高考数学《21垂直关系测试卷2》(解析版)

2023年高考数学卷第21题解析几何题说题解析几何是高中数学中的重要内容之一，也是高考数学卷中常见的题型。

在2023年高考数学卷中，第21题是一道解析几何题，本文将对该题进行详细解析。

题目描述：已知平面上一条直线L，过点A(2,3)且与直线L垂直的直线交直线L于点B，与直线L平行的直线交直线L于点C。

若线段BC的中点为D，则直线AD的斜率为多少？解题思路：首先，我们需要明确几何知识中的一些基本概念。

垂直直线的斜率乘积为-1，平行直线的斜率相等。

根据题目描述，我们可以得到以下信息：1. 直线L过点A(2,3)，因此直线L的斜率可以通过求解直线L与点A的斜率得到。

2. 直线L与直线AD垂直，因此直线AD的斜率与直线L的斜率乘积为-1。

3. 直线L与直线BC平行，因此直线BC的斜率与直线L的斜率相等。

解题步骤：1. 求解直线L的斜率：设直线L的斜率为k，则直线L的方程可以表示为y = kx + b。

由已知条件可得：3 = 2k + b （过点A(2,3)）解方程可得直线L的斜率k = (3-b)/2。

2. 求解直线AD的斜率：设直线AD的斜率为m，则直线AD的方程可以表示为y = mx + c。

由已知条件可得：3 = 2m + c （过点A(2,3)）解方程可得直线AD的斜率m = (3-c)/2。

3. 求解直线BC的斜率：由于直线BC与直线L平行，所以直线BC的斜率与直线L的斜率相等，即k = (3-b)/2。

4. 求解线段BC的中点坐标：设点B的坐标为(x1, y1)，点C的坐标为(x2, y2)。

由于线段BC的中点为D，所以D的坐标为((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

根据直线BC的斜率k = (y2-y1)/(x2-x1)，可以得到：k = (3-b)/2 = (y2-y1)/(x2-x1)。

5. 求解直线AD的斜率m：根据已知条件可得：m = (3-c)/2。

6. 求解直线AD的斜率m与直线L的斜率k的乘积：根据已知条件可得：m * k = -1。

最新（新课标）北师大版高中数学必修二第一章《垂直关系》单元测试题班级：姓名：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．经过平面外两点作与此平面垂直的平面，则这样的平面( )．A．只能作一个B．只能作两个C．可以作无数个D．可作一个或无数个2．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB 与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B. 它们两两都垂直C. 平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直3. 如图等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A到BC的距离是()A.1B.C.D.4．如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B. 它们两两都垂直C. 平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D. 平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直5．设a、b是异面直线，下列命题正确的是( )A．过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B．过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C．过a一定可以作一个平面与b垂直D．过a一定可以作一个平面与b平行6. 设α，β为两个不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若α∥β，，则l∥β；②若m⊂α，，m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若m⊂α，，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α.其中正确命题的序号是( )A.①③④B.①②③C.①③D.②④7．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( ) A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α8．空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BC，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH的形状是( ) A．平行四边形B．长方形C．菱形D．正方形9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β10．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）．11．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为_________．12．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________________．13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)14．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形的序号)．15．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为____．(填直线、圆、其它曲线)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分)．16．（12分）如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.17．（12分）如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.18．（12分）如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；(3)求证：平面DEA⊥平面ECA. 19．（12分）如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点．(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.20．（13分）如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD ⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．21．（14分）如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD ⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AB＝AD＝DE＝DG ＝2，AC＝EF＝1.(1)求证：BF∥平面ACGD；(2)求二面角A­EG­D的正切值．北师大版必修2第一章《垂直关系》单元测试题答案一、选择题：1．[答案] D[解析] 当两点所在直线垂直于平面时，可作无数个；否则，有且仅有1个．2．[答案] A[解析] 思路解析:∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥BC.又∵BC⊥AB,PA∩AB=A,∴PC⊥平面PAB,从而平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A得AD⊥平面PAB.∵AD平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.3. [答案] C [解析] 折叠后BD=DC=,且∠BDC为二面角的平面角, ∠BDC=90°, ∴BC=.取BC中点E,连结DE,则DE⊥BC,进一步易证AE ⊥BC,AE的长为所求距离.∵AD=,DE=BC=,∴AE=.4．[答案]A 解析:思路解析:∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥BC.又∵BC⊥AB,PA∩AB=A,∴PC⊥平面PAB,从而平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A得AD⊥平面PAB.