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优化方案高中数学必修一教学课件汇编-第1章1.3.1第一课时

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【高中数学必修一 优化方案PPT课件】3.1 3.1.1 第1课时 函数的概念

【高中数学必修一 优化方案PPT课件】3.1 3.1.1 第1课时 函数的概念

义域．
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第三章 函数的概念与性质
4
1．函数的概念
定义
一般地，设A，B是非空的__实__数__集__，如果对于集合A中的 _任__意__一__个__数__x__ ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中 都有_唯__一___确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集
合A到集合B的一个函数
(2)根据函数的定义，对于 D，在集合 A 中的部分元素，在集合 B 中没有元 素与它对应，故不正确．
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第三章 函数的概念与性质
16
判断对应关系是否为函数的步骤
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第三章 函数的概念与性质
17
1．若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2}， 则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
不能看作是从 A 到 B 的函数关系的是( )
A．f：x→y＝18x C．f：x→y＝12x
B．f：x→y＝14x
√D．f：x→y＝x
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第三章 函数的概念与性质
15
【解析】 (1)①错，1＜x≤2 时，在 N 中无元素与之对应，不满足任意性．② 对，同时满足任意性与唯一性．③错，x＝2 时，对应元素 y＝3∉N，不满 足任意性．④错，x＝1 时，在 N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性．故 选 B．
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第三章 函数的概念与性质
8
2．已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝( )
A．－1
B．0
√C．1
D．2
解析：因为g(x)＝2x2－1，所以g(1)＝2－1＝1.

【优化方案】精品课件数学湘教版必修1第1章1.2.3

【优化方案】精品课件数学湘教版必修1第1章1.2.3

奇函数、偶函数的图象及其应用 由于奇函数、偶函数图象的对称性，因而如果 知道一个函数是奇函数或偶函数，只要把它的 定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数 在一部分上的性质和图象，就可推出这个函数 在另一部分上的性质和图象．
如图所示为偶函数y＝f(x)的局部图象，试 比较f(1)与f(3)的大小．
知新益能 1．奇函数与偶函数 原点 中心对称．也 (1) 如果一个函数的图象关于 _______ 原点 旋转180°后和自己重合．这样 就是说，绕_______ 的函数被说成是奇函数． y轴 为对称轴的轴对 (2)如果一个函数的图象是以______ 称图形，这个函数被说成是偶函数．
思考感悟 1．常数函数y＝c的图象只是关于y轴对称吗？ 提示：不是．当c≠0时(x∈R)，其图象是关于y轴 对称；当c＝0时(x∈R)，其图象为x轴，可看作既 关于y轴对称又关于原点对称．
(0,0) 成中心对称，既无上界，也无下界，也就 _______
是“上不封顶，下不保底”．
思考感悟
1 3．函数 y＝ 在定义域内是单调递减函数吗？ x
1 提示： y＝x在(－∞， 0)， (0， ＋∞)上是递减函数， 但不能说“在定义域内是递减函数”，不符合递 减函数的定义．
课堂互动讲练
考点突破
解：观察函数图象可以知道，图象上最高的点是 (3,3) ，最低的点是 ( － 1.5 ，－ 2) ，所以函数 y ＝ f(x) 当 x ＝ 3 时取得最大值，最大值是 3 ；当 x ＝－
1.5时取得最小值，最小值是－2.
函数的单调增区间为[－1.5,3]和[5,6]；
单调减区间为[－4，－1.5]，[3,5]和[6,7]．
2．单调函数的概念 增大 函数值 y 随自变量 x 的增大也随之 _______ ，这样 的函数叫作单调递增函数；函数值 y 随自变量 x的 增大而随之减小 ________，这样的函数叫作单调递减 函数，递增函数和递减函数统称为单调函数 ____________ ． 递增 递减 3 ．一次函数 y ＝ kx ＋ m(k≠0) 的图象是一条直线 ，当 k ＞ 0 时，单调 _______ ，当 k ＜ 0 时，单调 无上界也无下界 _____ ；图象向上方和向下方无限伸展，这样的 函数叫作_____________________的函数．

【高中数学必修第一册 优化设计配套课件】3

【高中数学必修第一册 优化设计配套课件】3
图象,结合图象分析、研究它们的定义域、值域、奇偶性、
单调性,并由此推断幂函数具有的性质.
？
2.


