为该射手每次射击击中目标的概率是23，所以每次射击不中的概率为13，设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881.]二、填空题6．投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为P ，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则P 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 [设P (B k )(k ＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉3次，出现k 次钉尖向上”的概率，由题意，得P (B 2)＜P (B 3)，即C 23P 2(1－P )＜C 33P 3，∴3P 2(1－P )＜P 3.∵0＜P ＜1，∴34＜P ＜1.]7．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲的及格率为45，乙的及格率为25，丙的及格率为23，则三人中至少有一人及格的概率为________．2425 [设“甲及格”为事件A ，“乙及格”为事件B ，“丙及格”为事件C ，则P (A )＝45，P (B )＝25，P (C )＝23， ∴P (A )＝15，P (B )＝35，P (C )＝13，则P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝15×35×13＝125，∴三人中至少有一人及格的概率P ＝1－P (A B C )＝2425.]8．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________. 14[依题意，随机试验共有9个不同的基本结果． 由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，所以事件B 包含4个基本结果，事件AB 包含1个基本结果． 所以P (B )＝49，P (AB )＝19.所以P (A |B )＝P ABP B ＝1949＝14.]三、解答题9．(2019·某某模拟)某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试．“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为12，“三步上篮”的命中率为34，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响． (1)求小明同学一次测试合格的概率；(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列．[解](1)设小明第i 次“立定投篮”命中为事件A i ，第i 次“三步上篮”命中为事件B i (i ＝1,2)，依题意有P (A i )＝12，P (B i )＝34(i ＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C .(1)P (C )＝P (A1A 2)＋P (A 1A 2B 1B 2)＋P (A 1B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)·P (B 1)P (B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝1964. ∴P (C )＝1－1964＝4564.(2)依题意知ξ＝2,3,4，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (A 2)＝58，P (ξ＝3)＝P (A 1B 1B 2)＋P (A 1A 2B 1)＋P (A 1B 1B 2)＝P (A 1)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)P (A 2)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (B 2)＝516，P (ξ＝4)＝P (A 1A 2B 1)＝P (A 1)P (A 2)P (B 1)＝116.故投篮的次数ξ的分布列为：图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间[45,75)内的产品件数为X ，求X 的分布列．[解](1)设这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x ，则在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x 和2x .依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.03)×10＋4x ＋2x ＋x ＝1，解得x ＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X ～B (n ，p )，其中n ＝3.由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45,75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率为p ＝0.6.因为X 的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝C 03×0.60×0.43＝0.064， P (X ＝1)＝C 13×0.61×0.42＝0.288， P (X ＝2)＝C 23×0.62×0.41＝0.432， P (X ＝3)＝C 33×0.63×0.40＝0.216.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.216B 组 能力提升1.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A袋中的概率为( )42C.34D.45C [记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B .若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.]2．经检测，有一批产品的合格率为34，现从这批产品中任取5件，记其中合格产品的件数为ξ，则P (ξ＝k )取得最大值时，k 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2B [根据题意得，P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－345－k ，k ＝0,1,2,3,4,5，则P (ξ＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫340×⎝ ⎛⎭⎪⎫145＝145，P (ξ＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫341×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1545，P (ξ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝9045，P (ξ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫343×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝27045，P (ξ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫344×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＝40545，P (ξ＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫345×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝24345，故当k ＝4时，P (ξ＝k )最大．]3．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，用B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3为两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．②④ [P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)·P (B |A 3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，故①⑤错误；从甲罐中取出1红球放入乙罐后，则乙罐中有5个红球，从中任取1个为红球的概率为511，即P (B |A 1)＝511，故②正确；由于P (B )≠P (B |A 1)，故B 与A 1不独立，因此③错误；由题意知，④正确．]4．(2019·某某模拟)某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的3(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维护的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的分布列．[解](1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴P (X ＝0)＝C 04·⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (X ＝1)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (X ＝2)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481， P (X ＝3)＝C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＝881， P (X ＝4)＝C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. ∴X 的分布列为X ＝0，X ＝1，X ＝2，…，X ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则∵81＜90%≤81，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y 万元，则Y 的所有可能取值为18,13,8，P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝7281，P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881，P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181，∴Y 的分布列为。
