高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修1_1

江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习2导学案 苏教版选修1-1复习要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．课前预习：1．知识要点回顾：(1)函数的导数与单调性的关系：(2)函数的极值与导数：(3)函数的最值与导数①函数f(x)在[a ，b]上有最值的条件：如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．②求y ＝f(x )在[a ，b]上的最大(小)值的步骤：（4）若函数f(x)在定义域A 上存在最大值与最小值，则①对任意x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0；②存在x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0.2．判断： (1)函数f(x)在区间(a ，b)内单调递增，则f′(x)>0；( )(2)函数的极大值一定比极小值大；( )(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。

( )3．函数f(x)＝x ＋4x的单调减区间是 4.函数f(x)＝xex 的极小值点是5．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是课堂探究：2.已知函数f(x)＝x－alnx．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．3.已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6a x.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．变式：已知函数f(x)＝(x－k)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．3.设函数f(x)＝x3－3ax＋b (a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．4. 设L为曲线C：y＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

习题课导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递________f′(x)<0单调递________知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．知识点三函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．类型一数形结合思想的应用例 1 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________．反思与感悟解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．跟踪训练1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是________．类型二 构造函数求解命题角度1 比较函数值的大小例2 已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f xx<0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系是________．反思与感悟 本例中根据条件构造函数g (x )＝xf (x )，通过g ′(x )确定g (x )的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．跟踪训练2 设a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是________．命题角度2 求解不等式例3 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )<f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )>2e x的解集为________．反思与感悟 根据所求结论与已知条件，构造函数g (x )＝f xex，通过导函数判断g (x )的单调性，利用单调性得到x 的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )为其导函数．当x >0时，f (x )＋x ·f ′(x )>0，且f (1)＝0，则不等式x ·f (x )>0的解集为________．命题角度3 利用导数证明不等式 例4 已知x >1，证明不等式x －1>ln x .反思与感悟利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式；(2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出；(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．跟踪训练4 证明：当x>0时，2＋2x<2e x.类型三利用导数研究函数的极值与最值例5 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．反思与感悟(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练5 已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________．(填序号)2．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为________． 3．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________． 4．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，下列式子判断正确的是________． ①f (x )g (x )>f (b )g (b )；②f (x )g (a )>f (a )g (x )； ③f (x )g (b )>f (b )g (x )；④f (x )g (x )>f (a )g (a )． 5．已知x >0，求证：x >sin x .导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．提醒：完成作业第3章习课题答案精析知识梳理 知识点一 增 减 知识点二(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 知识点三2．极值 f (a )，f (b ) 最大 最小 题型探究例1 ④ 跟踪训练1 ① 例2 b <c <a 跟踪训练2 a >b >c 例3 (0，＋∞) 跟踪训练3 (1，＋∞)例4 证明 设f (x )＝x －1－ln x ，x ∈(1，＋∞)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，因为x ∈(1，＋∞)， 所以f ′(x )＝x －1x>0， 即函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 又x >1，所以f (x )>f (1)＝1－1－ln 1＝0， 即x －1－ln x >0，所以x －1>ln x . 跟踪训练4 证明 设f (x )＝2＋2x －2e x， 则f ′(x )＝2－2e x ＝2(1－e x)． 当x >0时，e x >e 0＝1， ∴f ′(x )＝2(1－e x)<0.∴函数f (x )＝2＋2x －2e x在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，x ∈(0，＋∞)． 即当x >0时，2＋2x －2e x<0， ∴2＋2x <2e x.例5 解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2， 得f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上，f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，t ) tf ′(x ) 0 － 0 ＋ ＋f (x )2↘－2↗t 3－3t 2＋2f (x )min ＝f (2)f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个．因为f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0， 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， 则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．当x ∈[1,2)时，g ′(x )<0；当x ∈(2,3]时，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0，g 2<0，g 3≥0，解得－2<c ≤0.即实数c 的取值范围为(－2,0]．跟踪训练5 解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称， 则f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3＋(a －1)x 2－48(a －2)x ＋b ＝－ax 3－(a －1)x 2－48(a －2)x －b ， 于是2(a －1)x 2＋2b ＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，b ＝0，解得a ＝1，b ＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－48x ，∴f ′(x )＝3x 2－48＝3(x ＋4)(x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－4，x 2＝4； 令f ′(x )<0，得－4<x <4；令f′(x)>0，得x<－4或x>4.∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，f(x)极小值＝f(4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，则f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，∴函数的最大值为－47，最小值为－128.当堂训练1．③ 2.－37 3.(－∞，12) 4.③5．证明设f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是单调增函数，又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴x>sin x(x>0)．。

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3.1。

2 瞬时变化率—导数学习目标：1。

理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。

当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。

学习目标1. 经过使收益最大、用料最省、效率最高等优化问题, 领会导数在解决实质问题中的作用 .2. 在解决详细问题的过程中, 领会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性 .课前预学：问题 1:一般地,假如在区间 a b 上函数 y=f x的图象是一条连续不停的曲[ , ]( )线 , 那么它必有最大值和最小值 . 只需利用导数求出函数 y=f ( x) 的全部,再求出端点的函数值 , 进行比较 , 就能够得出函数的最大值和最小值.问题 2: 生活中常常碰到求收益最大、用料最省、效率最高等问题, 这些问题往常称为问题 . 导数是求函数最大( 小) 值的有力工具 , 能够运用导数解决一些生活中的优化问题.问题 3: 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)剖析实质问题中各个量之间的关系 , 列出实质问题的数学模型 , 写出实质问题中变量之间的函数关系式 y=f ( x);(2)求函数的, 解方程f'x=( )0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小 , 最大 ( 小 ) 者为最大(小)值.问题 4: 解决生活中的优化问题应该注意的问题确立函数关系式中自变量的区间 , 必定要考虑实质问题的意义, 不切合实质问题的值应舍去 .讲堂研究：一．收益最大问题某商场销售某种商品的经验表示 , 该商品每天的销售量 y( 单位 : 千克 ) 与销售价钱x( 单位: 元/ 千克) 知足关系式y=错误! 未找到引用源。

+10( x- 6) 2, 此中3<x<6, a 为常数 . 已知销售价钱为 5 元 / 千克时 , 每天可售出该商品 11 千克 .(1)求 a 的值 ;(2)若该商品的成本为 3 元 / 千克 , 试确立销售量价钱 x 的值 , 使商场每天销售该商品所获取的收益最大.三．成本最低问题：如图 , 某工厂拟建一座平面图为矩形 , 且面积为 200 平方米的三级污水办理池 , 因为地形限制 , 长、宽都不可以超出 16 米. 假如池周围壁建筑单价为每米 400元 , 中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元, 池底建筑单价为每平方米 80 元 , 无盖 .(1)写出总造价 y( 元) 与污水办理池的长 x( 米 ) 的函数关系式 , 并指出其定义域 ;(2)污水办理池的长和宽各为多少时 , 污水办理池的总造价最低 ?并求出最低总造价 .。

