学案5专题一 第5讲导数及其运用

第5讲 导数及其应用【高考考情解读】 1.本讲主要考查导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等.2.常与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目． 一基本知识 1． 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数值就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，其切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2． 导数与函数单调性的关系(1)f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.(2)f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常数，函数不具有单调性． 3． 函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．4． 四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sin x )′＝cos x . (2)(cos x )′＝－sin x .(3)(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． (4)(log a x )′＝1x ln a (a >0，且a ≠1)．(5)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (6)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 二基本考点考点一 导数几何意义的应用例1 (1)过点(1,0)作曲线y ＝e x 的切线，则切线方程为________．(2)(2013·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝52的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是________．答案 (1)e 2x －y －e 2＝0 (2)4解析 (1)设切点为P (x 0，e x 0)，则切线斜率为e x 0， 切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，又切线经过点(1,0)，所以－e x 0＝e x 0(1－x 0)， 解得x 0＝2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即e 2x －y －e 2＝0.(2)设A (x 0，y 0)，则C 1在A 处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3ax 20，C 2在A 处的切线的斜率为－1k OA ＝－x 0y 0， 又C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直， 所以(－x 0y 0)·3ax 20＝－1，即y 0＝3ax 30， 又ax 30＝y 0－1，所以y 0＝32， 代入C 2：x 2＋y 2＝52，得x 0＝±12，将x 0＝±12，y 0＝32代入y ＝ax 3＋1(a >0)，得a ＝4.(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．(1)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3(2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 (1)C (2)D解析 (1)由点P (1,4)在曲线上，可得a ×12＋2＋ln 1＝4， 解得a ＝2，故y ＝2x 2＋2＋ln x ．所以y ′＝4x ＋1x.所以曲线在点P 处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝4×1＋11＝5.所以切线的方程为y ＝5x ＋b .由点P 在切线上， 得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1. (2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f ′(π2)＝1，即函数f (x )＝x sin x ＋1在点x ＝π2处的切线的斜率是1，直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a2，所以(－a2)×1＝－1，解得a ＝2.考点二 利用导数研究函数的性质例2 (2013·广东)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1， (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其图象开口向上，对称轴x ＝k3，且过(0,1)点．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增． ∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ， M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k . ②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0，∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k ) ＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0，∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ，最大值M ＝－2k 3－k .利用导数研究函数性质的一般步骤：(1)确定函数的定义域； (2)求导函数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)①若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(5)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2013·浙江)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax .(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． 解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2－12x ＋6， 所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为6x －y －8＝0. (2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a . 当a >1时，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 1<a ≤3，a 2(3－a )， a >3.当a <－1时，综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为 g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1， a <－1，0， 1<a ≤3，a 2(3－a )， a >3.考点三 利用导数解决与方程、不等式有关的问题 例3 (2013·陕西)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)求f (x )的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程； (2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点；(3)设a <b ，比较f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2与f (b )－f (a )b －a 的大小，并说明理由．本题主要考查导数在解决方程、不等式问题等方面的应用，构造函数是解决问题的关键．(1)解 f (x )的反函数为g (x )＝ln x, 设所求切线的斜率为k ， ∵g ′(x )＝1x，∴k ＝g ′(1)＝1.于是在点(1,0)处的切线方程为x －y －1＝0.(2)证明 方法一 曲线y ＝e x 与曲线y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于函数φ(x )＝e x －12x 2－x －1零点的个数．∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x )存在零点x ＝0.又φ′(x )＝e x －x －1，令h (x )＝φ′(x )＝e x －x －1， 则h ′(x )＝e x －1，当x <0时，h ′(x )<0，∴φ′(x )在(－∞，0)上单调递减； 当x >0时，h ′(x )>0，∴φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴φ′(x )在x ＝0处有唯一的极小值φ′(0)＝0， 即φ′(x )在R 上的最小值为φ′(0)＝0. ∴φ′(x )≥0(当且仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x )在R 上是单调递增的， ∴φ(x )在R 上有唯一的零点，故曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．