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3.4基本不等式课件(2)

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基本不等式 完整版课件

基本不等式 完整版课件

• 不等式的证明技巧—字母轮换不 等式的证法
求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥
abc(a＋b＋c)．
• [分析] 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换
a→b→c→a后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几
个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解．
[证明] 先证 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2， ∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， ∴a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2a2， ∴a4＋b4＋c2≥a2b2＋b2c2＋c2a2，
又∵ba＋ab≥2，ac＋ac≥2，bc＋bc≥2，
当且仅当ba＝ab，ac＝ac，bc＝bc，即 a＝b＝c＝13时，等号成立，
∴1a＋1b＋1c≥3＋2＋2＋2＝9.
[方法总结] 在对代数式进行变换时，并不是只能将代数 式中的“元”消去，也可利用整体代换将某些“常数”消去．
已知 a、b、c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
• [答案] 一正 二定 三相等
• 1.由基本不等式导出的几个结论
(1)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a、b∈R＋)，由 a2＋ b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得．
(2)ab≤(a＋2 b)2，(a、b∈R＋)，由a＋2 b≥ ab两边平方即得． (3)一个重要不等式链：b≥a＞0 时，b≥ a2＋2 b2≥a＋2 b ≥ ab≥a2＋abb＝1a＋2 1b≥a.
• 综合法证明不等式
已知 a、b、c、d 都是实数，且 a2＋b2＝1，c2 ＋d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1.

基本不等式-公开课课件-课件ppt

基本不等式-公开课课件-课件ppt

猜想：关于a+b有怎样的不等式？
ab
a 0, b 0
②基本不等式： ab
2
当且仅当a=b时，等号成立.
a b ：算术平均数
2
ab ：几何平均数
两个正数几何平均数不大于它们的算术平均
数
几何解释
如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点,过
点C的弦 DD ' 垂直于AB,AC= a ,BC=b.
公开课
3.4 基本不等式
如图，这是2002在北京
召开的第24届国际数学
家大会会标．
创设情境、体会感知：
三国时期吴国的数学家
赵爽
思考：这会标中含有
怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图
案中找出一些相等关系
或不等关系？
你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗？
赵爽“弦图”
D
A
a
c
证明
a b c ?
2ab
角形，它们的面积总和是S’=———
D
问3：观察图形S与S’有什么样的大
小关系？易得，s > s’,即
a b 2ab
2
G
H
C
2
问4：那么它们有相等的情况吗？
何时相等？
变化的弦图
E
A
F
a
c
a 2 b2
b
B
①重要不等式：a 2 b 2 2ab (a ,b R )
a 2 b2 2ab
x -1
归纳小结：用基本不等式要注意
，
例题2. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.
变式1. 若 > , > , 且 + = , 求的最小值.

高一上数学课件第2节 基本不等式

高一上数学课件第2节 基本不等式

[小组合作型] 利用基本不等式比较代数式的大小
(1)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋ bc＋ca 的大小关系是______．
(2)给出下列命题： ①若 x∈R，则 x＋1x≥2； ②若 a＞0，b＞0，则 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b； ③若 a＜0，b＜0，则 ab＋a1b≥2； ④不等式yx＋xy≥2 成立的条件是 x＞0 且 y＞0.其中正确命题的序号是 ________．
用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
图 3-4-1 现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每 间虎笼面积最大？
【精彩点拨】 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则问题是在 4x＋6y＝36 的前提 下求 xy 的最大值．
【自主解答】 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.
(2)只有当 x>0 时，才能由基本不等式得到 x＋1x≥2 x·1x＝2，故①错误；当 a>0，b>0 时，lg a∈R，lg b∈R，不一定有 lg a>0，lg b>0，故 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b 不一定成立，故②错误；当 a<0，b<0 时，ab>0，由基本不等式可得 ab＋a1b ≥2 ab·a1b＝2，故③正确；由基本不等式可知，当yx>0，xy>0 时，有yx＋xy≥2 yx·xy ＝2 成立，这时只需 x 与 y 同号即可，故④错误．
而 ab≤a＋2 b，故
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
不等式的证明

基本不等式(第2课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)

基本不等式(第2课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
当且仅当6x＝ x ，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60，
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.