3.4导数在实际生活中的应用1．导数在实际生活中有着广泛的应用．如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决．2．利用导数解决优化问题的流程：解决生活中的优化问题的思路：(1)审题：阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论．(2)建模：利用数学知识建立相应的数学模型．(3)解模：把数学问题转化为函数求解．(4)检验．[对应学生用书P56][例1] 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨] 设出所截正方形的边长为x，则该容器的底面边长和高均可用x表示，得到容积关于x的函数，用导数法求解．[精解详析] 设容器的高为x cm，容器的体积为V(x) cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)．V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320＝12(x 2－46x ＋360)＝12(x －10)(x －36)(0<x <24)．令V ′(x )＝0，得x 1＝10，x 2＝36(舍去)． 当0<x <10时，V ′(x )>0，V (x )是增函数； 当10<x <24时，V ′(x )<0，V (x )是减函数．因此，在定义域(0,24)内函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值，其最大值为V (10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm 3)．即当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3.[一点通] 解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．如果在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也是最值点．1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm. 解析：设该漏斗的高为x cm ， 则底面半径为202－x 2cm ，其体积为V ＝13πx (202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x <20)，则V ′＝13π(400－3x 2)．令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0<x <2033时，V ′>0；当2033<x <20时，V ′<0， 所以当x ＝2033时，V 取得最大值．答案：20332．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解：设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x (18 000x －20＋25)＝18 000xx －20＋25x ，∴S ′＝x －－x ]x －2＋25＝－36 0000x －2＋25.令S ′>0，得x >140， 令S ′<0，得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.[例2] 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？[思路点拨] 解答本题可先根据题目条件写出函数关系式，再利用导数方法求最值． [精解详析] (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x(2＋x )x＝256mx＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增函数． 所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．[一点通] 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际问题做答．3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V ＝27π＝πr 2h ，∴h ＝27r2，若用料最省，则表面积最小，设表面积为S ，则S ＝πr 2＋2πr ·h ＝πr 2＋2π27r＝πr 2＋54πr，S ′＝2πr －54πr2＝2πr 3－r 2，令S ′＝0，得r ＝3.∵当0<r <3时，S ′<0，S (r )为减函数，r >3时，S ′>0，S (r )为增函数．∴当r ＝3时，S 取最小值，即用料最省． 答案：34．某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：m)________．解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短． 设场地宽为x 米，则长为512xm ，因此新墙总长L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)． 此时长为51216＝32(m)，可使L 最短．答案：32,16[例3] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：kg)与销售价格x (单位：元/kg)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2.其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/kg 时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/kg ，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨] (1)根据“销售价格为5元/kg 时，每日可售出该商品11 kg”可知销售函数图像过点(5,11)将其代入可求得a 的值；(2)利润为y ＝(每件产品的售价－每件产品的成本)×销量，表示出函数解析式后，可借助导数求最值．[精解详析] (1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋x －2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/kg 时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． [一点通](1)利润(收益)＝销售额－成本，在有关利润(收益)的问题中，注意应用此公式列出函数关系式，然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值．(2)在实际问题中，若某函数在所给区间上只有一个极值，则该极值即为相应的最值．这是实际问题中求最值的常用方法．5．已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．解析：因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0,9)时，y ′＞0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．答案：96．已知某工厂生产x 件产品的成本为c ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)．问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x2x ＝25 000x ＋200＋x40(x >0)，y ′＝－25 000x 2＋140， 令y ′＝0，得x ＝1 000或x ＝－1 000(舍去)． 当0<x <1 000时，y ′<0； 当x >1 000时，y ′>0，故当x ＝1 000时，y 取极小值，而只有一个点使y ′＝0，故函数在该点处取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为S (x )＝500x －⎝ ⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240，S ′(x )＝300－x20，令S ′(x )＝0，得x ＝6 000，当0<x <6 000时，S ′(x )>0，当x >6 000时，S ′(x )<0， 故当x ＝6 000时，S (x )取极大值， 而只有一个点使S ′(x )＝0， 故函数在该点取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．用导数解应用题求最值的方法与步骤：[对应课时跟踪训练(二十二)]1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．解析：设该公司在甲地销x 辆，那么乙地销15－x 辆，利润L (x )＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30.由L ′(x )＝－0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.且当x ＜10.2时，L ′(x )＞0，x ＞10.2时，L ′(x )＜0， ∴x ＝10时，L (x )取到最大值，这时最大利润为45.6万元． 答案：45.6万元2．如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为________．解析：设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝kxh 2＝kx (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值． 答案：33d 3．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，则两矩形面积之和的最小值为________．解析：如图所示，设边长之比为2∶1的矩形周长为x ，则边长之比为3∶2的矩形周长为l －x ，两矩形面积之和为S ＝2x 6·x 6＋l －x10·l －x10＝x 218＋350(l －x )2，0<x <l .由S ′＝x 9＋325(x －l )＝0，得x ＝2752l .当x 变化时，S ′，S 的变化情况如下表：由上表可知，当x ＝2752l 时，S 的最小值为3104l 2.答案：3l21044．如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL ，则它的底面半径等于________时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．解析：设圆柱的高为h ，表面积为S ，容积为V ，底面半径为r ，则表面积S ＝2πrh ＋2πr 2，而V ＝250＝πr 2h ，得h ＝250πr 2，则S ＝2πr ·250πr2＋2πr2＝500r ＋2πr 2，S ′＝－500r 2＋4πr ，令S ′＝0得r ＝53π2π，因为S 只有一个极值，所以当r ＝53π2π时，S 取得最小值，即此时所用的材料最省．答案：53π2π5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km 处．解析：依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数．于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5，或x ＝－5(舍去)．当0＜x ＜5时，y ′＜0；当x ＞5时，y ′＞0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 答案：56．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25lnq 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解：设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元， 则A 型号的电视机的投放金额为(10－x )万元， 由题意得y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9，∴y ′＝25x －110，令y ′＝0得x ＝4，由y ′>0得1≤x <4，由y ′<0得4<x ≤9， 故y 在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x ＝4时，y 取得最大值，且y max ＝25 ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x ＝6.故厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．7．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.8.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (L)关于行驶速度x (km/h)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少L? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少L? 解：(1)当x ＝40 km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 h ，要耗油⎝⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)．∴当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L.(2)当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100xh ，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)， 则h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x )＜0，h (x )是单调递减函数； 当x ∈(80,120)时，h ′(x )＞0，h (x )是单调递增函数． ∴当x ＝80时，h (x )取到极小值，h (80)＝11.25. ∵h (x )在(0,120]上只有一个极值， 且h (120)＝856>h (80)．∴当x ＝80时函数取得最小值．∴当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.[对应学生用书P58]一、导数的概念 1．