湖北省荆门市2020届高三元月调考数学理试题(解析版)

2020年荆门市高三年级高考模拟考试理科数学试题全卷满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，若复数ii z -=123，则z =（ ） A.i -1 B.i +1 C.i --1 D.i +-12．已知集合{})3lg(,11x y x B x x A -==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则9762S a a -=（ ） A.5m B.9m C.51 D.91 4．已知+∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。

小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A.81 B.41 C.43 D.876．已知][x 表示不超过x 的最大整数，（如1]5.0[,1]2,1[-=-=），执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）A ，49850B ．49950 C. 50000 D ．500507.在二项式721)21(xx +的展开式中有理项的项数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.48．函数x x x x f sin )(2+=的图像大致为（ ）9．已知定义在R 上的函数y=f （x ）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当)1,0[∈x 时，x x f 2sin )(π=，则函数x e x f x g --=)()(在区间]2020,2019[-上的零点个数为（ ）A ．1009B ．2019 C.2020 D.403910．已函数],0[,cos sin )(2a x x x x f ∈+=的值域为]45,1[，则实数a 的取值范围是（ ）A.]6,0(πB.]3,0(πC.]2,6[ππD.]2,3[ππ11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线034=-y x 与双曲线右支交于点M ，若OF OM =,|则该双曲线的离心率为（ ） A.3 B.2 C.5 D.612．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）①若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为25； ②若P 在线段B A 1上运动，则1PD AP +的最小值为226+； ③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥ABC P -ABC P -的体积最大时，三棱锥ABC P -外接球的表面积为π2；④若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为433 A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知)3,0(),2,1(-==，则向量b 在向量a 方向上的投影为 ．14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。

湖北省荆门市2020届高三数学上学期元月调考试题 文（含解析）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上. 1.已知集合{|01}A x x =<<，{|31}xB x =<，则（ ） A. {|0}AB x x =< B. A B R = C. {|1}A B x x ⋃=< D. AB =∅【答案】D 【解析】 【分析】首先利用指数函数的单调性求出集合B ，再利用集合的交、补运算即可求解. 【详解】由{}{|31}0xB x x x =<=<，{|01}A x x =<<， 所以A B =∅，{0A B x x ⋃=<或}01x <<，故选：D【点睛】本题考查了集合的交、补运算，同时考查了指数函数的单调性解不等式，属于基础题.2.设i 是虚数单位，则2(1)i i--等于A. 0B. 4C. 2【答案】D 【解析】试题分析：因为()()()1212111i i i ii i i i i i i i------====+⋅，所以故答案为D ． 考点：复数的运算．3.下列各式中错误．．的是（ ） A. 330.80.7>B. lg1.6lg1.4>C. 0.50.5log 0.4log 0.6>D.0.10.10.750.75-<【答案】D 【解析】 【分析】构造基本初等函数，结合函数的单调性判断.【详解】函数3y x =为增函数，所以330.80.7>，故选项A 正确； 函数lg y x =为增函数，所以lg1.6lg1.4>，故选项B 正确；函数0.5log y x =为减函数，所以0.50.5log 0.4log 0.6>，故选项C 正确； 函数0.75xy =为减函数，所以0.10.10.750.75->，故选项D 错误. 故选D.【点睛】本题主要考查指数式和对数式的大小比较，构造合适的函数是求解的主要策略，结合函数的单调性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.4.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，双曲线C 的30x y +=，则双曲线C 的方程为（ ）A. 2213x y -=B. 2213y x -=C. 221412x y -=D. 221124x y -=【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线与抛物线的基本量求解即可.【详解】抛物线28y x=的焦点为()2,0,故双曲线2c =.又渐近线为30x y +=,即3y x =-,故3b a =,故221334b a a b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎩ ,故双曲线方程为2213y x -=.故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线中的基本量求解,属于基础题. 5.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0,0A ω>>，π2<ϕ）的部分图象如图所示，则⋅=ωϕ（ ）A.π6B.π4C.π3D. 2π3【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到2A =，将点()0,1代入结合||2ϕπ<，可得ϕ，将点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得ω的值，进而可求得结果. 【详解】由函数图象可得2A =，所以()()2sin f x x ωϕ=+，又()01f =，所以1sin 2ϕ=， 结合图象可得()π2π6k k ϕ=+∈Z ，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=， 又因为11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即11sin 0126ππω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，结合图得112,126k k Z ππωπ⋅+=∈， 又因为21112T ππω=>，所以24011ω<<，故=2ω所以π3ωϕ⋅=，故选C. 【点睛】本题给出了函数()sin y A ωx φ=+的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数()sin y A ωx φ=+的图象与性质的知识点，属于中档题． 6.已知1tan 4,tan θθ+=则sin 2θ=（ ） A.15 B.14C.12D.34【答案】C 【解析】 【分析】首先利用1tan 4,tan θθ+=可得2tan 1tan 4θθ+=，再利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系22tan sin 22sin cos tan 1θθθθθ==+，代入即可求解.【详解】由1tan 4,tan θθ+=则2tan 1tan 4θθ+= 2222sin cos 2tan 1sin 22sin cos sin cos tan 12θθθθθθθθθ====++.故选：C【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、齐次式的运算，属于基础题. 7.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若361=3S S ，则612S S 为（ ）A.310B.13 C.18D.19【答案】A 【解析】 设,根据36396129,,,S S S S S S S ---是一个首项为a,公差为a 的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a.6123323410S a S a a a a ==+++. 8.太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()(){}()2222224,11{(,)|11}x yx y x y x y x yx⎧+≤⎪⎪Ω=+-≤⋃++≥⎨⎪≤⎪⎩，设点(,)∈x y A，则2z x y=+的取值范围是（）A. 15,25⎡-⎣ B. 552,2-⎡⎣C. 25,15⎡⎤-⎣⎦ D. 4,15⎡-+⎣【答案】C【解析】【分析】根据线性规划的方法,分析目标函数直线方程2z x y=+与阴影部分相切时的临界条件即可. 【详解】作直线20x y+=,当直线上移与圆()2211x y+-=相切时, 2z x y=+取最大值；此时圆心()0,1到20x y z+-=的距离为1,221121z-=+,即最大值51z=.当直线下移与圆224x y+=相切时, 2z x y=+取最小值；此时圆心()0,0到20x y z+-=的距离为2,22221z-=+,即最小值25z=-故2z x y=+的取值范围是25,15⎡-+⎣故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划与直线与圆相切的问题综合运用,需要根据题意分析出临界条件,再根据圆与直线相切利用公式求解即可.属于中档题.9.灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色.春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】【分析】根据四句话中的提及到同一人的中奖情况进行突破口分析即可.【详解】由甲说：“我或乙能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；且只有一位同学的预测结果正确可知,乙没有中奖.又甲说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.故甲丁两人中必有一人预测正确.故乙,丙预测不正确.故乙,丙,丁均未中奖.故甲为中奖者.故选：A【点睛】遇到逻辑推理的问题一般是找语句中均谈到的同一个人中奖情况进行分析,从而进行排除分析.属于基础题.10.函数ln 1()xf x ex=+的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】分析：考查函数的符号和函数的奇偶性排除错误选项即可求得最终结果. 详解：利用排除法： 当0x >时，ln 0x e >，10x>，则函数()0f x >，据此可排除AB 选项； 且：()()ln 1xf x ef x x-=-≠-，即函数的图象不关于坐标原点对称，排除D 选项. 本题选择C 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.已知二面角l αβ--为060，点P 、Q 分别在、内且PQ l ⊥，P 到的距离为3，Q到3则PQ 两点之间的距离为（ ） 3 B. 1C. 22【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别作,PC QD βα⊥⊥，过C 作CM l ⊥，连接,PM QM ，在,Rt PMC Rt QMD ∆∆中，分别求出,QM PM ，再在PMQ ∆中，利用余弦定理即可求解.【详解】如图，作,PC QDβα⊥⊥，过C作CM l⊥，连接,PM QM，由lαβ=，所以,PC l QD l⊥⊥，又PQ l⊥，l⊥平面QCDP，即l ⊥平面QMP由二面角lαβ--为060，P到的距离为3，Q到3在Rt QMD∆中，32QD=,60QMD∠=，321sin60QM==在Rt PCM∆中，3PC=,60QMD∠=，32sin60PM==，在PMQ∆中，22212cos60142232QP QM PM QM PM=+-⋅=+-⨯⨯=，所以3PQ=故选：A【点睛】本题考查了由面面角求距离、余弦定理解三角形，考查了空间想象能力，属于基础题.12.已知1F，2F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且123F PFπ∠=，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率2e，则221213e e+=（）A. 12 C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】设椭圆与双曲线的标准方程分别为：22 22 111x ya b+=，2222221x ya b-=()11,0,,1,2i ia b a b i>>=，222221122a b a b c-=+=，0c>，设12,PF m PF n==，可得122,2m n a n m a+=-=，123F PFπ∠=，在12F PF∆中，由余弦定理可得：()22222cos3c m n mnπ=+-，化简整理由离心率公式即可得出.【详解】如图所示：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：2222111x ya b+=，2222221x ya b-=()11,0,,1,2i ia b a b i>>=，222221122a b a b c-=+=，0c>，设12,PF m PF n==，则122,2m n a n m a+=-=，解得1212,,m a a n a a=-=+由123F PFπ∠=，在12F PF∆中，由余弦定理可得：()22222cos3c m n mnπ=+-，()()()()222121212124c a a a a a a a a∴=-++--+，化为2221243=+c a a，化为2221314e e+=.故选：D【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义与性质，属于中档题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（下表为随机数表的前2行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为____.【答案】43. 【解析】 【分析】从随机数表的第1行第5、6列开始，依次向右读取为65,14,08,02,63,14,07,02,43,69,，其中14,08,02,07,43符合条件，故可得结论.【详解】从随机数表的第1行第5、6列开始，依次向右选取两个数字65,14,08,02,63,14,07,02,43,69,，选取编号在01到50之间，并且去掉重复的数字， 符合条件的为14,08,02,07,43. 故答案为：43.【点睛】本题考查了随机数表的读法，注意在读取符合编号中的数据的同时重复数据只取一次，属于基础题.14.已知向量,a b 满足3,(3,3)a b ==且()0a a b ⋅+=，则,a b 的夹角为________. 【答案】56π【解析】【分析】根据向量的数量积公式运算即可.【详解】设,a b 的夹角为θ,则()20+09339cos 0a a b a a b θ⋅+=⇒⋅=⇒++⋅=,解得3cos θ=-,又[]0,θπ∈,故56πθ=.故答案为：56π. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算,属于基础题.15.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．【答案】132【解析】由题意，正方形的边长构成以2为首项，以21023个正方形，则有11221023n -++⋯+=，∴10n =，∴最小正方形的边长为92212232⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为132.16.已知三棱锥P -ABC 外接球的表面积为100π，PA ⊥平面ABC ，8PA =，060BAC ∠=，则三棱锥体积的最大值为______. 【答案】183【解析】 【分析】根据三棱锥P ABC -的外接球的表面积可求得底面ABC 的外接圆面积,进而利用正弦定理与060BAC ∠=求得BC 长度,再根据余弦定理与面积公式求解底面ABC 的最大值即可.【详解】由题,设底面ABC 外接圆直径为d ,则因为PA ⊥平面ABC 且8PA =, 故()2281006dd ππ+=⇒=.在底面ABC 中利用正弦定理有6sin BCd BAC==∠,解得BC =在ABC 中用余弦定理有2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠,化简得()222273AB AC AB AC AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅,即()2327AB AC AB AC +=⋅+,根据基本不等式有()23274AB AC AB AC AB AC +=⋅+≥⋅,解得27AB AC ⋅≤.故三棱锥体积111827332233ABCV S PA AB AC AB AC =⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅≤=故答案为：【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的问题,需要根据题意建立三棱锥高与底面外接圆半径以及三角形的关系,并利用基本不等式求最值.属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知在等比数列{}n a 中，12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：212log n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（Ⅰ）2n n a =（Ⅱ）2112n n n ++-【解析】 【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ,再根据1a ,2a ,32a -成等差数列求解即可.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2nn a =，代入有122nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再分组利用等比和等差数列的求和公式求解即可.