基本不等式

基本不等式

(4,6)
x y20
z ax by
2 0
2
3x y 6 0
x
2.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值 [9,+∞) 范围是_______. 解：ab=a+b+3 2 ab 3
ab 2 ab 3 0
ab 3或 ab 1(舍去) ab 9
2 2

a b 2 ab
基本不等式公式： 2. a b 2 ab (a>0,b>0)
(当且仅当a b时, 等号成立) 1 特别地： （ 1） x 2 (x>0) x 1 （2） x -2 (x<0) x
b a （3） 2 (a,b同号) a b
例3.已知a>0,b>0,且ab=4,则a+b 的 最小值是______ 变式：已知a>0,b>0,且ab=4,则a+2b的 最小值是______ 4 例4.已知x>0,则 x 的最小值 x 是______
3.4基本不等式
（a b) b 0
2 2

a b 2ab
2 2
a b 2ab 当且仅当a=b时，
2 2
基本不等式公式：
1. a b 2ab (a, b R)
2 2
(当且仅当a b时, 等号成立)
a2 b2 变形： ab 2
基本不等式公式： ab (a>0,b>0) 3. ab 2
(当且仅当a b时, 等号成立)
ab 2 ) 变形：ab ( 2
( a , b R)
例7.要把一根20cm长的铁丝折成一个面积 最大的矩形，应当怎么折？

3.4基本不等式

3.4基本不等式

基本不等式的几何解释： 基本不等式的几何解释： D
A
a
C
b
B
E
几何意义：半弦 不大于半径 几何意义：半弦CD不大于半径
例1.用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园， 1.用篱笆围一个面积为100m 矩形菜园， 用篱笆围一个面积为 问这个矩形的长、宽各为多少时， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所 用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 结论1 两个正数积为定值， 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 已知直角三角形的面积等于50 50， Ex1: 已知直角三角形的面积等于50， 两条直角边各为多少时， 两条直角边各为多少时，两条直 角边的和最小，最小值是多少？ 角边的和最小，最小值是多少？
高二数学
§3.4基本不等式: 3.4基本不等式 基本不等式:
a+b ab ≤ 2
ICM2002会标 会标
D
a2 + b2
D
a G A H F b E C A
a E(FGH) b C
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a 不等式： 一般地，对于任意实数 、b，我们有 ， 当且仅当a=b时，等号成立。 时 等号成立。 当且仅当
基本不等式： 基本不等式：
a +b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。 时 等号成立。 当且仅当
注意： 注意： （1）两个不等式的适用范围不同。 ）两个不等式的适用范围不同。 （2） ）
ab
a +b 2
称为正数a、 的几何平均数 称为正数 、b的几何平均数
称为它们的算术平均数。 称为它们的算术平均数。
例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 用一段长为36m 菜园， 菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少 菜园的面积最大，最大面积是多少？ 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 结论2 两个正数和为定值， 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值 Ex:用20cm长的铁丝折成一个面积最大 Ex:用20cm长的铁丝折成一个面积最大 的矩形,应当怎样折? 的矩形,应当怎样折?