∵AD平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.5．[答案] D[解析] A不正确，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在；B不正确，若存在，则有a∥b，这与a、b 是异面直线矛盾；C不正确，只有a、b垂直时，才能作出满足条件的平面．只有D正确．6. [答案] C [解析] 由面面平行的判定定理，知②错误；由线面垂直的判定定理知④错误.7．[答案] B[解析] 若a与b异面时，A、C错；当a与b不垂直时，D 错，故选B.8．[答案] D[解析] 如图所示，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF//=12AC，HG//=12AC，∴四边形EFGH是平行四边形，又EH＝12BD，BD＝AC，∴EH＝EF，∴四边形EFGH是菱形．取BD中点M，连结AM、CM，∵AB＝AD，∴AM⊥BD，又CB＝CD，∴CM⊥BD，又AM∩CM＝M，∴BD⊥平面ACM，∴BD⊥AC.又EF∥AC，BD∥EH，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是正方形．9．[答案] D[解析] 本小题主要考查线面垂直、面面垂直、线线平行和线面平行．点C若在α内，则有AC⊥β，若不在α内，则AC不垂直于β，这是面面垂直的性质，故选D.10．[答案] B[解析] 可以墙角为例知A错；B中，由β⊥γ，由β内有直线b⊥γ，而α∥β，则α内有a∥b，则a⊥γ，α⊥γ.二、填空题：11．[答案] MN⊥AB[解析] 如图所示，由长方体的性质知，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC.∵MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC，∴MN⊥平面ABCD，而AB⊂平面ABCD，∴MN⊥AB.12．[答案] ②③④⇒①(答案不惟一)13．[答案] BM⊥PC(其它合理即可)[解析]∵四边形ABCD的边长相等，∴四边形为菱形．∴AC⊥BD，又∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC.若PC⊥面BMD，则PC垂直于面BMD中两条相交直线．∴当BM⊥PC时，PC⊥面BDM.∴面PCD⊥面BDM.14．[答案]①④⑤[解析] ①④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM ＝AP＝AN，因此，三棱锥A－PMN是正三棱锥，所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法还可否定③.∵AM≠AP≠AN，也易否定②.15．[答案]直线[解析] 过点A与AB垂直的所有直线都在同一个平面β内，∵AB是α的斜线，∴β与α不平行．从而β与α的所有公共点都在同一条直线上，即β与α的交线上．从而β内所有过点A与α相交的直线，其交点都在此交线上．三、解答题：16．[解析] 如图所示，连结A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连结AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.17．[解析] ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC.∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.又EF⊂平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.18．[解析] (1)取EC的中点F，连结DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD∥CE，∴BD∥平面ABC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝12CE＝DB，DF＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.(2)取AC 的中点N ，连结MN 、BN ，则MN //=CF. ∵BD //=CF ， ∴MN //=BD ， ∴N ∈平面BDM. ∵EC ⊥平面ABC ， ∴EC ⊥BN.又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC＝C ， ∴BN ⊥平面ECA. 又∵BN ⊂平面BDM ， ∴平面BDM ⊥平面ECA. (3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ， ∴DM ⊥平面ECA. 又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA. 19．[解析](1)解法一：取A 1B 1的中点F 1，连结FF 1、C 1F 1， ∵FF 1∥BB 1∥CC 1，∴F 1∈平面FCC 1， ∴平面FCC 1即为平面C 1CFF 1， 连结A 1D 、F 1C ，∴A1F 1//=D 1C 1//=CD ， ∴四边形A1DCF1为平行四边形， ∴A 1D ∥F 1C.又∵EE 1∥A 1D ，∴EE 1∥F 1C ， ∵EE 1⊄平面FCC 1，F 1C ⊂平面FCC 1， ∴EE 1∥平面FCC 1.解法二：∵F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ， ∴CD //=AF ，∴四边形AFCD 为平行四边形，∴AD ∥FC. 又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC ⊂平面FCC 1，CC 1⊂平面FCC 1， ∴平面ADD 1A 1∥平面FCC 1，又EE 1⊂平面ADD 1A 1，∴EE 1∥平面FCC 1.(2)证明：连结AC ，在△FBC 中，FC ＝BC ＝FB ， 又F 为AB 的中点，∴AF ＝FC ＝FB ， ∴∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC. 又AC ⊥CC 1，且CC 1∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，而AC ⊂平面D 1AC ； 故平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.20．(1)证明：∵在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 边的中点， ∴BG ⊥AD.又∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BG ⊥平面PAD.(2)证明：连接PG ，则PG ⊥AD ， 由(1)得BG ⊥AD ，又∵PG ∩BG ＝G ，BG 平面PBG ， PG 平面PBG ， ∴AD ⊥平面PBG.∵PB 平面PBG ，∴AD ⊥PB.(3)解：当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD. 证明如下：取PC 的中点F ，连接DE ，EF ，DF ，则由平面几何知识， 在△PBC 中，EF ∥PB ，在菱形ABCD 中，GB∥DE，而EF平面DEF ，ED平面DEF ，EF∩DE＝E，PB平面PGB，GB平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB.又∵侧面PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG ⊥AD.又∵侧面PAD所在平面垂直于底面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.故平面DEF⊥平面ABCD.21．(1)证明：设DG的中点为M，连接AM，FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABED分别交平面ABC，平面DEFG于AB，DE，∴AB∥DE，又AB＝DE，∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF平面ACGD，AM 平面ACGD，故BF∥平面ACGD.(2)解：连接AE，AG，EG，∵AD⊥平面DEFG，∴AD⊥DG，AD⊥DE.∵AD＝ED＝DG，∴AE＝AG.取EG的中点H，连接AH，DH，有AH⊥EG，DH⊥EG，则∠AHD是二面角A­EG­D的平面角．∵在Rt△ADH中，由AD＝DE＝DG＝2，得DH＝ 2.∴tan∠AHD＝ADDH＝2，故二面角A­EG­D的正切值为 2.。