导数函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，称常数A 为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f ′(x )在各点的导数中随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．记作f ′(x )．二、导数的几何意义1．f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率，这是导数的几何意义． 2．求切线方程： 常见的类型有两种：一是函数y ＝f (x )“在点x ＝x 0处的切线方程”，这种类型中(x 0，f (x 0))是曲线上的点，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二是函数y ＝f (x )“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，又y 1＝f (x 1)，由上面两个方程可解得x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．三、导数的运算 1．基本初等函数的导数 (1)f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； (2)f (x )＝x α，则f ′(x )＝α·xα－1；(3)f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f ′(x )＝a xln a .(4)f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝1x ln a； (5)f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； (6)f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ； 2．导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f xg x ]′＝fx g x －f x gxg 2x.四、导数与函数的单调性 利用导数求函数单调区间的步骤： (1)求导数f ′(x )；(2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0； (3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 五、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧的f ′(x )的符号，若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值．若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值，否则此根不是f (x )的极值点． 六、求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以判断f (x )在该点处取得最大(或最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．七、导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f ′(x )＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测三 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．在Δx 无限趋近于0时，f x 0－f x 0＋ΔxΔx无限趋近于1，则f ′(x 0)＝________.解析：由已知得Δx 无限趋近于0时，f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于－1，则f ′(x 0)＝－1.答案：－12．若函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________. 解析：∵f (x )＝x sin x ＋cos x ， ∴f ′(x )＝(x sin x ＋cos x )′ ＝(x sin x )′＋(cos x )′ ＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2cos π2＝0.答案：03．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2. ∴x 0＝e. 答案：e4．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________.解析：∵y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝a ＝1.又(0，b )在x －y ＋1＝0上，故0－b ＋1＝0，得b ＝1. 答案：1 15．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x ＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]6．用长14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么容器的最大容积为________m 3.解析：设容器底面短边长为x m ，则另一边长为 (x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x )m. 由3.2－2x >0，x >0，得0<x <1.6. 设容器的容积为y m 3，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )(0<x <1.6)， 整理得y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y ′＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)．从而，定义域(0,1.6)内只有在x ＝1处有y ′＝0，由题意，若x 过小(接近0)或x 过大(接近1.6)时，y 值很小，因此，当x ＝1时，y max ＝1.8，此时高1.2 m ，所以当容器的高为1.2 m 时，容积最大，最大容积为1.8 m 3. 答案：1.87．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为________．解析：∵y ′＝3x 2＋2ax ，由3x 2＋2ax ＝0，得x ＝0或x ＝－2a 3.又当x ＝0时，y ＝0，∴－4a3＝0.∴a ＝0.经验证a ＝0符合题意． 答案：08．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，∴f (x )在[－3，－2]，[2,3]上单调递增，在[－2,2]上单调递减．f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，故M ＝24，m ＝－8，则M －m ＝32.答案：329．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋3＋a 的极大值为5，则实数a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2－6x ；由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2；由f ′(x )>0得x <0或x >2，则f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)；由f ′(x )<0得0<x <2，则f (x )的单调递减区间为(0,2)．当x ＝0时函数取得极大值，∴f (0)＝3＋a ＝5，∴a ＝2.答案：210．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (3)＝0.则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．解析：设F (x )＝f (x )g (x )，则F (x )为奇函数，F (0)＝0. ∵x <0时，F ′(x )>0， 且F (－3)＝－F (3) ＝－f (3)g (3)＝0， ∴F (x )示意图如图：当x ∈(－∞，－3)或(0,3)时，F (x )<0. 答案：(－∞，－3)∪(0,3)11．函数y ＝1＋ln xx的单调递增区间是________．解析：y ′＝xx －ln x x 2＝1－ln xx 2.令y ′>0，得1－ln x >0，∴0<x <e. 故增区间为(0，e) 答案：(0，e)12．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ⇒f ′(e)＝－1e.答案：－1e13．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.解析：由于y ′| x ＝1＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y＝0，得x ＝x n ＝nn ＋1，∴a n ＝lg n n ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23× (99100)lg1100＝－2. 答案：－214．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，x >0，∴当0<x <12时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x >12时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1<12，12<k ＋1，k －1<k ＋1.∴1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1；(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程． 解：(1)f ′(x )＝2ax －43a .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f＝2a －43a ＝1，f＝a －43a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.∴f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.16．(本小题满分14分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m >0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率； (2)求函数的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为1.(2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1，令f ′(x )＝0，得到x ＝1－m ，x ＝1＋m ，因为m >0，所以1＋m >1－m .当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：f (x )在(－∞，1－m )和(1＋m ，＋∞)内为减函数，在(1－m,1＋m )内为增函数．函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )， 且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13，函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )， 且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.17．(本小题满分14分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x －5 000(单位：万元)．(1)求利润函数P (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ 解：(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3 700x －(460x －5 000) ＝－10x 3＋45x 2＋3 240x ＋5 000 (x ∈N *，且1≤x ≤20)． (2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3 240 ＝－30(x －12)(x ＋9)，由P ′(x )＝0，得x ＝12，x ＝－9(舍去)． 当0<x <12时，P ′(x )>0，P (x )单调递增； 当x >12时，P ′(x )<0，P (x )单调递减． ∴当x ＝12时，P (x )取得极大值，也为最大值．∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．18．(本小题满分16分)已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围． 解：(1)依题意f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1， 由f ′(1)＝0得a ＝1，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点， 即13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝0有三个实数根， 令g (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m ，则g (x )有三个零点．由g ′(x )＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x )>0得x <0或x >3；令g ′(x )<0得0<x <3.∴函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数． ∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值． 要使g (x )有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g ，g，解得12<m <5.∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5. 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝(x －k )e x， (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k . 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．。

