2016-2017学年河北省保定市定州中学高二上学期期中数学试卷与解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若直线m l ,与平面α、β、γ满足,l l βγ=I ∥α，,m m αγ⊂⊥，则有（ ） A ．m ∥β且l m ⊥ B ．α⊥γ且l m ⊥ C ．α⊥β且m ∥γ D ．α∥β且α⊥γ 【答案】B 【解析】试题分析：,m m αγ⊂⊥Q ,αγ∴⊥.,m l γλ⊥⊂Q ,m l ∴⊥.故B 正确. 考点：线线垂直,线面垂直.2．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝a ．点E 为侧棱PC的中点，又作DF ⊥PB 交PB 于点F ．则PB 与平面EFD 所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】D 【解析】考点：直线与平面所成的角．3．在长方体1111CD C D AB -A B 中，AB ＝BC ＝2，11AA =，则1C B 与平面11D D BB 所成角的正弦 值为（ ）A ．B ．C ．D ．5【答案】D 【解析】试题分析：连11A C 与11B D 交与O 点，再连BO ，∵AB BC =，∴1111D B A C ⊥，且11DD B B ⊥平，平面1111A B C D ，所以1C O ⊥平面11DD B B ，则1OBC ∠为1BC 与平面11BB D D 所成的角，所以11111cos ,OC OBC OC BC BC ∠===1cos OBC ∠=D ．考点：直线与平面所成的角的求解．4．在正三棱柱111C C AB -A B 中，若2AB =，11AA =，则点A 到平面1C A B 的距离为（ ）A ．4B ．2 C ．4D 【答案】B 【解析】考点：点到直线的距离．5．如图所示，正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，M 、N 分别为1A B 和AC 上的点，13a A M =AN =，则MN 与平面11C C BB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定 【答案】B 【解析】 试题分析：因为12233MN MB BC CN A B BC CA =++=++()()1112233A B B B BC CD DA =++++ 12233BB BC DA =++，又CD 是平面11BB C C 的一个法向量，且122033MN CD B B BC DA CD ⋅=++⋅=,∴MN CD ⊥，∴//MN 平面11BB C C ，选B ．考点：直线与平面平行的判定．6．已知m n 、是两条不重合的直线，αβγ、、是三个不重合的平面，则//αβ的一个充分条件是 （ ）A ．//,//m m αβB ．,αγβγ⊥⊥C ．,,//m n m n αβ⊂⊂D ．m n 、是异面直线，,//,,//m m n n αββα⊂⊂ 【答案】D 【解析】考点：充要条件；平面与平面平行的判定. 7．下列命题中，错误．．的是（ ） （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行 （B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α （D ）垂直于同一个平面的两条直线平行 【答案】B 【解析】试题分析：按顺序考察，对A ，我们知道，我平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行，而那个平面内的所有直线与与这个平面平行，故A 正确；对B ，如圆锥的所有母线与底面所成的角都相等，但它们不平行，B 错误， C 、D 是线面垂直的判定与性质定理，故选B ． 考点：线面平行与垂直的判定与性质．8．在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ．则这个球的表面积为（ ）A ．22a π B ．23a π C ．24a π D ．25a π 【答案】B 【解析】22222()R r d r R PO '=+=+-，可求得R =，∴2244S R a ππ==，选B ．考点：球的表面及球的性质．9．设l 是直线，α，β是两个不同的平面（ ） A ．若l//α，l//β，则α//β B ．若l//α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β D ．若α⊥β，l//α，则l ⊥β 【答案】B 【解析】考点：空间线面平行垂直的判定与性质．【方法点晴】本题主要考查了空间线面位置关系的判定与证明，其中熟记空间线面位置中平行与垂直的判定定理与性质定理是解得此类问题的关键，着重考查了学生的空间想象能和推理能力，属于基础题，本题的解答中，可利用线面位置关系的判定定理和性质定理判定，也可利用举出反例的方式，判定命题的真假．10．在正三棱锥P ­ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，下列结论：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中错误的结论个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：如图，设P 在面ABC 内射影为O ，则O 为正三角形ABC 的中心．①可证AC ⊥平面PBO ，所以AC PB ⊥；②//AC DE ，可得//AC 平面PDE ；③AB 与DE 不垂直，故选B ．考点：线面位置关系的判定．11．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//CD AB ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】A 【解析】考点：空间几何体的结构特征．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的结构特征，考查了正方体和三棱锥的结构特征和相应的线面位置关系，着重考查了学生的空间想象能力和推理能力，属于中档试题，本题的解答中由于CE 与正方体底面各线都相交，所以CE 与正方体各侧面相交，即4m =，由于上下底面，正面与后面都与两侧面相交，所以EF 与它们相交，即4n =是解答的关键． 12．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：构造一个正方体，将各选项中的条件对应于正方体中的线和面，不难知道，A ，B ，C 是典型错误命题，选D ．【方法点晴】本题主要考查了空间线面位置关系的判定与证明，其中熟记空间线面位置中平行与垂直的判定定理与性质定理是解得此类问题的关键，着重考查了学生的空间想象能和推理能力，属于基础题，本题的解答中，可利用线面位置关系的判定定理和性质定理判定，也可利用举出反例的方式，判定命题的真假．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．沿对角线AC 将正方形A B C D 折成直二面角后，A B 与C D 所在的直线所成的角等于 ． 【答案】060 【解析】所以θ=060.考点：直二面角的定义，异面直线所成角的求法.14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B与AC 所成角的余弦值是____________．【解析】试题分析：由于AC ∥11A C ，所以11BA C ∠（或其补角）就是所求异面直线所成的角，在11BA C ∆中，1A B =111AC =，1BC =，11cos BAC ∠==． 考点：异面直线所成的角．15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B与AC 所成角的余弦值是____________．【答案】6【解析】考点：异面直线所成的角．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的结构特征、空间中异面直线所成角的求解，其中涉及到余弦定理和解三角形的相关知识，着重考查了学生的推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题，解答中根据AC ∥11A C ，所以11BA C ∠（或其补角）就是所求异面直线所成的角是解答的关键．16．设m,n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： （1）若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n（2）若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ （3）若m ∥α，n ∥α，则m ∥n （4）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中真命题的序号是 ． 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析： 因为m α⊥，所以m 垂直于α任意直线.l 因为//n a ，所以可得n 平行于α内某条直线.n '所以,.m n m n '⊥⊥（1）正确；因为m α⊥，所以m 垂直于α任意直线.l 过l 作平面分别交平面,βγ于直线12,.l l 因为//,//αββγ，所以12////.l l l 因此2.m l ⊥由于l 的任意性，所以.m γ⊥（2）正确；两条直线平行于同一平面，它们的位置关系不定，所以（3）不正确；两相交平面可同时垂直于同一平面，所以（4）不正确. 考点：线面平行与垂直关系判定．【方法点晴】本题主要考查了空间线面位置关系的判定与证明，其中熟记空间线面位置中平行与垂直的判定定理与性质定理是解得此类问题的关键，着重考查了学生的空间想象能和推理能力，属于基础题，本题的解答中，可利用线面位置关系的判定定理和性质定理判定，也可利用举出反例的方式，判定命题的真假．三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．如图，四棱锥BCDE A -中，ABC ∆是正三角形，四边形BCDE 是矩形，且平面⊥ABC 平面BCDE ，2=AB ，4=AD ．（1）若点G 是AE 的中点，求证：//AC 平面BDG ； （2）若F 是线段AB 的中点，求三棱锥EFC B -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1． 【解析】（2）∵平面⊥ABC 平面BCDE ，BC DC ⊥ ∴⊥DC 平面ABC ，∴AC DC ⊥,∴3222=-=AC AD DC 8分又∵F 是AB 的中点，ABC ∆是正三角形， ∴AB CF ⊥，∴2321=⋅=∆CF BF S BCF ， 10分 又平面⊥ABC 平面BCDE ，BC EB ⊥， ∴⊥EB 平面BCF ，∴131=⋅==∆--EB S V V BCF BCF E EFC B -12分 考点：线面平行；面面垂直；棱锥的体积.18．如图所示，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱⊥PA 底面ABCD ，且2=PA ，Q 是PA 的中点． （1）证明：//PC 平面BDQ ； （2）求三棱锥BAD Q -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】试题解析：（1）证明：连结AC ,交BD 于O因为底面ABCD 为正方形, 所以O 为AC 的中点.又因为Q 是PA 的中点, 所以PC OQ //因为⊂OQ 平面BDQ ,⊄PC 平面BDQ , 所以//PC 平面BDQ 6分 （2）因为侧棱⊥PA 底面ABCD ，所以三棱锥Q BAD -的高为112122QA PA ==⨯=，而底面积为12222BAD S ∆=⨯⨯=，所以32123131=⨯⨯=⨯⨯=∆-QA S V BAD BAD Q 13分. 考点：空间中的平行关系；空间几何体的体积.19．如图，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 为矩形，AC BC =．O 为AB 的中点，OF EC ⊥．（1）求证：OE FC ⊥；（2）若2AC AB =时，求二面角F CE B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）13-． 【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、又因平面ABC ⊥平面ABEF ，故OC ⊥平面ABEF ， 2分于是OC OF ⊥．又OF EC ⊥，所以OF ⊥平面OEC ，所以OF OE ⊥， 4分 又因OC OE ⊥，故OE ⊥平面OFC ，所以OE FC ⊥． 6分（2）由（1），得2AB AF =，不妨设1AF =，2AB =，取EF 的中点D ，以O 为原点，OC ，OB ，OD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设OC k =，则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),(F E B C k -，在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),F E B C -从而(2,1,1),(0,2,0),C E E F =-=-设平面FCE 的法向量(,,)n x y z =，由0CE n EF n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得(1,0,2)n =， 9分 同理可求得平面CEB 的法向量(1,2,0)m =，设,n m 的夹角为θ，则1cos 3n mn m ==θ，由于二面角F CE B --为钝二面角，则余弦值为13- 13分 考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法． 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面A B C ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；（3）求二面角A PD C --的正弦值的大小．