函数
y=x
y=x
y=x
定义域
值域
R
R
R
[0,+∞)
R
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
在(-∞,0)内
单调递减,
在[0,+∞)内
单调递增
在(-∞,0)内单
在
在[0,+∞)
(-∞,+∞)
调递减,在
内单调
内单调
(0,+∞)内单
α<0,则y=xα在区间(0,+∞)内单调递减,图象不过点(0,0).
4.做一做:(多选题)关于函数y=x4,下列说法正确的是(
)
A.定义域为R
B.在区间(0,+∞)内单调递增
C.图象不过点(0,0) D.是偶函数
答案:ABD
？
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
象关于 x 轴对称后即为选项 B 中的图象.
答案:(1)B (2)B
？
探究二 幂函数的性质及其应用
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.13,1.23;
(2)4.8-3,4.9-3;
(3) -
-

, -
-

.
？
解:(1)设f(x)=x3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四
象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第

优化方案高中数学必修一教学课件汇编-第1章1.1.1第一课时

优化方案高中数学必修一教学课件汇编-第1章1.1.1第一课时

课 前 自 主 学 案
课 堂 互 动 讲 练
知 能 优 化 训 练
第1章
集合与函数概念
问题探究 1．你班里“数学成绩好的同学”能组成集合吗？ 提示：不能组成集合，“成绩好”没有确定的标 准，即集合中的元素是不确定的． 2．你班里“第一组的同学”能组成集合吗？ 提示：能组成集合，集合中的元素就是第一组的 全体同学． 3．如果集合A中有两个元素a和a2 ，那么对于a有 什么限制？ 提示：两个元素，根据集合中元素的确定性，互 异性，得a≠a2，所以a≠0且a≠1.
课 前 自 主 学 案
课 堂 互 动 讲 练
知 能 优 化 训 练
第1章
集合与函数概念
2．集合中元素的特性 (1) 确 定 性 ： 给 定 的 集 合 ， 它 的 元 素 必 须 是 确定的 ___________． (2) 互 异 性 ： 一 个 给 定 集 合 中 的 元 素 是 互异的 _________． 无序的 (3)无序性：集合中的元素是________，如{a，b， c}与{c，b，a}是同一集合． 3．元素与集合之间的关系 a属于集合A (1)如果a是集合A的元素，就说______________， a∈A 记作_________. (2) 如 果 a 不 是 集 合 A 的 元 素 ， 就 说 a∉A a不属于集合A _______________，记作________.
知 能 优 化 训 练
第1章
集合与函数概念
互动探究 2 在本例中，将“集合 B＝{x∈ 6 6 N| ∈N}”改为“集合 M＝{x∈N| ∈ 2＋x 1＋x Z}”，怎样求 M?
课 前 自 主 学 案
6 解：∵x∈N，且 ∈Z， 1＋x ∴1＋x＝1,2,3,6， ∴x＝0,1,2,5，∴M＝{0,1,2,5}．

【优化方案】精品课件数学湘教版必修1第1章本章优化总结

【优化方案】精品课件数学湘教版必修1第1章本章优化总结

【解】
f0＝0 (1)根据题意得 2 1 f ＝ 2 5
，
a×0＋b 2 ＝0 1＋0 a 即 ＋b 2 2 ＝ 1 5 1＋ 4
a＝1 x ，解得 ，∴f(x)＝ 2. 1＋x b＝0
(2)证明：任取－1＜x1＜x2＜1， x1 x2 则 f(x1)－f(x2)＝ 2－ 1＋x1 1＋x2 2 x1－x21－x1x2 ＝ 2 2 . 1＋x11＋x2 2 ∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1＋x2 ＞ 0,1 ＋ x 1 2＞0. 又∵－1＜x1x2＜1，∴1－x1x2＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
4．换元法 求形如函数 y＝ax2m＋bxm＋c(ab≠0)或 y＝ax＋ bx＋c(ab≠0)的最值时， 设 xm＝t 或 bx＋c＝t， 利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值 问题，这种求最值的方法称为换元法．此时要注 意换元前后函数的定义域．
例6 求函数 y＝x＋ 1－2x的最大值．
例3
2．观察法 当函数的解析式中仅含有 x 或 |x|或 x时，通常 利用常见的结论 x2≥0，|x|≥ 0， x≥ 0 等，直接 观察写出函数的最值．
2
例4
求函数y＝|x|＋1的最小值．
【解】
∵x∈R，∴|x|≥0，∴y≥1，
即ymin＝1，或画图象直接观察知其最小值为1.
3．利用函数单调性求最值
集合的运算及应用
集合的运算有交(∩)、并(∪)、补(∁UA)这三种常见 的运算．在进行集合的交集、并集、补集运算时， 往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错， 此时，数轴分析法(或Venn图)是个好帮手，能将 复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之 一．在具体应用时要注意端点值是否适合题意， 以免增解或漏解．