【详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ,∵1a ,2a ,32a -成等差数列,21322a a a ∴=+-,3222n n a q a a ∴==⇒= （Ⅱ）221112log 2log 2222nnn n n n b a n a ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,231111246...22222n n S n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦231111+..24...22222n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2111221111212nnn n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++=++- ⎪⎝⎭-. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解以及等差等比数列求和公式，属于基础题. 18.如图所示,在四棱锥A BCDE -中,平面BCDE ⊥平面,,6,43,30ABC BE EC BC AB ABC ⊥==∠=︒.(1)求证:AC BE ⊥;(2)若二面角B AC E --为45︒,求直线AB 与平面ACE 所成的角的正弦值. 【答案】（1）见解析. （2）64【解析】 分析：（1）在ACB 中由余弦定理得23AC =，由此得222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥．再根据平面BCDE ⊥平面ABC 得到AC ⊥平面BCDE ，故得AC BE ⊥．（2）可证得BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，从而45BCE ∠=．又证得BE ⊥平面ACE ，所以BAE ∠是直线AB 与平面ACE 所成的角．解三角形可得sin BE BAE AB ∠==，即为所求．详解：(1)在ACB 中，应用余弦定理得222cos 22AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅，解得AC = 所以222AC BC AB +=， 所以AC BC ⊥．因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC BC AC =⊥，， 所以AC ⊥平面BCDE ． 又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥．(2)因为AC ⊥平面BCDE CE ，⊂平面BCDE ， 所以AC CE ⊥．又BC AC ⊥，平面ACE ⋂平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角， 所以45BCE ∠=．因为BE EC AC BE EC AC C ⊥⊥⋂=，，， 所以BE ⊥平面ACE ，所以BAE ∠是直线AB 与平面ACE 所成的角． 在Rt BCE 中，sin4532BE BC ==，所以Rt BAE 中，sin BE BAE AB ∠==即直线AB 与平面ACE 所成的角的正弦值为4． 点睛：用几何法求空间角的步骤为“一找、二证、三计算”，即根据空间角的定义作出所求的角，并给出证明，最后通过解三角形可得所求解或其三角函数值．另外，在立体几何的计算题中往往穿插着推理，同时在推理中又穿插着计算．19.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组[)[)[)0,0.5,0.51,,,3,3.5，制作了频率分布直方图，（Ⅰ）用该样本估计总体：（1）估计该市居民月均用水量的平均数；（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a 的最低标准定为多少吨？ （Ⅱ）在该样本中．．．．月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少？【答案】（Ⅰ）（1）1.875；（2）2.7吨；（Ⅱ）25. 【解析】 【分析】（Ⅰ）（1）根据平均数=小矩形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和，代入数据即可求解；（2）由图可得()3-0.30.50.1186% 2.7a a ⨯+⨯=-⇒=，解方程即可.（Ⅱ）由直方图可知月均用水量在[)0,0.5的人数为2，记为：,a b ；月均用水量在[)0.51，的人数为4，记为：A ，B ，C ，D ，列举出抽取两人所有可能的情况，找出月均用水量都在[)0.51，的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】（Ⅰ）（1）月均用水量0.250.050.750.1 1.250.15 1.750.2 2.250.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.750.153.250.05 1.875+⨯+⨯=（2）由直方图易知：()2.5,3a ∈，由()3-0.30.50.1186% 2.7a a ⨯+⨯=-⇒=吨 故月均用水量a 的标准定为2.7吨.（Ⅱ）由直方图可知：月均用水量在[)0,0.5的人数为：400.10.5=2⨯⨯人， 记为：,a b月均用水量在[)0.51，的人数为：400.20.5=4⨯⨯人，记为：A ，B ，C ，D从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有：ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD 共15种， 其中月均用水量都在[)0.51，的情况有：AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种，故两人月均用水量都不低于0.5吨的概率:62155P == 【点睛】本题考查了有频率分布直方图求样本数据、古典概型的概率计算公式，属于基础题.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E 的长轴为直径的圆与直线20x y +-=相切． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）,,A B C 为椭圆E 上不同的三点，O 为坐标原点，若0OA OB OC ++=，试问：ABC 的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2212x y +=【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意利用圆心到直线的距离与半径相等列出关于a 的关系,再根据一个焦点与上下顶点构成直角三角形可得b c =,再联立求解即可.（Ⅱ）分当AB 斜率不存在与存在两种情况.当AB 斜率存在时设直线:AB y kx m =+,再联立方程写出韦达定理,再根据0OA OB OC ++=得出C 关于()11,A x y ,()22,B x y 的关系,代入2222x y +=化简可得22421m k =+，再求出面积的表达式,代入22421m k =+化简证明即可.【详解】（Ⅰ）由题意知,222b c a b c a =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.则椭圆C 的方程是：2212x y +=（Ⅱ）①当AB 斜率不存在时,不妨设()C,2A ⎛ ⎝⎭,2B ⎛⎝⎭12S ==②设:AB y kx m =+由()()2222212421022y kx mk x mkx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 设()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y 则122412mk x x k +=-+,()21222112m x x k-=+.由()()3123120x x x OA OB OC y y y ⎧=-+⎪++=⇒⎨=-+⎪⎩ ,代入2222x y +=有2222442221212mk mk k m k k -⎛⎫⎛⎫-+⋅+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,化简可得22421m k =+ 原点O 到AB的距离d =,AB ==故221332244S AB d m =⋅=⋅==综上：ABC 的面积为定值4【点睛】本题主要考查了椭圆基本量的求法以及联立直线与椭圆的方法求解,并利用韦达定理代入所给的向量表达式求得直线中参数的关系,再代入所求的面积表达式化简证明定值的方法.属于难题.21.已知函数()()2ln f x x x ax a R =-∈在定义域内有两个不同的极值点.（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点为12,x x ，且12x x <，求证：121x x ⋅>. 【答案】（Ⅰ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，方程'()0f x =在()0,∞+有两个不同根,即方程1ln 20x ax +-=有两个不同根；解法1：转化为函数()ln g x x =与函数21y ax =-的图象在()0,∞+上有两个不同交点，解法2：转化为函数1ln ()xg x x+=与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点；解法3；求出()f x '，讨论a 的取值范围，求出函数()f x 的单调区间即可求解. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：由（Ⅰ）知：12,x x 是1ln 20x ax +-=的两个根， 122212ln ln 1ln 202=x x x ax a x x -+-=⇒-，然后利用分析法要证121x x ⋅>，，只需证:12ln ln 0x x +>，从而可得121212ln ln 2x x x x x x ->-+，进而可得12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，令12x t x =，换元转化为函数，利用函数的最值即可证出. 【详解】（Ⅰ）由题意，方程'()0f x =在()0,∞+有两个不同根,即方程1ln 20x ax +-=有两个不同根；解法1：转化为函数()ln g x x =与函数21y ax =-的图象在()0,∞+上有两个不同交点， 令'00011()22g x a x x a==⇒=, 故()g x 在11(,ln()22a a 处的切线方程为：111ln()()222y x a a a-=- 代入点()0,1-有：111111ln()(0)ln()012122222a a a a a a--=-⇒=⇒=⇒=可得：()120,10,2a a ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭解法2：转化为函数1ln ()xg x x+=与函数2y a =的图象在()0,∞+上有两个不同交点． '2ln ()(0)xg x x x-=>，故()0,1x ∈时，'()0;g x >()1,,x ∈+∞时，'()0;g x < 故()g x 在()0,1上单增，在1+，上单减，max ()(1)1g x g ∴==又1()0g e =，故1(0,)x e ∈时，()0;g x < 1(,)x e∈+∞时，()0;g x > 可得：()120,10,2a a ⎛⎫∈⇒∈ ⎪⎝⎭… 解法3：()''12(0)fx a x x=-> ①20a ≤时，()''0f x >，故()f x 在()0+∞，上单增， 故()'=fx 0在()0+∞，最多只有一个实根，不合题意； ②20a >时，令()''100;2fx x a ⎛⎫>⇒∈ ⎪⎝⎭，令()''10,;2f x x a ⎛⎫<⇒∈+∞ ⎪⎝⎭故()'fx 在102a⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减； 故()()''max11ln(2)1ln(2)020,12f x f a a a a ⎛⎫==--=->⇒∈ ⎪⎝⎭当()20,1a ∈时， ()''1120,lim x f a f x e e→+∞⎛⎫=-⋅<→-∞ ⎪⎝⎭，故()'f x 在()0+∞，上有两个不相等的实根，故10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）知：12,x x 是1ln 20x ax +-=的两个根， 故12112212ln ln 1ln 201ln 202=x x x ax x ax a x x -+-=+-=⇒-，要证：121x x ⋅>，，只需证：12ln ln 0x x +>，即证：()()122-1+2-10ax ax > 即证：()1222a x x +>，即证：121212ln ln 2x x x x x x ->-+又120,x x <<故上式为：()1122112122212ln ()1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=*++ 令()()()()()2'1222211140,1,()ln ,()0111t t x t h t t h t x t t t t t --=∈=-=-=>+++ 故()h t 在()0,1上单增，故()(1)0,h t h <= 故()*式成立，即证.【点睛】本题考查了由函数的极值点个数求参数的取值范围、利用导数证明不等式、分析法，考查了转化与化归的思想，属于难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：()4R πθρ=∈．（Ⅰ）求直线l 与曲线1C 公共点的极坐标； （Ⅱ）设过点()0,1P -直线m 交曲线1C 于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．【答案】（Ⅰ）(0,0)，)4π（Ⅱ）1【解析】 【分析】（Ⅰ）根据曲线1C 为圆的参数方程,分析圆心与半径直接求解1C ,再根据极坐标的意义化简()4R πθρ=∈成直角坐标,再联立求解交点坐标即可.（Ⅱ）设直线m 的参数方程,联立与圆的方程,再根据直线参数方程的几何意义求解即可. 【详解】（Ⅰ）易得曲线1C 为圆心是()1,0,半径为1圆,故1C 的普通方程为()2211x y -+=,直线l 的普通方程为y x =,联立方程()2211x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩, 所以直线l 与曲线1C 公共点的极坐标为()0,0与4π⎫⎪⎭． （Ⅱ）依题意,设直线m 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩(α为倾斜角,t 为参数), 代入()2211x y -+=,整理得()22sin cos 10t t αα-++=． 设,A B 对应的参数分别为12,t t 则121PA PB t t ⋅==.【点睛】本题主要考查了参数方程和极坐标与直角坐标的互化,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.设不等式211x -<的解集是M ，a ，b M ∈．（Ⅰ）试比较1ab +与+a b 的大小；（Ⅱ）设max A 表示数集A 中的最大数，22max h ⎧⎫=，求h 的最小值． 【答案】（Ⅰ）1ab a b +>+（Ⅱ）12【解析】【分析】（Ⅰ）先解得{}|01M x x =<<再利用作差法判定即可.（Ⅱ）由22max h ⎧⎫=,故232h ≥再利用基本不等式求解即可.【详解】由211x -<得1211x -<-<,解得01x <<,{}|01M x x ∴=<<． （Ⅰ）由,a b M ∈,得01,01a b <<<<,所以()()()()1110ab a b a b +-+=-->,故1ab a b +>+（Ⅱ）由22max h ⎧⎫=,得h 22h ≥h ,222322116168a b ab ab ab h +=≥=∴≥,故12h ≥. 22==即14a b ==时等号成立. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及作差法判别大小关系的方法,同时也考查了根据基本不等式求解函数的最值问题.属于中档题.。

湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020届高三元月联考数学试题（理）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足(1)z i i -=，则z 在复平面上对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限『答案』B『解析』由题意可得(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+, 对应的点在第二象限， 故选：B.2.已知全集U =R ，集合2230{|}A x x x =--≤，集合2{log 1}B x x =≤|，则()U A B =( ) A. (2,3] B. φC. [1,0)(2,3]-D. [1,0](2,3]-『答案』D『解析』集合U =R ,{}2|230{|13}A x x x x x =--≤=-≤≤， 集合{}2|log 1{|02}B x x x x =<=<<,所以{|0U C B x x =≤或2}x ≥, 所以(){|10U A C B x x ⋂=-≤≤或23}[1,0][2,3]x ≤≤=-⋃故选：D.3.已知0.20.8512,(),2log 22a b c -===，则( )A. c a b <<B. c b a <<C. a b c <<D. b a c <<『答案』A『解析』由指数函数底数21>，故指数函数2xy =在R 上单调递增，故0.800.20.8112222-⎛⎫=<<= ⎪⎝⎭，由对数函数底数51>，故对数函数5log y x =在(0,)+∞上单调递增，故5552log 2log 4log 51=<=.综上所述，1c a b <<<. 故选：A.4.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ） A. 2盏 B. 3盏C. 26盏D. 27盏『答案』C『解析』设最顶层有x 盏灯，则最下面一层有()8x n +盏，813,813x n x n x x +==-，2812,3n x x n ==， ()()()()23...8126x x n x n x n x n ++++++++=， ()9123...8126x n +++++=，936126x n +=，29361263n n ⨯+=，636126,42126n n n +==，126423n =÷=，2323x =⨯=（盏）， 所以最下面一层有灯， 13226⨯=（盏），故选C. 5.若直线()200,0ax by a b ++=>>截得圆()()22211x y +++=的弦长为2，则12a b+的最小值为（ ） A.4B. 6C. 8D. 10『答案』A『解析』圆()()22211x y +++=的半径为1，圆心()2,1--，直线()200,0ax by a b ++=>>截得圆()()22211x y +++=的弦长为2，直线经过圆的圆心，可得：220a b --+=，即22a b +=则1111(2)222422224b a a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1,12a b ==时，等号成立， 故选：A.6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是( )A. B.C. D.『答案』B 『解析』因为()21cos 21x x f x x+=-，所以()()()2121cos cos 2121x x x x f x x x f x --++-=-=-=---，所以函数()f x 是奇函数，故排除A选项和C 选项，在0x >时，当0x →，121,210,21xxx →-→→+∞-，所以21212121x x x y +==+→+∞--，而当0x →时，cos 1x →，所以在0x >时，当0x →，()21cos 21x x f x x +=→+∞-，所以排除D 选项，所以只有B 选项符合条件. 