3.4导数在实际生活中的应用1．导数在实际生活中有着广泛的应用．如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决．2．利用导数解决优化问题的流程：解决生活中的优化问题的思路：(1)审题：阅读理解文字表达的题意、分清条件和结论．(2)建模：利用数学知识建立相应的数学模型．(3)解模：把数学问题转化为函数求解．(4)检验．[对应学生用书P56][例1] 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨] 设出所截正方形的边长为x，则该容器的底面边长和高均可用x表示，得到容积关于x的函数，用导数法求解．[精解详析] 设容器的高为x cm，容器的体积为V(x) cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)．V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数．因此，在定义域(0,24)内函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm3)．即当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.[一点通] 解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积、容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．如果在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义，该极值点也是最值点．1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为x cm ， 则底面半径为202－x 2 cm ，其体积为V ＝13πx(202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x<20)，则V ′＝13π(400－3x 2)． 令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0<x<2033时，V ′>0；当2033<x<20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取得最大值．答案：20332．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解：设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x(18 000x －20＋25)＝18 000xx －20＋25x ，∴S ′＝18 000[(x －20)－x](x －20)2＋25＝－36 0000(x －20)2＋25.令S ′>0，得x>140， 令S ′<0，得20<x<140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S(x)的最小值为S(140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.[例2] 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？[思路点拨] 解答本题可先根据题目条件写出函数关系式，再利用导数方法求最值．[精解详析] (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1.所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m x －1＋m x (2＋x)x＝256m x ＋mx ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x)＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x)＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数； 当64＜x ＜640时，f ′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数． 所以f(x)在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．[一点通] 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际问题做答．3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V ＝27π＝πr 2h ，∴h ＝27r2， 若用料最省，则表面积最小，设表面积为S ，则S ＝πr 2＋2πr ·h ＝πr 2＋2π27r ＝πr 2＋54πr，S ′＝2πr －54πr 2＝2π(r 3－27)r 2，令S ′＝0，得r ＝3.∵当0<r<3时，S ′<0，S(r)为减函数， r>3时，S ′>0，S(r)为增函数． ∴当r ＝3时，S 取最小值，即用料最省． 答案：34．某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：m)________．解析：要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短． 设场地宽为x 米，则长为512xm ，因此新墙总长L ＝2x ＋512x (x>0)，则L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16(舍去)．此时长为51216＝32(m)，可使L 最短．答案：32,16[例3] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2.其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/kg 时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/kg ，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨] (1)根据“销售价格为5元/kg 时，每日可售出该商品11 kg ”可知销售函数图像过点(5,11)将其代入可求得a 的值；(2)利润为y ＝(每件产品的售价－每件产品的成本)×销量，表示出函数解析式后，可借助导数求最值．[精解详析] (1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x －3)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．[一点通](1)利润(收益)＝销售额－成本，在有关利润(收益)的问题中，注意应用此公式列出函数关系式，然后利用导数的知识并结合实际问题求出相应最值．(2)在实际问题中，若某函数在所给区间上只有一个极值，则该极值即为相应的最值．这是实际问题中求最值的常用方法．5．已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当x∈(0,9)时，y′＞0，所以函数y＝－13x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．答案：96．已知某工厂生产x件产品的成本为c＝25 000＋200x＋140x2(元)．问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：(1)设平均成本为y元，则y＝25 000＋200x＋140x2x＝25 000x＋200＋x40(x>0)，y′＝－25 000x2＋140，令y′＝0，得x＝1 000或x＝－1 000(舍去)．当0<x<1 000时，y′<0；当x>1 000时，y′>0，故当x＝1 000时，y取极小值，而只有一个点使y′＝0，故函数在该点处取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为S(x)＝500x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240，S ′(x)＝300－x20，令S ′(x)＝0，得x ＝6 000，当0<x<6 000时，S ′(x)>0，当x>6 000时，S ′(x)<0， 故当x ＝6 000时，S(x)取极大值， 而只有一个点使S ′(x)＝0， 故函数在该点取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．用导数解应用题求最值的方法与步骤：[对应课时跟踪训练(二十二)]1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．解析：设该公司在甲地销x 辆，那么乙地销15－x 辆，利润L(x)＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x)＝－0.15x 2＋3.06x ＋30.由L ′(x)＝－0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.且当x ＜10.2时，L ′(x)＞0，x ＞10.2时，L ′(x)＜0，∴x ＝10时，L(x)取到最大值，这时最大利润为45.6万元． 答案：45.6万元2．如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k>0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为________．解析：设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝kxh 2＝kx(d 2－x 2)，0<x<d.令f ′(x)＝k(d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d(舍去负值)．当0<x<33d 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当33d<x<d 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x ＝33d.所以x ＝33d 时，f(x)有最大值．答案：33d3．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，则两矩形面积之和的最小值为________．解析：如图所示，设边长之比为2∶1的矩形周长为x ，则边长之比为3∶2的矩形周长为l －x ，两矩形面积之和为S ＝2x 6·x6＋3(l －x )10·2(l －x )10＝x 218＋350(l －x)2，0<x<l.由S ′＝x 9＋325(x －l)＝0，得x ＝2752l.当x变化时，S ′，S 的变化情况如下表：由上表可知，当x ＝2752l 时，S 的最小值为3104l 2.答案：3l 21044．如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL ，则它的底面半径等于________时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．解析：设圆柱的高为h，表面积为S ，容积为V ，底面半径为r ，则表面积S＝2πrh ＋2πr 2，而V ＝250＝πr 2h ，得h ＝250πr 2，则S ＝2πr ·250πr 2＋2πr 2＝500r ＋2πr 2，S ′＝－500r2＋4πr ，令S ′＝0得r ＝53π2π，因为S 只有一个极值，所以当r ＝53π2π时，S 取得最小值，即此时所用的材料最省．答案：53π2π5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km 处．解析：依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数．于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x＝5，或x ＝－5(舍去)．当0＜x ＜5时，y ′＜0；当x ＞5时，y ′＞0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 答案：56．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解：设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x)万元， 由题意得y ＝110(10－x)＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9， ∴y ′＝25x －110，令y ′＝0得x ＝4，由y ′>0得1≤x<4，由y ′<0得4<x ≤9， 故y 在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x ＝4时，y 取得最大值，且y max ＝25 ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x＝6.故厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．7．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x(20－x)．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.8.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少L? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少L? 解：(1)当x ＝40 km/h 时， 汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 h ，要耗油⎝⎛⎭⎪⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)． ∴当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L.(2)当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100x h ，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)， 则h ′(x)＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120)．令h ′(x)＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x)＜0，h(x)是单调递减函数； 当x ∈(80,120)时，h ′(x)＞0，h(x)是单调递增函数． ∴当x ＝80时，h(x)取到极小值，h(80)＝11.25. ∵h(x)在(0,120]上只有一个极值， 且h(120)＝856>h(80)．∴当x ＝80时函数取得最小值．∴当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.[对应学生用书P58]一、导数的概念1．导数函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f′(x)在各点的导数中随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．记作f′(x)．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义．2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数 (1)f(x)＝c ，则f ′(x)＝0；(2)f(x)＝x α，则f ′(x)＝α·x α－1；(3)f(x)＝a x (a>0且a ≠1)，则f ′(x)＝a x ln a.(4)f(x)＝log a x ，则f ′(x)＝1xln a； (5)f(x)＝sin x ，则f ′(x)＝cos x ； (6)f(x)＝cos x ，则f ′(x)＝－sin x ； 2．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)； (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f ′(x)；(2)解不等式f ′(x)>0或f ′(x)<0； (3)写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．五、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求方程f ′(x)＝0的根；(3)检验f ′(x)＝0的根的两侧的f ′(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值，否则此根不是f(x)的极值点． 六、求函数f(x)在闭区间[a ，b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f(x)在(a ，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a ，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a ，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判断f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a ，b)也可以是(－∞，＋∞)．七、导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f ′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值． ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(三) 见8开试卷(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．在Δx 无限趋近于0时，f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx 无限趋近于1，则f ′(x 0)＝________.