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是单调连续的. 其反函数y = log a x (a > 0, a ≠ 1)在(0, +∞ )是单调连续的.
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第八节
连续函数
定理4 定理4
第 一 章 函 数 极 限 连 续
若 lim ϕ ( x ) = a , 函数 f ( u)在点a连续, 则有
lim f [ϕ ( x )] = f (a ) = f [lim ϕ ( x )].
证 以 x → x0 为例证明 为例证明. Q f ( u)在点u = a连续, ∀ε > 0, ∃η > 0, 使当 u − a < η时,
0
恒有 f ( u) − f (a ) < ε . 又 Q lim ϕ ( x ) = a , 所以对于η > 0, x→ x ∃δ > 0, 使当0 < x − x0 < δ 时, 恒有 ϕ ( x ) − a = u − a < η .
3 单侧连续
若函数f ( x )在(a , x0 ]内有定义, 且f ( x0 − 0) = f ( x0 ), 则称f ( x )在点x0处左连续; 处左连续 若函数f ( x )在[ x0 , b )内有定义 , 且f ( x0 + 0) = f ( x0 ),
处右连续 则称f ( x )在点x0处右连续.
x0 处即左连续又右连续 处即左连续又右连续.
x + 2, 例2 讨论函数 f ( x ) = x − 2, 连续性.
x →0 x →0
解 lim f ( x ) = lim( x + 2) = 2= f ( 0), + +
lim f ( x ) = lim( x − 2) = −2 ≠ f ( 0),
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第八节
连续函数
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 , x > 0, 在x = 0处的连续性. 例6 讨论函数 f ( x ) = x y x , x ≤ 0, 解 f (0 − 0) = 0, f (0 + 0) = +∞ , ∴ x = 1为函数的第二类间断点. x
lim f ( x ) ≠ f ( x0 ).
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第八节
连续函数
(1) 如果f ( x )在点x0处左, 右极限都存在, 但 f ( x0 − 0) ≠ f ( x0 + 0),
第 一 章 函 数 极 限 连 续
的跳跃间断点 则称点x0为函数f ( x )的跳跃间断点 .
例4
− x, 讨论函数 f ( x ) = 1 + x ,
o
这种情况称为无穷间断点. 1 例7 讨论函数 f ( x ) = sin 在 x = 0处的连续性 . x 解 Q 在x = 0处没有定义 ,
1 且 limsin 不存在. x →0 x ∴ x = 0为第二类间断点 .
这种情况称为的振荡间 这种情况称为的振荡间 断点.
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y = sin
1 x
∆y = f ( x ) − f ( x0 ), 称为函数f ( x )相应于∆x的增量.
y
y = f (x)
y
∆y ∆y
y = f (x)
0
∆x x0 x 0 + ∆x x
0
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∆x x0 x 0 + ∆x
x
第八节
连续函数
2 连续的定义
内有定义, 定义 1 设函数 f ( x ) 在U δ ( x0 )内有定义,如果当自变量
第八节
连续函数
第八节
第 一 章 函 数 极 限 连 续
连续函数
一 函数的连续性 二 函数的间断点 三 连续函数的运算与初等函数的连续性
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第八节
连续函数
一 函数的连续性
1
第 一 章 函 数 极 限 连 续
函数的增量
设函数 f ( x )在U δ ( x0 )内有定义 , ∀ x ∈ U δ ( x0 ), ∆x = x − x0 , 称为自变量在点x0的增量.
∴ lim f ( x ) = 2 ≠ f (1),
x →1
∴ x = 0为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的 定义, 则可使其变为连续点. 定义, 则可使其变为连续点. 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 第一类间断点, 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 若
第 一 章 函 数 极 限 连 续
趋向于零时, 也趋向于零, 的增量 ∆x 趋向于零时,对应的函数的增量 ∆y 也趋向于零, 即 lim ∆y = 0 或 lim [ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )] = 0 ,那末就称函
∆x → 0 ∆x → 0
连续, 连续点. 数 f ( x )在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x )的连续点.