故选：B .7.函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移( )个单位长度得到． A.6π B.3π C.2π D.23π 『答案』D『解析』因为sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,2sin 2sin 2sin 333y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移23π个单位长度得到. 故选：D.8.若向量a 与b 的夹角为60o ，(2,0)a =，223a b +=，则b ＝( ) A.B. 1C. 4D. 3『答案』B 『解析』因为()2,0a=，所以2=a ，又因为()()22222224cos 60423b ba a ab b a +=+=+⨯⨯⨯+= ,所以220b b +-=,解得1b =（-2舍去）， 故选：B.9.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ,OB ,OC ,OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. 21π-B.112π- C.2πD.1π『答案』A『解析』根据圆的对称性只需看四分之一即可， 设扇形的半径为r ，则扇形OBC 的面积为214r π，连接BC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：221142r r π-， ∴此点取自阴影部分的概率是22211242114r r r π-=-ππ．故选A ．10.设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是( ) A. 7[,)6-+∞ B. 5[,)3-+∞C. 5[,)4-+∞ D. 4[,)3-+∞『答案』D『解析』当(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，而(]0,1x ∈时，()()1,f x x x =--所以()()()()11111,f x x x x x +=-++-=-+⎡⎤⎣⎦又()()21f x f x +=，所以当(]1,0x ∈-时，()()()2121f x f x x x =+=-+，当(]2,1x ∈--时，()()()()()()2122111412f x f x x x x x =+=-⨯+++=-++⎡⎤⎣⎦， 做出示意图如下图所示： 要使()89f x ≤，则需1x x ≥，而由()()84129x x -++=解得143x =-，所以43m ≥-， 故选：D.11.SC 是球O 的直径，A 、B是该球面上两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=，棱锥S ABC -O 的表面积为( ) A. 4π B. 8πC. 16πD. 32π『答案』C『解析』如下图所示,由于SC 为球O直径,所以903,0SAC SBC ASC BSC ︒︒∠=∠=∠=∠=，所以12CB CA SC ==， 设球O 的半径为R ,连接,OA OB 则OA OB OC AC CB R =====,取AB 的中点D ,连接,OD CD ,又AB =,则OD CD == 设三棱锥S ABC -的高为2h ,又三棱锥O ABC -的高为△ODC 的边DC 上的高,所以三棱锥O ABC -的高为h ,故13S ABC V -=×12 2h ⨯=的所以3= ,在△ODC 中有12 = 12⨯ ,故32 =12 R ,解得2R =,故球O 的表面积为2416R ππ=， 故选：C.12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是( ) （1）2x =是()f x 的极小值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）1()2f x x >恒成立； （4）设函数2()()4g x xf x x =-++，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使()g x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，则92ln 2(110],k +∈. A. (1) (2) B. (2)(4)C. (1) (2) (4)D. (1)(2)(3)(4)『答案』C『解析』对于（1），由题意知,()'22x fx x-=，令()'0,f x =得2x =，所以函数()f x 在区间()0,2上单调递减,在区间(2,)+∞上单调递增， 所以2x =是()f x 的极小值点,故（1）正确;对于（2）令2()ln y f x x x x x =-=+-，则2220x x y x-+-'=<.函数y 在(0,)+∞上单调递减, 又当1x e=时,1210y e e =-->，所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故（2）正确； 对于（3），令()()121ln 22h x f x x x x x =-=+-，则()2'2221124022x x h x x x x-+=-+-=-<， 所以函数()h x 在()0,∞+单调递减，且()2221121210,2022h e h e e e e e ⎛⎫=-->=+-< ⎪⎝⎭，所以函数()h x 在()0,∞+内()0h x >不是恒成立的， 所以()12f x x >不是恒成立的，故（3）不正确； 对于（4），因为()()22224ln 4ln 2g x xf x x x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+++=-++⎪⎝⎭，所以()'ln 21g x x x =-+-，令()()'ln 21m x g x x x ==-+-，则()'1212x m x x x -=-+=，所以当12x >时，()'0m x >，所以()m x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且111ln 21ln 20222m ⎛⎫=-+⨯-=> ⎪⎝⎭，所以当12x >时，()'0g x >，所以()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，也即是，()g x 在1[,],2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭单调递增， 又因为()g x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，所以()()()()12,2,2g a k a g b k b a b =+=+≤< ,则 g()(2)x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根, 则()2g x k x =+， 令()()2ln 21,222g x x x x F x x x x -+⎛⎫==≥ ⎪++⎝⎭求导得()()2'232ln 41,22x x x F x x x +--⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭+ 令()2132ln 42G x x x x x ⎛⎫=+--≥⎪⎝⎭，则()()()'2122230x x G x x x x-+=+-=≥，所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，且10,(1)02G G ⎛⎫<=⎪⎝⎭， 所以当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()'0,0G x F x <∴< ，当[)1,x ∈+∞时，()()'0,0G x F x >∴>， 所以()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递减，()F x 在[)1,+∞上单调递增，所以()121F k F ⎛<≤⎫⎪⎝⎭，而()11,F =2111ln 2192ln 2222,121022F ⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭+所以92ln 2110k +<≤，故（4）正确； 所以正确的命题有：（1）（2）（4）， 故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知曲线2sin x y e x =-，则其在点(0,2)处的切线方程是______． 『答案』20x y -+=『解析』由曲线2sin xy e x =-,得cos 2x yx e '-=,所以切线的斜率为01x k y ='==,又当0x =时,2y =,所以切线过点(0,2),曲线2sin xy e x =-在0x =处的切线方程是:20y x -=-，即20x y -+=,故答案为:20x y -+=.14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，362a a +=，则9a =___． 『答案』1 『解析』n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,且39,S S ，6S 成等差数列,9362S S S ∴=+,显然1q =不满足此式，所以1q ≠，所以()()()9361112111111a q a q a q qq q---=+---,整理得:()9362111qqq -=-+-,即3612q q +=,即()()332110q q +-=，解得312q =-，又()52231111236112,2a a a q a q a q q a q +=+==+=所以214a q =，所以28269111412a a q q a q ⎛⎫=⨯=⨯- ⎪⎝==⎭,故答案为:115.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为____． 『答案』78『解析』4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，共有4216=种情况，周一、周二都有专家参加调研活动的情况可分为两种：第一种：一天1人，一天3人，共有12428C A ⋅=种情况；第二种：每天2人，共有2242162C A ⋅=种情况，所以周一、周二都有专家参加调研活动的概率为867168P +==， 故答案为：7.816.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上支与焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点．若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为___．『答案』y =『解析』由双曲线的方程()222210,0y x a b a b-=>>和抛物线的方程22y px =联立得2222212y x a by px ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，消元化简得2222220a x pb x a b -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则21222pb x x a+=， 由抛物线的定义得1212,22p pAF BF x x x x p +=+++=++又因为4AF BF OF +=，所以1242p x x p ++=⨯，所以2222pb p p a +=，化简得2221b a =，所以222a b=，所以双曲线的渐近线方程为y =，故答案为：y =.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <<，sin 2A b=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a =b =c 及ABC ∆的面积.解：（Ⅰ）sin 2A b=， 2sin b A =，2sin sin A B A =，又0A π<<，sin 0A ∴>，sin 2B ∴=， a b c <<，B C ∴<， 所以02B π<<，故4B π=.（Ⅱ）2a =，b =22222c c =+-⨯，即2230c c --=, 解得3c =或1c =-（舍去），故3c =.所以113sin 32222ABC S ac B ∆==⨯=. 18.如图，在三棱锥P -ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，ABC ∆和PAC ∆都是正三角形，2AC = ， E 、F 分别是AC 、BC 的中点，且PD ⊥AB 于D .（Ⅰ）证明：直线DE ⊥平面PEF ； （Ⅱ）求二面角D AP E --的正弦值．（Ⅰ）证明：∵E 、F 分别是AC 、BC 的中点，∴EF //AB ，在正三角形P AC 中，PE ⊥AC ，又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC 平面ABC =AC ， ∴PE ⊥平面ABC ，∴PE DE ⊥且PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE PD =P ， ∴AB ⊥平面PED ， AB DE ∴⊥又EF //AB ， ∴DE EF ⊥，又DE PE ⊥，PE EF E ⋂=，∴直线DE ⊥平面PEF .（Ⅱ）解：∵平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面P AC ，以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示：则()()()0,0,01,0,0,E A B，(P ,()()()0,3,01,0,3,1,EB PA AB ==-=-，，设(),,m a b c =为平面P AB 的一个法向量，则由mAB m PA ⊥⊥，得30a c a⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1c =，得1a b ==，即()3,1,1m =，设二面角D AP -的大小为θ，则0θπ≤<，则cos 55m EB mEBθ⋅===, sinθ∴==， 即二面角D AP -.19.为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 t (分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(]20,60分．（1）写出王先生一次租车费用y （元）与用车时间t （分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.解：（1）当2040t <≤时， 0.1215y t =+当4060t <≤时，()0.12400.2040150.211.8y t t =⨯+-+=+. 得：0.2015,20400.211.8,4060t t y t t +<≤⎧=⎨+<≤⎩（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率2182505p +== ξ可取0，1，2，3.()03032327055125p C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2132354155125p C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2232336255125p C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333238355125p C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ξ的分布列为27543680123 1.2125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 或依题意23,5B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，23 1.25E ξ=⨯= 20.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>2.（Ⅰ）求椭圆T 的标准方程；（Ⅱ）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k 的取值范围．解：（Ⅰ）由题意可知：222222b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩， 得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程， 消去y 得()222148440kxkmx m +++-=，所以()()()2228414440km km∆=-+->，即2241m k <+…………①由根与系数关系得122814kmx x k +=-+，则122214m y y k+=+， 所以线段MN 的中点P 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 又线段MN 的垂直平分线l '的方程为()11y x k=--，由点P 在直线l '上，得221411414m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，即24310k km ++=，所以()21413m k k=-+…………② 由①②得()222241419k k k+<+，所以215k >，即k <或k >，所以实数k 的取值范围是,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21.已知函数()2ln f x x ax =-，a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =-时，令2()()g x x f x =-，其导函数为()g x '，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()g x '的零点？并说明理由. 解：（Ⅰ）依题意知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()2f x a x'=- , （1）当0a ≤时， ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增. （2）当0a >时，由()0f x '=得：2x a=， 则当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>；当2,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<.所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a > 时，()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）122x x +不是导函数()g x '的零点. 证明如下： 当1a =-时，()()222ln g x x f x x x x =-=--.