《优化方案》2014高一数学必修1同步教学课件第一章§3.1交集与并集

《优化方案》2014高一数学必修1同步教学课件第一章§3.1交集与并集

当a≠1且a≠2且a≠－7时，A∪B＝{－2， －1，－7}，A∩B＝∅. 【误区警示】 对a不讨论盲目计算为； A∪B＝{－2，－1，－a,7}，A∩B＝∅.
变式训练 3．设集合A＝{|a＋1|,3,5},集合B＝{2a＋1， a2＋2a，a题意得|a＋1|＝2，解得a＝1或a＝－ 3. 当a＝1时,集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3. 由集合的元素具有互异性知a≠1. 当a＝－3时，集合B＝{－5,2,3}， ∴A∪B＝{－5,2,3,5}．
方法感悟
方法技巧 解答有关两集合(或两个以上集合)交、并集 的运算时，(1)如果集合是有限集，一般需先 把集合中的元素一一列举出来，然后结合集 合交、并集的定义分别求出；
(2)如果集合是无限集，则常借助于数轴，把 集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并 集的定义去求解，这样处理比较形象直观， 但解答过程中需注意边界问题．
变式训练 1．(2011·高考辽宁卷)已知集合A＝{x|x>1}， B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝( ) A．{x|－1<x<2} B．{x|x>－1} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<2} 解析：选D.如图所示，
A∩B＝{x|x>1}∩{x|－1<x<2}＝{x|1<x<2}．
4．并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可 得： (1)A∪B＝B∪A； (2)A⊆A∪B，B⊆A∪B； (3)A∪A＝A； (4)A∪∅＝A.
5．交集、并集的运算性质的推论 (1)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)； (2)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)； (3)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)； (4)A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)． 想一想 2.A⊆B与A∪B＝B有什么关系？ 提示：A⊆B⇔A∪B＝B.