ABD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4． 【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，往往通过线面垂直转化求证．在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故P A C D ⊥ AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC 而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴；（2）证明线面垂直，通常利用线面垂直判定定理进行论证．由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA = E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴由（1）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD 而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴ PA ⊥∵底面ABCDPD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴又ABAE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ；（3）求二面角，首先AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴（2）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴由（1）知，AE CD ⊥，且PCCD C =，所以AE ⊥平面PCD而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴又ABAE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE（3）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM 则（2）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角 由已知，得30CAD ∠=° 设AC a =，可得PA a AD PD AE ====，，，在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AMPD PA AD =∴··，则7a PA ADAM a PD===·· 在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==AD解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD 过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥ 因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得13326PA a AD PD CF a FD =====，，，，FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD =∴于是，3aFD PA FM a PD ===··在CMF Rt △中，1tan aCF CMF FM ===ABD考点：线面垂直判定与性质定理，二面角的平面角．21．如图，在三棱锥ABC S -中，⊥SA 底面ABC ， 90=∠ABC ，且AB SA =，点M 是SB 的中点，SC AN ⊥且交SC 于点N . （1）求证：⊥SC 平面AMN ；（2）当1AB BC ==时，求三棱锥SAN M -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）136. 【解析】试题解析：（1）证明：SA ⊥底面ABC ，BC SA ∴⊥，又易知BC AB ⊥，BC ∴⊥平面SAB ，BC AM ∴⊥，又SA AB =，M 是SB 的中点，AM SB ∴⊥，AM ∴⊥平面SBC ，AM SC ∴⊥，又已知SC AN ⊥，⊥∴SC 平面AMN ；（2）SC ⊥平面AMN ，SN ∴⊥平面AMN ，而1SA AB BC===，AC ∴=SC =考点：直线与平面垂直；等体积法求三棱锥的体积．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明、等体积法求解三棱锥的体积，重点考查了直线与平面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式的应用，着重考查了学生的转化与化归思想和学生的推理与运算能力，其中熟记直线与平面垂直的判定定理和性质定理，以及等体积的转换思想是解答本题的关键．22．如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点．（1）求证：//BE 平面ACF ； （2）求四棱锥ABCD E -的体积．ACBEF【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】试题分析：（1）注意做辅助线，连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，根据O 为BD 中点，F为DE 中点，得到BE OF //， 即证得//BE 平面ACF ；（2）分析几何体的特征，注意发现“底面”、高是否已存在？如果没现成的要注意“一作，二证，三计算”．试题解析：（1）连结BD 和AC 交于O ，连结OF ， 1分ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，BE OF //∴， 4分BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面ACF ． 5分（2）作EG AD ⊥于GOACBE F G考点：直线与平面、平面与平面垂直，几何体体积计算．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定与证明，几何体体积计算，其中解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到线线、线面的垂直关系，属于中档试题，平时注意总结和积累．23．如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点．（1）求证：//BE 平面ACF ；（2）求二面角C BF E --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题解析：证明：（1）连结BD 和AC 交于O ，连结OF ， 1分ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，BE OF //∴， 3分BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACFACBEF//BE ∴平面ACF ． 4分（2）⊥AE 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴， ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥，,,AE AD A AD AE =⊂平面DAE ，⊥∴CD 平面DAE ，DE ⊂平面DAE ，CD DE ∴⊥ 6分 ∴以D 为原点，以DE 为x 轴建立如图所示的坐标系，则(2,0,0)E ，(1,0,0)F ，(2,0,2)A ，)0,0,0(D1(0,1,n ∴= 8分设平面BCF 的法向量为2222(,,)n x y z =，(2,0,2)BC =--，(1,CF =-由222222220000x z n BC x n CF ⎧--=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，令21y =，则2x =，2z =-2(22,1,n ∴=- 10分 设二面角C BF E --的平面角的大小为θ，则 12121212cos cos(,)cos ,||||n n n n n n n n θπ⋅=-<>=-<>=-⋅51==- ∴二面角C BF E --的平面角的余弦值为 12分考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义及计算，空间向量的应用.24．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ． 4分 因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面CDEF EF =，所以AB ∥EF ． 7分（2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BC ． 9分 因为BC ⊥CD ，CD DE D =，,CD DE ⊂平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ． 12分 因为BC ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ． 14分考点：线面平行与垂直关系．。

高二理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设a ，b 是正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件2.下列说法中正确的是（ ）A ．“1a =”是直线“1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的充要条件B ．命题“x R ∃∈，20x x ->”的否定“x R ∀∈，20x x ->”C ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实数根，则0m ≤”D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题3.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（ ）A B C D4.在平面区域02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机取一点，在所取的点恰好满足x y +≤ ）A ．116B ．18C ．14D ．125.从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…,n x ，1y ，2y ，…，n y 构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn6.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：若y 关于t 的线性回归方程为 0.5y t a =+，则据此该地区2017年农村居民家庭人均纯收入约为（ ） A ．6.3千元B ．7.5千元C ．6.7千元D ．7.8千元7.某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查队食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（ ） A ．110B ．1300C ．12500D ．130008.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线于CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为（ ）A ．224412125x y -=B ．224412125x y +=C ．224412521x y -=D ．2244+12521x y =9.若曲线3y x =的切线方程为2y kx =+，则k =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．310.某校3名教师和3名学生共6人去北京参加学习方法研讨会，须乘坐两辆车，每车坐人，则恰有两名教师在同一车上的概率（ ） A ．19B ．23C ．920D ．2511.过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：22(+4)+4x y =和圆2C ：22(4)1x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ． 16D ．1912.已知A ，B 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，不同两点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当13a b mn-取最大值时，椭圆C 的离心率为（ ） ABC ．12D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1-50号，并分组，第一组1-5号，第二组6-10号，…，第十组46-50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为 的学生． 14.若动圆M 与圆1C ：22(4)2x y ++=外切，且与圆2C ：22(4)2x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程 ．15.如图所示，在长方体1111OABC O A B C -中，||2OA =，||3AB =，1||3AA =，M 是1CB 与1BO 的交点，则M 点的坐标是 ．16.设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=，当APC ∠为钝角时，λ的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.