∵1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设120x x <<，22111111222222222ln 02ln 2ln 02ln x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--=-=∴⇒⎨⎨--=-=⎩⎩，两式相减得：()()()12121212ln ln x x x x x x -+-=-即： ()1212122ln ln 1x x x x x x -+-=-， 又()221g x x x-'=-. 则()()()121212121212121212122ln ln 24421ln ln 2x x x x x x g x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+⎛⎫=+--=-=--'⎢⎥ ⎪+-+-+⎝⎭⎣⎦. 设12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<， 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，()()()()22211411t t t t t t ϕ-=-=+'+.又01t <<，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在()0,1上是増 函数， 则()()10t ϕϕ<=，即当01t <<时，()21ln 01t t t --<+，从而()()1212122ln ln 0x x x x x x ---<+，又121200x x x x <<⇒-<所以()()1212121222ln ln 0x x x x x x x x ⎡⎤--->⎢⎥-+⎣⎦， 故1202x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭'，所以122x x +不是导函数()g x '的零点. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为()2παα≠的直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ-=.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 经过曲线C 的焦点F 且与曲线C 相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求FQ 的值.解：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为tan 1y x α=⋅+ ，由2sin 4cos 0ρθθ-=，得22sin 4cos 0ρθρθ-=，即240y x -=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =， （Ⅱ）∵直线l 经过曲线C 的焦点()1,0F ∴tan 1α=- ，直线l 的倾斜角34πα=． ∴直线l的参数方程为122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得280t +-=， 设,A B 两点对应的参数为12,t t ．∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q对应的参数值为122t t +=-． 又点()1,0F，则122t t FQ +== 23.设函数f （x ）=丨x +a +1丨+丨x -4a丨，（a ＞0）． （1）证明：f （x ）≥5；（2）若f （1）＜6成立，求实数a 的取值范围． （1）证明：f （x ）=丨x +a +1丨+丨x -4a 丨≥丨（x +a +1）-（x -4a ）丨=丨a +1+4a丨∵a ＞0，∴f （x ）≥a +1+4a （II ）由f （1）＜6得：丨a +2丨+丨1-4a丨＜6 ∵a ＞0，∴丨1-4a 丨＜4-a ，a-4a丨丨＜4-a ①当a ≥4时，不等式a 4a-丨丨＜4-a 无解； ②当a ＜4时，不等式a 44a a--丨丨＜，即1a ＜1，a ＞1，所以1＜a ＜4综上，实数a 的取值范围是（1,4）。

2020届高三理科数学1月份特供卷二（湖北省荆门市）附解析 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． （一）单选题 1．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知是的共轭复数，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．边长为2的正方形ABCD 中，，，则（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是（ ）A ．4B ．6C ．．5．满足条件，的面积的最大值是（ ） A． B ． C ． D ． 6．已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．若，则D ．若，则{}(,)6A x y x y =+={}2(,)B x y y x ==A B =I {}(2,4){}(3,9)-{}(2,4),(3,9)-∅i (,)a b a b +∈R 1i1i +-a b +=1-12-12112DE EC =u u u r u u u r 35AF AD=u u u r u u u rAE BF ⋅=u u u r u u u r 13156516151415S ABC -π2SAB ABC ∠=∠=4SB =SC =2AB =6BC =S ABC -2AB =AC =ABC △3+3+{}n a 1322a a a +≥2221322a a a +≥13a a =12a a =31a a >42a a >7．设定义域为R 的函数满足下列条件：①对任意，；②对任意，当时，有，下列不等式不一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若且，则（ ） A ． B ． C ．D ．（二）多选题9．若函数的图象关于直线对称，则（ ）A ．B ．函数的最大值为C ．为函数的一个对称中心D ．函数在上单调递增10．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）A ．的方程为B ．C ．曲线经过的一个焦点 D ．直线与有两个公共点 11．正方体的棱长为2，分别为的中点，则（ ）()f x x ∈R ()()0f x f x +-=[]12,1,x x a ∈21x x >()()210f x f x >>()()0f a f >12a f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭()1331a f f a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭()131a f f a a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭1a b c >>>2ac b <log log log a b c b c a >>log log log c b a b a c >>log log log b a c c b a>>log log log b c a a b c>>sin 2cos 2y x m x =+π6x =-3m =-37π(,0)12ππ[,]63C (3y x=±C 2213x y -=C 21x y e -=-C 10x -=C 1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,BC CC BBA ．直线与直线垂直B ．直线与平面平行C ．平面截正方体所得的截面面积为D ．点与点到平面的距离相等12．已知函数，下列命题为真命题的是（ ）A ．函数是周期函数B ．函数既有最大值又有最小值C ．函数的定义域是，且其图象有对称轴D ．对于任意，单调递减第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设，，，，则数列的通项公式．14．已知定义在上的奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线斜率为______．1D D AF 1A GAEF AEF 92C G AEF ()()()22sin π122xf x x x x =+-+()f x ()f x ()f x R (1,0)x ∈-()f x 12a =121n n a a +=+21n n n a b a +=-n ∈*N {}n b n b =R ()f x 0x >()3ln f x x x =-()y f x =()()1,1f --15．在等腰直角三角形中，点是边异于、的一点．光线从点出发，经过、反射后又回到点(如图)．若光线经过的重心，且，则_________．16．半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角、、所对的边分别为、、，且．（1）求的值；（2）若，且的面积，求的值．18．（12分）数列的前项和为，已知，，．ABC P AB A B P BC CA P QR ABC △4AB AC ==AP=,,,A B C D ,,AB AC AD ABC △ACD △ADB △ABC △A B C a b c ()2223sin sin sin 3sin B C B C A+=+tanA 3sin cB aA =ABC△ABC S =△c {}n a n nS 112a =2(1)n n S n a n n =--1,2,3,n =L（1）写出与的递推关系式；（2）求关于的表达式．19．（12分）如图，已知三棱柱，平面平面，，，分别是的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值．nS 1n S -(2)n ≥nS n 111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=︒30BAC ∠=︒11,,A A AC AC E F ==11,AC A B EF BC ⊥EF 1ABC20．（12分）已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2−6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（2）是否存在实数k，使得直线L:y=k(x−4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数，，．（1）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）设函数的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行．()ln f x x =21()2g x ax bx =+0a ≠2b =()()()h x f x g x =-a ()f x 1C()g x 2C P Q PQ x 1C 2C M N 1CM 2C N22．（12分）设均为正数，且． 求：（1）的最大值；（2）的最小值．,,m n p 1m n p ++=mn np pm ++222m n p n p m ++2020届高三理科数学1月份特供卷二（湖北省荆门市）解析 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． （一）单选题 1．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，或，则，故选C ．2．已知是的共轭复数，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A{}(,)6A x y x y =+={}2(,)B x y y x ==A B =I {}(2,4){}(3,9)-{}(2,4),(3,9)-∅26x y y x +=⎧⎨=⎩24x y =⎧∴⎨=⎩39x y =-⎧⎨=⎩{}(2,4),(3,9)A B -=I i (,)a b a b +∈R 1i1i +-a b +=1-12-121【解析】，∴，∴，，∴，故选A ．3．边长为2的正方形ABCD 中，，，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，故，，则，故选C ． 4．已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是（ ）A ．4B ．6C ．．【答案】C【解析】由，，且，得；又由，，且，得因为，从而知，即，所以．()()21i (1i)2ii 1i 1i 1i 2++===-+-i i a b +=-0a =1b =-1a b +=-12DE EC =u u u r u u u r 35AF AD=u u u r u u u rAE BF ⋅=u u u r u u u r 13156516151415(0,0)A 2,23E ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0)B 60,5F ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,23AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 62,5BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 412163515AE BF ⋅=-+=u u u r u u u r S ABC -π2SAB ABC ∠=∠=4SB =SC =2AB =6BC =S ABC -4SB =2AB =π2SAB ∠=SA =2AB =6BC =π2ABC ∠=AC =222SA AC SC +=π2SAC ∠=SA AC ⊥SA ABC ⊥平面又由于，从而故选C ．5．满足条件，的面积的最大值是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】设，，，因为，所以，所以，所以的轨迹是以为圆心，半径等于，两点，所以B ．6．已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．若，则D ．若，则【答案】B【解析】设{an}的首项为a1，公比为q ，当a1<0，q<0时，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A 不正确； 当时，C 选项错误；当q<0时，a3>a1⇒a3q<a1q ⇒a4<a2，与D 选项矛盾， 因此根据基本不等式可知B 选项正确．12662ABC S =⨯⨯=△11633S ABC ABC V S SA -=⋅=⨯⨯=△2AB =AC =ABC △3+3+(),C x y ()1,0A ()1,0B -AC =()()()22221210x y x y y ⎡⎤-+=++≠⎣⎦()()22380x y y ++=≠C ()3,0-()3--()3,0()max 12ABC S r AB =⨯⨯=△{}n a 1322a a a +≥2221322a a a +≥13a a =12a a =31a a >42a a >1q =-7．设定义域为R 的函数满足下列条件：①对任意，；②对任意，当时，有，下列不等式不一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵①对任意x ∈R ，()()0f x f x +-=，∴函数()f x 是奇函数， ∵②对任意，当时，有，∴函数()f x 在区间[]1,a 上是单调增函数．∵1a >，故选项A ，()()0f a f >一定成立；∵12a+>B ，()12a f f a +⎛⎫> ⎪⎝⎭一定成立；∵()()2113011a aa a a ----=>++，∴131a a a ->-+，∴311a a a ->+， ∴()311a f a f a -⎛⎫> ⎪+⎝⎭，两边同时乘以1-，可得()311a f a f a -⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭， 即()131a f f a a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭，故选项D 一定成立；()1343011a a a ---=>++，∴1331a a ->-+，3131a a ->+， 但不能确定3和311a a -+是否在区间[]1,a 上，故()3f 和311a f a -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的大小关系不确定，故131a f a -⎛⎫⎪+⎝⎭与()3f -的大小关系不确定，()f x x ∈R ()()0f x f x +-=[]12,1,x x a ∈21x x >()()210f x f x >>()()0f a f>12a f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭()1331a f f a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭()131a f f a a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭[]12,1,x x a ∈21x x >()()210f x f x >>故选项C 不一定正确， 故答案选C ．8．若且，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】（方法一） 对选项A ：由，从而，，，从而选项A 错误；对选项B ：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法：，从而，选项B 正确；对于选项C ：由，，知C 错误；对于选项D ：可知，从而选项D 错误，故选B ．（方法二）取，，代入验证知选项B 正确． （二）多选题1a b c >>>2ac b <log log log a b c b c a >>log log log c b a b a c >>log log log b a c c b a>>log log log b c a a b c>>a b c >>log log 1a ab a <=log log 1b bc b <=log log 1c c a c >=log log 1c c b c >=log log 1b b a b >=log log 1a a c a <=log a clog c b log b a222lg lg (lg )lg lg (lg )lg lg 2log log lg lg lg lg lg lg c b a c b b a b a c b a c b c b c b +⎛⎫- ⎪-⋅⎝⎭-=-=≥⋅⋅222lg (lg )20lg lg b b c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭>=⋅log log c b b a>log log 1a a b a <=log log 1c c a c >=log log c b b a>5a =4b =3c =9．若函数的图象关于直线对称，则（ ）A ．B ．函数的最大值为C ．为函数的一个对称中心D ．函数在上单调递增【答案】ABCD 【解析】（其中），因为函数的图象关于直线对称，则，，则，， A 正确；又，则函数的最大值为，B 正确； 令，，当，， 则为函数的一个对称中心，C 正确； 令，，当，为增区间，即函数在上单调递增，D 正确．故选ABCD ．10．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）A ．