方法二 ∵e x >0，12x 2＋x ＋1>0，∴曲线y ＝e x 与曲线y ＝12x 2＋x ＋1公共点的个数等于曲线y ＝12x 2＋x ＋1e x 与y ＝1公共点的个数，设φ(x )＝12x 2＋x ＋1e x，则φ(0)＝1，即当x ＝0时，两曲线有公共点．又φ′(x )＝(x ＋1)e x －(12x 2＋x ＋1)e x e 2x＝－12x 2e x ≤0(当且仅当x ＝0时等号成立)， ∴φ(x )在R 上单调递减， ∴φ(x )与y ＝1有唯一的公共点，故曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点．(3)解 f (b )－f (a )b －a －f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝e b －e a b －a －e a ＋b2 ＝e b －e a －b e a ＋b 2＋a ea ＋b2b －a＝e a ＋b 2b －a [e b －a 2－e a －b 2－(b －a )]．设函数u (x )＝e x －1e x －2x (x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋1ex －2≥2e x ·1ex －2＝0， ∴u ′(x )≥0(当且仅当x ＝0时等号成立)， ∴u (x )单调递增． 当x >0时，u (x )>u (0)＝0.令x ＝b －a 2，则得e b －a 2－e a －b 2－(b －a )>0，∴f (b )－f (a )b －a>f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．(1)(2013·天津)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则 ( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0答案 A解析 对于f (x )＝e x ＋x －2，f ′(x )＝e x ＋1>0，f (x )在R 上递增， 由于f (0)＝e 0－2＝－1<0， f (1)＝e ＋1－2＝e －1>0， ∴由f (a )＝0知0<a <1；对于g (x )＝ln x ＋x 2－3(x >0)，g ′(x )＝1x ＋2x >0，∴g (x )在(0，＋∞)上也递增， 由于g (1)＝－2<0，g (2)＝ln 2＋1>0， ∴由g (b )＝0知1<b <2. 故f (b )>f (1)>0，g (a )<g (1)<0， ∴g (a )<0<f (b )．(2)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R )． ①讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；②若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围；③当0<x <y <e 2且x ≠e 时，试比较y x 与1－ln y1－ln x 的大小．解 ①f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点；当a >0时，f ′(x )<0得0<x <1a ，f ′(x )>0得x >1a ，∴f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a ，＋∞)上单调递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值．∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点； 当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点． ②∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴a ＝1， ∴f (x )≥bx －2⇔1＋1x －ln xx≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln xx ，则g ′(x )＝－2x 2＋ln xx2，∴g ′(e 2)＝0，从而可得g (x )在(0，e 2]上单调递减，在[e 2，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e2.③由②知g (x )＝1＋1－ln xx 在(0，e 2)上单调递减，∴0<x <y <e 2时，g (x )>g (y )， 即1－ln x x >1－ln yy. 当0<x <e 时，1－ln x >0， ∴y x >1－ln y 1－ln x； 当e<x <e 2时，1－ln x <0， ∴y x <1－ln y 1－ln x.1． 函数单调性的应用(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0在区间(a ，b )上恒成立； (2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0在区间(a ，b )上恒成立； (3)可导函数f (x )在区间(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的必要不充分条件． 2． 可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于可导函数f (x )，“f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x )＝0”是“f (x )在x ＝x 0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点． 3． 导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题； (2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题； (3)把方程解的问题转化为函数的零点问题． 巩固练习1． 已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 根据题意可知存在x ∈[1,2]， 使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ， 又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.2． 设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值； (2)当a ≥2时，讨论函数f (x )的单调性；(3)若对任意a ∈(2,3)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有ma ＋ln 2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x .令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )极小值＝f (1)＝1，无极大值．(2)f ′(x )＝(1－a )x ＋a －1x ＝(1－a )x 2＋ax －1x＝[(1－a )x ＋1](x －1)x ＝(1－a )(x －1a －1)(x －1)x .当1a －1＝1，即a ＝2时，f ′(x )＝－(x －1)2x ≤0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；当1a －1<1，即a >2时， 令f ′(x )<0，得0<x <1a －1或x >1； 令f ′(x )>0，得1a －1<x <1.当1a －1>1，a <2时，与已知矛盾舍， 综上，当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a >2时，f (x )在(0，1a －1)和(1，＋∞)上单调递减，在(1a －1，1)上单调递增．(3)由(2)知，当a ∈(2,3)时，f (x )在[1,2]上单调递减， 当x ＝1时，f (x )有最大值，当x ＝2时，f (x )有最小值． ∴|f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (2)＝a 2－32＋ln 2，∴ma ＋ln 2>a 2－32＋ln 2.而a >0经整理得m >12－32a ，由2<a <3得－14<12－32a<0，∴m ≥0.提高练习一、选择题1． (辽宁)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 答案 B解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)， 又由y ′＝x －1x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．2． 已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值是( )A ．eB ．－eC.1eD ．－1e答案 C解析 设切点坐标为(x 0，y 0)．因为y ′＝(ln x )′＝1x (x >0)，所以切线斜率为k ＝1x 0，所以切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)由已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，得 0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)，即x 0＝e ，所以，答案选C.3． (浙江)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )答案 B解析 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．4． 