新课标精品卷2021年最新北师大版高中数学必修二《垂直关系的判定》课时提高练习及解析新课标-精品卷2021年最新北师大版高中数学必修二《垂直关系的判定》课时提高练习及解析2022-2022学年（新课程标准）北京师范大学版高中数学必修2§6垂直关系6.1垂直关系的确定（I）【课时目标】1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．1.定义：如果一条直线垂直于平面中的任何直线，则称该直线垂直于该平面2．判定定理文字表述：如果一条直线和一个平面内的__________________都垂直，那么该直线与此平面垂直．符号表示法：l⊥a??? L⊥ α．???l⊥b一、多项选择题1．下列命题中正确的个数是()① 如果直线L和平面α，如果平面上有无数条直线是垂直的，那么⊥ α；② 如果直线L和平面α是垂直的，那么⊥ α；③ 如果线L与α不垂直，则没有与L垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．a．0b．1c．2d．32.直线a⊥ 直线B，B⊥ 平面β，然后是a和β，关系是（）⊥ βb.a∥ βc．aβd．aβ或a∥β3.如果空间四边形ABCD的四边相等，则其两条对角线AC和BD之间的关系为（）A.垂直和相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.既不垂直也不相交4．如图所示，定点a和b都在平面α内，定点p?α，pb⊥α，c是平面α内异于a 和b的动点，且pc⊥ac，则△abc为()a、锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定5。

如图所示，PA⊥ 飞机ABC，BC⊥ 交流输入△ ABC，那么图中直角三角形的数量是（）a．4b．3c．2d．16.从平面外的点p到平面，引出一条垂直线和三条斜线。

斜足分别为a、B和C。

如果PA=Pb=PC，则有以下命题：①△abc是正三角形；②垂足是△abc的内心；③垂足是△abc的外心；④垂足是△abc的垂心．其中正确命题的个数是()a、 1b.2c.3d.4二、填空题7.在以下五个立方体图形中，l是立方体的对角线，点m、N和P分别是它们所在边的中点。

2023数学新高考2卷21题另解21. 已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()- （1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上. 【答案】（1）221416x y -= （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意求得,a b 的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线1MA 与2NA 的方程，联立直线方程，消去y ，结合韦达定理计算可得2123x x +=--，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P 在定直线=1x -上.【小问1详解】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由焦点坐标可知c =则由c e a==可得2a =，4b ==， 双曲线方程221416x y -=. 【小问2详解】由(1)可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为4x my =-，且1122m -<<， 与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=，且264(43)0m ∆=+>， 则1212223248,4141m y y y y m m +==--，直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222y y x x =--， 联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=-- 112221122483216222141414148483664141m m m y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯----， 由2123x x +=--可得=1x -，即1P x =-， 据此可得点P 在定直线=1x -上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.。

姓名，年级：时间：§6垂直关系6。

1垂直关系的判定课后篇巩固探究A组基础巩固1.下列结论正确的是（)A.若直线a∥平面α,直线b⊥a,b⫋平面β，则α⊥βB.若直线a⊥直线b，a⊥平面α,b⊥平面β，则α⊥βC.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D。

过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析A选项中满足条件的平面β与平面α可能垂直，也可能平行或相交,故A 错；C选项中当平面外的直线与平面垂直时,过该直线有无数个平面与已知平面垂直,故C错;过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直,故D错。

答案B2。

如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是()A。

平面ABCDB.平面PBCC.平面PADD。

平面PBCPA⊥平面ABCD得PA⊥CD,由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD,从而有CD⊥平面PAD,所以平面PCD⊥平面PAD。

故选C。

3。

如图所示，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形,且∠BAC=60°，下列说法错误的是（)A.AD⊥平面BDCB。

BD⊥平面ADCC。

DC⊥平面ABDD.BC⊥平面ABDAD⊥BD,AD⊥DC,∴AD⊥平面BDC.∵△ADB与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形,∴AB=AC，AB.BD=DC=√22∵∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形，故BC=AB=√2BD，∴∠BDC=90°，即BD⊥DC.∴BD⊥平面ADC,同理DC⊥平面ABD。

∴A，B，C项均正确.4.如图所示,ABCD—A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的个数是()①BD∥平面CB1D 1 ;②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1。

A。

0 B.1 C.2 D.3BD∥B1D1，所以①正确;因为BD⊥AC，BD⊥CC1，所以BD⊥平面ACC1,所以BD⊥AC1,故②正确；因为AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1，故①②③均正确。