解析：由已知得Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于－1，则f ′(x 0)＝－1. 答案：－12．若函数f(x)＝xsin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：∵f(x)＝xsin x ＋cos x ， ∴f ′(x)＝(xsin x ＋cos x)′ ＝(xsin x)′＋(cos x)′ ＝sin x ＋xcos x －sin x ＝xcos x.∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2cos π2＝0.答案：03．设f(x)＝xln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x)＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2. ∴x 0＝e. 答案：e4．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________.解析：∵y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a＝1.又(0，b)在x－y＋1＝0上，故0－b＋1＝0，得b＝1.答案：1 15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤3，所以实数a的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]6．用长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制的底面的一边比另一边长0.5 m，那么容器的最大容积为________m3.解析：设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m.由3.2－2x>0，x>0，得0<x<1.6.设容器的容积为y m3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)，整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，解得x1＝1，x2＝－415(舍去)．从而，定义域(0,1.6)内只有在x＝1处有y′＝0，由题意，若x过小(接近0)或x过大(接近1.6)时，y值很小，因此，当x＝1时，y max＝1.8，此时高1.2 m，所以当容器的高为1.2 m时，容积最大，最大容积为1.8 m3.答案：1.87．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a的值为________．解析：∵y ′＝3x 2＋2ax ，由3x 2＋2ax ＝0，得x ＝0或x ＝－2a3.又当x ＝0时，y ＝0，∴－4a3＝0.∴a ＝0.经验证a ＝0符合题意．答案：08．已知函数f(x)＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x)＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，∴f(x)在[－3，－2]，[2,3]上单调递增，在[－2,2]上单调递减．f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，故M ＝24，m ＝－8，则M －m ＝32.答案：329．已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋3＋a 的极大值为5，则实数a ＝________. 解析：∵f ′(x)＝3x 2－6x ；由f ′(x)＝0得x ＝0或x ＝2；由f ′(x)>0得x<0或x>2，则f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)；由f ′(x)<0得0<x<2，则f(x)的单调递减区间为(0,2)．当x ＝0时函数取得极大值，∴f(0)＝3＋a ＝5，∴a ＝2.答案：210．设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)>0，且g(3)＝0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是________．解析：设F(x)＝f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，F(0)＝0. ∵x<0时，F ′(x)>0， 且F(－3)＝－F(3) ＝－f(3)g(3)＝0， ∴F(x)示意图如图：当x ∈(－∞，－3)或(0,3)时，F(x)<0.答案：(－∞，－3)∪(0,3)11．函数y ＝1＋ln xx的单调递增区间是________．解析：y ′＝(ln x )′x －ln xx 2＝1－ln x x 2.令y ′>0，得1－ln x>0，∴0<x<e. 故增区间为(0，e) 答案：(0，e)12．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋ln x(e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.解析：由f(x)＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x)＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e⇒f ′(e)＝－1e.答案：－1e13．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.解析：由于y ′⎪⎪x ＝1＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝x n ＝nn ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2. 答案：－214．若函数f(x)＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：∵f ′(x)＝4x －1x ＝4x 2－1x ，x>0，∴当0<x<12时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，当x>12时，f ′(x)>0，f(x)为增函数，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1<12，12<k ＋1，k －1<k ＋1.∴1≤k<32.答案：⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1，32二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax 2－43ax ＋b ，f(1)＝2，f ′(1)＝1；(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．解：(1)f ′(x)＝2ax －43a.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝2a －43a ＝1，f (1)＝a －43a ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.∴f(x)＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x(x ∈R)，其中m>0. (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率；(2)求函数的单调区间与极值． 解：(1)当m ＝1时，f(x)＝－13x 3＋x 2，f ′(x)＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.(2)f ′(x)＝－x 2＋2x ＋m 2－1，令f ′(x)＝0，得到x ＝1－m ，x ＝1＋m ，因为m>0，所以1＋m>1－m.当x 变化时，f(x)，f ′(x)的变化情况如下表：f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m ，＋∞)内为减函数， 在(1－m,1＋m)内为增函数．函数f(x)在x ＝1＋m 处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m 3＋m 2－13，函数f(x)在x ＝1－m 处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m 3＋m 2－13.17．(本小题满分14分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x －5 000(单位：万元)．(1)求利润函数P(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ 解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 700x－(460x－5 000)＝－10x3＋45x2＋3 240x＋5 000(x∈N*，且1≤x≤20)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)(x＋9)，由P′(x)＝0，得x＝12，x＝－9(舍去)．当0<x<12时，P′(x)>0，P(x)单调递增；当x>12时，P′(x)<0，P(x)单调递减．∴当x＝12时，P(x)取得极大值，也为最大值．∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．18．(本小题满分16分)已知x＝1是函数f(x)＝13ax3－32x2＋(a＋1)x＋5的一个极值点．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，求实数m的取值范围．解：(1)依题意f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，由f′(1)＝0得a＝1，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝13x3－32x2＋2x＋5.(2)曲线y＝f(x)与直线y＝2x＋m有三个交点，即13x3－32x2＋2x＋5－2x－m＝0有三个实数根，令g(x)＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m ，则g(x)有三个零点．由g ′(x)＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x)>0得x<0或x>3；令g ′(x)<0得0<x<3.∴函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值．要使g(x)有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (3)<0，解得12<m<5.∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，5.19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x －k)e x ， (1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解：(1)f ′(x)＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x)＝0，得x ＝k －1.当x 变化时，f(x)与f ′(x)的变化情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k.当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：22－3由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3]．§4 二项分布1．掌握独立重复试验的概念及意义，理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式．(重点)2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．(难点) 3．了解二项分布与超几何分布的关系．(易混点)[基础·初探]教材整理二项分布阅读教材P48～P50，完成下列问题．1．n次独立重复试验进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互________的结果，可以分别称为“________”和“________”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为；(3)各次试验是相互独立的，则这n次试验称为n次独立重复试验．【答案】(1)对立成功失败(2)1－p2．二项分布(1)若用随机变量X 表示n 次独立重复试验的次数，则P(X ＝k)＝________(k ＝0,1,2，…，n)．(2)若一个随机变量X 的分布列如(1)所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～________.【答案】 (1)C k np k (1－p)n －k (2)B(n ，p)1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有发生和不发生两种情况；③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的．【解析】 由n 次独立重复试验的定义知①②③正确．【答案】 ①②③2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．【解析】 抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38.【答案】38[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【精彩点拨】由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(即准确或不准确)，符合独立重复试验．【自主解答】(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．所以概率为P＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.02 048≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.独立重复试验概率求法的三个步骤1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．[再练一题]1．(1)甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．(2)在4次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232＋C 12×23×13×23＝2027.(2)由题意知，C 04p 0(1－p)4＝1－6581，p ＝13. 【答案】 (1)2027 (2)13一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．【精彩点拨】 (1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．【自主解答】 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5，13，ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4；P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235.故η的分布列为!1．本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B(n ，p)中的试验次数n 与成功概率p.2．解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X ＝k)＝C k np k (1－p)n －k (k ＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[再练一题]2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为12，且各人的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．【解】 (1)设事件A 表示“甲选做14题”，事件B 表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A ，B 相互独立．∴P(AB ＋A －B －)＝P(A)P(B)＋P(A )P(B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4，12.∴P(ξ＝k)＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－124－k＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． ∴随机变量ξ的分布列为[探究共研型]探究1 王明在做一道单选题时，从A ，B ，C ，D 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？【提示】 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n ＝1的二项分布．探究2 王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？【提示】 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．探究3 王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？【提示】 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．(2016·泰兴高二检测)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．。

