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数与数字的认识及运算一、数字的认识1.数字0的认识：0是一个没有正负之分的数字，它既不是正数也不是负数，是自然数的一部分。
2.数字1的认识：1是最小的自然数，也是正整数和负整数的分界线。
3.数字2的认识：2是质数，也是偶数，是自然界中常见的数字。
4.数字3的认识：3是质数，也是奇数，是三角形内角和的基本数。
5.数字4的认识：4是偶数，是2的平方，也是四边形的边数。
6.数字5的认识：5是质数，也是奇数，是五角星的基本数。
7.数字6的认识：6是偶数，是2和3的乘积，也是六边形的边数。
8.数字7的认识：7是质数，也是奇数，是自然界中常见的数字。
9.数字8的认识：8是偶数，是2的立方，也是八边形的边数。
10.数字9的认识：9是奇数，是3的平方，也是九边形的边数。
11.数字10的认识：10是偶数，是2和5的乘积，也是十边形的边数。
二、数的运算1.加法运算：加法是指将两个或两个以上的数相加，得到它们的和。
2.减法运算：减法是指将一个数从另一个数中减去，得到它们的差。
3.乘法运算：乘法是指将两个或两个以上的数相乘，得到它们的积。
4.除法运算：除法是指将一个数分成若干等份，每份的大小是另一个数。
5.乘方运算：乘方是指将一个数自乘若干次，得到的结果称为该数的乘方。
6.开方运算：开方是指将一个数的平方根或立方根等运算，得到的结果称为该数的开方。
7.分数运算：分数是指将一个数分成若干等份，表示这样的一份或几份的数为分数。
8.小数运算：小数是指将一个数按照一定的比例进行分割，得到的部分称为小数。
9.整数运算：整数是指没有小数部分的数，包括正整数、负整数和0。
10.四则运算：四则运算是指加法、减法、乘法和除法这四种基本的算术运算。
三、数的性质1.交换律：加法、乘法、减法和除法都具有交换律，即a+b=b+a，ab=ba，a-b=b-a，a/b=b/a。
2.结合律：加法、乘法、减法和除法都具有结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)，(a-b)-c=a-(b-c)，(a/b)/c=a/(b*c)。
专题04 有理数的混合运算 技巧提升40题有理数的混合运算（40题）解题技巧：主要是要注意混合运算的运算顺序。
一级运算：加减法；二级运算：乘除法；三级运算：乘方运算。
规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算从左到右依次进行。
（1）有括号，先算括号里面的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行；（2）先乘方、再乘除、最后加减；（3）同级运算，按从左往右依次进行。
当然，在准守上述计算原则的前提下，也需要灵活使用运算律，以简化运算。
1．（2022·江苏镇江·七年级阶段练习）计算：（1）（－8）＋10－2＋（－1）； （2）1134256115⎛⎫⨯-⨯÷ ⎪⎝⎭；（3）12－7×（－4）＋8÷（－2）； （4）345123618⎛⎫⎛⎫+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（5）1519816⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭； （6）()4445393173777⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2．（2022·广东梅州·七年级期末）计算：33(2)30(5)34⎛⎫-⨯-+÷--- ⎪⎝⎭．3．（2022·湖南长沙·七年级期末）计算：()()241110.5134⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦． 4．（2022·河北邯郸·七年级期末）计算：()()20212132311234⎛⎫-+⨯---⨯- ⎪⎝⎭．5.（2022·全国七年级专题练习）计算： （1） （2）－12×（－5）÷[－32＋（－2）2]．6.（2022·全国·七年级）计算：(1)137()244812+-⨯； (2)﹣23÷8﹣14×（﹣2）2；(3)﹣24+（3﹣7）2﹣2×（﹣1）2； (4)[（﹣2）3+43]÷4+（﹣23）．7．（2022·广东梅州·七年级期末）计算：()220200311(2021)23π-⎛⎫-+-+-- ⎪⎝⎭8．（2022·江苏七年级月考）计算：（1）， （2），（3）， （4） ()()()23223322----+-()()()()-3-4-11--19++()()231-2-1-0.52--37⎡⎤⨯⨯⎣⎦()()201921416212--÷-⨯--()()325112243612⎛⎫-+--+⨯- ⎪⎝⎭9．（2022·山东聊城市·七年级月考）计算：（1）； （2）；10．（2022·浙江杭州市·七年级期末）计算： （1）． （2）． （3） （4）12.（2021·全国初一课时练习）计算： （1）－22÷×； （2）2×(－)÷(－2)； （3）17－23÷(－2)×3；（4）2×(－5)＋23－3÷； （5）(－5)3×[2－(－6)]－300÷5． 13．（2022·全国·七年级期末）计算：(1)()()221522212346⎛⎫----⨯- ⎪⎝⎭ (2)()()220221110.5333⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦14．（2021·全国·七年级期末）计算(1)()3221322334⎛⎫⎡⎤-+⨯+--÷- ⎪⎣⎦⎝⎭(2)()()2022251132436⨯-+-÷-⨯ 15．（2022·全国·七年级期末）计算(1)5357722124812247⎛⎫⎛⎫+-+÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)2022211(10.5)2(3)2⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦ 16．