2019届北师大版(理科数学) 数列的综合应用 单元测试

单元检测六 数 列考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·渭南二模)成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1,4,11后成为等比数列{b n }中的b 2，b 3，b 4，则数列{b n }的通项公式为( ) A ．b n ＝2n B ．b n ＝3n C ．b n ＝2n －1D ．b n ＝3n －12．(2018·新余模拟)已知等差数列{a n }满足a 1＝－4，a 4＋a 6＝16，则它的前10项和S 10等于( ) A ．138 B ．95C ．23D ．1353．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．42B ．6C ．7D ．5 24．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( ) A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．55．(2018届长春一模)在等差数列{}a n 中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．96．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．9 B ．8C ．7D ．67．(2017·亳州质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－38．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B ．12n －1C ．⎝⎛⎭⎫23n －1D ．⎝⎛⎭⎫32n －19．(2017·长沙二模)已知数列{a n }是首项为1，公差为d (d ∈N ＋)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d 不可能是( ) A ．2 B ．3C ．4D ．510．(2018·九江模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．511．正项等比数列{}a n 中，a 2 017＝a 2 016＋2a 2 015.若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n 的最小值等于( ) A ．1 B. 35C. 32D. 13612．(2017·西安模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )成立，若数列{a n }满足f (a n ＋1)·f ⎝⎛⎭⎫11＋a n ＝1(n ∈N ＋)，且a 1＝f (0)，则下列结论成立的是( ) A ．f (a 2 013)>f (a 2 016) B ．f (a 2 014)>f (a 2 017) C ．f (a 2 016)<f (a 2 015) D ．f (a 2 013)>f (a 2 015)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n,2a 7－a 8＝5，则S 11＝________.14．(2017·天津模拟)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1＝______.15．(2018届吉林联考)设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝0，若a n ＋1＝[1＋(－1)n ]a n ＋(－2)n (n ∈N ＋)，则S 100＝______.16．(2017·吉林调研)艾萨克·牛顿(1643年1月4日——1727年3月31日)，英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )零点时给出一个数列{x n }：满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{a n }的通项公式a n ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知{a n }是等差数列，其中a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n －20，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．18．(12分)(2018·西安模拟)数列{a n }，{b n }的每一项都是正数，a 1＝8，b 1＝16，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，b 2的值；(2)求数列{a n }，{b n }的通项公式．19.(12分)(2017·河南息县检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .20．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且8a 1＋6a 2＝5a 3＞0，S 6＝6332.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝－log 2a n ，c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .21.(12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N ＋，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，在数列{b n }中，b 1＝1，b n ＋1＝2b n ＋3，n ∈N ＋. (1)求证：{b n ＋3}是等比数列；(2)若c n ＝log 2(b n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1c n c n ＋1的前n 项和R n ；(3)求数列{a n b n }的前n 项和T n .答案精析1．A [设成等差数列的三个正数为a －d ，a ，a ＋d ， 即有3a ＝12，得a ＝4，根据题意可得4－d ＋1,4＋4,4＋d ＋11成等比数列， 即5－d,8,15＋d 成等比数列，即有(5－d )(15＋d )＝64，解得d ＝1(d ＝－11舍去)， 即有4,8,16成等比数列，可得公比为2， 则数列{b n }的通项公式为b n ＝b 22n －2＝4×2n －2＝2n .故选A.]2．B [设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－4， a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝2a 1＋8d ＝16，解得d ＝3， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－4)＋5×9×3＝95，故选B.]3．D [由a 1a 2a 3＝5得a 32＝5，由a 7a 8a 9＝10得a 38＝10， 又a 25＝a 2a 8，∴a 65＝a 32a 38＝50，∴a 4a 5a 6＝a 35＝52，故选D.]4．C [设等差数列的公差为d (d ≠0)，因为a 24＋a 25＝a 26＋a 27，所以(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，所以－2da 5＝2da 6，于是a 5＋a 6＝0，由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝0，故选C.]5．C [因为等差数列{}a n 中，|a 6|＝|a 11|，且d >0，所以a 6<0， a 11>0，a 6＝－a 11，a 1＝－152d ，有S n ＝d2[(n －8)2－64]，所以当n ＝8时前n 项和取最小值．故选C.]6．D [由等差数列的性质可得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，解得a 5＝－3，又a 1＝－11，设公差为d, 所以a 5＝a 1＋4d ＝－11＋4d ＝－3，解得d ＝2，则a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，所以当n ＝6时，S n 取最小值，故选D.]7．A [设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 所以a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 1＋3d . 因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d . 所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 1＋2d 2a 1＋7d＝2，故选A.]8．D [∵a 1＝1，S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＝2(S n ＋1－S n )，化为S n ＋1＝32S n .∴数列{S n }是等比数列，首项为1，公比为32，则S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选D.]9．B [由题设a n ＝1＋(n －1)d,81是该数列中的一项， 即81＝1＋(n －1)d ，所以n ＝80d＋1， 因为d ，n ∈N ＋，所以d 是80的因数，故d 不可能是3.] 10．D [由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1)＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1 ＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N ＋)， 故n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数．即正整数n 的个数是5.]11．C [设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题设得q 2＝q ＋2，解得q ＝2，q ＝－1(舍去)，由a m a n ＝a 21qm＋n －2＝16a 21得m ＋n －2＝4，所以m ＋n ＝6，4m ＋1n＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫4m ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎫4＋1＋4n m ＋m n ≥16(5＋4)＝32， 当且仅当4n m ＝mn，即m ＝4，n ＝2时“＝”成立．故选C.]12．D [令x ＝y ＝0，得f (0)f (0)＝f (0)，解得f (0)＝1或f (0)＝0，当f (0)＝0时，f (x )＝0与当x <0时，f (x )>1矛盾，因此f (0)＝1，令y ＝－x ，得f (x )f (－x )＝f (0)＝1， 所以当x >0时，0<f (x )<1，设x 1>x 2，则f (x 2－x 1)>1，f (x 1)f (x 2－x 1)＝f (x 2)， 所以f (x 2)>f (x 1)，因此y ＝f (x )为减函数，从而由f (a n ＋1)f ⎝⎛⎭⎫11＋a n＝1＝f (0)，得a n ＋1＋11＋a n ＝0，所以a n ＋2＝－1＋a n a n ，a n ＋3＝a n ，f (a 2 013)＝f (a 2 016)，f (a 2 014)＝f (a 2 017)，f (a 2 016)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)， f (a 2 013)＝f (a 3)＝f (－2)>f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (a 2)＝f (a 2 015)，故选D.] 13．55解析 2(a 1＋6d )－(a 1＋7d )＝a 1＋5d ＝a 6＝5， S 11＝a 1＋a 112·11＝11a 6＝55.14．3解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，即d (d －2a 1)＝0， 解得d ＝2a 1，则a 2a 1＝a 1＋d a 1＝a 1＋2a 1a 1＝3.15.2－21013解析 当n 为奇数时，a n ＋1＝(－2)n ，则a 2＝(－2)1，a 4＝(－2)3，…，a 100＝(－2)99，当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n ＋(－2)n ＝2a n ＋2n ，则a 3＝2a 2＋22＝0，a 5＝2a 4＋24＝0，…，a 99＝2a 98＋298＝0，又a 1＝0， ∴S 100＝a 2＋a 4＋…＋a 100＝2－21013.16．2n解析 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2， 所以f ()x ＝a ()x －1()x －2＝a (x 2－3x ＋2)，f ′(x )＝a (2x －3)，则x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )＝x n －a ()x 2n －3x n ＋2a 2x n －3＝x 2n －22x n －3，则x n ＋1－2＝x 2n －22x n －3－2＝(x n －2)22x n －3， x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－1＝(x n －1)22x n －3，即x n ＋1－2x n ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12，又因为a n ＝ln x n －2x n －1且a 1＝2，所以a n ＋1＝2a n ，即数列{}a n 为等比数列，且通项公式为a n ＝2n .17．解 (1)由a 10＝30，a 20＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2，所以a n ＝2n ＋10. (2)由b n ＝a n －20，得b n ＝2n －10，所以当n <5时，b n <0; 当n ＝5时，b n ＝0；当n >5时，b n >0. 