优化方案高中数学第1章1.1.3第一课时知能优化训练新人教A版必修1

【优化方案】数学人教A版必修1第1章第一课时知能优化训练1．(2020年高考广东卷)若会合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则会合A∩B＝()A．{x|－1＜x＜1}B．{x|－2＜x＜1}C．{x|－2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}分析：选D.由于A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，因此A∩B＝{x|0＜x＜1}．2．(2020年高考湖南卷)已知会合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}则()A．M?N B．N?MC．M∩N＝{2,3}D．M∪N＝{1,4}分析：选C.∵＝{1,2,3}，＝{2,3,4}．M N∴选项A、B明显不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又∩＝{2,3}，应选C.MN22) 3．已知会合M＝{y|y＝x}，N＝{y|x＝y}，则M∩N＝(A．{(0,0 )，(1,1)}B．{0,1}C．{y|y≥0}D．{y|0≤y≤1}分析：选C.M＝{y|y≥0}，N＝R，∴M∩N＝M＝{y|y≥0}．4．已知会合＝{|x ≥2}，＝{x|x≥}，且∪＝，则实数的取值范围是________．Ax B m ABA m分析：A∪B＝A，即B?A，∴m≥2.答案：≥2m1．以下关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3D．4分析：选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2．(2020年高考四川卷)设会合A＝{3,5,6,8} ，会合B＝{4,5,7,8}，则A∩B等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{3,6}C．{4,7}D．{5,8}分析：选3．(2020D.∵A＝{3,5,6,8} ，B＝{4,5,7, 8}，∴A∩B＝{5,8}．2年高考山东卷)会合A＝{0,2，a}，B＝{1，a}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1C．2D．4分析：选D.依据元素特征，a≠0，a≠2，a≠1.∴a＝4.4．已知会合P＝{x∈N|1≤x≤10}，会合Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则P∩Q等于() A．{2}B．{1,2}C．{2,3}D．{1,2,3}分析：选A.Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∴∩＝{2}．PQ5．(2020年高考福建卷)若会合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩B等于()A．{x|2＜x≤3}B．{x|x≥1}C．{x|2≤x＜3}D．{x|x＞2}分析：选A.∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞2}，∴∩＝{x |2＜≤3}．AB x6．设会合S＝{x|x＞5或x＜－1}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是()A．－3＜a＜－1B．－3≤a≤－1C．a≤－3或a≥－1D．a＜－3或a＞－1分析：选A.S∪T＝R，＋8＞5，a∴－3＜a＜－1.∴a＜－1.7．(2020年高考湖南卷)已知会合＝{1,2,3}，＝{2，4}，∩＝{2,3}，则＝A B m,AB m ________.分析：∵∩＝{2,3}，∴3∈，∴＝3.AB B m答案：38．知足条件{1,3}∪M＝{1,3,5}的会合M的个数是________．分析：∵{1,3}∪M＝{1,3,5}，∴M中一定含有5，∴M能够是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个．答案：49．若会合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且知足A∩B＝{2}，则实数a＝________.分析：当a ＞2时，∩＝?；AB当a＜2时，A∩B＝{x|a≤x≤2}；当a＝2时，A∩B＝{2}．综上：a＝2.答案：210．已知A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，务实数a，b，c的值．解：∵A∩B＝{3}，∴由9＋3c＋15＝0，解得c＝－8.由x2－8x＋15＝0，解得B＝{3,5}，故A＝{3}．又a2－4b＝0，解得a＝－6，b＝9.综上知，a＝－6，b＝9，c＝－8.11．已知会合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B.解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴如图：①当a －3≤5，即a ≤8时，A ∪B ＝{x|x ＜a －3或x ＞5}．②当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x|x ＞5}∪{x|x ＜a －3}＝{x|x ∈R}＝R.综上可知当a ≤8时，A ∪B ＝{x|x ＜a －3或x ＞5}；当a ＞8时，A ∪B ＝R.212．设会合＝{(x ， )|2 x＋ ＝1， ， ∈R}，＝{(x ， )| ＋2＝ ， ， ∈R}，若Ayyx yB yaxyax yA ∩B ＝?，求a 的值．解：会合、的元素都是点，∩ 的元素是两直线的公共点．∩＝?，则两直线无ABABAB交点，即方程组无解．2＋ y＝1x列方程组，a 2x ＋2y ＝a解得(4－a 2)x ＝2－a ，4－a 2＝0 ，即a ＝－2.则2－a ≠0。

【优化方案】精品课件数学湘教版必修1第1章1.2.1


【思维总结】
对 A 中元素求象，只需将原象代
入对应法则即可；对于 B 中元素求原象，可先设
出它的原象，然后利用对应法则列出方程组求解 ．
互动探究2 本例中，是否存在这样的元素(a，b) ，使它的象仍是自己？若有，求出这个元素．
解：(1)任一个x都有两个y与之对应，∴不是映射． (2) 对于 A 中任意一个非负数都有唯一的元素 1 和它 对应，对于A中任意的一个负数都有唯一的元素 0和 它对应， ∴是映射． (3)集合A中的0在集合B中没有元素和它对应，故不 是映射． (4) 在 f 的作用下， A 中的 0,1,2,9 分别对应到 B 中的 1,0,1,64， ∴是映射．
【解】 (1)将 x＝－1， y＝－2 代入(3x－2y＋1,4x ＋3y－1)得(2，－11)． (2)设(1,2)的原象为(x，y)则 x＝ 6 ， 3x－2y＋1＝1， 17 解得 9 4x＋3y－1＝2， y＝ ， 17 6 9 ， ∴B 中(1,2)的原象为 . 17 17
2．函数的概念 非空的数集 ．如果按照某种对 设 A ， B 是两个 ____________ 任何 应法则 f ，对于集合 A 中的 ______ 一个数 x ，在集 唯一 合B中都有 _______的数y和它对应，这样的对应f 叫作定义于A取值于B的函数(function)，记作f： A→B，或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)． A 叫作函数的定义域，与 x ∈ A 对应的 这里， _____ 所有 x∈A的象 数y叫x的象，记作y＝f(x)，由 _______________ 组成的集合叫作函数的值域．
(1)A＝R＋，B＝R，对应法则 f：x→y＝± x； (2)A ＝ R ， B ＝ {0,1} ， 对 应 法 则 f ： x→y ＝ 1， x≥0； 0， x＜0； 1 (3)A＝Z，B＝Q，对应法则 f：x→y＝ ； x (4)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，对应法则 f： a→b＝(a－1)2.