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课时分层作业九垂直关系的判定一、选择题(每小题5分，共30分)1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④【解析】选A.由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.2.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是 ( )A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直【解析】选C.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC=C，所以BD⊥平面AMC.又MA平面AMC，所以MA ⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是( )A.平面DD1C1CB.平面A1B1CDC.平面A1B1C1D1D.平面A1DB【解析】选B.因为易证BC1⊥B1C，且CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD=C，所以BC1⊥平面A1B1CD.5.如图所示，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有( )A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF【解析】选A.折叠后，有些线线的位置关系不发生变化，如SG⊥GF，SG⊥GE.所以SG⊥平面GEF.6.已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的 ( )A. 外心B.内心C.垂心D.重心【解析】选C.因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，所以PA⊥平面PBC，因为BC平面PBC，所以PA⊥BC.因为PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC.又PA∩PH=P，所以BC⊥平面PAH，所以BC⊥AH.同理可证AB⊥CH，AC⊥BH，所以H为△ABC的垂心.二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD 与平面PAC的位置关系是_________.【解析】因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC.又BD平面PBD，所以平面PBD ⊥平面PAC.答案：垂直8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是_________.【解析】如图，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD.又PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，平行四边形ABCD为菱形.答案：菱形三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.求证：SD⊥平面SAB.【证明】因为AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1，所以底面ABCD为直角梯形，AD==.因为侧面SAB为等边三角形，所以SA=SB=AB=2.又SD=1，所以AD2=SA2+SD2，所以SD⊥SA.连接BD，则BD==，所以BD2=SD2+SB2，所以SD⊥SB.又SA∩SB=S，所以SD⊥平面SAB.10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点.求证：平面ABM⊥平面A1B1M.【证明】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1=2，M为CC1的中点，所以C1M=CM=1.在Rt△B 1C1M中，B1M==，同理BM==，又B1B=2，所以B1M2+BM2=B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则( )A.a∥αB.aαC.a⊥αD.a是α的斜线【解析】选C.2.如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是( )A.4个B.6个C.7个D.8个【解析】选D.由图中△ABC，△APC，△ABP为直角三角形可以得△PBC为锐角三角形，所以图中有8个直角三角形.3.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β=m，nαC.m∥n，n⊥β，mαD.m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】选C.因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)，且PA=AC，则二面角P-BC-A的大小为( )A.60°B.30°C.45°D.90°【解析】选C.因为AB为直径，所以AC⊥CB，又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角，又PA=AC，所以∠ACP=45°.5.在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论中错误的是( )A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】选D.由题意，EG∥BC，FG∥PC，所以平面EFG∥平面PBC，A正确；由PC⊥BC，PC⊥AC，可得PC⊥平面ABC，又因为PC∥FG，所以FG⊥平面ABC，所以平面EFG⊥平面ABC，B正确；因为E，F分别为所在棱的中点，所以EF∥PB，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，C正确；因为AB与平面EFG不垂直，所以D错误.二、填空题(每小题5分，共20分)6.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=，则二面角B-AC-D的余弦值为_________.【解析】如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角.因为DO=OB=BD=，所以∠BOD=60°.答案：60°7.▱ABCD的对角线交点为O，点P在▱ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是_________.【解析】因为PA=PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.因为AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD.答案：垂直8.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是_________.【解析】由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°，故③正确.答案：①②③9.(2018·安康高一检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件__________________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况).【解析】如图所示，连接B1C，由BC=CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1=90°等)答案：∠A1C1B1=90°(答案不唯一)三、解答题(每小题10分，共20分)10.如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD.求证：(1)AB∥EF.(2)平面BCF⊥平面CDEF.【证明】(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，CD平面CDEF，AB平面CDEF，所以AB∥平面CDEF.又AB平面ABFE，且平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB∥EF.(2)因为DE⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以DE⊥BC.因为BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF.又因为BC平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF.11.如图所示，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+，过点A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE ⊥EC.(1)求证：BC⊥平面CDE.(2)求证：FG∥平面BCD.【证明】(1)由已知得DE⊥AE，因为DE⊥EC，AE∩EC=E，所以DE⊥平面ABCE.又因为BC平面ABCE，所以DE⊥BC.又BC⊥CE，DE∩CE=E，所以BC⊥平面DCE.(2)取AB的中点H，连接GH，FH.则GH∥BD，FH∥BC，则易得GH∥平面BCD，FH∥平面BCD.则易得平面FHG∥平面BCD，所以GF∥平面BCD.关闭Word文档返回原板块- 11 -。

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【答案】A考点： 复数的几何意义.【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ .（2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}=，故选C.考点： 集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.（3）已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 考点： 平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 【答案】A考点： 圆的方程、点到直线的距离公式. 【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为122416S ππ=⋅⋅=，圆锥的侧面积为2122482S ππ=⋅⋅⋅=，圆柱的底面面积为2324S ππ=⋅=，故该几何体的表面积为12328S S S S π=++=，故选C. 考点： 三视图，空间几何体的体积. 【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:（7）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B考点： 三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2x n==，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）（A）7 （B）12 （C）17 （D）34【答案】C考点：程序框图，直到型循环结构.【名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．（9）若3cos()45πα-=，则sin2α=（）（A）725（B）15（C）15-（D）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237 cos22cos12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n【答案】C 【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4m n π=.选C.考点： 几何概型.【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．（11）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A ）2 （B ）32（C ）3 （D ）2【答案】A考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．（12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13 ～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13) ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B=，所以sin 21sin 13a Bb A ==.考点： 三角函数和差公式，正弦定理.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(14) ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.【答案】②③④考点： 空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 【答案】1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 考点： 逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-考点： 导数的几何意义.【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的不同．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和． 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.18.（本题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1234≥5保费0.85aa1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数1234≥5概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3，由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列，再根据期望公式求解.试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.11考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )，求P (B |A )； (2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). 求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；(2)求X 的每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)由均值定义求出E (X )．19.（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ， 5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=．（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）29525.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=，所以D H ABCD '⊥平面.B（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩， 所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-.于是cos ,||||50m n m n m n ⋅<>===⋅，295sin ,25m n <>=. 因此二面角B D A C '--. 考点：线面垂直的判定、二面角. 【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20.（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）()32,2.试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=.因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．（21）（本小题满分12分）(Ⅰ)讨论函数x x 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>； (Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21(,].24e .（II ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x-+++==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+考点： 函数的单调性、极值与最值.【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作 DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）15±.试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-由||10AB =得2315cos ,tan 8αα==±， 所以l 的斜率为15或15-. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+考点：绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用||||(0)x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，|||||()|||x a x b x a x b a b -+-≥---=-.(3)图象法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．。