由此可知，数列{b n }的前4项或前5项的和最小．易知T 4＝T 5＝－20，故数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－20. 18．解 (1)由2b 1＝a 1＋a 2，可得a 2＝2b 1－a 1＝24. 由a 22＝b 1b 2，可得b 2＝a 22b 1＝36.(2)因为a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，所以2b n ＝a n ＋a n ＋1.① 因为b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，所以a 2n ＋1＝b n b n ＋1， 因为数列{a n }，{b n }的每一项都是正数， 所以a n ＋1＝b n b n ＋1.②于是当n ≥2时，a n ＝b n －1b n .③将②③代入①式，可得2b n ＝b n －1＋b n ＋1， 因此数列{b n }是首项为4，公差为2的等差数列， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n ＋2，于是b n ＝4(n ＋1)2. 则a n ＝b n －1b n ＝4n 2·4(n ＋1)2＝4n (n ＋1)，n ≥2. 当n ＝1时，a 1＝8，满足该式，所以对一切正整数n ，都有a n ＝4n (n ＋1)． 19．解 (1)由S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋)，得S n ＝1－12a n ，∴当n ＝1时，S 1＝1－12a 1，得a 1＝23，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫1－12a n －⎝⎛⎭⎫1－12a n －1 ＝12a n －1－12a n ，a n a n －1＝13， ∴{a n }是等比数列，且公比为13，首项a 1＝23，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n.(2)由(1)及S n ＋12a n ＝1得，1－S n ＋1＝12a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1， ∴b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝n ＋1，∴1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4. 20．解 (1)设数列{a n }的公比为q ， ∵a 3＝a 1q 2，5a 3＞0，∴a 1＞0，∵8a 1＋6a 2＝5a 3，∴8a 1＋6a 1q ＝5a 1q 2， ∴8q 2＋6q －5＝0，∴q ＝12或－54，∵S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝6332，∴a 1＝1，q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n －1.(2)b n ＝－log 2a n ＝－log 221－n ＝n －1，c n ＝a n b n ＝n －12n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝020＋12＋222＋…＋n －12n －1，12T n ＝02＋122＋223＋…＋n －12n ， ∴12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －1－n －12n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 11－12－n －12n＝1－12n －1－n －12n ＝1－n ＋12n ，∴T n ＝2－n ＋12n －1.21．解 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N ＋，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1×(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .22．(1)证明 因为b n ＋1＋3b n ＋3＝2b n ＋3＋3b n ＋3＝2且b 1＋3＝4，所以{b n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以b n ＝2n ＋1－3，则c n ＝log 2(b n ＋3)＝n ＋1，1c n c n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2，R n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4.(3)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1， 当n ＝1时，a 1＝3也符合上式， 综上，a n ＝4n －1，n ∈N ＋. 所以a n b n ＝(4n －1)·(2n ＋1－3)＝(4n －1)·2n ＋1－3(4n －1)，设数列{(4n －1)·2n ＋1}的前n 项和为Q n ，则Q n ＝3·22＋7·23＋11·24＋…＋(4n －5)·2n ＋(4n －1)·2n ＋1，2Q n ＝3·23＋7·24＋…＋(4n －5)·2n ＋1＋(4n －1)·2n ＋2，所以－Q n ＝12＋4(23＋24＋…＋2n ＋1)－(4n －1)·2n ＋2＝12＋4·8(1－2n －1)1－2－(4n －1)·2n ＋2＝(5－4n )·2n ＋2－20，所以Q n ＝(4n －5)·2n ＋2＋20，所以T n ＝Q n ＋3n －12×n (n ＋1)2＝(4n －5)·2n ＋2＋20－6n 2－3n .。

单元质检卷六 数列(A )(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 4=15,S 5=55,则数列{a n }的公差是( )A.14B.4C.-4D.-32.公比为 23的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则log 2a 16=( ) A.4 B.5 C.6 D.73.(2017宁夏银川二模)在等差数列{a n }中,已知a 4=5,a 3是a 2和a 6的等比中项,则数列{a n }的前5项的和为 ( )A.15B.20C.25D.15或25 4.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足:3a 1-a 82+3a 15=0,且a 8=b 10,则b 3b 17=( )A.9B.12C.16D.365.(2017湖北武昌1月调研)设公比为q (q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,则a 1= ( )A.-2B.-1C.12D.236.(2017河南郑州一中质检一,理9)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =2n 2(n ∈N +),且对任意n ∈N +都有11+12+…+1n<t ,则t 的取值范围为( )A. 1,+∞ B. 1,+∞ C. 2,+∞ D. 2,+∞〚导学号21500627〛二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2017湖南长沙一模)等比数列{a n }的公比为- 2,则ln (a 2 017)2-ln(a 2 016)2= .8.(2017江西新余一中模拟七,理16)设数列{a n }满足a 1=2,a 2=6,且a n+2-2a n+1+a n =2,若[x ]表示不超过x 的最大整数,则 2 0171+2 0172+…+2 0172 017= .〚导学号21500628〛三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2017安徽安庆二模,理17)已知数列{a n }中,a 1=2,a 2=4,设S n 为数列{a n }的前n 项和,对于任意的n>1,n ∈N +,S n+1+S n-1=2(S n +1). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =na n,求{b n }的前n 项和T n .10.(15分)数列{a n}满足a n=6-9(n∈N+,n≥2).an-1是等差数列;(1)求证:数列1a n-3(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和.11.(15分)(2017湖南长郡中学模拟6,理17)已知在数列{a n}中,S n为其前n项和,若a n>0,且4S n=a n2+2a n+1(n∈N+),数列{b n}为等比数列,公比q>1,b1=a1,且2b2,b4,3b3成等差数列. (1)求{a n}与{b n}的通项公式;,若{c n}的前项和为T n,求证:T n<6.(2)令c n=a nn〚导学号21500629〛参考答案单元质检卷六数列(A)1.B∵{a n}是等差数列,a4=15,S5=55,∴a1+a5=22,∴2a3=22,a3=11.∴公差d=a4-a3=4.2.B由等比中项的性质,得a3a11=a72=16.因为数列{a n}各项都是正数,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.3.A∵在等差数列{a n}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,∴a1+3d=5,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得a1=-1,d=2,∴S5=5a1+5×42d=5×(-1)+5×4=15.故选A.4.D由3a1-a82+3a15=0,得a82=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即a82-6a8=0.因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17=b102=36.5.B∵S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q>0,解得q=32,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.6.D∵数列{a n}满足a1a2a3…a n=2n2(n∈N+),∴当n=1时,a1=2,当n≥2时,a1a2a3…a n-1=2(n-1)2,可得a n=22n-1.∴1a n =122n-1,数列1a n为等比数列,首项为12,公比为14.∴1a1+1a2+…+1a n=121-14n1-14=231-14<23.∵对任意n∈N+都有1a1+1a2+…+1a n<t,则t的取值范围为23,+∞.7.ln 2ln(a2 017)2-ln(a2 016)2=ln a2017a20162=ln(-2)2=ln 2.8.2 016令b n=a n+1-a n,则b1=a2-a1=4,由题意得(a n+2-a n+1)-(a n+1-a n)=b n+1-b n=2, 故数列{b n}是以4为首项,2为公差的等差数列,故b n=a n+1-a n=4+2(n-1)=2n+2,故a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,a n-a n-1=2n,以上(n-1)个式子相加可得a n-a1=4+6+…+2n=(n-1)(4+2n)2,解得a n=n(n+1),∴1a n =1n(n+1)=1n−1n+1,∴1a1+1a2+…+1a2017=11-12+12-13+…+12017-12018=1-12018,∴2 0171a1+1a2+…+1a2017=2 017-20172018=2 016+12018.则2017a1+2017a2+…+2017a2017=2 016.9.解 (1)对于任意的n>1,n∈N+,S n+1+S n-1=2(S n+1),S n+2+S n=2(S n+1+1),相减可得a n+2+a n=2a n+1.(*)又当n=2时,S3+S1=2(S2+1),即2a1+a2+a3=2(a1+a2+1),a1=2,a2=4,解得a3=6.∴当n=1时(*)也满足.∴数列{a n}是等差数列,公差为2,∴a n=2+2(n-1)=2n.(2)∵b n=n2a n =n22n=n4n,∴{b n}的前n项和T n=14+242+343+…+n4n,1 4T n=14+24+…+n-14+n4,上面两式相减可得34T n=14+14+…+14−n4=141-14n1-14−n4,∴T n=49−4+3n9×4.10.(1)证明∵1a n-3−1a n-1-3=a n-13a n-1-9−1a n-1-3=a n-1-33a n-1-9=13(n≥2).∴数列1a n-3是等差数列.(2)解∵a1=6,由(1)知,1a n-3=1a1-3+13(n-1)=n3.∴a n=3(n+1)n(n∈N+),lg a n=lg(n+1)-lg n+lg 3(n∈N+).设数列{lg a n}的前999项的和为S,则S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg1 000-lg999) =999lg 3+lg1 000=3+999lg 3.11.(1)解 因为4S n =a n 2+2a n +1(n ∈N +)①, 所以当n=1时,4a 1=a 12+2a 1+1,解得a 1=1. 当n ≥2时,4S n-1=a n -12+2a n-1+1②, ①-②得4a n =(a n +1)2-(a n-1+1)2,整理得(a n +a n-1)(a n -a n-1-2)=0,又a n >0,∴a n -a n-1-2=0,即a n -a n-1=2,∴数列{a n }是等差数列,公差为2. ∴a n =1+2(n-1)=2n-1.∴b 1=a 1=1,∵2b 2,b 4,3b 3成等差数列,∴2b 4=2b 2+3b 3.∴2b 2q 2=2b 2+3b 2q ,整理得2q 2-3q-2=0,∵q>1, ∴解得q=2. ∴b n =2n-1.(2)证明 ∵c n =a nb n=2n -12n -1.∴{c n }的前n 项和为T n =1+32+52+…+2n -12n -1,12T n =12+32+…+2n -32n -1+2n -12,∴12T n =1+2 12+122+…+12n -1−2n -12n=1+2×12 1-12n -11-1−2n -12n,∴T n =6-2n +32n -1<6.。