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数在实际生活中的应用导学案苏教版选修1-1学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=错误！未找到引用源。

+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

习题课 导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.知识点一 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )f ′(x )的正负 f (x )的单调性f ′(x )>0 单调递增 f ′(x )<0单调递减知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时，(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值. (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值.知识点三 函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的求法y ＝f (x )在(a ，b )内的极值.y ＝f (x )的极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.y ＝x ln x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，1e上是减函数.( √ )y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内单调递增，那么a 的取值范围为(2，＋∞).( × )f (x )＝x ·(x －c )2在x ＝2处有极大值，那么c ＝2.( × ) f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为239.( √ )类型一 导数与函数单调性 命题角度1 讨论函数单调性例1 函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴. (1)确定a 与b 的关系；(2)假设a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性. 考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的单调性 解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ， 那么g ′(x )＝1x＋2ax ＋b .由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1. (2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x. 由g ′(x )＞0得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0得x ＞1，即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a ＞0时，令g ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a，假设12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0得12a＜x ＜1，即函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减； 假设12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0得x ＞12a 或0＜x ＜1，由g ′(x )＜0得1＜x ＜12a ，即函数g (x )在(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减；假设12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增.综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.反思与感悟 研究含参数的函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进展分类讨论.跟踪训练1 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性. 考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的单调性 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，那么当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增. 综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增. 命题角度2 由函数单调性求参数范围 例2 函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)假设f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的单调性 解 (1)f ′(x )＝3x 2－a . ①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数. ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a 3； 当x ＞3a 3或x ＜－3a 3时，f ′(x )＞0； 当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数. 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数； 当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.(2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立. 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即a 的取值范围为(－∞，0]. 引申探究f (x )不变，假设f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围.解 因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3， 即a 的取值范围为(－∞，3].f (x )不变，假设f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围.解 由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，得a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立. 因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即当a 的取值范围为[3，＋∞)时，f (x )在(－1,1)上为减函数.f (x )不变，假设f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值.解 由例题可知，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3， ∴3a3＝1，即a ＝3. f (x )不变，假设f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围.解 ∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a . 由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0). ∵f (x )在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜3a3＜1，得0＜a ＜3， 即a 的取值范围为(0,3).反思与感悟 f (x )为(a ，b )上的增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否那么漏解. 跟踪训练2 函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，求a 的取值范围.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的单调性解 因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，故f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立， 即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立.令h (x )＝1x 2－2x ，那么h ′(x )＝－2x3－2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )＜0，那么h (x )为减函数， 所以h (x )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ≥3.故a 的取值范围是[3，＋∞).类型二 利用导数研究函数的极值与最值例3 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的极值与最值解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在点P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上，f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个.因为f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0， 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， 那么g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2).当x ∈[1,2)时，g ′(x )<0；当x ∈(2,3]时，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，那么⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.即实数c 的取值范围为(－2,0].反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点. (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比拟即可获得.跟踪训练3 函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋48(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称. (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间及极值； (3)当x ∈[1,5]时，求函数的最值.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的极值与最值解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称， 那么f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3＋(a －1)x 2－48(a －2)x ＋b ＝－ax 3－(a －1)x 2－48(a －2)x －b ， 于是2(a －1)x 2＋2b ＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，b ＝0，解得a ＝1，b ＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－48x ，∴f ′(x )＝3x 2－48＝3(x ＋4)(x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－4，x 2＝4； 令f ′(x )<0，得－4<x <4； 令f ′(x )>0，得x <－4或x >4.∴f (x )的单调递减区间为(－4,4)，单调递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)， ∴f (x )极大值＝f (－4)＝128，f (x )极小值＝f (4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，那么f (4)＝－128，f (1)＝－47，f (5)＝－115，∴函数的最大值为－47，最小值为－128.f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，那么a 的取值范围为________.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的最值 答案 (0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，显然a >0，f ′(x )＝3(x ＋a )(x －a )，由条件0<a <1，解得0<a <1.f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 答案 －37解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在x ∈[0,2]上单调递减，在[－2,0]上单调递增， ∴f (x )的最大值为f (0)＝m ＝3，f (x )的最小值为f (－2)＝－16－24＋3＝－37.f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，那么实数a 的取值范围为________.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的单调性 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 因为f (x )＝ax ＋1x ＋2，所以f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2. 由函数f (x )在(－2，＋∞)内单调递减， 知f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立， 即2a －1(x ＋2)2≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a ≤12. 当a ＝12时，f (x )＝12，此时函数f (x )为常函数，故a ＝12不符合题意，舍去.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12. a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，那么f (x )在[－1,0]上的最小值为________.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 答案 －32解析 因为函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，所以函数g (x )＝ax 3＋bx 在[0,1]上的最大值为2，而g (x )是奇函数，所以g (x )在[－1,0]上的最小值为－2，故f (x )在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝－32.a ∈R ，且函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，那么实数a 的取值范围为__________.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的极值与最值答案 (－∞，－1)解析 因为y ＝e x＋ax ，所以y ′＝e x＋a .令y ′＝0，即e x＋a ＝0，那么e x＝－a ，即x ＝ln(－a )， 又因为x ＞0，所以－a ＞1，即a ＜－1.导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.