的方程为sin 2cos 2y x m x =+π6x =-m =7π(,0)12ππ[,]63()sin 2cos 22y x m x x ϕ=+=+tan m ϕ=sin 2cos 2y x m x =+π6x =-ππ2π62k ϕ⎛⎫⨯-+=+ ⎪⎝⎭()5ππ6k k ϕ∴=+∈Z tan 3m ϕ==-3m ∴=-πsin 2226y x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭3π2π6x k -=ππ,212k x k ∴=+∈Z 1k =7π12x =7π(,0)12πππ2π22π262k x k -≤-≤+ππππ63k x k ∴-≤≤+0k =ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ[,]63C (3y x=±C 2213x y -=B ．C ．曲线经过的一个焦点 D ．直线与有两个公共点 【答案】AC【解析】对于选项A ：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B ：由双曲线方程可知，，从而离心率为，所以B 选项错误； 对于选项C ：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确； 对于选项D ：联立，整理得， 由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D 错误． 故选AC ．11．正方体的棱长为2，分别为的中点，则（ ）C 21x y e -=-C 10x -=C 3y x=±2213y x =2213x y λ-=C (22133λ⨯-=1λ=a =1b =2c =3c e a ===()2,021x y e -=-221013x x y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩220y +=-2420Δ=-⨯=C 1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,BC CC BBA ．直线与直线垂直B ．直线与平面平行C ．平面截正方体所得的截面面积为D ．点与点到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】A ．若，又因为且，所以平面，所以，所以，显然不成立，故结论错误；B ．如图所示，取的中点，连接，，由条件可知：，，且1GQ AQ Q =I ，，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故结论正确；1D D AF 1A GAEF AEF 92C G AEF 1D D AF⊥1D D AE⊥AE AF A =I 1DD ⊥AEF 1DD EF⊥1CC EF⊥11B C Q 1A QGQ GQ EF ∥1AQ AE∥EF AE E =I 1AGQ ∥AEF 1AG ⊂1A GQ1A G ∥AEFC ．如图所示，连接，，延长，交于点，因为为的中点，所以1EF AD ∥，所以四点共面，所以截面即为梯形，又因为1AD = 所以，所以，故结论正确；D ．记点与点到平面的距离分别为，，因为，又因为21122333G AEF AEF A GEF V S h V --=⋅⋅===， 所以，故结论错误．故选BC ．12．已知函数，下列命题为真命题的是（ ）A ．函数是周期函数B ．函数既有最大值又有最小值1D F1D A1D FAE S ,E F 1,C C BC1,,,A E F D 1AEFD 1D S AS ===1162AD S S =⨯=△139=6=42AEFD S ⨯梯形C G AEF 1h 2h11111123323C AEF AEF A CEF V S h V --⨯=⋅⋅==⋅⋅=12h h ≠()()()22sin π122xf x x x x =+-+()f x ()f xC ．函数的定义域是，且其图象有对称轴D ．对于任意，单调递减【答案】BC【解析】由函数()()()()2222sin πsin π122(1)(1)1x xf x x x x x x ==+-++-+，A ．函数是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于x 轴，故不是周期函数； B ．令，，，单调递增，又且对称轴是，故在取得最小值， 又在取得最大值，故函数有最大值；另一方面，当，恒成立，且因为在，恒成立，故的最小值在取得，由，，，单增，又，单调递减，同理，在，，单调递减，，使得，在单调递减，在单增，故， 故f （x ）有最大值又有最小值；B 正确．()f x R (1,0)x ∈-()f x ()f x ()()()22122g x x x x =+-+()324662g x x x x '=-+-()()262210g x x x ''=-+>()g x '∴102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭()g x 12x =()g x 12x =()sin πh x x=12x =()f x 0x ≥()0g x >sin 0y x =π<()1,2()3,4,L ()f x ()1,2x ∈()1πh '=-()12g '=π12>()f x ∴()0f x <()f x ∴32x =302g ⎛⎫'> ⎪⎝⎭302h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭()f x ∴0x ∃()()00h x g x ''=() f x ∴()01,x 03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()0min f x f x =C ．函数f （x ）的定义域是R ，且，故其对称轴是，此命题正确；D ．由于自变量从1-变化到0，分母变小，而分子由0减小到1-，再由1-增大到0， 所以函数值的变化是先减小后增大，故D 不正确， 综上，BC 正确，故选BC ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设，，，，则数列的通项公式．【答案】12n +【解析】由条件得111222122221111n n n n nn n n a a a b b a a a +++++++====---+，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．14．已知定义在上的奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线斜率为______．【答案】【解析】当时，，由于函数为奇函数，当时，，则，此时，，．()()1f x f x =-12x =12a =121n n a a +=+21n n n a b a +=-n ∈*N {}n b n b =14b ={}n b 11422n n n b -+=⋅=R ()f x 0x >()3ln f x x x =-()y f x =()()1,1f --40x >()3ln f x x x =-()y f x =0x <0x ->()()()()()33ln ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()()2231311f x x x x x'=-⋅-=--()11341f '∴-=-=-因此，曲线在点处的切线斜率为．故答案为．15．在等腰直角三角形中，点是边异于、的一点．光线从点出发，经过、反射后又回到点(如图)．若光线经过的重心，且，则_________．【答案】【解析】建立平面直角坐标如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，设，因为，，所以，解得，由光的反射原理可知：四点共线，所以，()y f x =()()1,1f --44ABC P AB A B P BC CA P QR ABC △4AB AC ==AP=43P BC 1PP y 2P AP a=:40BC l x y +-=()()12,,,0P m n P a -402201m a nn m a +⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩()14,4P a -12,,,P P R Q1244RQ P P ak k a -==+所以，代入重心坐标，即， 所以，解得或(舍)． 故答案为．16．半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．【答案】8【解析】如图所示，将四面体置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．不妨设，，，则有，即． 记．从而有，即，从而．当且仅当，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角、、所对的边分别为、、，且．()4:4RQ a l y x a a -=++400040,33++++⎛⎫ ⎪⎝⎭44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭444343a a a -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭43a =0a =43,,,A B C D ,,AB AC AD ABC △ACD △ADB △A BCD-AC x =AD y =AB z=2=22216x y z ++=111222ABC ACD ADB S S S S yz xy zx =++=++△△△()()()()222222240x y z S x y y z z x ++-=-+-+-≥432S ≤8S ≤x y z ==ABC △A B C a b c ()2223sin sin sin 3sin B C B C A+=+（1）求的值；（2）若，且的面积，求的值． 【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，故，，故，因此，． （2）因为，故，即， 的面积为，故，解得18．（12分）数列的前项和为，已知，，．（1）写出与的递推关系式；（2）求关于的表达式．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），，．（2），，tan A 3c a=ABC △ABC S =△c tan 4A =c =()2223sin sin sin 3sin B C B C A+=+2223b c a +-=222cos 23b c a A bc +-∴==1sin 3A ===sin 1tan cos 34A A A ===3sin c B aA =3c a a =2b c =ABC Q △1sin 2ABCS bc A ==△21123=28c =c ={}n a n nS 112a =2(1)n n S n a n n =--1,2,3,n =L nS 1n S -(2)n ≥nS n 21211n n n n S S n n -=++-21n n S n =+21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥Q 221(1)(1)n n n S n n n S -∴-=-+21211n n n n S S n n -∴=++-111(2)1n n n n S S n n n -+=+≥-Q1191n n n nS S n n +∴-=-L故数列是以为首项、1为公差的等差数列， ．19．（12分）如图，已知三棱柱，平面11A ACC ⊥平面，，，分别是的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）如图所示，连结，等边1AAC △中，AE EC =，则1A E AC⊥，平面ABC ⊥平面，且平面ABC ∩平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，1n n S n+⎧⎫⎨⎬⎩⎭121S =211n n n n S n S n n +∴=⇒=+111ABC A B C -ABC 90ABC ∠=︒30BAC ∠=︒11,,A A AC AC E F ==11,AC AB EF BC ⊥EF 1A BC 3511,A E BE11A ACC 11A ACC AC=1A E ⊥ABC 1A E BC⊥由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面， 结合平面，故．（2）在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ，EC ，方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系．设1EH =，则，，，据此可得：，，，，由，可得点的坐标为， 利用中点坐标公式可得， 由于，故直线EF的方向向量为， 设平面的法向量为，则，11A B AB∥AB BC ⊥11A BBC ⊥1111A B A E A =I BC ⊥11A B EEF ⊆11A B EEF BC ⊥1EA E xyz -AE EC ==11AACA ==BC =3AB =()0,A 3,22B ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭()10,0,3A ()C 11AB A B =u u u r u u u u r 1B 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭34F ⎛⎫⎪⎝⎭()0,0,0E 34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 1A BC(),,x y z =m ()()133,,3302233,,022A B x y z x y z BC x y z x y ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩u u u r u u u r m m据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF 与平面所成角为，则，． 20．（12分）已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2−6x +5=0相交于不同的两点A ，B ．（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线L:y =k(x −4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设(),M x y ，则1C M AB⊥，当直线l 的斜率不为0时，由11C M ABK K ⋅=-，得13y yx x ⋅=--，即223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当直线l 的斜率为0时，()3,0M 也适合上述方程，∴线段EF 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由（1）知点M 的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线l ：y =k(x −4)过定点()4,0D ，1ABC()m=4cos ,5EF EF EF ⋅===⨯u u u ru u u r u u u rm m m1A BC θ4sin cos ,5EF θ==u u u r m 3cos 5θ=22393,3245x y x ⎛⎫⎛⎤-+=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U当直线l 与圆C32=，得34k =±，又，结合上图可知当33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U 时，直线l ：y =k(x −4)曲线C 只有一个交点．21．（12分）已知函数，，．（1）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）设函数()f x 的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）时，，则，因为函数存在单调递减区间，所以有解，()ln f x x =21()2g x ax bx =+0a ≠2b =()()()h x f x g x =-a 1C()g x 2C P Q PQ x 1C 2C M N 1CM 2C N(1,0)(0,)-+∞U 2b =()21ln 22h x x ax x=--()21212ax x h x ax x x +-'=--=-()h x ()0h x '<又因为，则有的解，所以，所以的取值范围为．（2）设点、的坐标分别为，，，则点，的横坐标为，在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为，假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即，则()()()212222212122112121122ln ln 222x x a a a x x b x x x bx x bx y y x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以，设，则，，①令，，则，因为时，，所以在上单调递增，故，0x >2210ax x +->0x >22121111a x x x ⎛⎫>-=--≥- ⎪⎝⎭a (1,0)(0,)-+∞U P Q ()11,x y ()22,x y 120x x <<M N 122x x x +=1C M 12112212|x x x k x x x +===+2C N ()121222|2x x x a x x k ax b b+=+=+=+1C M 2C N 12k k =()121222a x x bx x +=++21221121ln 1x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+21x t x =()21ln 1t t t-=+1t >()()21ln 1t r t t t-=-+1t >()()()()22211411t r t t t t t -'=-=++1t >()0r t '>()r t ()1,+∞()()10r t r >=则，这与①矛盾，假设不成立，故在点处的切线与在点处的切线不平行．22．（12分）设均为正数，且． 求：（1）的最大值；（2）的最小值． 【答案】（1）；（2）1．【解析】（1）由，，， 得． 由已知得， 即， 当且仅当等号成立，，的最大值为．（2）因为，，，当且仅当等号成立，所以， 即，的最小值为1．()21ln 1t t t->+1C M 2CN ,,m n p 1m n p ++=mn np pm ++222m n p n p m ++13222m n mn +≥222n p np +≥222p m pm +≥222m n p mn np pm ++≥++2()1m n p ++=2222221333m n p mn np pm mn np pm +++++=≥++13m n p ===13mn np pm ∴++≤mn np pm ∴++1322m n m n +≥22n p n p +≥22p m pm +≥13m n p ===222()2()m n p m n p m n p n p m +++++≥++2221m n p n p m ++≥222m n p np m ++。