三十二等比数列及其前n项和一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,且S3=14,a3=8,则a6= ( )A.16B.32C.64D.128【解析】选C.由题意得,等比数列的公比为q,由S3=14,a3=8,则解得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=2×25=64,故选C.2.(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为 ( )A.-24B.-3C.3D.8【解析】选A.设等差数列的公差为d,d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d(d≠0),所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24.3.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯世纪金榜导学号12560576 ( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】选B.设塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381可得x=3.4.(2018·临沂模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n=a·2n-1+,则a的值为( ) A.- B. C.- D.【解析】选A.当n≥2时,a n=S n-S n-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,又因为{a n}是等比数列,所以a+=,所以a=-.5.在公比为的等比数列{a n}中,若sin(a1a4)=,则cos(a2a5)的值是( )A.-B.C.D.【解析】选B.由等比数列的通项公式可知a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos(a2a5)=1-2sin2(a1a4)=1-2×=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017·北京高考)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=______.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由题意得-1+3d=-q3=8⇒d=3,q=-2⇒==1.答案:17.已知数列{a n}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2=________. 【解析】设数列{a n}的公比为q,则q3==,解得q=,a1==4.易知数列{a n a n+1a n+2}是首项为a1a2a3=4×2×1=8,公比为q3=的等比数列,所以a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2==(1-2-3n).答案:(1-2-3n)8.(2015·湖南高考)设S n为等比数列的前n项和,若a1=1且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=__________.【解题指南】由3S1,2S2,S3成等差数列,可求得公比q=3,然后求a n.【解析】因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×2(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3⇒a3=3a2⇒q=3,所以a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n}中,a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列. (1)求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n.(2)设b n=,求数列{b n}的前2n项和T2n.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为a1=1,且a1,a2,a4+2成等比数列.所以=a1·(a4+2),即(1+d)2=1×(1+3d+2),解得d=2或-1.其中d=-1时,a2=0,舍去.所以d=2,可得a n=1+2(n-1)=2n-1.S n==n2.(2)b n==.所以当n为偶数时,==16.当n为奇数时,==.所以数列{b n}的奇数项是以为首项,为公比的等比数列;偶数项是以8为首项,16为公比的等比数列.所以数列{b n}的前2n项和T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=+=(16n-16-n).10.(2015·广东高考改编)设数列{a n}的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1.(1)求a4的值.(2)证明:为等比数列.【解析】(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4+5=8+1,解得a4=.(2)由4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1(n≥2),4S n+2-4S n+1+S n-S n-1=4S n+1-4S n(n≥2),即4a n+2+a n=4a n+1(n≥2).因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,所以4a n+2+a n=4a n+1,所以====,所以数列是以a2-a1=1为首项,为公比的等比数列.1.(5分)(2018·福州模拟)已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是( )A.-5B.-C.5D.【解析】选A.因为log3a n+1=log3a n+1,所以a n+1=3a n.所以数列{a n}是公比q=3的等比数列,所以a2+a4+a6=a2(1+q2+q4)=9.所以a5+a7+a9=a5(1+q2+q4)=a2q3(1+q2+q4)=35.所以lo35=-5.【变式备选】等比数列{a n}满足a n>0,n∈N*,且a3·a2n-3=22n(n≥2),则当n≥1时,log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=________.【解析】由等比数列的性质,得a3·a2n-3==22n,从而得a n=2n.所以log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=log2[(a1a2n-1)·(a2a2n-2)·…·(a n-1a n+1)a n]=log22n(2n-1)=n(2n-1)=2n2-n. 答案:2n2-n2.(5分)已知数列{a n}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为( )A.10B.20C.100D.200【解析】选C.a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=102=100. 3.(5分)(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为________.【解析】由于{a n}是等比数列,设a n=a1q n-1,其中a1是首项,q是公比.所以⇒解得:故a n=,所以a1·a2·…·a n===.当n=3或4时,取到最小值-6,此时取到最大值26=64.所以a1·a2·…·a n的最大值为64.答案:644.(12分)(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式.(2)若S5=,求λ.【解析】(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故a1=,由S n=1+λa n,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n,所以=,因此数列{a n}是以a1=为首项,以为公比的等比数列,a n=.(2)由(1)得S n=1-,又因为S5=,所以=1-,即=,解得λ=-1.5.(13分)(2018·郑州模拟)已知数列{a n}满足a1=5,a2=5,a n+1=a n+6a n-1(n≥2).(1)求证:{a n+1+2a n}是等比数列.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为a n+1=a n+6a n-1(n≥2),所以a n+1+2a n=3a n+6a n-1=3(a n+2a n-1)(n≥2).因为a1=5,a2=5,所以a2+2a1=15,所以a n+2a n-1≠0(n≥2),所以=3(n≥2),所以数列{a n+1+2a n}是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)由(1)得a n+1+2a n=15×3n-1=5×3n,则a n+1=-2a n+5×3n,所以a n+1-3n+1=-2(a n-3n).又因为a1-3=2,所以a n-3n≠0,所以{a n-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.所以a n-3n=2×(-2)n-1,即a n=2×(-2)n-1+3n.。

微专题3 高考中的数列问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知等差数列{a n }的公差不为0,前n 项和S n 满足S 32=9S 2,S 4=4S 2,则a 2= ( )A.34B.43C.49D.892.[数学文化题]《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?其意:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿( )A.507斗粟B.107斗粟C.157斗粟 D.207斗粟 3.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4=5S 2,则a 2·a 7a 42的值为 ( )A.-2或-1B.1或2C.±2或-1D.±1或±24.已知数列{a n }是公比为2的等比数列,满足a 6=a 2·a 10,设等差数列{b n }的前n 项和为S n ,若b 9=2a 7,则S 17=( )A.34B.39C.51D.68 二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列{a n }满足2a n ·a n+1+a n+1-a n =0,且a 1=1,则数列{a n }的通项公式为 .6.已知在等差数列{a n }中,{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 13=91,若Sk a k =6,则正整数k= .三、解答题(共48分)7.(12分)已知数列{a n }满足a 1=1,且a n +12-a n 2=2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n 2(12)n }的前n 项和.8.(12分)已知数列{a n }是公差为1的等差数列,且a 4,a 6,a 9成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =(-2)a n +(-1)n ·2a n +1a n a n +1,求数列{b n }的前2n 项和.9.(12分)已知数列{a n }为公差不为0的等差数列,a 2=3,且log 2a 1,log 2a 3,log 2a 7成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足b n =1an a n +1,求数列{b n }的前n 项和S n .10.(12分)在数列{a n }中,a 1=4,na n+1-(n+1)a n =2n 2+2n. (1)求证:数列{an n }是等差数列; (2)求数列{1a n}的前n 项和S n .答案1.B 解法一 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则 (3a 1+3d )2=9(2a 1+d ),4a 1+6d =4(2a 1+d ),即(a 1+d )2=2a 1+d ,d =2a 1,解得 a 1=0,d =0(舍去)或 a 1=49,d =89,则a 2=a 1+d=43,故选B . 解法二 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由题意得 (3a 2)2=9(a 1+a 2),4a 1+6d =4(a 1+a 2),即a 22=a 1+a 2,a 2=3a 1,解得 a 2=43,a 1=49或 a 2=0,a 1=0(舍去),故选B . 2.C 解法一 设羊、马、牛的主人赔偿粟的斗数分别为a 1,a 2,a 3,则这3个数依次成等比数列,公比q=2,于是得a 1+2a 1+4a 1=5,解得a 1=57,故a 3=207,a 3-a 1=207-57=157,故牛主人比羊主人多赔偿了157斗粟.解法二 羊、马、牛的主人所应赔偿的比例是1∶2∶4,故牛主人应赔偿5×47=207斗粟,羊主人应赔偿5×17=57斗粟,故牛主人比羊主人多赔偿了157斗粟.3.C 设等比数列{a n }的公比为q ,若q=1,则S 2=2a 1,S 4=4a 1,此时,S 4=5S 2不成立,故公比q ≠1,则S n =a 1(1-q n )1-q,由S 4=5S 2得a 1(1-q 4)1-q=5a 1(1-q 2)1-q,即q 4-5q 2+4=0,解得q 2=1或q 2=4,所以q=-1或q=±2,又a 2·a 7a 42=a 1q ·a 1q 6(a 1q 3)2=q=-1或±2,故选C .4.D 解法一 数列{a n }是公比q=2的等比数列,由a 6=a 2·a 10得a 1q 5=a 1q ·a 1q 9,∴a 1q 5=1,∴a 6=1,∴b 9=2a 7=2a 6·q=2×1×2=4,设等差数列{b n }的公差为d ,则S 17=17b 1+17×162d=17(b 1+8d )=17b 9=68,故选D .