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学九年级阶段练习）计算：(1)2133733⎛⎫-÷+-+⨯- ⎪⎝⎭； (2)()202211114312⎡⎤⎛⎫⎛⎫-----÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．17．（2021·江苏初一课时练习）计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 18．（2021·河北邯郸·七年级期中）能简算的要简算（1）122 6.6 2.5325⨯+⨯ （2）44444999999999955555++++221229433⎛⎫--⨯-+÷- ⎪⎝⎭()157242612⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭71(5)27⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭15(0.25)63⎛⎫÷-÷- ⎪⎝⎭231213(2)5⎛⎫---⨯÷- ⎪⎝⎭223(0.25)(8)952⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23213⎛⎫ ⎪⎝⎭2146712124535531513513135⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2215130.34(13)0.343737-⨯-⨯+⨯--⨯82112124317152⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭157(60)15612⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）16533241787⎡⎤⎛⎫÷⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （4）513.21 3.62812⎡⎤⎛⎫⨯-+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 19．（2022·全国·七年级课时练习）计算：（1）211421337⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）11(3)(3)33⎛⎫⨯-÷-⨯- ⎪⎝⎭；（3）11661510155⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）67324(6) 3.5784⎛⎫⎛⎫-÷--÷⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（5）111532⎛⎫÷-- ⎪⎝⎭； （6）221782 1.52133699⎡⎤⎛⎫-⨯÷-÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（7）21112 1.48 1.410 1.4333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷--÷++÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （8）211113170.12511131628⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+÷-÷-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．20．（2021·湖北宜昌·七年级期末）计算(1)4＋（－2）3×5－（－0.28）÷4 (2)32511(2)(24)3612⎛⎫-+--+⨯- ⎪⎝⎭21．（2021·广西柳州市·九年级三模）计算：（﹣3）2×（）3﹣（﹣9＋3）． 22．（2021·广西南宁市·南宁二中九年级三模）计算：． 23．（2022·河南洛阳市·七年级期末）计算：（1）； （2）． 24．（2022·浙江七年级期末）计算：（1）．（2）． （3）． （4）． 25．（2022·湖北黄石市·七年级月考）计算： （1）（2） 26．（2022·浙江七年级单元测试）计算（1） （2）（3） （4）1322331(2)62⎡⎤-÷⨯+---⎣⎦3(4)18(6)(5)⨯-+÷---433116(2)(1)2--÷-+-⨯-11552( 4.8)4566⎡⎤⎛⎫-+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦94(81)(16)49-÷⨯÷-11304(3)1556⎛⎫÷--⨯-+⎪⎝⎭422321(3)(15)35⎛⎫⎡⎤-÷--+-⨯- ⎪⎣⎦⎝⎭()()2018211113223⎡⎤⎛⎫-+-⨯+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()322019234221-⨯-+-÷---3233(10)43434⎛⎫⎛⎫÷-⨯-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22012201121(0.25)4522--⨯+-÷-1111864126⎛⎫-⨯-++÷ ⎪⎝⎭()2222114(32)333⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷---⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（5） （6）（7） （8）27.（2022·全国初一课时练习）计算： （1）－22÷23×213⎛⎫ ⎪⎝⎭2； （2）214×(－67)÷(12－2)； （3）17－23÷(－2)×3；（4）2×(－5)＋23－3÷12； （5）(－5)3×[2－(－6)]－300÷5． 28.