间( −∞ , +∞ ) 内是连续的. y = ln x在区间(0, +∞ )上是连 续的. 续的.
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第八节
连续函数
二 函数的间断点
第 一 章 函 数 极 限 连 续
设函数 f ( x )在 x0 的某个邻域或去心邻域 处不连续, 有定义, 有定义 若 f ( x ) 在 x0 处不连续 则称 x0 为函数 f ( x ) 定义3 定义 间断点. 的间断点 的间断点， 如果x0 是函数f ( x )的间断点，则f ( x )在x0的某个
x → 0− x →0−
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x = 0处不连续.
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第八节
连续函数
4
第 一 章 函 数 极 限 连 续
连续函数与连续区间
上每一点都连续的函数,叫做在区 在开区间 (a , b ) 上每一点都连续的函数 叫做在区 上的连续函数 连续函数, 间 (a , b ) 上的连续函数 或者说函数在区间 (a , b )上连 续.
0
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第八节
连续函数
处连续的定义可叙述为： 用 ε − δ 函数 f ( x ) 在 x0 处连续的定义可叙述为： 的某个邻域内有定义， 设函数 f ( x ) 在 x0 的某个邻域内有定义， 如果对任
第 一 章 函 数 极 限 连 续
意给定的正数ε , 总存在正数 δ , 使当| x − x0 |< δ 时, 恒 有不等式 | f ( x ) − f ( x0 |< ε 成立, 成立 则称 f ( x ) 在 x0 处连续. 处连续. 处连续, 由定义可知, 由定义可知 函数 f ( x ) 在 x0 处连续 必须满足下面 三个条件, 三个条件 (1) f ( x ) 在 x0 处有定义 处有定义; (2) lim f ( x ) 存在 存在;
x0 是函数 f ( x ) 的第一类间断点 则 lim f ( x ), lim f ( x ) 的第一类间断点, + − x → x0 x → x0 都存在. 都存在 (3) 如果函数 f ( x ) 在 x0 某个去心邻域内有定义 某个去心邻域内有定义,
且当 x → x0 时, f ( x ) 左、右极限至少有一个不存在 右极限至少有一个不存在, 则称 x0 为 f ( x ) 第二类间断点 第二类间断点.
x ≤ 0, x > 0,
在x = 0处
的连续性. lim lim 解 f ( 0 − 0 ) = x → 0 − f ( x ) = x → 0 − ( − x ) = 0, y f (0 + 0) = lim+ ( x + 1) = 1,
x →0
Q f (0 − 0) ≠ f (0 + 0),
∴ x = 0为函数的跳跃间断点.
故 tan x ,cot x ,sec x ,csc x 在其定义域内连续.
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第八节
连续函数
2 反函数与复合函数的连续性 定理3 单调的连续函数必有单调的连续反函数. 定理3 单调的连续函数必有单调的连续反函数.
第 一 章 函 数 极 限 连 续
例如, 例如, y = sin x在[− , ]上单调增加且连续, 2 2 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续.
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o
x
第八节
连续函数
(2) 如果f ( x )在点x0处的极限存在, 但
x → x0
lim f ( x ) = A ≠ f ( x0 ),
第 一 章 函 数 极 限 连 续
处无定义， 或f ( x )在点x0处无定义，则称点x0为函数f ( x )的可去 间断点 .
例5 讨论函数
y
2
y = 1+ x
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1 x sin , 例1 试证函数 f ( x ) = x 0, 处连续.
第八节
连续函数
x ≠ 0, x = 0,
在x = 0
第八节
连续函数
定理1 定理1
第 一 章 函 数 极 限 连 续
函数 f ( x )在 x0 处连续的充要条件是 f ( x ) 在
x ≥ 0, 在 x = 0处的 x < 0,
第八节
连续函数
例8 当a取何值时,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
cos x , 函数 f ( x ) = a + x,
x < 0, 在 x = 0处连续. x ≥ 0,
解 Q f ( 0) = a ,
lim f ( x ) = lim cos x = 1,
x →0− x → 0−
lim f ( x ) = lim(a + x ) = a , + +