解法二 数列{a n }是公比为2的等比数列,由等比数列的性质得a 6=a 2·a 10=a 62,∴a 6=1,∴b 9=2a 7=2a 6×2=4,∴等差数列{b n }的前17项和S 17=17(b 1+b 17)2=17b 9=68,故选D .5.a n =12n -1 ∵2a n ·a n+1+a n+1-a n =0,∴2+a n +1an ·a n +1-a nan ·a n +1=0,∴1an +1-1a n=2,由等差数列的定义可得{1a n}是以1a 1=1为首项,2为公差的等差数列,故1a n=1+2(n-1)=2n-1,∴a n =12n -1.6.11 解法一 设等差数列{a n }的公差为d ,则由S 13=91,得13a 1+13×(13-1)2d=91,根据a 1=1,得d=1,所以a n =n ,所以S k =k (k +1)2,所以S k a k=k +12=6,所以k=11.解法二 在等差数列{a n }中,S 13=91,根据等差数列的性质,可得13a 7=91,即a 7=7,又a 1=1,所以可得公差d=1,即a n =n ,所以S k =k (k +1)2,所以S k a k=k +12=6,所以k=11.7.(1)由题意知数列{a n 2}是以a 12=1为首项,2为公差的等差数列, 则a n 2=1+(n-1)×2=2n-1,(2分)所以数列{a n }的通项公式为a n = 2n -1或a n = 1,n =1,- 2n -1,n ≥2.(6分) (2)由(1)知a n 2(12)n =(2n-1)12,设数列{a n 2(12)n }的前n 项和为S n ,则S n =1×12+3×12+5×12+…+(2n-1)×12 ①,12S n=1×122+3×123+5×124+…+(2n-1)×12n +1 ②, (8分)①-②,得1 2S n=12+2(12+12+…+12)-(2n-1)×12=1 2+2×14(1-12n-1)1-12-(2n-1)×12=3 2-(2n+3)×12,所以S n=3-2n+32n.故数列{a n2(12)n}的前n项和为3-2n+32n.(12分)8.(1)因为a4,a6,a9成等比数列,所以a62=a4·a9,(2分) 所以(a1+5)2=(a1+3)·(a1+8),解得a1=1,(3分) 所以a n=n.(5分)(2)由(1)知,a n=n,所以b n=(-2)n+(-1)n·2n+1n(n+1)=(-2)n+(-1)n(1n+1n+1).(8分)所以数列{b n}的前2n项和T2n=(-2+22-23+24+…-22n-1+22n)+[-(1+12)+(12+13)-(13+14)+…+(12n+12n+1)]=-2[1-(-2)2n]1-(-2)+(-1-12+12+13-13-14+…+12n+12n+1)=2(4n-1)3+(-1+12n+1)=2(4n-1)3-2n2n+1.(12分)9.(1)设数列{a n}的公差为d.由log2a1,log2a3,log2a7成等差数列,得2log2a3=log2a1+log2a7,(2分) 即2log2(3+d)=log2(3-d)+log2(3+5d),(3分) 得log2(3+d)2=log2(3-d)(3+5d),得(3+d)2=(3-d)(3+5d),解得d=1或d=0(舍去).(5分) 所以数列{a n}的通项公式为a n=a2+(n-2)·d=3+(n-2)·1=n+1.(7分)(2)因为b n=1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,(9分)所以S n=12-13+13-14+14-15+…+1n-1-1n+1n-1n+1+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2).(12分)10.(1)解法一na n+1-(n+1)a n=2n2+2n的两边同时除以n(n+1),得a n+1n+1-a nn=2.又a11=4,所以数列{a nn}是首项为4,公差为2的等差数列.(6分)解法二因为a n+1n+1-a nn=na n+1-(n+1)a nn(n+1)=2n2+2nn2+n=2,a11=4,所以数列{a nn}是首项为4,公差为2的等差数列.(6分)(2)由(1),得a nn=a1+2(n-1),即a nn=2n+2,即a n=2n2+2n,故1a n =12n2+2n=12·1n(n+1)=12(1n-1n+1),(9分)所以S n=12[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=1 2(1-1n+1)=n2(n+1).（12分）。

一、选择题1．(2018届杭州模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n 2．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2n ，n ≥2C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1 3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝－2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．(－2)n －1＋1B ．2n －1＋1 C ．(－2)n －1 D ．(－2)n ＋1－1 4．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( ) A.b －a nB.a －b n ＋1C.b －a n ＋1D.b －a n ＋2 5．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且满足a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2，a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4，则a 1a 5等于( )A ．24 2B ．8C ．8 2D ．166．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <07．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．118．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．(n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(2n ＋1)2－1二、填空题9．定义：称n x 1＋x 2＋…＋x n为n 个正数x 1，x 2，…，x n 的“平均倒数”，若正项数列{c n }的前n 项的“平均倒数”为12n ＋1，则数列{c n }的通项公式c n ＝________. 10．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝⎩⎨⎧ 1＋2a n 2，n 为偶数，12＋2a n －12，n 为奇数，n ＝2,3,4，…，设b n ＝a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，则数列{b n }的通项公式是________．11．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，若对任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 4＋b 8＝________. 12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝3a n －1＋3n ＋4(n ∈N *，n ≥2)，若存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n 为等差数列，则λ＝________.答案精析1．A [因为a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， 所以a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n (n ≥2)，又a 1＝2也满足2＋ln n ，所以a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．]2．B 3.A4．C5．C [∵a 1＋a 22＝2(a 1＋a 2)a 1a 2，∴a 1a 2＝4，同理，a 3a 4＝16， ∴q 2＝2，即q ＝ 2.∵a 3a 4＝16，∴a 23＝82，而a 1a 5＝a 23，∴a 1a 5＝82，故选C.]6．D [令b n ＝2a 1a n ，因为数列{b n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1，所以a 1d <0.] 7．B [∵{b n }为等差数列且b 3＝－2，b 10＝12，∴b 10－b 3＝7d ＝14，∴d ＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8.∴a n ＋1－a n ＝2n －8.∴a 8－a 7＝6，a 7－a 6＝4，…，a 2－a 1＝－6，累加得a 8－a 1＝7×(6－6)2＝0，∴a 8＝a 1＝3.故选B.] 8．A [当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n n ＋1，得4(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1n ，两式相减，得4a n ＝(n ＋2)2a n n ＋1－(n ＋1)2a n －1n ，即a n a n －1＝(n ＋1)3n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(n ＋1)3n 3×n 3(n －1)3×…×3323×8＝(n ＋1)3，经验证n ＝1时也符合，所以a n ＝(n ＋1)3.]9．4n －1解析 由已知可得，数列{c n }的前n 项和S n ＝n (2n ＋1)，所以数列{c n }为等差数列，首项c 1＝S 1＝3，c 2＝S 2－S 1＝10－3＝7，故公差d ＝c 2－c 1＝7－3＝4，得数列的通项公式为c n ＝c 1＋(n －1)×4＝4n －1.10．b n ＝2n解析 由题意可知，对于任意的正整数n ，b n ＝a 2n －1＋1，所以b n ＋1＝a 2n ＋1，又a 2n ＋1＝2(a 2n －1＋1)＝2b n ，所以b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 1＋1＝2， 所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以b n ＝2n .11.1941解析 ∵等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，对任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 4＋b 8＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝2a 62b 6＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941. 12．2解析 设b n ＝a n ＋λ3n ，得a n ＝3n b n －λ，代入已知得3n b n －λ＝3(3n －1b n －1－λ)＋3n ＋4，变形为3n (b n －b n －1－1)＝－2λ＋4，这个式子对大于1的所有正整数n 都成立．由于{b n }是等差数列，b n －b n －1是常数，所以b n －b n －1－1＝0，即－2λ＋4＝0，可得λ＝2.。

北京师范大学附中2019高三数学二轮练习单元练习：数列本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分、总分值150分、考试时间120分钟、第一卷(选择题 共60分)【一】选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 1、设等比数列{n a }的公比q=2，前n 项和为S 。

，那么43S a 的值为( )A 、154B 、152C 、74D 、72【答案】A2、利用数学归纳法证明 “*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是( )A 、 12+kB 、 112++k k C 、 1)22)(12(+++k k k D 、 132++k k【答案】C 3、等差数列5724,743…，那么使得n S 取得最大值的n 值是( ) A 、15 B 、7C 、8和9D 、 7和8【答案】D 4、数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，那么数列{}n a 各项中最小项是( )A 、 第4项B 、 第5项C 、 第6项D 、 第7项【答案】B 5、两个等差数列{}na和{}n b 的前n 项和分别A n和B n，且3457++=n n B A n n，那么使得nn b a 为整数的正整数n 的值是( ) A 、1，3，5，8，11 B 、所有正整数 C 、1，2，3，4，5 D 、1，2，3，5，11【答案】D 6、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设17S 为一确定常数，那么以下各式也为确定常数的是( ) A 、215a a + B 、215a a ⋅C 、2916a a a ++D 、2916a a a ⋅⋅【答案】C7、等比数列}{n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差，那么87109a a a a ++=( ) A 、21+B 、21- C 、223+D 、223-【答案】C8、在等差数列{a n }中，假设a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，那么2 a 10－a 12的值为( )A 、20B 、22C 、24D 、28【答案】C 9、在等差数列中，有，那么此数列的前13项之和为( ) A 、24 B 、39C 、52D 、104【答案】C10、一个正项等比数列{}n a 中，225)()(1088977=+++a a a a a a ，那么=+97a a ( )A 、20B 、15C 、10D 、5【答案】B 11、等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，那么1a =( )A 、 12B 、C 、D 、 2【答案】B12、假设数列{}na的通项公式为),n a n N *=∈假设前n 项和为10，那么项数为( ) A 、 11 B 、99C 、120D 、121【答案】C第二卷(非选择题 共90分)【二】填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) ①假设{}n a 是等差数列，那么三点10(10,)10S 、100(100,)100S 、110(110,)110S 共线； ②假设{}n a 是等差数列，且111a =-，376a a +=-，那么1S 、2S 、…、n S 这n 个数中必然存在一个最大者； ③假设{}n a 是等比数列，那么m S 、2m m S S -、32m m S S -(*m N ∈)也是等比数列；④假设11n n S a qS +=+(其中常数10a q ≠)，那么{}n a 是等比数列.其中正确命题的序号是.(将你认为的正确命题的序号．．都填上) 【答案】①④ 14、设为等差数列的前项和，假设，，那么当取得最大值时，的值为。