“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020届高三元月联考理 科 数 学 试 题本试卷共2页，共23题（含选考题）满分150分，考试用时120分钟★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交．一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足(1)z i i -=，则z 在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，集合2{230}A x x x =--≤|，集合2{log 1}B x x =≤|，则()U A B =I ð A ．(2,3] B ．φ C ．[1,0)(2,3]-U D ． [1,0](2,3]-U 3．已知0.20.8512,(),2log 22a b c -===，则A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c << D. b a c <<4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏． A ．2 B ．3 C ．26 D ．27 5．若直线()+2=0>0>0ax by a b +、截得圆()()2221=1x y +++的弦长为2，则12a b+的最小值为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．106．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos 21x xf x x +=-的图象大致是7．函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移______个单位长度得到．A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π8．若向量a r 与b r 的夹角为60o ，(2,0)a =r，223a b +=r r ，则b r ＝A. 3 B ．1 C ．4 D ．3 9．如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ,OB ,OC ,OD为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．21π- B ．112π-C ．2πD ．1π 10．设函数()f x 的定义域为R ，满足2(1)()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是 A ．7[,)6-+∞ B ．5[,)3-+∞ C ．5[,)4-+∞ D ．4[,)3-+∞11．SC 是球O 的直径，A 、B 是该球面上两点，3AB =，30ASC BSC ∠=∠=o ，棱锥S ABC-的体积为3，则球O 的表面积为 A.4π B.8π C.16π D.32π12.关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是（1）2x =是()f x 的极小值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）1()2f x x >恒成立； （4）设函数2()()4g x xf x x =-++，若存在区间1[,][,)2a b ⊂+∞，使()g x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，则92ln 2(1,]10k +∈. A ．(1) (2) B ．(2)(4) C ．(1) (2) (4) D ．(1)(2)(3)(4) 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知曲线2sin xy e x =-，则其在点(0,2)处的切线方程是 ▲ ．14．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，362a a +=，则9a = ▲ ． 15．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为 ▲ ．16．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的上支与焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点．若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ．A B CDO三．解答题：共70分。

荆门市2020年高三年级元月调考试卷理科综合—化学本试卷分选择题和非选择题两部分，共16页。

全卷共300分，考试时间150分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡密封线矩形框内。

同时将考号填写在答题卡正面右上方框内，将考号下对应的数字框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只交答题卡。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Na 23 Mg 24 S 32Cl 35.5 S 32 Cl 35.5 Ar 40 Cr 52 Fe 56 Br 80 I 127一、选择题（本题共有13个小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）7. 化学与生产、生活及环境密切相关，下列说法错误的是A．江河入海口形成的三角洲与胶体聚沉有关B．葡萄酒中通常含有微量SO2，既可以杀菌又可以防止营养成分被氧化C．常用危险化学品标志中的数字主要表示的是危险的级别D．酿酒工艺中加入的“酒曲”与面包工艺中加入的“发酵粉”作用不同8. 有机物分枝酸结构简式如图，分枝酸可用于生化研究。

下列关于分枝酸的叙述正确的是A．分子中含有3种官能团B．1mol分枝酸最多可与3 mol NaOH发生中和反应C．可与乙醇、乙酸反应，且反应类型不相同D．可使溴的四氯化碳溶液、酸性高锰酸钾溶液褪色，且原理不相同9.下列实验操作、现象与结论均正确的是选项实验操作实验现象实验结论A用铂丝蘸取某碱金属的盐溶液灼烧火焰呈紫色证明其中含有K+B向CuSO4溶液中通入H2S气体出现黑色沉淀酸性：H2S>H2SO4C将等浓度等体积的 KI溶液和溶液变红溶液中存在平衡:10. 设N A 为阿伏加徳罗常数的 值，下列说法正确的 是 A ．常温下，1L pH ＝13的 Ba(OH)2溶液中OH －数目为0.2N A B ．在电解精炼粗铜的 过程中，当阴极质量增重32 g 时转移电子数目为N AC ．常温常压下，1 mol 分子式为C 2H 6O 的 有机物中，含有C —O 键的 数目为N AD ．氢氧燃料电池正极消耗22.4L 气体时，负极消耗的 气体分子数目为2N A11. 主族元素X 、Y 、Z 、W 的 原子序数依次增加，且均不大于20，X 的 单质是手机电池重要的 电极材料；常温下，Y 的 两种气态氧化物之间可发生可逆反应；X 、Y 、W 最外层电子数之和与Z 的 最外层电子数相等；W 能形成多种氧化物。

2020年湖北省第五届高考测评活动高三元月调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|A x y ==，集合2{|0}B x x x =-<，则A B =I （ ）A. ∅B. {|1}<x xC. {|01}x x <<D. {|0}x x <【答案】D【解析】【分析】 可以求出集合A 、B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：{}{}101A x x x x =-≥=≤Q ，{}{200B x x x x x =->=<或}1x >， {|0}A B x x ∴⋂=<．故选：D ．【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.复数4312i z i +=+的虚部为（ ） A. iB. i -C. 1D. -1 【答案】D【解析】由()()()()43124310521212125i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以复数的虚部为1-，故选D ． 3.若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，则a 的值为（ ）A. 1B. －1C. 2D. －2【答案】A【解析】【分析】 将圆的圆心代入直线方程即可.【详解】解：因为直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，又圆的标准方程为22(1)(2)4x y -++=，所以直线经过圆心(1,2)-， 120a -+=所以1a =，故选A ．【点睛】本题考查直线和圆的位置问题，是基础题．4.已知向量()1,2AB =-u u u r ，(),5BC x =-u u u r ，若7AB BC ⋅=-uu u r uu u r ，则AC =u u u r （ ）A. 5B.C. 6D. 【答案】A【解析】【分析】 通过向量的数量积求解x ，并求出向量AC u u u r 的坐标，然后利用向量模的坐标运算求出AC u u u r ．【详解】解：向量()1,2AB =-u u u r ，(),5BC x =-u u u r ，若7AB BC ⋅=-uu u r uu u r ，可得107x --=-，解得3x =-，所以()4,3AC AB BC =+=--u u u r u u u r u u u r ，则5AC ==uuu r ．故选：A ．【点睛】本题考查向量的数量积的运算，向量的模的求法，是基本知识的考查．5.图1是我国古代数学家赵爽创制一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）A. 964B. 449C. 225D. 27【答案】B【解析】【分析】求得120ADB ∠=︒，在ABD V 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解．【详解】解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒Q ，在ABD V 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为222153253492AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得7AB =， 2DE AD BD =-=Q ，224()749DEF ABC S S ∴==V V ． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则z=3x-2y 的最小值为（ ） A. 13 B. 13- C. 5- D. 5【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由题意，画出约束条件，所表示的平面区域，如图所示，化目标函数32z x y =-为322z y x =-， 由图可知，当直线322z y x =-过A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得A （-1，1）， 可得目标的最小值为3(1)215z =⨯--⨯=-，故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．7.将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ）A 18种 B. 24种 C. 32种 D. 36种【答案】B【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A =种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A =种情况； 则若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案有121224+=种；故选：B ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．8.已知实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】 通过举反例得到“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；再由“224x y +≤”⇒“1xy ≤”.能求出结果．【详解】解：Q 实数0x >，0y >，∴当3x =，14y =时，13422224x y +=+>， ∴“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；反之，实数0x >，0y >，由基本不等式可得22x y +≥由不等式的基本性质得224x y ≤+≤，整理得24x y +≤，2x y ∴+≤， 由基本不等式得212x y xy +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即“224x y +≤”⇒“1xy ≤”． ∴实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．9.将函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 4π 【答案】C【解析】【分析】首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．【详解】解：函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到226y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向上平移1个单位，得到()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象， 由于若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以函数在1x x =和2x 时，函数()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭都取得最大值． 所以()12262x k k Z πππ+=+∈，解得16x k ππ=+， 由于且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以176x π=，同理2116x π=-，所以711366πππ+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题．10.关于函数()1211x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭有下列结论： ①图象关于y 轴对称；②图象关于原点对称；③在(),0-∞上单调递增；④()f x 恒大于0．其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①③B. ②④C. ③④D. ①③④ 【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性、单调性直接求解．【详解】解：函数()1211x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭， ①中，()()121211************ x x x x x x x e e e f x f x x e x e x e e x e -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫-=+=-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴函数()1211x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确； 在②中，函数()1211x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，图象关于y 轴对称，故②错误；在③中，任取120x x >>， 则()()()211212122222211111111x x x x x x x x e e e e e e e e -⎛⎫⎛⎫+-+=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭， 120x x >>Q ，210x x e e ∴-<，110x e ->，210x e ->，12221111x x e e ∴+<+--， 111211011x x x e e e ++=>--Q ，同理22101x e +>-，即212211011x x e e +>+>--， 120x x >>Q ，21110x x ∴>>，212112121111x x x e x e ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x <， 所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，则该函数在区间(),0-∞上为增函数，故③正确；在④中，当0x >时，10x >，2101x e +>-，()0f x >， 当0x <时，10x <，2101x e +<-，()0f x >，()f x ∴恒大于0，故④正确． 故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．11.已知抛物线C ：22x py =的焦点为F，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ） A. 78 B. 1 C. 76【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，求出AB 斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长．【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=，cos 7BNB '∴∠=-，tan BNB '∠=，又()M ，AB ∴的方程为y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =．联立22y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 12.如图，在ABC V 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，AD =，则ABC V 的面积的最大值为（ ）A. B. 4D. 【答案】C【解析】【分析】设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠，根据三角形的面积公式求出AC ，AB ，然后由1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠()421sin θϕ⎤=+-⎦，根据三角函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠．3BD DC =Q ，AD =，34ABD ABC S S ∴=V V ，131242AB ADsin AB ACsin BAC θ∴⋅=⋅⋅∠， 83AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，()1124ABC S AB ACsin BAC sin BAC sin θθθθθ⎫∴=⋅∠=∠-=-⎪⎪⎝⎭V()421(sin θϕ⎤=+-⎦其中tan ϕ=，0BAC θ<<∠Q ，∴当22πθϕ+=时，sin(2)1max θϕ+=，()ABC max S ∴V ．故选：C ． 【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.在2log 0.2，0.22，0.30.2三个数中，则最大的数为______．