为贯彻落实教育部等6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》，全面提高我市中学生的体质健康水平，普及足球知识和技能，市教体局决定矩形春季校园足球联赛，为迎接此次联赛，甲同学选拔了20名学生组成集训队，现统计了这20名学生的身高，记录如下表：（1）请计算着20名学生的身高中位数、众数，并补充完成下面的茎叶图：（2）身高为185cm 和188cm 的四名学生分别为A ，B ，C ，D ，先从这四名学生中选2名担任正副门将，请利用列举法列出所有可能情况，并求学生A 入选正门将的概率． 18.设命题p ：函数2()lg()16af x ax x =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切x R ∈均成立．（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围． 19.在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆'O 的直径，FB 是圆台的一条母线．（1）已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：//GH 平面ABC ；（2）已知12EF FB AC ===AB BC =，求二面角F BC A --的余弦值．20.已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程．21.如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且FD =．（1）若60BCD ∠=︒，求证：BC ⊥EF ；（2）若60CBA ∠=︒，求直线AF 与平面FBE 所成角的正弦值．22.已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．（1）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（2）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．定州市2016-2017学年度第一学期期中考试高二理科数学试题答案一、选择题二、填空题13.37 14.221(214x y x -=≥ 15.33(1,,)22 16.1(,1)3三、解答题17.解：（1）中位数为177cm ，众数为178cm ，茎叶图如下：（2）正副门将的所有可能情况为：(,)A B ，(,)B A ，(,)A C ，(,)C A ，(),A D ，(),D A ，(),B C ，(),C B ，(),B D ，(),D B ，(,)C D ，(),D C 共12种，其中学生A 入选正门将有(,)A B ，(,)A C ，(),A D 共3种，故学生A 入选正门将的概率为31124=． 18.解：（1）命题p 是真命题，则有0a >，0∆<，a 的取值范围为2a >．①p 真q 假，2a >，且14a ≤，则得a 不存在； ②若p 假q 真，则得124a <≤． 综上，实数a 的取值范围124a <≤．19.（1）证明：设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ， 在△CEF ，因为G 是CE 的中点，所以//GI EF ， 又//EF OB ，所以//GI OB ．在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以//HI BC ， 又HI GI I = ，所以平面//GHI 平面ABC ， 因为GH ⊂平面GHI ，所以//GH 平面ABC ． （2）连接'OO ，则'OO ⊥平面ABC ，又AB BC =，且AC 是圆O 的直径，所以BO AC ⊥， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得(0,B，(C -，过点F 作FM 垂直OB 于点M ，所以3FM ==，可得F ．故(BC =--，(0,BF =． 设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量，由0,0,m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得0,30,z ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩可得平面BCF的一个法向量(m =- ， 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =，所以cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅所以二面角F BC A --．20.解：（1）设右焦点(,0)F c ，由条件知，2c =c =又c a =2a =，2221b a c =-=，故椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）当l ⊥x 轴时不合题意，故设直线l ：2y kx =-，11(,)P x y ，22(,)Q x y ．将2y kx =-代入2214x y +=，得22(14)16120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1,2x =从而12|||PQ x x =-=， 又点O 到直线PQ 的距离d =，所以OPQ ∆的面积1||2OPQS d PQ ∆=⋅=t =，则0t >， 24444OPQ t S t t t∆==++，因为44t t+≥，当且仅当2t =时，k =0∆>．所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为2y x =-或2y x =-．21.（1）证明：如图，过点E 作EH ⊥BC 于H ，连接HD，∴EH =． ∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ，平面ABCD 平面BCE BC =， ∴EH ⊥平面ABCD ． 又∵FD ⊥平面ABCD，FD =，∴//FD EH ，且FD EH =．∴四边形EHDF 为平行四边形， ∴//EF HD ，在等边三角形BCD 中，BC ⊥DH ，则BC EF ⊥．（2）连接HA ，由（1），得H 为BC 中点，又60CBA ∠=︒，△ABC 为等边三角形， ∴HA ⊥BC ，分别以HB ，HA ，HE 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则(1,0,0)B，(F -，E，A ，(BF =-，(BA =-，(BE =-，设平面EBF 的法向量为1111(,,)n x y z =，由110,0,n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111130,0,x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令11z =，得12,1)n =，1||||cos AF n AF n θ⋅=⋅，cos θ=直线AF 与平面EBF.22.解：（1）焦点(1,0)F ，∵直线l 的斜率不为0，所以设l ：1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=， ∴124y y m +=，124y y =-，21212()242x x m y y m +=++=+，2221212(4)14416y y x x -=⋅==， ∴212||2445AB x x m =++=+=，∴214m =， ∴直线l 的斜率24k =， ∵0k >，∴2k =，∴直线l 的方程为220x y --=．（2）设2(,2)M a a ，1122211122424MA y a y a k y x a y a a =--===-+-， 同理242MB k y a=+，2221MDa m k a +=+， ∵直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列， ∴2MD MA MB k k k =+恒成立，即2124444122a m a y a y a +=++++恒成立． 212111122a m a y a y a +=++++，即122212121412()4a y y a m a y y a y y a +++=++++，把124y y m +=，124y y =-代入上式，得21(1)()0a m m-+=恒成立，∴1a =±． ∴存在点(1,2)M 或(1,2)M -，使得对任意直线l ，直线MA ，MD ，MB 的斜率始终成等差数列．。

2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）期中数学试卷一、选择题1．用秦九昭算法计算多项式f（x）=2x6+5x5+6x4+23x3﹣8x2+10x﹣3，x=﹣4时，V3的值为（）A．﹣742 B．﹣49 C．18 D．1882．为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是（）A．50 B．47 C．48 D．523．在区间内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．4．以下四个命题中：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40．②线性回归直线方程=x+恒过样本中心（，），且至少过一个样本点；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）A．B．C．D．6．在区间（0，4）上任取一数x，则2＜2x﹣1＜4的概率是（）A．B．C．D．7．为了解某地参加2015年夏令营的400名学生的身体健康情况，将学生编号为001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且抽取到的最小号码为005，已知这400名学生分住在三个营区，从001至155在第一营区，从156到255在第二营区，从256到400在第三营区，则第一，第二，第三营区被抽中的人数分别为（）A．15，10，15 B．16，10，14 C．15，11，14 D．16，9，158．已知数列{a n}的各项均为正数，如图给出程序框图，当k=5时，输出的，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2n B．a n=2n﹣1 C．a n=2n+1 D．a n=2n﹣39．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则可输入的实数x值的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在50，60）元的学生有30人，则n的值为（）A．100 B．1000 C．90 D．90011．执行如图的程序框图，如果输出结果为2，则输入的x=（）A．0 B．2 C．4 D．0或412．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示，设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．x甲＜x乙，m甲＞m乙 B．x甲＜x乙，m甲＜m乙C．x甲＞x乙，m甲＞m乙 D．x甲＞x乙，m甲＜m乙二、填空题13．某校对全校900名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为100的样本．已知女生抽了25人，则该校的男生数应是人．14．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差s2=．15．阅读下面程序．若a=4，则输出的结果是．16．如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨．月份x1234用水量y 4.543 2.5三、解答题（共4小题，满分48分）17．（12分）某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为50，60），…，），（1）求成绩在40，50）和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．18．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组100，110），…，后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为120，130）内的概率．19．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照60，70），80，90），的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在90，100160，180），200，220），240，260），280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，240，260），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在﹣π，π20，60）元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在50，60）元的频率，计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7，∴支出在40，50），90，10070，80）的频率，并补全此频率分布直方图；（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在90，10040，50）与的人数分别是3和3，所以从成绩是90，10040，5090，10040，50）与的人数分别是3和3，所以从成绩是90，10040，5090，10090，100），140，150120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段120，130）内的频率；（2）由频率分布直方图计算出平均分；（3）计算出120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本，求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段120，130）内的频率为1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；（2）估计平均分为=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121；（3）依题意，120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；∵用分层抽样的方法在分数段为110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在120，130）内”为事件A，则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；∴P（A）==．