一、选择题1.用数学归纳法证“42n －1＋3n ＋1(n ∈N ＋)能被13整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时为了使用归纳假设，对42k ＋1＋3k ＋2变形正确的是( ) A.16(42k －1＋3k ＋1)－13×3k ＋1 B.4×42k ＋9×3kC.(42k －1＋3k ＋1)＋15×42k －1＋2×3k ＋1D.3(42k －1＋3k ＋1)－13×42k －1 解析 42n ＋1＋3k ＋2＝42·42n －1＋3·3k ＋1 ＝16·42n －1＋16·3k ＋1－13·3k ＋1＝16(42n －1＋3k ＋1)－13·3k ＋1.故选A. 答案 A2.数列{a n }中的a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a n ＋1的表达式是( )A.a n ＋1＝a n ＋12n ＋2B.a n ＋1＝a n ＋12n ＋1＋12n ＋2C.a n ＋1＝a n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1D.a n ＋1＝a n ＋12n ＋2－1n ＋1解析 a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝a n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1，选C.答案 C3.用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＞2n ＋12成立时，当n ＝2时验证的不等式是( ) A.1＋13＞52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15＞52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15≥52 D.以上都不对 解析 n ＝2时，1＋12×2－1＝1＋13，所以应为1＋13＞52，选A. 答案 A4.用数学归纳法证明“对任意 x ＞0和正整数n ，都有x n ＋x n －2＋x n －4＋…＋1xn －4＋1x n －2＋1x n ≥n ＋1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( ) A.n 0＝1 B.n 0＝2C.n 0＝1，2D.以上答案均不正确解析 当n 0＝1，x ＋1x ≥2成立，故选A. 答案 A5.数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，又n ≥3时，a n ＝a n －1＋a n －2，则( ) A.当n ∈N *，n ＞2时，a n 是偶数 B.n ∈N *，a 3n 是2的倍数 C.n ∈N *，a n ＝12n 2－32n ＋2D.以上都不对解析 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8， 规律为a 3n 为偶数，a 3n ＋1为奇数，a 3n ＋2为奇数. 所以，a 3n 是2的倍数，选B. 答案 B6.用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n （3n ＋1）2的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于( ) A.3k ＋2B.3k ＋1C.k ＋1D.3k解析 n ＝k 时，(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )，n ＝k ＋1时，(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(k ＋k )＋(k ＋k ＋1)＋(k ＋k ＋2). 故差为2k ＋1＋2k ＋2－(k ＋1)＝3k ＋2，选A. 答案 A7.上一个n 层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f (n )，则下列猜想正确的是( ) A.f (n )＝nB.f (n )＝f (n )＋f (n －2)C.f (n )＝f (n )·f (n －2)D.f (n )＝⎩⎨⎧n （n ＝1，2）f （n －1）＋f （n －2）（n ≥3）解析 f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝3，f (4)＝C 04＋C 13＋C 22＝5，f (5)＝C 05＋C 14＋C 23＝1＋4＋3＝8，f (6)＝C 06＋C 16＋C 24＋C 23＝1＋5＋6＋1＝13，从以上6个式子可找出规律，选D. 答案 D 8.用数学归纳法证明11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）＝nn ＋1(n ∈N ＋)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，等式左边需增添的项是( ) A.1k （k ＋1）B.1k （k ＋1）＋1（k ＋1）（k ＋2）C.1（k ＋1）（k ＋2） D.1k （k ＋2）解析 n ＝k 时，11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1）n ＝k ＋1时，11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1）＋1（k ＋1）（k ＋2）增添的项为1（k ＋1）（k ＋2），应选C.答案 C9.若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＜n (n ∈N *)成立，则n 的取值范围是( )A.n ∈N *B.n ≥2C.n ≥3D.1≤n ≤3解析 n ＝1时，左边2，右边为1，2＜1不成立. n ＝2时，左边⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94，右边为2，94＜2不成立.n ＝3时，左边6427，右边为3，6427＜3成立，故选C. 答案 C10.从1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出( )A.1－4＋9－16＋…＋(－n )2＝(－1)n －1·n （n ＋1）2B.1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1·n （n ＋1）2C.1－4＋9－16＋…＋(－1)n n 2＝(－1)n －1·n （n －1）2D.1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n ·n （n －1）2解析 1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n )＝(－1)n －1n （n ＋1）2.答案 B 二、填空题11.设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，用数学归纳法证明a n ＝4·2n －1－2的第二步中，设n ＝k 时结论成立，即a k ＝4·2k －1－2，那么当n ＝k ＋1时，________. 解析 a k ＋1＝2a k ＋2＝2(4·2k －1－2)＋2 ＝4·2k －4＋2＝4·2k －2＝4·2(k ＋1)－1－2. 答案 a k ＋1＝4·2(k ＋1)－1－212.观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *). 解析 3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1， 可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2.答案 1＋12＋13＋…＋12n －1＞n213.在数列{a n }中，a 1＝1且S n ，S n ＋1，2S 1成等差数列，则S 2，S 3，S 4分别为________，猜想S n ＝________.解析 S 1＝1，2S n ＋1＝S n ＋2S 1， 当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2＝3，S 2＝32. 当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2，S 3＝74. 当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2，S 4＝158. 猜想S n ＝2n －12n －1.答案 32、74、158 2n－12n －114.用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1（n ＋1）2＞12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是________.解析 当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2＞12－1k ＋3.答案 122＋132＋142＋…＋1（k ＋2）2＞12－1k ＋3 三、解答题15.用数学归纳法证明：f (n )＝3·52n ＋1＋23n ＋1(n ∈N *)能被17整除. 证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23， 故f (1)能被17整除. (2)假设n ＝k 时，命题成立.即f (k )＝3·52k ＋1＋23k ＋1能被17整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3·52k ＋3＋23k ＋4 ＝52·3·52k ＋1＋52·23k ＋1－52·23k ＋1＋23k ＋4 ＝25f (k )－17·23k ＋1.由归纳假设，可知f (k )能被17整除，又17·23k ＋1显然可被17整除， 故f (k ＋1)能被17整除.综合(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n )能被17整除. 16.求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N ＋). 证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞56，不等式成立. (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，命题成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56. 则当n ＝k ＋1时，1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13（k ＋1）＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 ＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋均成立.17.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15. (1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式. 解 (1)由题意知S 2＝4a 3－20，∴S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20.又S 3＝15，∴a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， ∴a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明. ①当n ＝1时，结论显然成立 ； ②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ＝2k ＋1， 则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k [3＋（2k ＋1）]2＝k (k ＋2).又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ， ∴k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ， 解得2a k ＋1＝4k ＋6， `∴a k ＋1＝2(k ＋1)＋1， 即当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.18.如右图，圆C 上有n 个不同点P 1，P 2，…，P n ，设两两连结这些点所得线段P i P j 中，任意三条在圆内都不共点，试证它们在圆内共有C 4n 个交点(n ≥4). 证明 设圆内交点个数为P (n )，(1)当n ＝4时，则P (4)＝1＝C 44，命题成立.(2)假设n ＝k 时，P (k )＝C 4k ，不妨设第k ＋1个点在P k P 1︵上，且P 1，P 2，…，P k ，P k ＋1按逆时针方向排列，依次连结P k ＋1P 1，P k ＋1P 2，…，可增加k 条线段，分别考查这k 条线段与此前圆内线段的交点个数：与P k ＋1P 1：0个； 与P k ＋1P 2：k －2个(与P 1P 3，P 1P 4，…，P 1P k 交得)；与P k ＋1P 3：2(k －3)个(与P 1P 4，P 1P 5，…，P 1P k ；P 2P 4，…，P 2P k 交得)； 与P k ＋1P 4：3(k －4)个(分别与P 1P 5，…P 1P k ，…，P 3P k 交得)； 与P k ＋i P k －1：(k －2)×1个(分别与P 1P k ，P 2P k ，…，P k －2P k 交得)，故总共增加：1(k －2)＋2(k －3)＋3(k －4)＋…＋(k －2)[(k －1)－(k －2)]＝k ＋2k ＋…＋(k －2)k －[1×2＋2×3＋3×4＋…＋(k －2)(k －1)]个交点，得P(k＋1)＝C4k＋k（k－1）（k－2）2－2[C22＋C23＋…＋C2k－1]＝C4k＋3C3k－2C3k＝C4k＋C3k＝C4k＋1，可见命题当n＝k＋1时成立，从而对一切n≥4的自然数n成立.。