【答案】0.22【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：22log 0.2log 10<=Q ，2log 0.20∴<，0.20221>=Q ，0.221∴>，0.3000.20.21<<=Q ，0.300.21∴<<，0.22∴最大，故答案为：0.22．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．14.已知F 是双曲线C ：2213y x -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若OP OF =，则OPF V 的面积为______． 【答案】32【解析】【分析】 由题意画出图形，不妨设F 为双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 为第一象限点，求出P 点坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：如图，不妨设F 为双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，21a =，23b =，则2c =，则以O 为圆心，以2为半径的圆的方程为224x y +=． 联立2222413x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得32P ⎫⎪⎪⎝⎭，1332222OPF S ∴=⨯⨯=V ． 故答案为：32． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.设数列{}n a 满足1a a =，()()()*1112n n n a a a n N +--=∈，若数列{}n a 的前2019项的乘积为3，则a =______．【答案】2【解析】【分析】本题先根据递推式的特点可知1n a ≠，然后将递推式可转化为11.1nn na a a ++=-再根据1a a =逐步代入前几项即可发现数列{}n a 是以最小正周期为4的周期数列．再算出一个周期内的乘积为1，即可根据前2019项的乘积为3求出a 的值．【详解】解：由题意，根据递推式，1n a ≠，故递推式可转化为111nn na a a ++=-． 1a a =Q ，211a a a+∴=-，232111111111a a a a a a a a+++-===-+---，34311111111a a a a a a a -+-===-++， 45411111111a a a a a a a a -+++===---+． ∴数列{}n a 是以最小正周期为4的周期数列，1234111111a a a a a a a a a a +-⎛⎫∴⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅= ⎪-+⎝⎭． 201945043=⨯+Q ，122019123111311a a a a a a a a a a a a ++⎛⎫∴⋅⋯=⋅⋅=⋅⋅-== ⎪--⎝⎭， 解得2a =． 故答案为：2．【点睛】本题主要考查周期数列的判定以及周期数列的性质应用，本题属中档题． 16.已知函数()()1f x x sinx cosx =++，若对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212|x x f x f x a e e --成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[)1,+∞ 【解析】 【分析】求导可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，进而原问题等价于对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212x x f x ae f x ae ->-，构造函数()()x h x f x ae =-，则函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．【详解】解：()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x x x =++-=+'， 任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增， 不妨设12x x <，则()()12f x f x <，又12x x e e <，故()()1212|xxf x f x a e e --等价于()()2121x xf x f x ae ae -<-，即()()1212xxf x ae f x ae ->-，设()()()1,0,2xxh x f x ae x sinx cosx ae x π⎡⎤=-=++-∈⎢⎥⎣⎦，易知函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()()'10xh x x cosx ae =+-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1x x cosx a e+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 设()()1,0,2xx cosx g x x e π+⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()()()211'0()x xx xcosx x sinx e x cosx e xsinx sinx xcosx g x e e⎡⎤-+-+⋅---⎣⎦==≤， 故函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，则()()01max g x g ==，故1a ≥． 故答案为：[)1,+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．三、解答题：本大题有6小题，共60分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.已知函数()232f x sinxcos x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．()1求512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； ()2求()f x 的最小正周期及单调增区间．【答案】（1）12- ；（2）最小正周期为π，()f x 的单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）结合和差角公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后直接代入即可求解； （2）结合正弦函数的性质即可求解．【详解】解：(1)因为()212sin cos sin cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos 21sin 2sin 2cos 2sin 2222223x x x x x π-⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 所以5571sin sin sin sin 12636662f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()f x 的最小正周期22T ππ==． 令222232k x k πππππ-≤+≤+，解得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以()f x 的单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查和差角公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，考查了正弦函数的性质的应用，属于中等题.18.已知数列{}n a 满足11a =，141n n a a n ++=-，1n =，2，3⋯.()1求数列{}n a 的通项；()2设12233445212221n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，求n S ．【答案】()21,122,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数； ()2 28n S n =-.【解析】【分析】()1利用数列的递推关系式推出114n n a a +--=，通过当n 为奇数，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，分别求解通项公式；()2化简()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，然后求解数列的和即可．【详解】解：()1141n n a a n ++=-Q ，1n =，2，3⋯①，()1411n n a a n -∴+=--，2n =，3，4⋯②-①②得114n n a a +--=，2n =，3⋯当n 为奇数，1141212n n a n +⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭所以21,22,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数；()122334452122212n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-()()()()224622424482n n n a a a a n +-=-+++⋯+=-=-．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法以及数列求和的方法，是中档题． 19.已知()2(,f x kx sin x asinx k =-+a 为实数)．()1当0k =，2a =时，求()f x 在[]0,π上的最大值； ()2当4k =时，若()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围．【答案】()1； ()2 []22-,. 【解析】 【分析】()1求导后，列表得x ，()'f x ，()f x 变化情况，进而求得最大值；()2依题意，2460cos x acosx --≤恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解．【详解】解：()1当0k =，2a =时，()22f x sin x sinx =-+，()()()2'2224222211f x cos x cosx cos x cosx cosx cosx =-+=-++=+-，则x ，()'f x ，()f x 的变化情况如下：2()3f x f π⎛⎫∴==⎪⎝⎭最大值； ()()2f x 在R 上单调递增，则()()2242cos sin cos 0f x x x a x '=--+≥对x R ∀∈恒成立，得2460cos x acosx --≤，设[]1,1t cosx =∈-，()246g t t at =--，则()0g t ≤在[]1,1-上恒成立，则有()()120120g a g a ⎧-=-≤⎪⎨=--≤⎪⎩，得22a -≤≤．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及换元思想，属于基础题．20.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点A 为该椭圆的左顶点，过右焦点(),0F c 的直线l 与椭圆交于B ，C 两点，当BC x ⊥轴时，三角形ABC 的面积为18．()1求椭圆Γ的方程；()2如图，当动直线BC 斜率存在且不为0时，直线x c =分别交直线AB ，AC 于点M 、N ，问x 轴上是否存在点P ，使得PM PN ⊥，若存在求出点P 的坐标；若不存在说明理由．【答案】()1 2211612x y +=； ()2 存在，P ()1,0-或()5,0.【解析】 【分析】()1由离心率及三角形ABC 的面积和a ，b ，c 之间的关系求出椭圆方程；()2由()1知A 的坐标，设直线BC 的方程，及B ，C 的坐标，进而写直线AB ，AC 的方程，与直线x c =联立求出M ，N 的坐标，假设存在P 点，是PM PN ⊥，使0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，求出P 点坐标．【详解】解：()1由已知条件得()22221212182c a b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯+⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4,a b ==；所以椭圆Γ的方程为2211612x y +=：；()2设动直线BC 的方程为()2y k x =-，()11,B x y ，()22,C x y ，则直线AB 、AC 的方程分别为()1144y y x x =++和()2244yy x x =++， 所以点M 、N 的坐标分别为1212662,2,44y y M N x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭、，联立()22211612y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222341616480k x k x k +-+-=，所以22121222161648,3434k k x x x x k k-+==++； 于是()()()()()()22121212121212121236243622664444416M N k x x x x k x x y y y y x x x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦=⋅==+++++++2222222221648163624343491648164163434k k k k k k k k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭==--++++，假设存在点(),0P t 满足PM PN ⊥，则2(2)0M N t y y -+=，所以1t =-或5，所以当点P 为()1,0-或()5,0时，有PM PN ⊥．【点睛】考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的综合应用，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查计算能力，属于中难题．21.黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况(单位：百元)，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：()1求所得样本的中位数(精确到百元)；()2根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布()245,15N ，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；()3若年旅游消费支出在40(百元)以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．(参考数据：()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈；(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈【答案】()145(百元)；()217.1万；()3分布列见解析，()245E X =． 【解析】 【分析】()1设样本的中位数为x ，可得()40103904000.510001000100020x -++⋅=，解得x ； ()245μ=，15σ=，275μσ+=，旅游费用支出在7500元以上的概率为()1(22)22P x P x μσμσμσ--<<+≥+=，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7500元以上；()3由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35，X 可能取值为3，4，5，6，利用二项分布列即可得出．【详解】解：()1设样本的中位数为x ，则()40103904000.510001000100020x -++⋅=， 解得45x =，所得样本中位数为45(百元)；()245μ=，15σ=，275μσ+=，旅游费用支出在7500元以上的概率为()1(22)10.954420.022822P x P x μσμσμσ--<<+-≥+===，0.022875017.1⨯=，估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上；()3由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35，X 可能取值为3，4，5，6．()3283()5125P X ===，()12332364()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22332545()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()33276()5125P X ===，故其分布列为：()83654272434561251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了二项分布列、互斥事件与对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.已知函数()()1xf x alnx x e =--，其中a 为非零常数．()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；()2若a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>．【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【解析】 【分析】()1先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a 进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，()()2i 转化为证明()'0f x =只有一个零点，结合函数与导数知识可证；()ii 由题意可得，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，代入可得，()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，结合函数的性质可证．【详解】解：()1解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，()2x xa a x e f x xe x x-=-='Q ， ①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <， 所以()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点；②当0a >时，令()2xg x a x e =-，则由于()g x 在[)0,+∞上单调递减，()00g a =>，(10g a a =-=-<，所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =，所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()'0f x <， 所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.综上所述，当0a <时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；()2证明：()i 由()1知()2xa x e f x x-'=． 令()2xg x a x e =-，由a e >得()10g a e =->，所以()0g x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解， 不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 所以0x 是()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，()1'10h x x=-<， 故()h x 在()1,+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-． 从而当a e >时，1lna >，且()()()()()1110lnaf lna aln lna lna e a lna lna a =--<---=又因为()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．()ii 由题意，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，从而()0120111xx x e lnx x e =-，即1011201x x x lnx e x --=． 因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>，故10112011x x x e x x --<-，即1020x x e x -<，两边取对数，得1020x x lne lnx -<，于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综合应用，属于难题．。