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用以及分层抽样和古典概型的计算问题，解题时应用列举法求出基本事件的个数，从而求出概率问题，是综合题．19．（12分）（2014•德州一模）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照60，70），80，90），的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在90，10080，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在80，90）有5人，分别记为a，b，c，d，e，分数在160，180），200，220），240，260），280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，240，260），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为220，240）的用户中应抽取25×=5户．【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．。

河北定州中学2016-2017学年第一学期高二第二次月考数学试卷一、选择题1．某一考点有64个试室，试室编号为064~001，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取8个试室进行监控抽查，已抽看了005试室号，则下列可能被抽到的试室号是 A ．051 B ．052 C ．053 D ．055 2．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为O 的等差数列{}，若a 3 =8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ） A ．13，12 B ．13，13 C ．12，13 D ．13，143．某企业有职工150人，其中高级职工15人，中级职工45人，一般职工90人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为（ ） A ．5，10，15 B ．3，9，18 C ．3，10，17 D ．5，9，164．如图是2015年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）A ．85，84B ．84，85C ．86，84D ．84，865．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2,…… , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 A ．11 B ．1 C ．12 D ．146．甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数的方差分别为：4.22=甲s ，2.32=乙s ，则射击稳定程度是A ．甲高B ．乙高C ．两人一样高D ．不能确定 7．下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某校高三一级部和二级部的人数分别是m 、n ，本次期末考试两级部数学平均分分别是a 、b ，则这两个级部的数学平均分为na mb m n+③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497--512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组00l ～016中随机抽到的学生编号是007． 其中命题正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是（ ）．（下表是随机数表第7行至第9行）A ．105B ．507C ．071D ．7179．已知随机变量,x y 的值如下表所示，如果x 与y 线性相关，且回归直线方程为29ˆ+=bx y，则实数b 的值为（ ）A ．12-B C D 10．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11．3，2），（11．8，3），（12．5，4），（13，5），变量U 与V 相对应的一组数据为 （10，5），（11．3，4），（11．8，3），（12．5，2），（13，1）．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（ ） A ．r 2＜r 1＜0 B ．0＜r 2＜r 1 C ．r 2＜0＜r 1 D ．r 2=r 111．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为 （ ）A ．2,4,6, 8B ．2,6,10,14C ．5,8,11,14D ．5,10,15,2012．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生（ ） A ．20人，30人，10人 B ．30人，30人，30人C ．30人，45人，15人D ．30人，50人，10人二、填空题13．一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有_______人．14．某企业有员工750人，其中男员工有300人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则女员工应抽取的人数是____________．15．已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人，用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为 .16．某企业有员工750人，其中男员工有300人,为做某项调査，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则女员工应抽取的人数是 ． 三、解答题17．在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图．（1）从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定； （2）用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好．18．某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查．调查结果如下表：（1）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；（2）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率； （3）试比较该班男生阅读名著本数的方差21s 与女生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论）． 19．从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n 件，测得其产品尺寸后，画出其频率分布直方图如图，已知尺寸在[15,45)内的频数为92.（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求尺寸在[20,25]内产品的个数；（Ⅲ）估计尺寸大于25的频率.20．为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（成绩均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；参考答案CBBAC ACBDC 11．D 12．C 13．6 14．27 15．15 16．2717．（1）甲发挥得更稳定（2）甲发挥得更好（1）茎叶图的直观形状像横放的频率分布直方图，且保留了所有原始数据的信息，所以从数与形的特征来看，甲和乙的得分都是对称的，叶的分布是“单峰”的，但甲全部的叶都集中在茎2上，而乙只有57的叶集中在茎2上，这说明甲发挥得更稳定． （2）x 甲＝202125262728287++++++＝25，x 乙＝172324252629317++++++＝25，2s 甲＝17[（20－25）2＋（21－25）2＋（25－25）2＋（26－25）2＋（27－25）2＋（28－25）2＋（28－25）2]≈9．14，]2s 乙＝17[（17－25）2＋（23－25）2＋（24－25）2＋（25－25）2＋（26－25）2＋（29－25）2＋（31－25）2]≈17．43．因为x 甲＝x 乙，2s 甲<2s 乙，所以甲发挥得更好．18．（1）3；（2（3）2212s s >． （1）女生阅读名著的平均本数3105241332311=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 本．（2）设事件=A {从阅读5本名著的学生中任选2人，其中男生和女生各1人}． 男生阅读5本名著的3人分别记为321,,a a a ，女生阅读5本名著的2人分别记为21,b b ，从阅读5本名著的学生中任选2人，共有10个结果，分别是{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}23132212211121323121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a b b a a a a a a ，其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：{}{}{}{}{}{}231322122111,,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a ，则53106)(==A P ．（3）21s >22s ．19．解：（Ⅰ）∵尺寸在[15,45)内的频数为92，∴由频率分布直方图，得(10.0165)92n -⨯=，解得100n =.（Ⅱ）由频率分布直方图，得尺寸在[20,25]内产品的频率为0.04×5=0.2， ∴尺寸在[20,25]内产品的个数为0.2×100=20.（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计尺寸大于25的频率为：1(0.0160.0200.040)510.07650.62p =-++⨯=-⨯=.20．（1）0．3；（2）及格率75%，平均分71． （1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：．直方图如图所示．{2}依题意，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为，抽样学生成绩的合格率是75%．利用组中值估算抽样学生的平均分则估计这次考试的平均分是71分。

2016-2017学年上学期河北省定州中学高二年级第一次月考 测试卷文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知程序框图如右，则输出的i 为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．下面是判断框的是（ ） A B C D 3．为了解“深圳大运会开幕式”电视直播节目的收视情况，某机构在深圳市随机抽查了10000人，把抽查结果输入如图所示的程序框图中，其输出的数值是3800，则该节目收视率为（ ） A ．3800B ．6200C ．0.62D ．0.384．给出右边的程序框图，程序输出的结果是（ ） A ．55B ．56C ．72D ．465．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）第3题图A ．11B ．31C ．27D ．157．下面关于算法的说法正确的是（ ） A ．秦九韶算法是求两个数的最大公约数的方法 B ．更相减损术是求多项式的值的方法C ．割圆术是采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率πD ．以上结论皆错8．某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每 人每天做作业的时间为x 分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理（如图），若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是（ ）A ．680B ．320C ．0.68D ．0.329．设217.0=a ，218.0=b ，c 7.0log 3=，则（ ）A ．a b c<<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<10．如图，已知k 为如图所示的程序框图输出的结果，二项式1k nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是（ ）A ．0B C 1+ D 1+12．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 值是8，则S 0值为下列各值中的（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．在如图所示的算法中，输出的i 的值是 ．14．将八进制53转化为二进制的数结果是： ．15．为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是 。