高中数学基本不等式 PPT课件 图文

2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前

3.4基本不等式2


(a＞0，b＞0)中，如果a· b＝P为定值， 能得到什么原理？ 原理一：若两个正数的积为定值，则当 这两个正数相等时它们的和取最小值.
思考2：在基本不等式 a b 2
ab
(a＞0，b＞0)中，如果a＋b＝S为定值， 又能得到什么原理？
原理二：若两个正数的和为定值，则当 这两个正数相等时它们的积取最大值 .
作业：
补充：
1 并求取得最小值时x的值. 1.求y 2 x ( x 2)的最小值， x2 1 并求取得最大值时x的值. 2.求y x(1 3x)(0 x )的最大值， 3
3：已知正数 a、b 满足 a＋b＝1，求证：
1 (1)ab≤4； 1 1 1 ( 2) 2 (2)aa＋b2≥4 ； b 2 1 1 (3)( a ) (b ) 9 a b
2y x 2 y 时，即x 2 1, y 1 当且仅当 x 时取到等号. 2 x 2 y 1
“1”的代换
1 9 (1)已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值； 变式： x y
(2)设 x>0，y>0，且 2x＋8y＝xy，求 x＋y 的最小值．
1 9 (1)已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值； x y
1 9 解：(1)∵x>0，y>0， ＋ ＝1， x y 1 9 y 9x ∴x＋y＝( ＋ )(x＋y)＝ ＋ ＋10≥6＋10＝16. x y x y y 9x 当且仅当 ＝ ， x y 1 9 又 ＋ ＝1， x y 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号． 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
证明：∵a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝1， 1－a b＋c 2 bc 1 ∴ －1＝ ＝ ≥ ， a a a a 1 2 ac 1 2 ab 同理 －1≥ ， －1≥ . b b c c 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ( －1)( －1)( －1)≥ · · ＝8. a b c a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时，等号成立． 3

高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式 第2课时 基本

第三章 不等式
a＋b 3．4 基本不等式： ab≤ 2 第 2 课时 基本不等式的应用
a＋b [学习目标] 1.进一步掌握基本不等式 ab≤ 2 . 2.会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解 决一些简单的实际问题． 3.会用基本不等式的变式如 a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)证明不等式．
f(x)＝x2＋1＋x2＋2 1－1≥2 （x2＋1）·x2＋2 1－1＝ 2 2－1，当且仅当 x2＋1＝x2＋2 1，即 x2＝ 2－1 时等号成 立．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．若 x＞0，则 x＋4x的最小值为( ) A．2 B．3 C．2 2 D．4
解析：因为 x＞0，所以 x＋4x≥2 x·4x＝4，当且仅 当 x＝4x，即 x＝2 时等号成立．
2．常用构造定值条件的技巧变换：①加项变换；② 拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．
[变式训练] 已知 x＞0，y＞0，且 2x＋8y－xy＝0， 求：(1)xy 的最小值；(2)x＋y 的最小值． 解：因为 x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0， (1)xy＝2x＋8y≥2 16xy， 所以 xy≥8，所以 xy≥64. 故 xy 的最小值为 64.
解析：因为 x＞1，所以 x－1＞0.
又 y＝x＋ 2 ＝(x－1)＋ 2 ＋1≥2 2＋1.
x－1
x－1
等号成立的条件是 x－1＝ 2 x－1
即 x＝1＋ 2. 故当 x＝1＋ 2时，y 取最小值 1＋2 2. 答案： 2＋1 1＋2 2
5．若 0＜x＜1，则函数 f(x)＝2＋log2 x＋log52 x的最 大值是________．
证明：因为 n＞2，所以 n－1＞1. 所以 logn(n－1)＞0，logn(n＋1)＞0， 所以 logn(n－1)logn(n＋1)≤