学案32 数列的综合应用导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．自主梳理1．数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．(1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．(2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．(4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n求a n时，要对______________进行分类讨论．2．数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型．(1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n还是求S n.(2)分期付款中的有关规定①在分期付款中，每月的利息均按复利计算；②在分期付款中规定每期所付款额相同；③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．自我检测1．(原创题)若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为 ( )A．12 B．18C．22 D．442．(2018·汕头模拟)在等比数列{a n}中，a n>a n＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a6a16等于 ( )A.23B.32C．－16D．－563．若{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n}的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n}，设{b n}的前n项和为S n，对于任意的n∈N*，下列结论正确的是 ( )A．b n＋1＝3b n，且S n＝12(3n－1)B．b n＋1＝3b n－2，且S n＝12(3n－1)C．b n＋1＝3b n＋4，且S n＝12(3n－1)－2nD．b n＋1＝3b n－4，且S n＝12(3n－1)－2n4．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是 ( )A．10秒钟B．13秒钟C．15秒钟D．20秒钟5．(2018·台州月考)已知数列{a n}的通项为a n＝nn2＋58，则数列{a n}的最大项为 ( ) A．第7项B．第8项C．第7项或第8项D．不存在6．(2018·南京模拟)设数列{a n}，{b n}都是正项等比数列，S n，T n分别为数列{lg a n}与{lg b n}的前n项和，且S nT n＝n2n＋1，则logb5a5＝________.探究点一等差、等比数列的综合问题例1设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n}的通项；(2)令b n＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{b n}的前n项和T n.变式迁移1 假设a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足0<a1<2，a3＝4.若b n＝2a n(n＝1,2,3,4)．给出以下①数列{b n}是等比数列；②b2>4；③b4>32；④b2b4＝256.其中正确A．1 B．2 C．3 D．4探究点二数列与方程、函数、不等式的综合问题例2(2018·温州月考)已知函数f(x)＝2x＋33x，数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f⎝⎛⎭⎪⎫1a n，n∈N*，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令T n＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2n a2n＋1，求T n；(3)令b n＝1a n－1a n (n≥2)，b1＝3，S n＝b1＋b2＋…＋b n，若S n<m－2 0012对一切n∈N*成立，求最小正整数m.变式迁移2 已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n log 12a n，S n＝b1＋b2＋…＋b n，对任意正整数n，S n＋(n＋m)a n＋1<0恒成立，试求m的取值范围．探究点三数列在实际问题中的应用例3(2018·福州模拟)有一个下岗职工，1月份向银行贷款10 000元，作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳所得税为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？变式迁移3 假设某市2019年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2019年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)1．数列实际应用问题：(1)数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．(2)在试题中常用的数学模型有①构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式求解；②通过归纳得到结论，用数列知识求解．2．解决数列综合问题应体会以下思想及方法：(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)数列与不等式结合时需注意放缩．(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2018·湖北)已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8的值为( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 22．(2018·漳州模拟)数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有 ( )A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定3．有限数列A ：a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S nn为A 的“凯森和”，若有99项的数列a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为 1 000，则有100项的数列1，a 1，a 2，…，a 99的“凯森和”为 ( )A ．1 001B ．991C ．999D ．9904．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( )A ．6秒B ．7秒C ．8秒D ．9秒5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f(x)＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于 ( )A ．6．(2018·丽水月考)若数列{a n }的通项公式a n ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫252n －2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x ＋y ＝________.7．(2018·江苏)函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.8．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为________．1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 ……………………………………三、解答题(共38分)9．(12分)(2018·湘潭模拟)已知点(1，13)是函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f(n)－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0002 009的最小正整数n 是多少？10．(12分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性技术改造．乙企业的经营现状是：每月收入为45万元，但因设备老化，从下月开始需付设备维修费，第一个月为3万元，以后每月递增2万元．甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业．据预测，改造后乙企业第一个月收入为16万元，在以后的4个月中，每月收入都比上个月增长50%，而后每个月收入都稳定在第5个月的水平上．若设备改造时间可忽略不计，那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？11．(14分)(2018·广东执信中学模拟)已知函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝12.(1)当n ∈N *时，求f(n)的表达式；(2)设a n ＝n·f(n)，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2；(3)设b n ＝(9－n)＋，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．答案 自主梳理 1．(4)n ＝1或n≥2 自我检测1．C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.919课堂活动区例1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年2．利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q.又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q>1，∴q＝2，∴a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n＝3nln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n(b 1＋b n )2＝3n(n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n(n ＋1)2ln 2.变式迁移1 D [设a 1，a 2，a 3，a 4的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，又0<a 1<2，所以1<d<2.易知数列{b n }是等比数列，故(1)正确；a 2＝a 3－d ∈(2,3)，所以b 2＝2a 2>4，故(2)正确；a 4＝a 3＋d>5，所以b 4＝2a 4>32，故(3)正确；又a 2＋a 4＝2a 3＝8，所以b 2b 4＝2a 2＋a 4＝28＝256，故(4)正确．]例2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项a n ，观察T n 特点，求出T n .由a n 再求b n 从而求S n ，最后利用不等式知识求出m.解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n)．(3)当n≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，又b 1＝3＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝9n2n ＋1， ∵S n <m －2 0012对一切n∈N *成立．即9n 2n ＋1<m －2 0012， 又∵9n 2n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1递增，且9n 2n ＋1<92.∴m －2 0012≥92， 即m≥2 010.∴最小正整数m ＝2 010.变式迁移2 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q. 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8， 解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2n.(2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n·2n，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n×2n ＋1.