河北定州中学2016-2017学年第一学期高二承智班数学周练试题（五）一、选择题1．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市（）A. 70家B.50家C.20家D.10家2．某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4∶6.根据分层抽样方法，调查了该地区1000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的户数约为( )城市/户农村/户有冰箱356 440无冰箱44 160A.1.6万户B.4.4万户C.1.76万户D.0.24万户3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生（）A．1030人 B．97人 C．950人 D．970人4．2013年湖北省宜昌市为了创建国家级文明卫生城市，采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为001,002，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．20 B．19 C．10 D．95．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为( )A．50 B．60C．70 D．806．某学校为调查高三年级的240名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取24名同学进行调查；第二种由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240，抽取学号最后一位为3的同学进行调查，则这两种抽样方法依次为 ( ) A ．分层抽样，简单随机抽样 B ．简单随机抽样，分层抽样 C ．分层抽样，系统抽样 D ．简单随机抽样，系统抽样7．某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1:2:4，现要用分层抽样的方法从中抽取140件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为（ ） A ．20 B ．40 C ．60 D ．808．2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度，安庆市拟采用分层抽样的方法从C B A ,,三所不同的中学抽取60名教师进行调查.已知C B A ,,学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为（ ）. A ．10 B ．12 C ．18 D ．249．某单位有老年人28 人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况的某项指标,需从他们中间抽取一个容量为36样本,则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是( ) A.6，12，18 B.7，11，19 C.6，13，17 D.7，12，1710．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从这两个班随机选出16人参加军训表演，则一班和二班分别选出的人数是（ ） A ．8人，8人 B ．15人，1人 C ．9人，7人 D ．12人，4人11．月底，某商场想通过抽取发票的10%来估计该月的销售额，先将该月的全部销售发票存根进行了编号：1,2,3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本.若从编号为1,2，…， 10的前10张发票存根中随机抽取一张，然后再按系统抽样的方法依编号逐次产生第二张、第三张、第四张、…，则抽样中产生的第二张已编号的发票存根，其编号不可能是（ ） A ．19 B ．17 C ．23 D ．1312．检测机构对某地区农场选送的有机蔬菜进行农药残留量安全检测， 黄瓜、花菜、小白菜、芹菜，分别有40家、10家、30家、20家，现从中抽取一个容量为20的样本进行农药残留量安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的花菜与芹菜共有几家 ( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7二、填空题13．从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为 ．14．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ．15．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽取__________人． 16．从编号为0，1，2， ，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 ． 三、解答题17．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．”某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 的值，并说明S 的统计意义；（图乙中数据i m 与i f 分别表示图甲中各组的组中值及频率）mg ml的范围，（2）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～90/100但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70～mg ml范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，设ξ为吴、李两位先生被抽中的人数，90/100求ξ的分布列，并求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率；18．某校高三年级一次数学考试后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取n名学生的数学成绩，制成表所示的频率分布表.组号分组频数频率第一组[)90,10050.05第二组[)100,110a0.35第三组[)110,120300.30第四组[)120,13020b第五组[)130,140100.10合计n 1.00（1）求a、b、n的值；（2）若从第三、四、五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名学生与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率19．对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如右频率分布直方图.（1）图中纵坐标0y 处刻度不清，根据图表所提供的数据还原0y ；（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个元件，寿命为100~300之间的应抽取几个； （3）从（2）中抽出的寿命落在100~300之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为100~200，一个寿命为200~300”的概率.20．城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：组别 候车时间人数 一 [0,5) 2 二 [5,10)6 三 [10,15) 4 四 [15,20)2 五[20,25]1（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．参考答案CADCC DBAAC CC 13．30 14．30 15．8 16．7617．（1）由图乙知输出的7722110f m f m f m S ++++= 7，代入已知数据可求, S 的统计意义为60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值.（2）根据直方图可求酒精浓度属于70-90mg/100ml 的范围的人数，然后求出 ξ取值，210，，=ξ，根据超几何分布进而求出相应的概率，即可求解分布列，吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率()()21=+==ξξP P P .试题解析：解：（1）由图乙知输出的1122770S m f m f m f =++++＝250.25350.15450.2550.15650.1750.1850.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ＝47（mg/100ml ） 5分 S 的统计意义为60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值. 6分 （2）酒精浓度属于70～90/100mg ml 的范围的人数为0.15609⨯= 7分ξ的可能取值为0，1，2127)0(2927===C C P ξ，187)1(291217===C C C P ξ，361)2(2922===C C P ξ 8分 分布列如下： 9分ξ0 1 2P 127187 361吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率=P 125)2()1(==+=ξξP P ． (或51(0)12p p ξ=-==) 12分 18．（1）100n =，35a =，0.2b =；（2）0.8.（1）依题意，得50.05n =，0.35a n =，20b n=，解得100n =，35a =，0.2b =；（2）因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样的方法抽取6名学生， 则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名.第三组的3名学生记为1a 、2a 、3a ，第四组的2名学生记为1b 、2b ，第五组的1名学生记为1c ， 则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c ，其中第三组的3名学生1a 、2a 、3a 没有一名学生被抽取的情况有3种，具体如下：{}12,b b 、{}11,b c 、{}21,b c ，故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. 19．（1）00.0015y =；（2）应抽取5个；（3）35.（1）根据题意：00.00110021000.0021000.0041001y ⨯+⨯+⨯+⨯= 解得00.0015y = 3分（2）设在寿命为100~300之间的应抽取x 个，根据分层抽样有：()0.0010.001510020x=+⨯ 5分 解得：5x =所以应在寿命为100~300之间的应抽取5个 7分（3）记“恰好有一个寿命为100~200，一个寿命为200~300”为事件A ，由（2）知 寿命落在100~200之间的元件有2个分别记12,a a ，落在200~300之间的元件有3个分别记为：123,,b b b ，从中任取2个球，有如下基本事件：()()()()12111213,,,,,,,a a a b a b a b ，()()()212223,,,,,a b a b a b ，()()()121323,,,,,b b b b b b ，共有10个基本事件 9分事件A “恰好有一个寿命为100~200，一个寿命为200~300”有： ()()()111213,,,,,a b a b a b ，()()()212223,,,,,a b a b a b 共有6个基本事件 10分63()105P A ∴== 11分 答：事件“恰好有一个寿命为100~200，另一个寿命为200~300”的概率为35.20．（1）32；（2）815． （1）用候车时间少于10分钟的总人数除以15，得到的频率再乘以60；（2）先计算从三、四两组中任选2人的基本事件个数，为此，将第三组乘客编号为1234,,,a a a a ，第四组乘客编号为12,b b ，选中1a 的事件有1213141112(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b a b 共5个，未选中1a 而选中2a 的事件有23242122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b 共4个，12,a a 都未选中而选中3a 的事件有343132(,),(,),(,)a a a b a b 共3个， 123,,a a a 都未选中而选中4a 的事件有4142(,),(,)a b a b 共2个，选中的两人都来自四组的事件为12(,)b b 共1个，所以共15个基本事件，其中2人恰好来自不同组的事件有1112212231324142(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b a b a b a b a b 共8个，后者除以前者即得815.。