若函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (b )>bf (a )B ．af (a )>bf (b )C ．af (a )<bf (b )D ．af (b )<bf (a )答案 B解析 令g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )>0. ∴g (x )在R 上为增函数，∵a >b ， ∴g (a )>g (b )，即af (a )>bf (b )． 5． 函数y ＝x3＋sin x 的图象大致是( )答案 C解析 因为f (－x )＝－x3＋sin(－x )＝－(x3＋sin x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，它的图象关于原点对称，则可以排除B. 当x 接近于正无穷大时，x3接近于正无穷大，而－1≤sin x ≤1，所以x3＋sin x 也接近于正无穷大，则可以排除D.由y ′＝(x 3＋sin x )′＝13＋cos x ，令y ′＝0得13＋cos x ＝0，它有无数个解，可知极值点有无数个，所以排除A. 故答案选C.6． (湖北)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，0)B ．(0，12)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)答案 B解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1x －a )＝ln x ＋1－2ax (x >0) 令f ′(x )＝0得2a ＝ln x ＋1x ，设φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx2易知φ(x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，大致图象如右图若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点， ∴0<2a <1，∴0<a <12.二、填空题7． 已知函数f (x ) (x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为__________． 答案 {x |x >1}解析 φ(x )＝f (x )－x 2－12，则φ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴φ(x )在R 上是减函数． φ(1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴φ(x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}．8． 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2(其中x ∈R ，a ，b 为常数)．已知曲线y＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l ，则a ，b 的值分别为________． 答案 －2,5解析 f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3， 由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线， 故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1， 由此解得a ＝－2，b ＝5.9． 设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，－1)解析 y ′＝e x ＋a ，又函数y ＝e x ＋ax 在x ∈R 上有大于零的极值点，即y ′＝e x ＋a ＝0有正根．当e x ＋a ＝0时，e x ＝－a ，∴－a >1，即a <－1.10．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________．答案 0<t <1或2<t <3解析 f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x，由f ′(x )＝0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t ，t ＋1)内，函数在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，解得0<t <1或2<t <3. 三、解答题11．已知函数f (x )＝(x 2＋ax ＋2)e x (x ，a ∈R )．(1)当a ＝0时，求函数f (x )的图象在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)若函数y ＝f (x )为单调函数，求实数a 的取值范围； (3)当a ＝－52时，求函数f (x )的极小值．解 f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋2](1)当a ＝0时，f (x )＝(x 2＋2)e x ，f ′(x )＝e x (x 2＋2x ＋2)， f (1)＝3e ，f ′(1)＝5e ，∴函数f (x )的图象在点A (1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝5e(x －1)，即5e x －y －2e ＝0. (2)f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋2]， 考虑到e x >0恒成立且x 2系数为正，∴f (x )在R 上单调等价于x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋2≥0恒成立． ∴(a ＋2)2－4(a ＋2)≤0，∴－2≤a ≤2，即a 的取值范围是[－2,2]． (3)当a ＝－52时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x 2－52x ＋2e x ， f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫x 2－12x －12， 令f ′(x )＝0，得x ＝－12或x ＝1，令f ′(x )>0，得x <－12或x >1，令f ′(x )<0，得－12<x <1，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，函数f (x )的极小值为f (1)＝12e.12．已知函数f (x )＝x 2e，g (x )＝2a ln x (e 为自然对数的底数)．(1)求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间，若F (x )有最值，请求出最值；(2)是否存在正常数a ，使f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)F ′(x )＝2(x 2－e a )e x(x >0)．①当a ≤0时，F ′(x )>0恒成立，F (x )在(0，＋∞)上是增函数，F (x )只有一个单调递增区间(0，＋∞)，没有最值．②当a >0时，F ′(x )＝2(x ＋e a )(x －e a )e x (x >0)，若0<x <e a ，则F ′(x )<0，F (x )在(0，e a )上单调递减； 若x >e a ，则F ′(x )>0，F (x )在(e a ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e a 时，F (x )有极小值，也是最小值， 即F (x )min ＝F (e a )＝a －2a ln e a ＝－a ln a .∴当a >0时，F (x )的单调递减区间为(0，e a )，单调递增区间为(e a ，＋∞)，最小值为－a ln a ，无最大值．(2)若f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点， 则方程f (x )－g (x )＝0有且只有一解， ∴函数F (x )有且只有一个零点．由(1)的结论可知F (x )min ＝－a ln a ＝0，得a ＝1. 此时，F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2e －2ln x ≥0，F (x )min ＝F (e)＝0， ∴f (e)＝g (e)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的唯一公共点坐标为(e ，1)． 又∵f ′(e)＝g ′(e)＝2e， ∴f (x )与g (x )的图象在点(e ，1)处有共同的切线， 其方程为y －1＝2e (x －e)，即y ＝2ex －1. 综上所述，存在a ＝1，使f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点(e ，1)，且在该点处的公切线方程为y ＝2ex －1. 13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x ) ＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10 (0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(2)①当0<x <10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0； 当x ∈(9,10)时，W ′<0， ∴当x ＝9时，W 取最大值， 且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－2 1 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．。