2021年高考数学真题试题(新高考Ⅱ卷)(Word版+答案+解析)2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅱ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共8题；共40分）1.复数frac{2- i}{1-3i}$$在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，$A=\{1,3,6\}$，$B=\{2,3,4\}$，则$A∩(\complement_U B)=（）$A。

$\{3\}$ B。

$\{1,6\}$ C。

$\{5,6\}$ D。

$\{1,3\}$3.抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点到直线 $y=x+1$ 的距离为 $\sqrt{2}$，则 $p=$（）A。

1 B。

2 C。

$2\sqrt{2}$ D。

44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。

在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）。

将地球看作是一个球心为O，半径$r$ 为6400km的球，其上点A的纬度是指$\angle OAB$ 与赤道平面所成角的度数。

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 $\alpha$，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为$S=2\pi r^2(1-\cos\alpha)$（单位：$km^2$），则 $S$ 占地球表面积的百分比约为（）A。

26% B。

34% C。

42% D。

50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A。

$20+12\sqrt{3}$ B。

$28\sqrt{2}$ C。

$\frac{28\sqrt{2}}{3}$ D。

$56$6.某物理量的测量结果服从正态分布 $N(10,\sigma^2)$，下列结论中不正确的是（）A。

2023新高考数学二卷21题讲解2023年，新高考数学二卷的21题是一道较为复杂的题目，考察了学生对数学知识的综合运用能力。

下面我们来详细讲解这道题目。

题目要求如下：已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^3-3x^2+4x+1$，设直线$l$与曲线$y=f(x)$相切于点$P$，直线$l$的斜率为$k$，求$k$的取值范围。