一、填空题y ＝e x －ln x 的值域为________.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的极值与最值 答案 [2，＋∞)解析 由y ′＝e －1x (x ＞0)知函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，且函数连续、无上界，从而y ＝e x －ln x 的值域为[2，＋∞). y ＝4xx 2＋1在定义域内的最大值、最小值分别是________. 考点 题点 答案 2，－2解析 函数的定义域为R .令y ′＝4(x 2＋1)－4x ·2x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝0，得xx 变化时，y ′，y 随x 的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)y ′ － 0 ＋ 0 － y↘极小值↗极大值↘当x 趋近于负无穷大时，y 趋近于0；当x 趋近于正无穷大时，y 趋近于0.由上表可知，当x ＝－1时，y 取极小值也是最小值－2；当x ＝1时，y 取极大值也是最大值2.f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R )是R 上的单调增函数，那么m 的值为________.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的单调性 答案 6解析 因为f (x )是R 上的单调增函数，故f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋(m －3)≥0在x ∈R 上恒成立，于是Δ＝4m 2－48(m －3)≤0，即(m －6)2≤0，得m ＝6.f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，那么f (x )的极大值为________.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的极值 答案 2ln2－2解析 f ′(x )＝2f ′(1)x－1，令x ＝1得，f ′(1)＝2f ′(1)－1，f ′(1)＝1，所以f (x )＝2ln x－x ，f ′(x )＝2x －1，f ′(x )＝2x－1的零点是x ＝2，所以当0<x <2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当x >2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，所以x ＝2是f (x )的极大值点，极大值为f (2)＝2ln2－2.f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，那么函数f (x )的极大值为________，极小值为________.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的极值 答案4270 解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2px －q ， ∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0.① 又f (1)＝1－p －q ＝0，② 由①②解得p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.当x <13时，f ′(x )>0；当13<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0，∴当x ＝13时，f (x )有极大值为427；当x ＝1时，f (x )有极小值为0.y ＝a (x 3－x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，那么实数a 的取值范围为________.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的单调性 答案 (0，＋∞)解析 y ′＝a (3x 2－1)，令y ′＝0，得x ＝±33.由函数y ＝a (x 3－x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，得导函数y ′＝a (3x 2－1)的图象是开口向上的抛物线，所以a >0.f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，那么实数a 的取值范围为________.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的单调性 答案 [5,7]解析 函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意.当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数.依题意有当x ∈(1,4)时，f ′(x )≤0， 当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0， 所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7， 所以a 的取值范围为[5,7].f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，假设m ，n ∈[－1,1]，那么f (m )＋f ′(n )的最小值是________.考点 导数的综合应用 题点 导数的综合应用 答案 －13解析 由题意求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1， ∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，那么f (x )的单调递减区间是________.考点 导数的综合应用 题点 导数的综合应用 答案 (－1,1)解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 那么f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：↗↘↗从而⎩⎨⎧(－a )3＋3a a ＋b ＝6，(a )3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，所以f (x )的单调递减区间为(－1,1).f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，假设对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，那么实数a 的取值范围为________. 考点 导数的综合应用 题点 导数的综合应用 答案 [4，＋∞)解析 ∵x ∈(0,1]，∴f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x3.令g (x )＝3x 2－1x 3，那么g ′(x )＝3(1－2x )x4， 令g ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0， ∴g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，也是最大值.∴a ≥4. 二、解答题f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴.(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的极值 解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0， 从而有a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， 那么f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去).当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数.故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数.(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)假设f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题点 利用导数研究函数的最值 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx，当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.(2)∵f ′(x )＝a ＋1x ，当x ∈(0，e]时，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞，①假设a ≥－1e ，那么f ′(x )≥0，f (x )在(0，e]上是增函数，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0不合题意； ②假设a <－1e ，那么由f ′(x )>0，即a ＋1x >0，得0<x <－1a，由f ′(x )<0，即a ＋1x <0，得－1a<x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e 上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，那么ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，∴－1a＝e －2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e，∴a ＝－e 2即为所求.f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3.(1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)假设a >14，且当x ∈[1,4a ]时，| f ′(x )|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围.考点 导数的综合应用 题点 导数的综合应用解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，且f ′(x )＝3x 2－6x －9， 由f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝3.当x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <3时，f ′(x )<0. 因此x ＝－1是函数的极大值点，极大值为f (－1)＝6； 当－1<x <3时，f ′(x )<0；当x >3时，f ′(x )>0. 因此x ＝3是函数的极小值点，极小值为f (3)＝－26.(2)f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2的图象是一条开口向上且对称轴为直线x ＝a 的抛物线， 因此，假设14<a ≤1，那么f ′(x )在[1,4a ]上单调递增，所以f ′(x )在[1,4a ]上的最小值为f ′(1)＝3－6a －9a 2，最大值为f ′(4a )＝15a 2. 由| f ′(x )|≤12a ，得－12a ≤3x 2－6ax －9a 2≤12a ， 于是3－6a －9a 2≥－12a ，且15a 2≤12a ，结合14<a ≤1，解得14<a ≤45.假设a >1，那么| f ′(a )|＝12a 2>12a ， 故当x ∈[1,4a ]时，| f ′(x )|≤12a 不恒成立.所以使| f ′(x )|≤12a (x ∈[1,4a ])恒成立的a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤14，45.三、探究与拓展f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，假设当0≤θ≤π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，那么实数m 的取值范围为________. 考点 导数的综合应用 题点 导数的综合应用 答案 (－∞，1)解析 因为f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ， 故f ′(x )＝3x 2＋1>0，那么f (x )在x ∈R 上为单调增函数，又因为f (－x )＝－f (x )，故f (x )也为奇函数， 由f (m sin θ)＋f (1－m )>0， 即f (m sin θ)>－f (1－m )＝f (m －1)， 得m sin θ>m －1，即m (sin θ－1)>－1， 因为0≤θ≤π2，故当θ＝π2时，0>－1恒成立；当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，m <11－sin θ恒成立，即m <⎝⎛⎭⎪⎫11－sin θmin＝1，故m <1. f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)假设函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有一个公共点，求实数a 的值；(3)假设函数y ＝f (x )＋g (x )有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，且x 2－x 1>ln 2，求实数a 的取值范围.考点 导数的综合应用 题点 导数的综合应用解 (1)令f ′(x )＝ln x ＋1＝0得x ＝1e，①当0<t <1e 时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t ＋2上单调递增，此时函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；②当t ≥1e 时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，此时函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f (t )＝t ln t .(2)由题意得，f (x )－g (x )＝x ln x ＋x 2－ax ＋2＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根， 即a ＝ln x ＋x ＋2x在(0，＋∞)上有且仅有一个根，令h (x )＝ln x ＋x ＋2x (x >0)，那么h ′(x )＝1x ＋1－2x 2＝x 2＋x －2x 2＝1x2(x ＋2)(x －1)(x >0)， 易知h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以a ＝h (x )min ＝h (1)＝3. (3)由题意得，y ＝f (x )＋g (x )＝x ln x －x 2＋ax －2，那么其导函数为y ′＝ln x －2x ＋1＋a ， 由题意知y ′＝ln x －2x ＋1＋a ＝0有两个不同的实根x 1，x 2， 等价于a ＝－ln x ＋2x －1有两个不同的实根x 1，x 2，且x 1<x 2，等价于直线y ＝a 与函数G (x )＝－ln x ＋2x －1(x >0)的图象有两个不同的交点. 由G ′(x )＝－1x ＋2(x >0)，得G (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，画出函数G (x )图象的大致形状(如图).由图象易知，当a >G (x )min ＝G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln2时，x 1，x 2存在，且x 2－x 1的值随着a 的增大而增大.而当x 2－x 1＝ln2时，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－2x 1＋1＋a ＝0，ln x 2－2x 2＋1＋a ＝0，两式相减可得ln x 2x 1＝2(x 2－x 1)＝2ln2，得x 2＝4x 1，代入上述方程组解得x 1＝ln23，x 2＝43ln2，此时实数a ＝23ln2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln23－1，所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23ln2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln23－1，＋∞.。