优化方案高中数学必修一教学课件汇编-第1章1.2.1


优化方案系列丛书
第1章
集合与函数概念
求下列函数的定义域． (1)y＝x＋1－ 1－x； 5－x (2)y＝ . |x|－3
例3
课 前 自 主 学 案
【 思 路 点 拨 】
分析所给函数解析式
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→ 列不等式组 → 求x范围，得定义域
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确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一
对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
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第1章
集合与函数概念
相等函数的判定 由两个函数相等的定义可知： (1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应关系不同，两个函数也是不同的； (3)只有定义域，对应关系都相同，才是相等函 数．
课 前 自 主 学 案
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第1章
集合与函数概念
(2) 满 足 不 等 式 a ＜ x ＜ b 的 实 数 x 的 集 合 叫 做
开区间 (a，b) _________，表示为_________；
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第1章
集合与函数概念
2．函数的构成要素及函数相等 定义域 对应关系 (1)________、___________和______是一个函 值域 数的构成要素． 对应关系 (2)由于值域是由_______和__________决定的， 定义域 定义域 所以，如果两个函数的_________相同，并且 对应关系 ________完全一致，就称这两个函数相等． 3．区间的分类 (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区 [a，b] 间，表示为_________；

【高中数学必修一 优化方案PPT课件】1.1 第2课时 集合的表示


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第一章 集合与常用逻辑用语
13
探究点1 用列举法表示集合 [问题探究] 适合用列举法表示的集合有哪几类？ 提示：用列举法表示的集合的种类有： (1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}． (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到 1 000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1 000}． (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数 集N”可以表示为{0，1，2，3，…}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
15
【解】 (1)因为－2≤x≤2，x∈Z， 所以 x＝－2，－1，0，1，2， 所以 A＝{－2，－1，0，1，2}． (2)因为 2 和 3 是方程的根，所以 M＝{2，3}． (3)解方程组2xx－＋y＝y＝18，得xy＝＝23，，所以 B＝{(3，2)}． (4)因为 15 的正约数有 1，3，5，15 四个数字，所以 N＝{1，3，5，15}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
7
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表 示函数y＝x2＋1的图象上的点组成的集合； ④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此 元素是一个式子y＝x2＋1.
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第一章 集合与常用逻辑用语
6
3．若集合A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}，P＝ {y＝x2＋1}，则A，B，C，P表示同一个集合吗？它们有什么区别？ 提示：A，B，C，P不表示同一个集合． ①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x 的取值范围是R，因此A＝R； ②B＝{y|y＝x2＋1}表示函数y＝x2＋1的函数值y的取值范围，而y的取值范 围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；
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第1章
集合与函数概念
互动探究 1
本例中的函数在[3，＋∞)上单
调性怎样？画出在(0，＋∞)上的大致图象．
解：设 3≤x1＜x2，则 9 9 y1－y2＝x1＋ －x2－ x1 x2 9 ＝(x1－x2)(1－ )， x1x2 ∵3≤x1＜x2， 1 1 ∴x1－x2＜0， ＜ ， x1x2 9
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第1章
集合与函数概念
课 前 自 主 学 案
§1.3 1.3.1
函数的基本性质 单调性与最大(小)值
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第1章
集合与函数概念
课 前 自 主 学 案
第一课时 函数的单调性
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课 前 自 主 学 案
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集合与函数概念
∵0＜x1＜x2≤3， 9 ∴x1－x2＜0， ＞1， x1x2 9 即 1－ ＜0， x1x2 ∴y1－y2＞0，即 y1＞y2， 9 ∴函数 y＝x＋ 在(0,3]上递减． x
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第1章
集合与函数概念
【证明】
设 0＜x1＜x2≤3，
9 9 则有 y1－y2＝(x1＋ )－(x2＋ ) x1 x2 9x1－x2 ＝(x1－x2)－ x 1x 2 9 ＝(x1－x2)(1－ )． x1x2
课 前 自 主 学 案
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第1章
集合与函数概念
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个
课 前 自 主 学 案
x1<x2 自 变 量 的 值 x1 ， x2 ， 当 ________ 时 ， 都 有 f(x1)＜f(x2) ______________，那么就说函数 f(x)在区间 D
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第1章
集合与函数概念