首先，我们需要明确题目中的一些概念和知识点。

相切是指直线与曲线在某一点处有且仅有一个公共点，并且直线与曲线在该点处的切线重合。

斜率是直线的一个重要特征，表示直线在平面上的倾斜程度。

根据题目中给出的函数$f(x)$，我们可以求出其导数$f'(x)$。

对函数$f(x)$求导，得到$f'(x)=\frac{3}{2}x^2-6x+4$。

这是一个二次函数，其图像是一个开口朝上的抛物线。

由于直线$l$与曲线$y=f(x)$相切于点$P$，所以直线$l$的斜率$k$等于曲线$y=f(x)$在点$P$处的切线的斜率。

而曲线$y=f(x)$在点$P$处的切线的斜率等于曲线$y=f(x)$在点$P$处的导数$f'(x)$的值。

因此，我们需要求出曲线$y=f(x)$在点$P$处的导数$f'(x)$的值。

设点$P$的横坐标为$x_0$，纵坐标为$y_0$，则点$P$的坐标为$(x_0,y_0)$。

曲线$y=f(x)$在点$P$处的导数$f'(x)$的值等于曲线$y=f(x)$在点$P$处的切线的斜率，即$k$。

根据导数的定义，我们可以得到$f'(x_0)=k$。

将函数$f(x)$的导数$f'(x)$代入，得到$\frac{3}{2}x_0^2-6x_0+4=k$。

接下来，我们需要找到曲线$y=f(x)$与直线$l$相切的点$P$的横坐标$x_0$和纵坐标$y_0$。

由于直线$l$与曲线$y=f(x)$相切于点$P$，所以点$P$同时满足曲线$y=f(x)$和直线$l$的方程。

新课标II 卷数学试卷（理科）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 设集合M ={0,1,2}，20{|32}N x x x =-≤+，则M N ⋂=( )A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2} 【答案解析】D解析：把0，1，2代人2203x x +≥-验证，只有1，2满足不等式，故选D. 考点：考查集合与一元二次不等式的知识，简单题.2. 设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A. -5B.5C.-4+iD.-4-i 【答案解析】A. 解析：12i z =+ 与2z 关于虚轴对称，∴2z =-2+i∴12(2i)(2i)5z z =+-+=- ，故选A. 考点：考查复数的基本知识，简单题. 3. 设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b •=（ ）A. 1B.2C. 3D.5 【答案解析】A. 解析：||10,6|4=41=+=-=∴+⋅+⋅+∴⋅∴⋅=-=2222a b a b a 2a b b a 2a b b a b a b 故选A.考点：考查平面向量的数量积，中等题. 4. 钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC =AC =（ ）A.5 【答案解析】B. 解析：∵△ABC 面积为12，1,AB BC ==∴111sin 45,13522B B B ⋅=⇒=⇒=︒︒当B=45°时，222cos 452122212112BC A AC AB BC C AB ⋅︒=+-⋅⋅⋅=⇒=-=+此时，AC=AB=1,故A=90°，这与△ABC 为钝角三角形矛盾.当B=135°时，222cos135212212525AC AB B BC C A AC B =+-⋅︒=++⋅⋅⋅=⇒= 故选B.考点：考查正余弦定理的应用，中等题.A. 0.8B.0.75C. 0.6D.0.45 【答案解析】A.解析：设第i 天空气优良记着事件i A ，则1(A )0.75,(A A )0.6(i 1,2,)i i i P P +=== ,∴第1天空气优良，第2天空气也优良这个事件的概率为12211()0.60.8((|).75)0A A P A A P P A ===，故选A.考点：考查条件概率的概率，简单题.6. 如图，网格纸上正方形小格子的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛胚切削而得到，则切削掉部分的体积与原来毛胚体积的比值为（ ）A.1727 B. 59 C. 1027 D.13【答案解析】C.解析：毛胚的体积23654V ππ⋅⋅==制成品的体积 221322434V πππ⋅⋅+⋅⋅==∴切削掉的体积与毛胚体积之比为：13454101127V V ππ-=-=，故选C. 考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题.7. 执行右图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =( )A.4B.5C.6D.7 【答案解析】D.解析：第1次循环M=2,S=5,k=1第2次循环，M=2,S=7,k=2第3次循环k=3>2,故输出S=7考点：考查算法的基本知识，简单题.8. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A.0B.1C.2D.3【答案解析】D.解析：0ln(121)1,1|xy ax xy axy a==-+∴'=-'=∴-+=故a=3，选D.考点：考查导数的几何应用，中等题.9. 设x，y满足约束条件3103507x yxx yy≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥-⎩+，则z=2x-y的最大值为( )A.10B.8C.3D.2【答案解析】B.解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.10. 设F为抛物线23C y x=：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.33 B. 93 C. 6332 D.94【答案解析】D 解析：∵23y x =∴抛物线C 的焦点的坐标为：()3,04F 所以直线AB 的方程为：330an )t (4y x ︒-=故233()43x y y x ⎧==-⎪⎨⎪⎩从而2122161689012x x x x -+=+=⇒ ∴弦长12||=3122x x AB ++= 又∵O 点到直线43:430AB x y --= 的距离2238(4=3)4d =+ ∴13129428OAB S ⋅⋅==,故选D. 考点：综合考查抛物线的知识，弦长计算与分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为困难题.11. 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA=90°，M ，N 分别是11A B ，11AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 的夹角的余弦值为( ) A.110 B. 25C. 30D.2【答案解析】C.解析：设AC =2，12BC CA CC ∴===(2,0,0),(1,0,2),(0,2,0),(1,1,2)A N B M ∴ (1,1,2),(1,2,0)BM AN ∴=-=-30cos ,||||065013AN BM AN BM AN BM ⋅∴<>===-=-⋅⋅ 故选C. 考点：考查空间夹角问题.中等题.12. 设函数)n(f x xmπ=，若存在f (x )的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A.,6()(6,)∞-⋃+∞-B. ,4()(4,)∞-⋃+∞-C. ,2()(2,)∞-⋃+∞-D.,1()(1,)∞-⋃+∞- 【答案解析】C.解析：()()cosxxf x f m mx mππ=⇒'=令()0cos0()2xxx k k Z mf mππππ'=⇒=⇒=+∈(21)2k m x +=∴ ，即f (x )的极值点0(2)1()2mx k k Z =+∈ ∵存在f (x )的极值点0x ，满足22200()f x x m +<∴ 2220(2)m 31sin []2x k m m π+<+ 又∵222202sin )(21)m sin s s in in (222()1k k x k m m ππππππ===++⋅=+∴存在k Z ∈，使得221[]2(2)m 3k m ++<∴存在k Z ∈,使得223(2)141k m +<-∴223(21)13[1]|m |24414max k m +<-=⇒->= ，故选C. 考点：考查导数与极值，三角函数，不等式的知识，为困难题.