习题课 导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用． 知识点一 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )f ′(x )的正负 f (x )的单调性f ′(x )>0 单调递________ f ′(x )<0单调递________知识点二 求函数解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时，(1)如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． 知识点三 函数y ＝f (x )在[a ，b ]上最大值与最小值的求法 1．求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．2．将函数y ＝f (x )的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值． 类型一 数形结合思想的应用例 1 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是________．反思与感悟 解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．跟踪训练1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是________． 类型二 构造函数求解 命题角度1 比较函数值的大小例2 已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f xx<0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系是________．反思与感悟 本例中根据条件构造函数g (x )＝xf (x )，通过g ′(x )确定g (x )的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．跟踪训练2 设a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是________．命题角度2 求解不等式例3 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )<f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )>2e x的解集为________．反思与感悟 根据所求结论与已知条件，构造函数g (x )＝f xex，通过导函数判断g (x )的单调性，利用单调性得到x 的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )为其导函数．当x >0时，f (x )＋x ·f ′(x )>0，且f (1)＝0，则不等式x ·f (x )>0的解集为________．命题角度3 利用导数证明不等式 例4 已知x >1，证明不等式x －1>ln x .反思与感悟 利用函数的最值证明不等式的基本步骤 (1)将不等式构造成f (x )>0(或<0)的形式；(2)利用导数将函数y ＝f (x )在所给区间上的最小值(或最大值)求出；(3)证明函数y ＝f (x )的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立． 跟踪训练4 证明：当x >0时，2＋2x <2e x. 类型三 利用导数研究函数的极值与最值例5 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．反思与感悟 (1)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点． (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练5 已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋48(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称． (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间及极值； (3)当x ∈[1,5]时，求函数的最值．1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________．(填序号)2．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为________． 3．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________． 4．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，下列式子判断正确的是________． ①f (x )g (x )>f (b )g (b )；②f (x )g (a )>f (a )g (x )； ③f (x )g (b )>f (b )g (x )；④f (x )g (x )>f (a )g (a )． 5．已知x >0，求证：x >sin x .导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．提醒：完成作业 第3章 习课题答案精析知识梳理 知识点一 增 减 知识点二(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 知识点三2．极值 f (a )，f (b ) 最大 最小 题型探究例1 ④ 跟踪训练1 ① 例2 b <c <a 跟踪训练2 a >b >c 例3 (0，＋∞) 跟踪训练3 (1，＋∞)例4 证明 设f (x )＝x －1－ln x ，x ∈(1，＋∞)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，因为x ∈(1，＋∞)， 所以f ′(x )＝x －1x>0， 即函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 又x >1，所以f (x )>f (1)＝1－1－ln 1＝0， 即x －1－ln x >0，所以x －1>ln x . 跟踪训练4 证明 设f (x )＝2＋2x －2e x， 则f ′(x )＝2－2e x ＝2(1－e x)． 当x >0时，e x >e 0＝1， ∴f ′(x )＝2(1－e x)<0.∴函数f (x )＝2＋2x －2e x在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，x ∈(0，＋∞)． 即当x >0时，2＋2x －2e x<0， ∴2＋2x <2e x.例5 解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2， 得f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上，f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，t ) tf ′(x ) 0 － 0 ＋ ＋f (x )2↘－2↗t 3－3t 2＋2f (x )min ＝f (2)f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个．因为f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0， 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， 则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．当x ∈[1,2)时，g ′(x )<0；当x ∈(2,3]时，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0，g 2<0，g 3≥0，解得－2<c ≤0.即实数c 的取值范围为(－2,0]．跟踪训练5 解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称， 则f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3＋(a －1)x 2－48(a －2)x ＋b ＝－ax 3－(a －1)x 2－48(a －2)x －b ， 于是2(a －1)x 2＋2b ＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，b ＝0，解得a ＝1，b ＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－48x ，∴f ′(x )＝3x 2－48＝3(x ＋4)(x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－4，x 2＝4； 令f ′(x )<0，得－4<x <4；令f′(x)>0，得x<－4或x>4.∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，f(x)极小值＝f(4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，则f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，∴函数的最大值为－47，最小值为－128.当堂训练1．③ 2.－37 3.(－∞，12) 4.③5．证明设f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是单调增函数，又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴x>sin x(x>0)．。

第三章 导数及其应用备课人 周志英3.1 导数的概念教学目的1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。

教学重点和难点导数的概念是本节的重点和难点 教学过程一、前置检测(导数定义的引入)1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。

先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉表格1 格 20<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=∆+-∆+-=t tt t t t h h v ()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=-∆+-∆+=t tt t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051； 当=∆t 0.01时，-=v 13.149； 当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51；当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49；当-=∆t 0.000 01时，-=v 1 3.099 951；当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1；当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9；。