基本不等式 课件


a＋b－2 2
ab ＝
a－ 2
b2
≥0，即
a＋b 2
≥
ab .也可用重要不等式
进行推导：∵a，b∈R＋，则( a )2＋( b )2≥2 ab ，即有a＋
b≥2 ab.
③对于“＝”号的理解：如果a＝b，那么
a＋b 2
＝
ab ，如
果a≠b，那么a＋2 b>
ab
，如：x2＋2＋
1 x2＋2
≥2
x2＋2·x2＋1 2
＝2中就不能取等号，因为x2＋2≠
1 x2＋2
，否则推出x2＝－1矛
盾．
④a2＋b2≥2ab与
a＋b 2
≥
ab 成立的条件是不同的：前者是
a，b∈R，后者是a，b∈R＋.
⑤定理的几何直观解释．
如图，以a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC
＝a，CB＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AE，BE，易知
二 基本不等式的灵活运用
【例2】 (1)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若 点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，求m1 ＋1n的最小值；
(2)已知x<54，求函数y＝4x－2＋4x－1 5的最大值．
【解】 (1)∵y＝a1－x恒过定点A(1,1)，又∵A在直线mx＋ny －1＝0上，
三 利用基本不等式解决实际问题
【例3】 某工厂有旧墙一面长14 m，现准备利用这面旧墙 建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房．工程条件是：① 建1 m新墙的费用为a元；②修1 m旧墙的费用为a4元；③拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙的费用为a2元．经讨论有两种 方案：
(1)利用旧墙的一段x m(x<14)为矩形厂房的一面边长；
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∵容积为4800
m3
∴3xy=4800
即xy=1600 3 y x
由基本不等式与不等式的性质，可得
240000 720 ( x y ) 240000 720 2 xy
∴z≥ 240000 720 2 1600
当x=y，即x=y=40时，等号成立
∴z≥297 600
所以，将水池的底面设计成长40m的正方形时总造价最低， 最低总造价为297 600元.
25 9 ∴函数 y＝x＋ 在[4，＋∞)上的值域为 ，＋∞ . x 4
方法点评：形如对号函数或换元后形如对号函 数的函数在求它们的最值或值域时如果不能使用基 本不等式(一般是因为符号不成立)，就要结合性质利 用它们的单调性来求解．
x2＋5 2．求 y＝ 2 的最小值． x ＋4
1 ,即x 4时，函数有最大值，最大值为5 x 3
1. 两个不等式 （1）a,b R,那么a 2 b 2 2ab(当且仅当a b时取" " 号)
ab （2） ab (a>0,b>0) （当且仅当a=b时，等号成立） 2
注意：（1）两公式条件： 前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. （2）公式的正向、逆向使用的条件及“=”的成立条件. 2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
巩固练习
课堂讲练互动
课后智能提升
1 7、若x 3, 函数y x , 当x为何值时，函数 x 3 有最值，并求其最值。
解: x 3 y x
当且仅当x 3
1 1 (x - 3) 3 x 3 x-3 1 2 (x 3) 3 5 x 3
作业布置
教材 第101页 习题3.4 B组题
教材 第103页 复习参考题
x y 2 xy =8
当且仅当x=y时，取等号，此时x=y=4
∴z≥32+4×8=64
当x=y=4时，用纸最少为64 m
3
方法点评：应用两个正数的基本不等式解决实 际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变量，设 变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函 数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为 函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出 函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案．
1 1 所以 ＋ 的最小值为 4 2. x y
错因分析：上述错解的错误原因是连续两次使 用基本不等式解题时，忽视了等号成立的一致性． 1 1 实际上，每一个取“＝”的条件为 ＝ ，即 x＝y， x y 而第二个取“＝”的条件为 x＝2y，这样前后就矛 盾了．
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
1 正解：因为 x>0，y>0，且 x＋2y＝1，所以 ＋ x 1 x＋2y x＋2y 2y x 2y x ＝ ＋ ＝1＋2＋ ＋ ≥3＋2 · ＝3 y x y x y x y 2y x ＋2 2.当且仅当 ＝ 且 x＋2y＝1，即 x＝ 2－1， x y 2 1 1 y＝1－ 时，等号成立，所以 ＋ 的最小值为 3＋ 2 x y 2 2.
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
典例剖析
题型一 分式形函数的最值求法
x2＋7x＋10 【例 1】 求函数 y＝ (x>－1)的最小值． x＋1
解：∵x>－1，∴x＋1>0. x2＋7x＋10 x＋12＋5x＋1＋4 ∴y＝ ＝ x＋1 x＋1 4 ＝(x＋1)＋ ＋5≥2 x＋1 4 x＋1 ＋5＝9. x＋1
2、设x，y满足x+4y=40，且x，y都是正数，求xy的最大值
解： ∵x+4y=40 ∴x（4y）≤ (
x 4y 2 ) =400 2 当且仅当x=4y时等号成立
此时，x=20,y=5
∴xy≤100
∴当x=20,y=5时，xy的最大值为100
课前自主学习
巩固练习
课堂讲练互动
课后智能提升