绝密★启用前湖北省荆门市普通高中2020届高三年级上学期元月调研考试(期末)数学(理)试题(解析版)2020年1月一、选择题1.已知集合{|lg 0}A x x =<，{|31}x B x =<，则（ ）A. {|0}A B x x =<B. A B R =C. {|1}A B x x ⋃=<D. A B =∅ 【答案】D【解析】【分析】根据指对数的单调性求解集合,A B ,再判定即可.【详解】{|lg 0}{|01}A x x x x =<=<<,{|31}{|0}x B x x x =<=<.所以A B =∅. 故选：D【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与指对数函数的不等式求解.属于基础题.2.设i 是虚数单位,则2(1)i i --等于A. 0B. 4C. 2 【答案】D【解析】试题分析：因为()()()1212111i i i i i i i i i i i i------====+⋅,所以故答案为D ．考点：复数的运算．3.下列各式中错误．．的是（ ） A. 330.80.7>B. lg1.6lg1.4>C. 0.50.5log 0.4log 0.6>D.0.10.10.750.75-< 【答案】D【解析】【分析】构造基本初等函数,结合函数的单调性判断.【详解】函数3y x =为增函数,所以330.80.7>,故选项A 正确；函数lg y x =为增函数,所以lg1.6lg1.4>,故选项B 正确；函数0.5log y x =为减函数,所以0.50.5log 0.4log 0.6>,故选项C 正确；函数0.75x y =为减函数,所以0.10.10.750.75->,故选项D 错误.故选D.【点睛】本题主要考查指数式和对数式的大小比较,构造合适的函数是求解的主要策略,结合函数的单调性可得,侧重考查数学抽象的核心素养.4.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,双曲线C 30x y +=,则双曲线C 的方程为（ ） A. 2213x y -= B. 2213y x -= C. 221412x y -= D. 221124x y -= 【答案】B【解析】。

2020年湖北省荆门市高三元月调考数学试卷答案解析一、选择题（共12道）1．已知集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＜1}D．A∩B＝∅【解答】解：A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x＜0}，∴A∩B＝∅，A∪B＝{x|x＜0或0＜x＜1}．故选：D．2．设i是虚数单位，则|（1﹣i）﹣|等于（）A．0B．4C．2D．【解答】解：∵1﹣i﹣＝1﹣i+2i＝1+i，∴|1+i|＝，故选：D．3．下列各式中错误的是（）A．0.83＞0.73B．lg1.6＞lg1.4C．log0.5 0.4＞log 0.5 0.6D．0.75 ﹣0.1＜0.75 0.1【解答】解：根据幂函数的单调性可知0.83＞0.73正确；根据对数函数的单调性可知lg1.6＞lg1.4和log0.50.4＞log0.50.6都正确；根据指数函数的单调性可知0.75﹣0.1＞0.750.1．故选：D．4．设双曲线的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，所以c＝2，双曲线C的一条渐近线方程为，可得b＝，a2+b2＝4，解得a＝1，b＝，所以所求的双曲线方程为：．故选：B．5．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω•φ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象知，A＝2，f（0）＝2sinφ＝1，sinφ＝，∴φ＝；又f（）＝2sin（ω×+）＝0，∴ω+＝2π，解得ω＝2；∴ω•φ＝2×＝．故选：C．6．若tanθ+＝4，则sin2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝＝7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若＝，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d≠0，∴，故选：A．8．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点（x，y）∈A，则z＝2x+y的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：z＝2x+y与x2+（y﹣1）2＝1相切时，切点在上方时取得最大值，如图：可得：≤1，解得1﹣≤z≤1+，z＝2x+y的最大值为：1+．当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理≤2，即z的最小值为：﹣2，所以z∈[﹣2，1+]．9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色．春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：由四人的预测可得下表：由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲✔✖✖✖乙✔✖✔✔丙✖✖✔✔丁✖✔✖✔1）若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意2）若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意3）若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意4）若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确．故答案为：甲．故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确．故选：A．10．函数f（x）＝e ln|x|+的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝e ln|x|+∴f（﹣x）＝e ln|x|﹣f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除A，D，当x→0+时，y→+∞，故排除B故选：C．11．已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则PQ两点之间距离的最小值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：由题意如图所示：做P A⊥β于A，QB⊥α于B，AC⊥棱于C，QD⊥棱于D，连接PC，BD，∠ACP＝∠BDQ＝60°，P A＝，PC＝2，QB＝，∴AC＝QD＝1，PQ2＝QA2+P A2＝3+QA2≥3，所以当Q与A重合时QP最小为，故选：A．12．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：；∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，，则：在△PF1F2中由余弦定理得，；∴化简得：，该式可变成：；∴．故选：D．二、填空题（共4道）13．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（如表为随机数表的前2行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为437816651408026314070243699728019832049234493582003623486969387481【解答】解：根据应用随机数表取样本数据的特征知，依次抽取的5个数据分别为：14，08，02，07，43；所以第5个编号为43．故答案为：43．14．已知向量满足，且，则的夹角为．【解答】解：设的夹角为θ，向量满足，且，可得＝0，即9+3×cosθ＝0，可得cosθ＝﹣，所以：θ＝．故答案为：．15．如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为．【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝1023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为＝．故答案为：．16．已知三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为100π，P A⊥平面ABC，P A＝8，∠BAC＝60°，则三棱锥体积的最大值为18．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为100π，P A⊥平面ABC，P A＝8，∠BAC ＝60°，∴三棱锥P﹣ABC外接球半径R＝5，△ABC外接圆半径为r＝＝3，∴S△ABC＝＝＝9，∵sin B＞0，sin C＞0，∴当sin B＝sin C＝时，（S△ABC）max＝9＝，∴三棱锥体积的最大值为：V＝×8＝＝18．故答案为：18．三、解答题（共7道）17．已知在等比数列{a n}中，a1＝2，且a1，a2，a3﹣2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等比数列{a n}的公比为q．∵a1，a2，a3﹣2成等差数列，∴2a2＝a1+（a3﹣2）＝2+（a3﹣2）＝a3．∴q＝＝2，故数列{a n}的通项公式为：a n＝2n，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ），得：，＝+2log22n＝（）n+2n，∴S n＝b1+b2+…+b n＝（+2）+[（）2+4]+…+[（）n+2n]＝[+（）2+…（）n]+（2+4+…+2n）＝+n（n+1）＝n2+n+1﹣（）n．18．如图所示，在四棱锥A﹣BCDE中，平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，BC＝6，AB＝4，∠ABC＝30°．（Ⅰ）求证：AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角B﹣AC﹣E为45°，求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ACB中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC＝3，所以AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC．因为平面平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC＝BC，BC⊥AC，所以AC⊥平面BCDE．又因为BE⊂平面BCDE，所以AC⊥BE．（Ⅱ）解：因为AC⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，所以AC⊥CE．又BC⊥AC，平面ACE∩平面ABC＝AC，所以∠BCE是平面EAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即∠BCE＝45°．因为BE⊥EC，AC⊥BE，EC∩AC＝C，所以BE⊥平面ACE．所以∠EAB是直线AB与平面ACE所成的角．因为在Rt△BCE中，BE＝BC sin45°＝，所以在Rt△BAE中，sin∠BAE＝＝．19．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组[0，0.5），[0.5，1），…，[3，3.5）制作了频率分布直方图，（Ⅰ）用该样本估计总体：（1）估计该市居民月均用水量的平均数；（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？（Ⅱ）在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）（1）月均用水量为：＝0.25×0.05+0.75×0.1+1.25×0.15+1.75×0.2+2.25×0.3+2.75×0.15+3.25×0.05＝1.875．（2）由直方图知：a∈（2.5，3），由（3﹣a）×0.3+0.5×0.1＝1﹣86%，解得a＝2.7吨，故月均用水量a的标准定为2.7吨．（Ⅱ）由直方图可知：月均用水量在[0，0.5）的人数为：40×0.1×0.5＝2人，记为a，b，月均用水量在【0.5，1）的人数为：40×0.2×0.5＝4人，记为A，B，C，D，从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有：ab，aA，aB，aD，aC，bC，bD，AC，AD，BC，BD，CD，共15种，其中月均用水量都在[0.5，1）的情况有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，故两人月均用水量都不低于0.5吨的概率：P＝．20．已知椭圆E：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E 的长轴为直径的圆与直线x+y﹣2＝0相切．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）A，B，C为椭圆E上不同的三点，O为坐标原点，若，试问：△ABC的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得b2＝1，a2＝2，则椭圆C的方程是：．（Ⅱ）①当AB斜率不存在时，设C（﹣，0），A（，），B（，﹣），S＝＝，②设AB：y＝kx+m设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），直线AB与椭圆联立整理得：由（1+2k2）x2+4mkx+2（m2﹣1）＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，由，得，代入椭圆中得：（）2+2（）2＝2 得4m2＝1+2k2，原点O到AB的距离d＝，|AB|＝＝＝2，故S＝＝＝3＝．综上：△ABC的面积为定值．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点为x1，x2，且x1＜x2，求证：x1•x2＞1．【解答】（Ⅰ）解：由题意，f′（x）＝lnx+1﹣2ax，x＞0．∵函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点，∴方程f′（x）＝lnx+1﹣2ax＝0在（0，+∞）有两个不同的根，即2a＝在（0，+∞）有两个不同的根．令g（x）＝，x＞0．则g′（x）＝﹣，x＞0．故当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0．∴函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，在x＝1处取得极大值g（x）max＝g（1）＝1．又x→0，g（x）→﹣∞；x→+∞，g（x）→0．故函数g（x）大致图象如下：根据题意及图，可知：0＜2a＜1，∴0＜a＜．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，x1，x2即为方程lnx+1﹣2ax＝0在（0，+∞）有两个不同的根，则有lnx1+1﹣2ax1＝0，lnx2+1﹣2ax2＝0，故lnx1＝2ax1﹣1，lnx2＝2ax2﹣1，2a＝．由题意，要证明：x1•x2＞1，只要证明：lnx1+lnx2＞0，即证：（2ax1﹣1）+（2ax2﹣1）＞0，即证：2a（x1+x2）＞2，即证：＞．∵0＜x1＜1＜x2，∴上式可转化为：lnx1﹣lnx2＜，即为：ln＜．令（0＜t＜1），则上式即为：lnt＜．构造函数，0＜t＜1，则，即函数h（t）在（0，1）上单调递减，故，故，即ln＜．故x1•x2＞1．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：．（Ⅰ）求直线l与曲线C1公共点的极坐标；（Ⅱ）设过点P（0，﹣1）的直线m交曲线C1于A，B两点，求|P A|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为：（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1．直线l的极坐标方程为：．转换为直角坐标方程为x﹣y＝0．联立方程，解得或所以，直线l与曲线C1的公共点的极坐标为（0，0），（）．（Ⅱ）依题意，设直线m的参数方程为（θ为倾斜角，t为参数），代入（x﹣1）2+y2＝1，整理得t2﹣2（sinθ+cosθ）t+1＝0．设A、B对应的参数分别为t1和t2，则|P A||PB|＝|t1t2|＝1．23．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（Ⅰ）试比较ab+1与a+b的大小；（Ⅱ）设maxA表示数集A中的最大数．h＝max，求h的最小值．【解答】解：由|2x﹣1|＜1得﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，∴M＝{x|0＜x＜1}．（Ⅰ）由a，b∈M，得0＜a＜1，0＜b＜1，∴（ab+1）﹣（a+b）＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，故ab+1＞a+b．（Ⅱ）由h＝max{，，}，得h≥，h≥，h≥，∴h3≥＝≥＝，故h≥．当且仅当＝＝＝，即a＝b＝时等号成立．。