2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）12月月考数学试卷（承智班）一、选择题1．设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}2．若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，]D．[﹣4，]3．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是（）A．10 B．8 C．6 D．44．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A．4 B．3 C．2 D．15．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|=，且，则点O，N，P依次是△ABC的（）A．重心外心垂心 B．重心外心内心C．外心重心垂心 D．外心重心内心6．已知平面向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣7．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（0，2]C．[﹣2，0）∪{2} D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）8．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S4=5S2，则此数列的公比q=（）A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±1或2 D．±2或﹣19．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（3﹣x），且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．110．已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．11．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣1912．公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3…，…构成等比数列{a kn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4为（）A．20 B．22 C．24 D．28二、填空题13．关于下列命题①函数y=tanx在第一象限是增函数；②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；写出所有正确的命题的题号：．14．已知方程+=﹣1表示椭圆，求k的取值范围．．15．已知函数f（x）=，则f（f（8））=．16．计算：（﹣lg4）÷的值为．三、解答题17．已知点H（﹣6，0），点P（0，b）在y轴上，点Q（a，0）在x轴的正半轴上，且满足⊥，点M在直线PQ上，且满足﹣2=，（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E（x0，0），设线段AB的中点为D，且2|DE|=|AB|，求x0的值．18．（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．19．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程6x﹣y+7=0．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=x2﹣9x+a+2与y=f（x）的图象有三个交点，求a的取值范围．2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）12月月考数学试卷（承智班）参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}【考点】补集及其运算．【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁U A．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={2}，故选：B．2．若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）C．[﹣2，] D．[﹣4，]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后利用Z=的几何意义求解z的范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域OBC．因为，所以z的几何意义是区域内任意一点（x，y）与点P（1，﹣2）两点直线的斜率．所以由图象可知当直线经过点P，C时，斜率为正值中的最小值，经过点P，O时，直线斜率为负值中的最大值．由题意知C（4，0），所以k OP=﹣2，，所以的取值范围为或z≤﹣2，即（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．故选B．3．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是（）A．10 B．8 C．6 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6，故选：C．4．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】等差数列的通项公式．【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则由条件求得a 和d的值，可得最少的一份为a﹣2d的值．【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d ＞0），则有（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=120，∴a=24．由a+a+d+a+2d=7（a﹣2d+a﹣d），得3a+3d=7（2a﹣3d）；∴24d=11a，∴d=11．∴最少的一份为a﹣2d=24﹣22=2，故选：C．5．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|=，且，则点O，N，P依次是△ABC的（）A．重心外心垂心 B．重心外心内心C．外心重心垂心 D．外心重心内心【考点】向量在几何中的应用．【分析】据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有③④两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．【解答】解：∵||=||=||，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴O是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，∵，∴（）=0，=0，∴，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到P是三角形的垂心，故选C．6．已知平面向量、满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件进行向量数量积的运算便可得出，从而得出向量夹角的余弦值．【解答】解：根据条件，=；∴．故选：C．7．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（0，2]C．[﹣2，0）∪{2} D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】二分法求方程的近似解．【分析】令f（x）=x3﹣3x+m，则由题意可得函数f（x）在[0，2]只有一个零点，故有f（0）•f（2）≤0，并验证其结论，问题得以解决．【解答】解：设f（x）=x3﹣3x+m，f′（x）=3x2﹣3=0，可得x=1或x=﹣1是函数的极值点，故函数的减区间为[0，1]，增区间为（1，2]，根据f（x）在区间[0，2]上只有一个解，f（0）=m，f（1）=m﹣2，f（2）=2﹣m，当f（1）=m﹣2=0时满足条件，即m=2，满足条件，当f（0）f（2）≤0时，解得﹣2≤m≤0时，当m=0时，方程x3﹣3x=0．解得x=0，x=1，不满足条件，故要求的m的取值范围为[﹣2，0）∪{2}．故选：C．8．设S n是等比数列{a n}的前n项和，S4=5S2，则此数列的公比q=（）A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±1或2 D．±2或﹣1【考点】等比数列的前n项和．【分析】对q分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：q=1时不满足条件，舍去．q≠1时，∵S4=5S2，则=，∴1﹣q4=5（1﹣q2），∴（q2﹣1）（q2﹣4）=0，q≠1，解得q=﹣1，或±2．故选：D．9．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（3﹣x），且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由f（x）的解析式便知f（x）关于x=a对称，而由f（1+x）=f（3﹣x）知f（x）关于x=2对称，从而得出a=2，这样便可得出f（x）的单调递增区间为[2，+∞），而f（x）在[m，+∞）上单调递增，从而便得出m的最小值为2．【解答】解：∵f（x）=2|x﹣a|；∴f（x）关于x=a对称；又f（1+x）=f（3﹣x）；∴f（x）关于x=2对称；∴a=2；∴；∴f（x）的单调递增区间为[2，+∞）；又f（x）在[m，+∞）上单调递增；∴实数m的最小值为2．故选：C．10．已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质，列出不等式组求解即可．【解答】解：函数是定义域上的单调增函数，可得，解得：a∈[3﹣，2）．故选：A．11．函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，﹣1 B．1，﹣17 C．3，﹣17 D．9，﹣19【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求导，用导研究函数f（x）=x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=0，x=±1，故函数f（x）=x3﹣3x+1[﹣3，﹣1]上是增函数，在[﹣1，0]上是减函数又f（﹣3）=﹣17，f（0）=1，f（1）=﹣1，f（﹣1）=3．故最大值、最小值分别为3，﹣17；故选C．12．公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3…，…构成等比数列{a kn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4为（）A．20 B．22 C．24 D．28【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a1，a2，a6成等比数列可求得等比数列a k1，a k2，a k3…的公比q=4，从而可求得a k4，继而可求得k4．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1，a2，a6成等比数列，∴a22=a1•a6，即（a1+d）2=a1•（a1+5d），∴d=3a1．∴a2=4a1，∴等比数列a k1，a k2，a k3…的公比q=4，∴a k4=a1•q3=a1•43=64a1．又a k4=a1+（k4﹣1）•d=a1+（k4﹣1）•（3a1），∴a1+（k4﹣1）•（3a1）=64a1，a1≠0，∴3k4﹣2=64，∴k4=22．故选：B．二、填空题13．关于下列命题①函数y=tanx在第一象限是增函数；②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；写出所有正确的命题的题号：①③．【考点】正弦函数的图象．【分析】①由正切函数的图象可知命题正确；②化简可得f（x）=sin2x，由f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），可知命题不正确；③代入有0=4sin（2×﹣），可得命题正确；④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，比较即可得命题不正确．【解答】解：①由正切函数的图象可知函数y=tanx在第一象限是增函数，命题正确；②f（x）=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x，f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），故命题不正确；③∵0=4sin（2×﹣），∴命题正确；④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，故命题不正确．综上，所有正确的命题的题号：①③，故答案为：①③14．已知方程+=﹣1表示椭圆，求k的取值范围．（﹣∞，﹣3）．【考点】椭圆的标准方程．【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由分母大于0且不相等求得k的取值范围．【解答】解：由+=﹣1，得，∵方程+=﹣1表示椭圆，∴，解得k＜﹣3．∴k的取值范围是（﹣∞，﹣3）．故答案为：（﹣∞，﹣3）．15．已知函数f（x）=，则f（f（8））=﹣4．【考点】函数的值．【分析】先求f（8），再代入求f（f（8））．【解答】解：f（8）=﹣log28=﹣3，f（f（8））=f（﹣3）=4﹣23=﹣4，故答案为：﹣4．16．计算：（﹣lg4）÷的值为﹣20．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：：（﹣lg4）÷=lg（）÷=lg=﹣2×10=﹣20．故答案为：﹣20．