3、已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
课前自主学习
课堂讲练互动
课后智能提升
知识梳理
1. 两个重要的不等式
(1)a, b R,那么a 2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
ab (2) ab≤ (a >0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。 2
知识梳理
a 2 b2 (1)ab (a R, b R) (当且仅当a=b时取“=”号) 2 (2)a b 2 ab (a 0, b 0) (当且仅当a=b时取“=”号) ab 2 (3)ab ( ) (a R, b R ) (当且仅当a=b时取“=”号) 2 2 a b 2 a b2 (4)( ) (a R,b R)(当且仅当a=b时取“=”号) 2 2
课后智能提升
4、若 x>4，则函数 y＝x＋
1 x－4
(
)
A．有最大值－6 C．有最大值2ຫໍສະໝຸດ B．有最小值6 D．没有最小值
1 1 解析：y＝x＋ ＝x－4＋ ＋ x－4 x－4 4≥2 1 x－4 ＋ 4＝ 6， 当 且 仅 当 x－ 4＝ x－4
1 ，即 x＝5 时等号成立． x－4
答案：B
要点阐释
并说明此时x,y的值． x=6,y=4时,最小值为48 当 4、已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值． 最小值为16
2 5、已知x<0，求函数 f ( x) x 的最大值. x 2 2
1 1 6、已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u x y 的最小值．3 2 2
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3、下列函数中，最小值是2的是
x 2 A．y＝ ＋ 2 x C．y＝7 ＋7
x
－x
(
)
1 B．y＝ x ＋2＋ 2 x ＋2
2
8 D．y＝x＋ (x>0) x
解析：A中x可能为负值，B中等号不成立，D中 最小值不是2. 答案：C
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4 当且仅当 x＋1＝ ，即 x＝1 时，等号成 x＋1 立． x2＋7x＋10 ∴当 x＝1 时，函数 y＝ (x>－1)取 x＋1 得最小值为 9.
ax 2＋bx＋c 方法点评：形如 f(x)＝ (m≠0，a≠0) mx＋n mx＋n 或者 g(x)＝ 2 (m≠0，a≠0)的函数，可以把 ax ＋bx＋c mx＋n 看成一个整体，设 mx＋n＝t，那么 f(x)与 g(x) 都可以转化为关于 t 的函数．
怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解： 设底面的长为xm，宽为ym，水池的总造价为z元， 根据题意，有 Z=150×
4800 3
，深为3m，
如果池底每平方米的造价为150元，池壁的造价为每平方米120元，
+ (2 3x 2 3y) 120 =240 000+720(x+y)
1 2 3 当且仅当 2t＝ ，即 t＝ ，x＝－ 时，y t 2 2 2 有最大值 ymax＝ . 4
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题型二 “对号”函数的最值
9 【例 2】 求函数 y＝x＋ 在[4， ＋∞)上的值域． x
9 解：∵y＝x＋ 在[4，＋∞)上为增函数， x 9 9 25 ∴y＝x＋ 在[4，＋∞)上的最小值为 y＝4＋ ＝ . x 4 4
1 解：令 x ＋4＝t，则 y＝t＋ t (t≥2)，
2
1 考虑函数 y＝t＋ t 在[2，＋∞)为增函数， 1 5 ∴当 t＝2 时，取最小值 ymin＝2＋ ＝ . 2 2
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题型三
基本不等式的实际应用
3
某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800 m 【例3】
1．用基本不等式求最值 利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑， 造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最 小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条 件：(1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和” 或“积”为定值；(3)“三相等”——等号一定能取得 到．这三个条件缺一不可．
2．基本不等式的实际应用 在实际生活中涉及最大、最小的问题，一般可 以化为不等式模型，利用基本不等式来求最值．具 体步骤是：设出变量，建立函数模型，利用基本不 等式求最值．
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1、一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？
解： 设菜园的长和宽分别为xm，ym 则 x+2y=30 18m y
1 1 x 2 y 2 225 ) = 菜园的面积为s=xy= x（2y） ( x 2 2 2 2 15 当且仅当 x=2y时取等号 此时x=15，y= 2 15 225 2 即当矩形菜园的长为15m，宽为 m时，面积最大为 2 m 2
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
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1、把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时， 它们的和最小？
∵ a b 2 ab
ab=36
∴当a=b=6时，和a+b最小为12
2、把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时， 它们的积最大？
ab 2 ) ∵ ab ( a+b=18 2 ∴当a=b=9时，积ab最大为81