②∴①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n·2n ＋1＝2n ＋1－n·2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m)a n ＋1<0，即2n ＋1－n·2n ＋1－2＋n·2n ＋1＋m·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n ，m<12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m≤－1， 即m 的取值范围是(－∞，－1]．例3 解 依题意，第1个月月余款为a 1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300 ＝11 500，第2个月月底余款为a 2＝a 1(1＋20%)－a 1×20%×10%－300， 依此类推下去，设第n 个月月底的余款为a n 元，第n ＋1个月月底的余款为a n ＋1元，则a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n ×20%×10%－300＝1.18a n －300. 下面构造一等比数列． 设a n ＋1＋x a n ＋x＝1.18，则a n ＋1＋x ＝1.18a n ＋1.18x ， ∴a n ＋1＝1.18a n ＋0.18x. ∴0.18x＝－300.∴x＝－5 0003，即a n ＋1－5 0003a n －5 0003＝1.18.∴数列{a n －5 0003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a 1－5 0003＝11 500－5 0003＝29 5003.∴a n －5 0003＝29 5003×1.18n －1，∴a 12－5 0003＝29 5003×1.1811，∴a 12＝5 0003＋29 5003×1.1811≈62 396.6(元)，即到年底该职工共有资金62 396.6元． 纯收入有a 12－10 000(1＋25%)＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．变式迁移3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{a n }， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50， 则a n ＝250＋(n －1)·50＝50n ＋200，S n ＝250n ＋n(n －1)2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1. 由题意可知a n >0.85b n ，即50n ＋200>400·(1.08)n －1·0.85. 当n ＝5时，a 5<0.85b 5， 当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2019年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 课后练习区1．C 2.B 3.B 4.B 5.D 6．3 7.21 8.1079．解 (1)∵f(1)＝a ＝13，∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.…………………………………………………(1分)a 1＝f(1)－c ＝13－c ，a 2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，a 3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227；又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c＝1；……………………………………………………………………………………(2分)公比q ＝a 2a 1＝13，a n ＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，n∈N *；………………………………(3分)∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1＝S n ＋S n －1(n>2)，……………………………………………………………………(4分)又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1； 又当n ＝1时，也适合上式，∴b n ＝2n －1，n∈N *.……………………………………………………………………(6分)(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.……………………………………………(10分) 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n>1 0009，∴满足T n >1 0002 009的最小正整数为112.…………………………………………………(12分)10．解 设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n (万元)，技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为B n (万元)．依题意得A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝43n －n 2，………………………………………………………………………………(4分)当n≥5时，B n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫325－132－1＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫324(n －5)－400＝81n －594，…………………………………………………………(8分) ∴当n≥5时，B n －A n ＝n 2＋38n －594，令n 2＋38n －594>0，即(n ＋19)2>955，解得n≥12，∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)令x ＝n ，y ＝1，得到f(n ＋1)＝f(n)·f(1)＝12f(n)，……………………………………………………………(2分)∴{f(n)}是首项为12，公比为12的等比数列，即f(n)＝(12)n.………………………………………………………………………………(5分)(2)记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，∵a n ＝n·f(n)＝n·(12)n，……………………………………………………………………(6分)∴S n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n×(12)n，12S n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n×(12)n ＋1， 两式相减得12S n ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n×(12)n ＋1，整理得S n ＝2－(12)n －1－n(12)n<2.…………………………………………………………(9分)(3)∵f(n)＝(12)n ，而b n ＝(9－n)f(n ＋1)f(n)＝(9－n)(12)n ＋1(12)n ＝9－n2.…………………………………………………………………(11分)当n≤8时，b n >0； 当n ＝9时，b n ＝0； 当n>9时，b n <0，∴n＝8或9时，S n 取到最大值．……………………………………………………(14分)。

单元质检卷六 数列(B )(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 5·a 6=4,则数列{log 2a n }的前10项和为( )A.5B.6C.10D.12 2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m=( ) A.3B.4C.5D.6 3.已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7B.5C.-5D.-7 4.(2017江西新余一中模拟七,理8)设等差数列{a n }满足3a 8=5a 15,且a 1>0,S n 为其前n 项和,则数列{S n }的最大项为( )A.S 23B.S 24C.S 25D.S 26 5.(2017宁夏银川一中二模,理8)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项,S 8=16,则S 10等于( )A.18B.24C.30D.60 6.(2017辽宁沈阳三模,理11)数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n +a n+1=3×2n-1,则S 2 017=( )A.22 018-1B.22 018+1C.22 017-1D.22 017+1 〚导学号21500630〛 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2017辽宁沈阳一模)等比数列{a n }的公比q>0.已知a 2=1,a n+2+a n+1=6a n ,则{a n }的前4项和S 4= .8.(2017石家庄二中模拟,理16)已知数列{a n }满足:a 1=1,a n =a n -12+2a n-1(n ≥2),若b n =1a n+1+1a n +2(n ∈N +),则数列{b n }的前n 项和S n = .三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=2,S n =2a n +k ,等差数列{b n }的前n 项和为T n ,且T n =n 2.(1)求k 和S n ;(2)若c n =a n ·b n ,求数列{c n }的前n 项和M n .10.(15分)(2017陕西渭南二模)已知{a n }为公差不为零的等差数列,其中a 1,a 2,a 5成等比数列,a 3+a 4=12,(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =2a n ·a n+1,设{b n }的前n 项和为S n ,求最小的正整数n ,使得S n >2 0162 017.〚导学号21500631〛11.(15分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=1-14a n ,其中n ∈N +. (1)设b n =22a n-1,求证:数列{b n }是等差数列,并求出{a n }的通项公式. (2)设c n =4a n n+1,数列{c n c n+2}的前n 项和为T n ,是否存在正整数m ,使得T n <1c m c m+1对于n ∈N +恒成立?若存在,求出m 的最小值;若不存在,请说明理由.。

单元检测十一统计与统计案例考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为()A．①随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样2．根据如下样本数据得到的线性回归方程为y＝bx＋a，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<03．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是()A．模型1的相关系数r为0.98B．模型2的相关系数r为0.80C．模型3的相关系数r为0.50D．模型4的相关系数r为0.254．(2018·大连模拟)某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距5将数据分组成[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是()5．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都是s，对变量y的观测数据的平均数都是t，那么下列说法正确的是()A．l1和l2必定平行B．l1与l2必定重合C．l1和l2一定有公共点(s，t)D．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)6．(2017·湖南师大附中月考)为了考察某种病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，可得出( )A ．有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”B ．有95%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”C ．有99.5%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”D ．有99.5%以上的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” 7．(2018·湖南四校联考)以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越大，模拟的拟合效果越好； ②在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝－12x ＋1上，则这组样本数据的线性相关系数为－12；③对分类变量x 与y 的随机变量χ2来说，χ2越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大． 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．08．某同学将全班某次数学考试的成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示)．据此估计此次考试成绩的众数是( )A ．100B ．110C ．115D ．1209．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的精确值为( ) A ．3 B ．3.15C ．3.5D ．