三、解答题17．已知点H（﹣6，0），点P（0，b）在y轴上，点Q（a，0）在x轴的正半轴上，且满足⊥，点M在直线PQ上，且满足﹣2=，（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E（x0，0），设线段AB的中点为D，且2|DE|=|AB|，求x0的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），求得、、、的坐标，运用向量垂直的条件：数量积为0，向量共线的坐标表示，运用代入法，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）由题意知直线l：y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，解方程即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则，，，，由⊥，得6a﹣b2=0．由﹣2=0，得，则由6a﹣b2=0得y2=x，故点M的轨迹C的方程为y2=x（x＞0）；（Ⅱ）由题意知直线l：y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得k2x2+（2k2﹣1）x+k2=0（k≠0），由△=（2k2﹣1）2﹣4k4=1﹣4k2＞0，解得﹣＜k＜，∴，∴，∴，，令y=0，解得，∴，∴，∴，∵，故有，则，化简得，此时．18．（1）焦点在y轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】（1）直接根据条件得到b=2，a=4，即可求出结论；（2）直接根据渐近线方程设出双曲线方程，再结合经过点（2，）即可求出结论．【解答】解：（1）由题可知b=2，a=4，椭圆的标准方程为：（2）设双曲线方程为：x2﹣4y2=λ，∵双曲线经过点（2，2），∴λ=22﹣4×22=﹣12，故双曲线方程为：．19．滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区城ABC为主题活动区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）利用正弦定理，求AC的长度．（2）求出AD，CD，可得出L关于θ的关系式，化简后求L的最大值．【解答】解：（1）由已知由正弦定理，得，又∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12cm，所以AC==24m．（2）因为∠ADC=120°∠CAD=θ，∠ACD=60°﹣θ，在△ADC中，由正弦定理得到，所以L=CD+AD=16 [sin（60°﹣θ）+sinθ]=16 [sin60°cosθ﹣cos60°sinθ+sinθ]=16sin（60°+θ），因0°＜θ＜60°，当θ=30°时，L取到最大值16m．20．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程6x﹣y+7=0．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=x2﹣9x+a+2与y=f（x）的图象有三个交点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）由图象过点P（0，2）求出d的值，再代入求出导数，再由切线方程求出f（﹣1）、f′（﹣1），分别代入求出b和c的值；（2）将条件转化为=a有三个根，再转化为的图象与y=a图象有三个交点，再求出h（x）的导数、临界点、单调区间和极值，再求出a的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）的图象经过点P（0，2），得d=2．∴f′（x）=3x2+2bx+c，由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，∴﹣6﹣f（﹣1）+7=0，得f（﹣1）=1，且f′（﹣1）=6．∴，即，解得b=c=﹣3．故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．（2）∵函数g（x）与f（x）的图象有三个交点，∴方程x3﹣3x2﹣3x+2=x2﹣9x+a+2有三个根，即=a有三个根，令，则h（x）的图象与y=a图象有三个交点．接下来求h（x）的极大值与极小值，∴h′（x）=3x2﹣9x+6，令h′（x）=0，解得x=1或2，当x＜1或x＞2时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0，∴h（x）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞）；减区间是（1，2），∴h（x）的极大值为h（1）=，h（x）的极小值为h（2）=2因此2＜a＜．2017年1月20日。

河北定州中学：新高二数学周练试题（三）一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．已知4sin 5x =，(,)2x ππ∈，则tan()4x π-=（ ） A.17 B ．7 C ．17-D ．7-2．式子coscossinsin126126ππππ-的值为（ ）A ．12 BCD ．13．已知角α的终边与单位圆122=+y x 交于则α2cos 等于（ ）A．14．若1tan()47πα+=，则tan α=（ ） （A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43-5．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断① tan 1tan AB =②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（ ）(A)①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③6．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则角C 的大小为 ( ) (A)30︒ (B)150︒ (C)30︒或150︒ ( D)90︒7．sin34sin 26cos34cos26︒︒-︒︒= ( )A ．12B ．12-C ．32D ．32-8．若m =-+-)sin(cos )cos(sin αβαβαα且β为钝角，则βcos 的值为（ ） A.21m -± B.21m - C.12-±m D.21m --.9．在ABC ∆中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cos C =（ ）A ．1665或5665B ．16566565-或- C ．1665-D ．1665 10．sin 27cos63cos27sin63︒︒+︒︒=（ ）A ．1B ．1-C ．22D ．22-11．βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，求βsin 的值．12．22cos sin 88ππ-等于（ ）A ．0B ．22C ．1D ．－22二、填空题：共4题 每题5分 共20分13．要得到函数y=2sin2x 的图象，需将函数y=sin2x+cos2x 的图象向右平移至少m 个单位（其中m ＞0），则m= ．14．已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______. 15．已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= _ .16．已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π3sin()45θ+=，则1212x x y y +的值为 ．三、解答题：共8题 共70分17．已知函数()2sin cos()4f x x xπ=-．（1）求()f x的最小正周期；（2）设(0)2πα∈，，且3()285fαπ+=，求tan()4πα+．18．已知函数f(x)cos12xπ⎛⎫-⎪⎝⎭，x∈R.(1)求f6π⎛⎫-⎪⎝⎭的值；(2)若cos θ＝35，θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，求f23πθ⎛⎫+⎪⎝⎭.19．已知()cos sin()f x a x b x c x R=++∈的图像经过点(0,1)，(,1)2π，当[0,]2xπ∈时，恒有|()|2f x≤，求实数a的取值范围.20．已知α为第三象限角，()fα=.(1)化简()fα；(2)设2()()tang fααα=-+，求函数()gα的最小值，并求取最小值时的α的值．21．已知tanα=11cos()14αβ+=-, 且︒<<︒900α,︒<<︒900β, 求β的值．22．在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，22sin cos212A CB++=（1）若3b a==，求c的值；（2）设sin sint A C=，当t取最大值时求A的值。

2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）开学数学试卷（承智班）一、选择题：共12题，每题5分，共60分1．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2C．2D．32．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+3．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则（）A．∃a⊂α，a⊥γB．∃a⊂α，a∥γC．∀b⊂β，b⊥γ D．∀b⊂β，b∥γ4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A．B． C．πD．5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．6．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A．①②B．②③C．③④D．①④7．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3 B．6cm3 C．D．9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π10．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（）A．9πB．18πC．6πD．3π11．如图，三棱锥P﹣ABC的棱长都相等，D是棱AB的中点，则直线PD与直线BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．6πB．9πC．3πD．12π二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知点A（﹣2，﹣1），B（1，﹣5），点P是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4上的动点，则△PAB面积的最大值与最小值之差为．14．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD 沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是．16．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为．三、解答题：共8题共70分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=1，BC=，AC=2．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）若AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，求四棱锥A﹣BCFE的体积．[选修4-1：几何证明选讲]20．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC （Ⅰ）求证：A，B，C，P四点共圆；（Ⅱ）若∠CAD=，AB=1，求四边形ABCP的面积．21．已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AE=2EB，AF=2FC，将△AEF沿EF 折起，使A变到A′，使平面A′EF⊥平面EFCB．（1）试在段A′C上确定一点H，使FH∥平面A′BE；（2）试求三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径与三棱锥A′﹣EBC的表面积．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．23．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．24．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）开学数学试卷（承智班）参考答案与试题解析一、选择题：共12题，每题5分，共60分1．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2C．2D．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题．【解答】解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，=•a2•h=9，∵V棱锥S﹣ABCD∴a2=，∵正四棱锥内接于球O，∴O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，∵SM⊥平面ABCD，∴△OMB是直角三角形，∴OM2+MB2=OB2，∵OB=R，MB=BD=a，∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2∴2hR=h2+，即R=+=+=≥3=．