第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a = .（用数字填写答案）【答案解析】12解析：1010110(0(),1,,10)r r rr T C x r x a a -+==+展开式的通项为∴10()x a +展开式中7x 的系数为31031125C a a ⇒== 考点：考查二项展开式的通项公式，简单题.14. 函数()sin(2)2sin cos()x x f x ϕϕϕ=+-+的最大值为 .【答案解析】1．解析：()(2)2()cos()sin 2sin cos()cos()si ()sin()cos sin()cos n sin .f x sin x sin cos x x f x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+-+∴++-++=-+==+故填写1.考点：本题考查和差角公式，为中等题.15. 已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减，f (2)=0,若f (x -1)>0,则x 的取值范围是 . 【答案解析】(-1,3).解析：作出函数f (x )的示意图，如图所示因为(1213)201x x f x ⇒-<-<⇒--<<> 考点：本题考查函数的单调性与奇偶性.简单题.16. 设点0(,1)M x ，若在园22:1O x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45°，则0x 的取值范围是 . 【答案解析】[-1,1]解析：设N 点的坐标为,s (cos )in θθ （1）当00,1x ≠± 时 ∵0(,1)M x 点的坐标为 ∴OM ,MN 的斜率分别为：001s n c s ,i o 1OM MN k x k x θθ-==- ∵45OMN ∠=︒ ∴1tan 45()1MN OMMN OM MN OM MN OMk k k k k k k k -︒=±⇒=-++±即000011sin 1()11sin cos cos ()x x x x θθθθ--±-=--+⋅*取正号时，化简（*）式得：2000(1)sin 11()cos x x x θθ+-=++ 取负号化简（*）式得：2000(1)sin 1(1)cos x x x θθ++=+-∴2220000(1)(1)sin()1x x x θϕ++-+=+ ∴222400000(1)(1)11||1x x x x x +-≥+⇒≤⇒≤+故0||<1x 且00x ≠（2）当00x =时，取(1,0)N ,此时满足题设. （3）当01x =±时，取(0,1)N ，此时也满足题设. 综上所述，011x -≤≤考点：考查应用斜率与倾斜角的概念，直线方程，园的方程,分析问题的能力.困难题. 三、解答题（本大题共8小题） 17. (12分)已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(I)证明{12}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (II)证明2111132n a a a +++<. 【答案解析】解析：(I)∵131n n a a +=+11331111)223(22n n n n a a a a ++∴⇒+=+++=+ 1112132a a =+⇒=∴{12}n a +是首项为32 ，公比为3的等比数列∴1*131333,2222n n n n n a a n N --⋅+==∈=⇒ (II)由(I)知，*13,2n n a n N -=∈，故 121213111111231(13)n n a a a +++=++-+-- 12110331112()3333n n --+-≤+-+12111()11131331(1()).133323213nn n --=++++==⋅-<- 考点：考查等比数列的通项公式,求和公式，考查放缩法证明不等式的技巧.中等题. 18. (12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，D A BC P A ⊥平面，E 为PD 中点.(I)证明:PB ||平面AEC ;(II)设二面角D-AE-C 为60°，AP =1，3AD =，求三棱锥E-ACD 的体积.【答案解析】解析：(I)连接EF ,因为四边形ABCD 是矩形，故F 为AC 中点，又因为E 为PD 中点，故EF 是△PBD 的中位线，从而||EF PB ,故||.PB AEC 面(II)建立坐标系如图所示.因为1,3AP AD == ，E 为PD 中点，∴313,(0,0,1),(0,)0(0,)2,,P D E ，设||CD a = ，则(,0,0),(,3,0)B a C a∴31(0,,),(,3,0)22AE AC a == ∵PA ABCD ⊥面 ，ABCD 平面是矩形∴(,0,0)PAD AB AB a ⊥⇒=面是平面ADE 的法向量设平面AEC 的法向量为=(,,)n x y z ，则3102302n AE y z n AC ax y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩令3y = ，得,33x a z =-=- ，故3(,3,3)n a=-- ∵二面角D AE C --的大小为60° ∴22||||991239cos60||n AB n AB aa a⋅︒===⋅+⋅++解得32a =∵三棱锥E ACD -的高为111||1222PA =⋅= ∴11111313(||||)(||)(3)3223222E ACD AD CD P V A -⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==考点：考查空间线面关系，椎体的体积计算和向量法解决立体几何问题的技能，中等题.19. (12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(I)求y 关于t 的线性回归方程；(II)利用(I)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：2()()()ˆniiini it y t t y bt =---∑∑，ˆˆab y t =-. 【答案解析】解析：（I ）7117221ˆ0.5.28ˆˆ 4.30.542()()14(.)3iii i i t t y bt t y b y at ==∑====∑=-=-⋅--=-∑∑∴回归方程为：0.5 2.3y t =+(II)由于ˆ0.50b=> ，故y 与t 是正线性相关的，因此从2007年到2013年农村居民的人均纯收入是逐年上升的.当9t =时，9 2.3 6.80.5y ⋅+==，即2015年农村居民的人均纯收入预测将达到6.8千元.考点：考查线性回归方程，线性相关的概念的应用.难度中等. 20. (12分)设12,F F 分别是椭圆22221(0):x y C a a b b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点是N . (I)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率; (II)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1|MN |5||F N =，求a ，b .【答案解析】解析：（I ）∵2MF x ⊥轴（不妨设M 在x 轴的上方）∴M 的坐标满足方程组222221(,)x b M c a a y bx c⎧⎪⇒⎨⎪⎩=+= ∵MN 的斜率为34∴2234322b a ac cb =⇒= ∵222222()3a c a a c c b =-⇒-=又∵222(1)32320ce e e e e a⇒+-⇒-=== ∴椭圆离心率为12e = .(II)∵MN 在y 轴上的截距为2，O 为12,F F 的中点 ∴M 的坐标为(c ,4)(不妨设M 在x 轴的上方)由（I ）得24b a= (*)∵1||5||MN NF = ∴11||4||MF NF =作1NF x ⊥轴于T ,由于112~TF F N MF ,故有24,4M N Ny cy c x =--=- ∴321,14N M N y y c x =-=-=- ，即,3()12c N --把N 点的坐标代人椭圆方程得：2221419c a b+=∴2222222)111(9(9544**)4a b b a b a b +=⇒-=- 把（*）与（**）联立得：772a b ==⎧⎪⎨⎪⎩考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，难题.21. (12分)已知函数()e 2x xf x e x -=--.