（2022·全国初一单元测试）计算 （1）225(3)39⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）3116(2)(4)8⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭（3）11332442⎛⎫⎛⎫-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （4）()()3226433--÷-⨯--． 29.（2022·全国初一单元测试）计算下列各题：（1）()157482812⎡⎤⎛⎫-⨯--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （2）()()222211432333⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷---⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（3）()()232415123262⎛⎫⎡⎤-+⨯-----÷- ⎪⎣⎦⎝⎭（4）666433363777⎛⎫⎛⎫⨯--⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 30.（2022·湖北省初一月考）计算： （1）()()2018211113223⎡⎤⎛⎫-+-⨯+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）()()()()322019234221-⨯-+-÷---31．（2021·上海市杨浦民办凯慧初级中学期末）计算：()201523345184⎛⎫-⨯---÷- ⎪⎝⎭．32．（2022·四川乐山·七年级期末）计算：()()22021231152-+⨯---÷33．（2022·广西百色·七年级期末）计算：（1）()()22241322⎡⎤---⨯÷⎣⎦.（2）33(2)30(5)34⎛⎫-⨯-+÷--- ⎪⎝⎭． 34．（2022·河南周口·七年级期末）计算：(1)2022211(1)(1)(32)23-+-⨯+-+ (2)23220213(4)(2)(2)(1)-⨯-+-÷---35．（2022·江苏扬州·七年级期末）计算：22222411.35 1.057.7393⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2432151|2|(3)(2)62⎛⎫⎡⎤-+⨯-----÷- ⎪⎣⎦⎝⎭222311513543⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯÷---÷-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111112123123100+++++++++++(1)3(6)( 1.55) 3.25(15.45)4---+++-； (2)()()22351222125⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭36．（2022·河南南阳·七年级期末）计算(1)243(6)()94-⨯-+； (2)33116(2)()(4) 3.52÷---⨯-+． 37．（2022·黑龙江绥化·期中）计算：(1)()()()6.5 3.3 2.5 4.7-+----+； (2)()31612146⎛⎫⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭；(3)22132412⎡⎤⎛⎫-+⨯-÷-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ (4)()2449525⨯- (5)41399911899999918555⎛⎫⨯+⨯--⨯ ⎪⎝⎭38．（2021·浙江初一课时练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 39．（2021·浙江七年级期末）计算：（1）． （2）．（3）． （4）． 40．（2021·山东烟台·期中）计算：(1)()110.53 2.75742⎛⎫-+-+-+ ⎪⎝⎭； (2)411812944⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(3)()()14812849⎛⎫-÷⨯-÷- ⎪⎝⎭； (4)()215412346⎛⎫+--⨯- ⎪⎝⎭．512.584⎛⎫-÷⨯-⎪⎝⎭()142722449-÷⨯÷-311313524⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭114222⎛⎫-⨯÷-⨯ ⎪⎝⎭2415127754⎛⎫⎛⎫-÷-⨯⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭134118432-÷⨯⨯-11552( 4.8)4566⎡⎤⎛⎫-+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦94(81)(16)49-÷⨯÷-11304(3)1556⎛⎫÷--⨯-+⎪⎝⎭422321(3)(15)35⎛⎫⎡⎤-÷--+-⨯- ⎪⎣⎦⎝⎭专题04 有理数的混合运算 技巧提升40题有理数的混合运算（40题）解题技巧：主要是要注意混合运算的运算顺序。