1 2．反比例函数 y＝ 在(0，＋∞)内的图象随 x
课 前 自 主 学 案
减小 x 的增大 y 值________，在(－∞，0)内的图 增大 象随 x 的减小 y 值__________．
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第1章
集合与函数概念
根据函数的单调性确定参数
函数 y＝f(x)在某个区间[a，b]上递增(减)就 等价于[a， b]是增区间(减区间)的一个子集， 从而可待定函数中的参数．
课 前 自 主 学 案
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第1章
集合与函数概念
9 ∴1－ ＞0， x1x2 ∴y1－y2＜0，即 y1＜y2， 9 ∴函数 y＝x＋ 在[3，＋∞)上递增，在 x (0，＋∞)的大致图象如图所示．
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集合与函数概念
【名师点拨】
本题易将单调减区间写成[－
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1,0]∪[1，＋∞)，单调增区间写成(－∞，－1] ∪[0,1]，这是错误的．
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第1章
集合与函数概念
问题探究
1．在增、减函数定义中，能否把“任意两个自 变量”改为“存在两个自变量”？
课 前 自 主 学 案
提示：不能．如图所示．
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虽然 f(－1)<f(2)，但 f(x)在[－1,2]上并不递增．
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可得到一个单调区间，由图象的上升或下降的
趋势，确定出是递增还是递减的区间．
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第1章
集合与函数概念
例2
画出函数 y＝－x2＋2|x|＋3 的图象，
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并指出函数的单调区间．
【 思 路 点 拨 】 化简函数解析式
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第1章
集合与函数概念
求函数的单调区间
课 前 自 主 学 案
根据函数的图象写出函数的单调区间，主要是
观察图象，找到最高点与最低点的横坐标，便
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利用函数单调性解不等式
对于函数 y＝f(x)在[a，b]上的单调性定义来 说， 相当于体现出三部分之间的关系： 1， ①x x2∈[a， b]且 x1<x2； ②f(x1)<f(x2)， 1)>f(x2))； (f(x ③f(x)为增函数(减函数)， 已知其中任何两部 分都可推出第三部分．
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第1章
集合与函数概念
学习目标
课 前 自 主 学 案
1.理解函数单调性的性质． 2．掌握判断函数单调性的一般方法．
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增函数或减函数 _____________________，那么就说函数 y＝
f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D
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单调区间 叫做 y＝f(x)的______________．
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第1章
集合与函数概念
课堂互动讲练
考点突破 用定义证明(判断)函数的单调性 依据函数单调性的定义证明函数单调性的步 骤有： (1)取值；(2)作差变形；(3)定号；(4)判断．
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பைடு நூலகம்
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第1章
集合与函数概念
9 例1 证明：函数 y＝x＋ 在(0,3]上递减． x
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【思路点拨】
取值 → 作差 → 变形
→ 判断符号 → 得结论
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【名师点拨】 已知函数单调性求参数的 取值范围，要注意数形结合，采用逆向思 维方法．
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第1章
集合与函数概念
互动探究 2
本例中，若将“函数在区间(－
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第1章
集合与函数概念
知新益能
1．增函数与减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 x1<x2 自 变 量 的 值 x1 ， x2 ， 当 _________ 时 ， 都 有 f(x1)＜f(x2) _______________，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function)．反映在图象 上升 上，由左至右，图象连续________；
例3
课 前 自 主 学 案
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构造关于a 解出a → 的不等式 → 的范围
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第1章
集合与函数概念
【解】 ∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 ＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴 x＝1－a 必须在直线 x＝4 的右侧或 与其重合． ∴1－a≥4，解得 a≤－3.
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第1章
集合与函数概念
课 前 自 主 学 案
【名师点拨】 在证明函数单调性时，x1，x2 是 从相应区间上任取的两个值，它可以代表区间中 的每一个数，所以在证明时，不能用特殊值来代 替．在“作差变形”的过程中，尽量化成几个最 简因式的乘积，也可以把其中的因式化成几个完 全平方式的和的形式， 以方便判断因式的正负号．
∞， 4]上是减函数”改为“函数的单调递减区 间为(－∞，4]”，则 a 为何值？
解：由例题知函数 f(x)的单调递减区间为 (－∞，1－a]， ∴1－a＝4，a＝－3.
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第1章
集合与函数概念
上是减函数(decreasing function)．反映在图象