4.510.某5位工人在某天生产同一种零件，所生产零件个数的茎叶图如图所示，已知他们生产零件的平均数为10，标准差为2，则|x －y |的值为( )(注：标准差s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数) A ．4 B ．6C ．7D ．811.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0至9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关12．(2017·武汉调研)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45)的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2018·南昌模拟)在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i (1≤i ≤4)，在如图所示的算法框图中，x 是这4个数据的平均数，则输出的v 的值为________．14．为了解某市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据绘制成频率分布直方图，记甲、乙、丙调查所得到数据的标准差分别为S1，S2，S3，则它们的大小关系为____________．(用“>”连接)15．变量y与x有线性回归方程y＝bx＋a，现在将y的单位由cm变为m，x的单位由ms(1 ms ＝1.0×10－3s)变为s，则在新的线性回归方程y＝b*x＋a*中a*＝________.(用含有a，b的代数式表示)16．甲、乙两厂生产某种产品，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据.当产品中微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，则用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)某网站针对“2019年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：(1)从所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；(2)从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以下的人数有多少？35岁以上(含35岁)的人数有多少？18．(12分)(2018·鞍山模拟)某班主任对该班22名学生进行了作业量的调查，在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)对于该班学生，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系？附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).19.(12分)某农科所对冬季昼夜温差x(℃)与某反季节新品种大豆种子的发芽数y(颗)之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日每天的昼夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到的数据如下表所示：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，剩下的2组数据用于线性回归方程的检验．(1)请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选的验证数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？如果可靠，请预测温差为14 ℃时种子的发芽数；如果不可靠，请说明理由．20．(12分)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.(1)求出m，n的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s2甲和s2乙，并由此分析两组技工的加工水平；(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．21．(12分)(2018·邯郸模拟)今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表：(月均用水量的单位：吨)(1)请完成该频率分布表，并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图；(2)估计样本的中位数是多少？(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？22．(12分)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，制作了频率分布直方图．(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(3)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样)，其中月均用水量不超过(2)中最低标准的人数为X，求X的分布列和均值．答案精析1．B [社会购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入的差别明显，故①适宜采用分层抽样；而从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况时，个体之间差别不大，且总体数量和样本容量都较小，故②适宜采用随机抽样．] 2．B [根据题中表内数据画出散点图(图略)，由散点图可知b <0，a >0，故选B.] 3．A [相关系数r 越大，拟合效果越好，因此模型1的拟合效果最好．]4．A [由频率分布直方图可知：第一组[0,5)的频数为20×0.01×5＝1，第二组[5,10)的频数为20×0.01×5＝1，第三组[10,15)的频数为20×0.04×5＝4，第四组[15,20)的频数为20×0.02×5＝2，第五组[20,25)的频数为20×0.04×5＝4，第六组[25,30)的频数为20×0.03×5＝3，第七组[30,35)的频数为20×0.03×5＝3，第八组[35,40]的频数为20×0.02×5＝2，则对应的茎叶图为A.] 5．C [注意到回归直线必经过样本点中心，故选C.] 6．A7．A [根据相关系数的意义可知①正确；相关系数(r ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1(x i －x )2∑n i ＝1(y i －y )2)反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率b ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2无关，即样本数据的线性相关系数为－1，故②错误；χ2越小，x 与y 有关系的把握程度越小，故③错误．故选A.]8．C [众数是一组数据出现次数最多的数，结合题中频率分布折线图可以看出，数据“115”对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，据此估计此次考试成绩的众数是115.] 9．A [∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，代入y ＝0.7x ＋0.35，得y ＝3.5，∴t ＝3.5×4－(2.5＋4＋4.5)＝3，故选A.]10．B [由茎叶图知这5个数为x,9,10,11,10＋y ，根据这组数据的平均数为10，得x ＋y ＝10，即x －10＝－y .又这5个数的标准差为2，所以15[(x －10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(10＋y －10)2]＝2，整理得(x －10)2＋y 2＝8，所以2y 2＝8，解得y ＝2，x ＝8， 所以|x －y |＝6.]11．B [去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a 2>a 1.故选B.]12．C [由频率分布直方图的知识，得年龄在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，设年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的频率为x ，y ，z ，又x ，y ，z 成等差数列，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1－0.05－0.35，x ＋z ＝2y ，解得y ＝0.2，所以年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.故选C.] 13．5解析 根据题意得到的数据为78,80,82,84，则x ＝81. 该算法框图的功能是求以上数据的方差，故输出的v 的值为 14[(78－81)2＋(80－81)2＋(82－81)2＋(84－81)2]＝5. 14．S 1>S 2>S 3解析 根据三个频率分布直方图可知，甲调查所得数据的绝大部分处于两端，偏离平均数远，其方差最大；乙所得数据分布均匀，单峰的每一个小长方形的差别比较小，其方差比甲所得数据的方差小；而丙所得数据绝大部分都在平均数左右，数据最集中，故方差最小．综上可知S 1>S 2>S 3. 15．0.01a解析 由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x 2，a ＝y －b x ，且y 的值变为原来的10－2，x 的值变为原来的10－3，可得a *的值应为原来的10－2.16．14解析 乙厂生产的产品总数为5÷1498＝35，样品中优等品的频率为25，则估计乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14.17．解 (1)由题意知6100＋200＝n200＋400＋800＋100＋100＋400，解得n ＝40.(2)这5人中，35岁以下的人数为5400＋100×400＝4，35岁以上(含35岁)的人数为5400＋100×100＝1.18．解 (1)根据题中所给数据，得到如下2×2列联表：(2)χ2＝22×(10×7－3×2)212×10×13×9≈6.418，∵3.841<6.418，∴对于该班学生，可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系．19．解 (1)由已知得x ＝11＋13＋123＝12，y ＝25＋30＋263＝27， 则b ＝52，a ＝y －b x ＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以(1)中所得到的线性回归方程是可靠的． 当x ＝14时，有y ＝52×14－3＝32，即当温差为14 ℃时种子的发芽数约为32颗． 20．解 (1)根据题意可知x 甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x 乙＝15(9＋n ＋10＋11＋12)＝10，∴m ＝3，n ＝8.(2)s 2甲＝15[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2， s 2乙＝15[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2， ∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些．(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为a ，b ，则所有(a ，b )有(7,8)，(7,9)，(7,10)，(7,11)，(7,12)，(8,8)，(8,9)，(8,10)，(8,11)，(8,12)，(10,8)，(10,9)，(10,10)，(10,11)，(10,12)，(12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)，(13,8)，(13,9)，(13,10)，(13,11)，(13,12)，共25个，而a ＋b ≤17的基本事件有(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,8)，(8,9)，共5个，故满足a ＋b >17的基本事件共有25－5＝20(个)，故该车间“质量合格”的概率为2025＝45.21．解 (1)频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如图：(2)设中位数为x ，因为月均用水量在[0.5,4.5)内的频率是(0.06＋0.12)×2＝0.36，月均用水量在[0.5,6.5)内的频率是(0.06＋0.12＋0.20)×2＝0.76， 所以x ∈[4.5,6.5)，则(x －4.5)×0.2＝0.5－0.36， 解得x ＝5.2. 故中位数是5.2.(3)该乡每户平均月均用水量估计为1．5×0.12＋3.5×0.24＋5.5×0.40＋7.5×0.18＋9.5×0.06＝5.14. 5．14×1 200＝6 168.答 上级支援该乡的月调水量约为6 168吨． 22．解 (1)补充频率分布直方图如图．(2)月均用水量的最低标准应定为2.5吨．因为样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，所以要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨．(3)由题意可知，居民月均用水量不超过(2)中最低标准的概率是45，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，45，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫153＝1125，P (X ＝1)＝C 13×45×⎝⎛⎭⎫152＝12125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫15＝48125， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫453＝64125， 故X 的分布列为EX ＝3×45＝125.。