考向04 实 数（运算问题2）例 1、（2018·浙江临安·中考真题）阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状． 解：∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4 （A ）∴c 2（a 2﹣b 2）=（a 2+b 2）（a 2﹣b 2） （B ） ∴c 2=a 2+b 2 （C ） ∴△ABC 是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ； （2）错误的原因为： ； （3）本题正确的结论为： ．【答案】（1）C ；（2）没有考虑a=b 的情况；（3）△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B 到C 可知没有考虑a=b 的情况； （3）根据题意可以写出正确的结论．解答：（1）由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C ， 故答案为C ；（2）错误的原因为：没有考虑a=b 的情况， 故答案为没有考虑a=b 的情况；（3）本题正确的结论为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形， 故答案为△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【点拨】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．例 2、（2021·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：()012cos3021232+3.14--︒-π（2）先化简：2223+2+344+4x x x x x x x x-÷⋅--，然后x 从0、1、2三个数中选一个你认为合适的数代入求值．【答案】（1）32-；（2）2x +，当x ＝1时，原式＝3【分析】（1）根据实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可；（2）先根据分式的混合运算法则化简，再代入求值即可得结果．解：（1）()012cos3022+3.14--︒-π＝(12212-+1212-+＝32-；（2）2223+2+344+4x x x x x x x x-÷⋅-- ＝()()()()23222··32x x x x x x x x ++--+- ＝2x +∵x 取0或2时，原式无意义， ∴x 只能取1 当x ＝1时，原式＝3【点拨】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握运算法则．例 3、（2021·辽宁鞍山·中考真题）先化简，再求值：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中2a ．【答案】2a a -，1 【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为2aa -，再代入求值． 解：22131242a a a a a-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ ()()()2132221a a a a a a ⎡⎤+=-⨯⎢⎥-+--⎣⎦()()()21221a a a a a a +-=⨯+--2aa =-．当2a 时，原式1===【点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．1、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+± （3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
培优专题04 整式的化简求值的五种类型【专题精讲】整式的化简常与求值相结合,体现了特殊与一般的辩证关系.解决这类问题的大体步骤可以简化为“一化、二代、三计算”,但有时也可根据题目的特征和已知条件灵活选择解题方法.根据代入方法的不同,可将整式的化简求值题划分为以下几种类型：(1)利用直接代入法求值;(2)利用整体代入法求值(3)利用拆项或添项法求值(4)利用降次消元法求值;(5)利用赋值法求值◎类型一：利用直接代入法求值解题方法：整式的化简求值一般分为三步：一是利用整式加减的运算法则将整式化简;二是把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子;三是依据有理数的运算法则进行计算1．（黑龙江省大庆市庆新中学2021-2022学年六年级（五四学制）下学期期末考试数学试题）先化简，再求值213((1)322----+xy y xy x，其中54,33x y==()()23343334a a a a a +----+，其中a ＝﹣1．【答案】327353a a a -++-，2【分析】首先去括号，合并同类项，把代数式化简，然后再代入a 的值，进而可得答案．【详解】解：()()23343334a a a a a +----+23343334a a a a a =+--+-327353a a a =-++-当a ＝﹣1时，原式()()()3271315132=-´-+´-+´--=【点睛】此题主要考查了整式的化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．3．（2020·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）已知2223A x xy y =+-，2223B x xy y =-+(1)求32A B +；(2)当21，==x y ，求32A B +的值.【答案】(1)2277x y -(2)21【分析】（1）把A 和B 代入，去括号，然后合并同类项即可求解；（2）把x 和y 的值代入求解即可．（1）解：32A B+()()2222323223x xy y x xy y =+++﹣﹣2222369462x xy y x xy y -+++-＝2277x y =-（2）解：当2x =，y ＝1时，原式＝()227x y -()22721=´-()741=´-＝21【点睛】本题主要考查整式的加减-化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．4．（2021·福建·福州十八中七年级期中）先化简，再求值：(1)()()2232223,a a a a ---其中3a =-．(2)()2272421,x y xy xy x y éù-----+ëû其中x ，y 满足()2201510x y -++=．◎类型二：利用整体代入法求值解题方法：解答此类题目,先将原式化简,再将已知条件(或变形后的条件)整体代入求值。