(I)讨论f(x)的单调性;(II)设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值;(III)已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值(精确到0.001).【答案解析】解析：(I)∵22()x e x f e x ---=∴2()2x x x f e e -'=≥+=-∴()f x 在R 上递增.（II ）()2x x e e f x x --=-224(2)x x x x f e e ---∴=22()(2)4()()4b(4)2x x x x g x f x bf x e x e x e e --∴=-=-----22()()4b()0((0,)4)2x x x x g x e e e x x e x ----∴=-->∀+∞-∈（注意这里用分离变量法处里恒成立无法进行下去!）∵22()0,(2)22420x x x x f e x e f x e e --'=≥'=++-≥-()(0)0,(2)(0)0f x f f x f ∴>=>=又∵22()2244(2)x x x x g e b e e x e --+--+-'=2()24(81(()))x x x x g x e e e b e b --+-++∴-'=2[()2(1[])2])(x x x x e b e e e --⋅=-+-+-令()02(11)x x x g e b x e e b -+=-=-'=⇒⇒（1）当1b ≤时2(10()0)x x e e b g x -≥⇒'+-≥-∴()(0)0g x g >= 成立,故1b ≤成立.(2)当12b <≤时),2(201b <-≤ 而2x x e e -+≥ ，此时22(1)x x b e e -≥≥-+∴()0()(0)0x x g g g '≥⇒>= 成立，故12b <≤（3）当2b >时2221((1)12)b b b b b b =-+>--⇒->2222(2)4422(2)2(2)2b b b b b b b b b b b -⇒--=-+<--<-=-∴ (2)1ln(1(2))001b b b b b b -<⇒-----<<又∵(2)01(2)12b b b b b b ->⇒-+-+>-∴(l 21)0)n(b b b --+>若x R ∈时， 2(1))0(0x x g e b x e -+-->⇔>'ln(1(2))x b b b ⇔<--- 或ln(1(2))b x b b >-+-2(1))0(0x x g e b x e -+--<⇔<'ln(1(2ln(1)))(2)b b b x b b b ⇔---<<--+∴区间(ln(1(2)),ln()())21b b b b b b --+---是()g x 的减区间∵(0)0g =∴ (ln(1)0(2)b b g b --+<即在区间ln(1)02))(,(b b b -+-上()0g x < 这与()g x 在区间(0,)+∞上大于0矛盾，故(2,)b ∈+∞/综上所述，(,2]b ∈-∞ ，故2max b = .(III)由（I ）得，当0x >时，()(0)0f x f >= ，由(II)得，当2b ≤时，(2)4()00()0f x bf x x g x >⇒->⇒> ，从而(2)8()0f x f x ->（注：由于题目给出了2 的近似值，该怎么取x 的值代人是显然的）令1n 2l x = ，则1111221111(2)8()48(2)x x x x f x f x x x e e e e -->-->--⇒∴1232ln 28(2ln 2)ln 2282212-->--⇒>- 由（II ）的证明过程（3）知道，当b >2时，在区间ln(1]02))[,(b b b -+-上()0g x <. 若32ln(1(2))224ln 101b b b b ≤≤-+-⇒+≤≤+，令3214b =+， 由()0g x <，得2222221324(21)(()4ln 2l 24n )0ln ln ln ln e g x e e e --=-----+< ∴34ln 2282(23)21822+<++= ∴ 8ln 2212822318<<-+ 下面进行误差估计：∵1.41422 1.4143<<∴23 1.414230.6928121212888.316-⋅->== ∴18219.412828430.6934+<= ∴符合精度要求的值为ln 20.693(0.001)≈精确到 .考点：本题考查利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论的能力及误差估计的思想，思路背景为常规思路，构建函数()g x 的图像即可，难度压轴题.22. (10分)选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC =2PA ，D 为PC 中点，AD 的延长线交O 于点E ，证明：(I) BE = EC(II) 22DE B AD P ⋅=【答案解析】解析：(I)连接OA ,OD 交BC 于F ,设PAD α∠=，因PA 是O 的切线，则90-EAO OEA α∠=∠=︒∵2,2PC PA PC PD ==∴P A D P PD A ⇒=是等腰三角形∴ PDA EDF α∠=∠=∵(90)90EDF OEA αα∠+∠=+︒-=︒∴OE BC ⊥故OE 平分弧BC ,从而BE = EC.(II)∵2,2PC PC PA D PB P ⋅==∴22PA PB PD ⋅=由（I ）知PD PA =∴222PA PA PB PB PA ⋅⇒==∴()()DE BD DC BD PA PD PB PA A PA D PA PB ⋅=⋅=⋅=-⋅=-⋅2()PA PB PC PA PB PC PA PA PB PB ⋅=⋅-⋅=⋅-=-()PC PD PB DC PB PA PB ⋅-=⋅=⋅=把2PA PB =代人上式，得222PA PB B P PB P B ⋅=⋅=∴22DE B AD P ⋅=考点：考查与园有关的角的知识和圆幂定理的应用.难度中等.23. (10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 2cos ,[0,]2πρθθ=∈. (I)求C 的参数方程(II)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线2:3l y x =+垂直，根据(I)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【答案解析】解析：（I ）∵极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈∴22cos ρρθ= ∴对应的普通方程为：220()02x y x y =≥+- ，即22(01)1()x y y -+=≥∴对应的参数方程为[0,]sin 1cos ,x y ϕϕπϕ⎧∈=+⎨=⎩(II)设半圆的圆心为A ，则A (1,0),又由（I ）知，可以设D 点坐标为(1cos n ),si ϕϕ+ ∴直线DA 的斜率tan k ϕ=∵切线与直线32y x =+垂直∴tan 3=3([0,])πϕϕϕπ⇒=∈∴3,sin 231cos 2ϕϕ==+ 即D 点坐标为3(3,22) 考点：本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用，难度中等题.24. (10分)选修4-5：不等式选讲设函数()||||()10a f x x x a a =++->.(I)证明：()2;f x ≥(II)若(3)5f <，求a 的取值范围.【答案解析】解析：（I ）∵()||||()10a f x x x a a =++-> ∴1111,2x ,(12),a aa a x f x aa a x a x x aa ⎧⎪⎪⎪+-≤≤⎨-+-<-=⎪⎪-+>⎪⎩∴()f x 在递增(,)a +∞，在递减(-1)a ∞，-，在[]1,a a -上为常数∴()f x的最小值为()(11)2f a f a a a ≥-=+==∴()2f x ≥（II ）（1）当3a ≥时，1(3)5f a a +<=∴2510a a a ⇒<<-+<∴523a ≤<（2）当03a <<时，2(3)61510f a a a a <⇒-+-->=∴a <或a >3a <<综上所述15(22a +∈考点：考查带有绝对值的不等式的应用能力，考查函数与不等式的关系，中等题.。