当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值．故选：A．2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S=×3×4=6，△ABC=×3×4=6，S△SBCS=×4×5=10，△SACS=×AB×SB=×4×5=10，△SAB∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．3．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则（）A．∃a⊂α，a⊥γB．∃a⊂α，a∥γC．∀b⊂β，b⊥γ D．∀b⊂β，b∥γ【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】选项A若存在a⊂α，a⊥γ，则必然α⊥γ，选项B只要在平面α内存在与平面α与γ的交线平行的直线，则此直线平行于平面γ，进行判定即可，选项C中β⊥γ，但并不是平面β内的任意直线都与平面γ垂直，选项D只有在平面β内与平面β与γ的交线平行的直线才和平面γ平行．【解答】解答：解：若存在a⊂α，a⊥γ，则必然α⊥γ，选项A不正确；只要在平面α内存在与平面α与γ的交线平行的直线，则此直线平行于平面γ，故选项B正确；选项C中β⊥γ，但并不是平面β内的任意直线都与平面γ垂直，故选项C不正确；由于β⊥γ，只有在平面β内与平面β与γ的交线平行的直线才和平面γ平行，选项D不正确；故选B．4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A．B． C．πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的，利用体积公式即可得出结论．【解答】解：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的．∵球的半径R=1，∴V==π故选：C ．5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D ．6．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（ ）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【考点】类比推理．【分析】①④根据课本中的定理即可判断正确，②③根据正方体中的直线，平面即可盘不正确【解答】解：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确．②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不一定平行，也可能相交直线，异面直线，故不正确．③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；不一定平行，也可能相交平面，如墙角，故不正确．④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．故正确．故选：D．7．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC∴V=××=，故选：A．8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．4cm3 B．6cm3 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体，由此求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为三棱锥，下部为三棱柱的组合体，三棱柱的每条棱长为2cm，三棱锥的高为2cm，∴该组合体的体积为V=×2×2×2+××2×2×2=cm2，选：C．9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱与正方体的组合体，由7个平面和1个曲面组成．【解答】解：由三视图可知该几何体为半圆柱与正方体的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为2，正方体的边长为2，∴几何体的表面积S=2×2×5+π×12+π×1×2=20+3π．故选B．10．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（）A．9πB．18πC．6πD．3π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设圆锥的母线和底面半径长分别为l，r，由已知条件列方程求出r=3，由此能求出此圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的母线和底面半径长分别为l，r，∴l=6，2πr=6π，解得r=3，∴此圆锥的体积V==9．故选：A．11．如图，三棱锥P﹣ABC的棱长都相等，D是棱AB的中点，则直线PD与直线BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AC的中点E，DE∥BC，即构造出直线PD与直线BC所成角为∠PDE．【解答】解：取AC的中点E，连接DE，PE，∴DE∥BC，则直线PD与直线BC所成角为∠PDE．∵三棱锥P﹣ABC的棱长都相等，设：AP=PB=PC=a，D是棱AB的中点，∴PD⊥AB，PE⊥AC，PD=PE，可得：△APE≌△ADP，且是直角三角形，∴PD=PE=．利用余弦定理：∴cos∠PDE==故选：C．12．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．6πB．9πC．3πD．12π【考点】球的体积和表面积．【分析】长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出表面积．【解答】解：由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，即，所以，所以求得表面积为．故选：B．二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知点A（﹣2，﹣1），B（1，﹣5），点P是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4上的动点，则△PAB面积的最大值与最小值之差为10．【考点】圆方程的综合应用．【分析】先求得|AB|=5，所以当点P到直线AB距离最大值与最小值时，△PAB面积取最大值与最小值计算，求得结果．【解答】解：由于底边AB为定值5，所以当点P到直线AB距离最大值与最小值时，△PAB面积取最大值与最小值，因此△PAB面积的最大值与最小值之差为=2×5=10．故答案为：10．14．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD 沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．【解答】解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，∴AC=，BC=，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵当三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积： =．故答案为：．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是 32π ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先由三视图还原几何体为三棱柱，根据图中数据求外接球的表面积．【解答】解：由已知三视图得到几何体是三棱柱，底面是斜边为4，高为2的等腰直角三角形，其外接圆半径为2，棱柱的高为4，所以其外接球半径为，所以外接球表面积为4π=32π．故答案为：32π．16．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为3，则三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的表面积为 16π ． 【考点】球的体积和表面积．【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O ，从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算．【解答】解：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H ， 又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°， ∴AC=，AB=2，∴三棱柱的体积V=××H=3，∴H=2，△ABC的外接圆半径为AB=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径R==2，∴外接球的表面积S=4π×22=16π．故答案为：16π．三、解答题：共8题共70分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP∥DE，且FP=，而AB∥DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF∥BP，AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据AB⊥平面ACD，DE∥AB，则DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，满足线面垂直的判定定理，证得AF ⊥平面CDE，又BP∥AF，则BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据可求出所求．【解答】（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．…（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，则C（0，﹣1，0），．…设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则令z=1，则n=（0，﹣1，1）．…显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=1，BC=，AC=2．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）若AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，求四棱锥A﹣BCFE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PA⊥BC，AB⊥BC，即可利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB．（2）说明AE⊥平面PAB，利用△PFE相似于△PBC，求出S BCFE的面积，然后求解四棱锥A﹣BCFE的体积．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，△ABC中，，∴AB2+BC2=AC2，AB⊥BC，∵PA、AB是平面PAB上的两条相交直线，∴BC⊥平面PAB．（2）解：由BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB，交线为PB，∵AE⊥PB于点E，∴AE⊥平面PAB，从而AE⊥EF，AE⊥PC．又AF⊥PC于点F，∴PC⊥平面AEF，∵EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF，直角△PBC中，．又△PFE相似于△PBC，∴，从而，所以，四棱锥A ﹣BCFE 的体积．[选修4-1：几何证明选讲]20．如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，AH ⊥CD 于H ，BD 交AH 于P ，且PC ⊥BC （Ⅰ）求证：A ，B ，C ，P 四点共圆；（Ⅱ）若∠CAD=，AB=1，求四边形ABCP 的面积．【考点】圆內接多边形的性质与判定． 【分析】（Ⅰ）由已知AC=AD ，AH ⊥CD 可得△ACP ≌△ADP ，得∠ACP=∠ADP ．再由AB=AD ，得∠ADP=∠ABP ，进一步得到∠ABP=∠ACP ，可知A ，B ，C ，P 四点共圆；（Ⅱ）由AC=AD ，，得△ACD 是边长为1的等边三角形，结合AH ⊥CD ，得．再结合A ，B ，C ，P 四点共圆，，得，即△ABC 也是边长为1的等边三角形，进一步得到P 为△ACD 的中心．可得S ABCP =S △ABC +S △ACP =．【解答】证明：（Ⅰ）∵AC=AD ，AH ⊥CD ，∴∠CAD=∠DAP ， 从而△ACP ≌△ADP ，得∠ACP=∠ADP ． 又AB=AD ，故∠ADP=∠ABP ，从而∠ABP=∠ACP ，可知A ，B ，C ，P 四点共圆；（Ⅱ）由AC=AD ，，从而△ACD 是边长为1的等边三角形，又AH ⊥CD ，故．由（Ⅰ）知A ，B ，C ，P 四点共圆，又，故，从而，故△ABC 也是边长为1的等边三角形，由PC ⊥BC ，，得，知CP ，AH 为等边三角形的角平分线，从而P 为△ACD 的中心．故此时S ABCP =S △ABC +S △ACP =．21．已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AE=2EB，AF=2FC，将△AEF沿EF 折起，使A变到A′，使平面A′EF⊥平面EFCB．（1）试在段A′C上确定一点H，使FH∥平面A′BE；（2）试求三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径与三棱锥A′﹣EBC的表面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由AE=2EB，AF=2FC，可得EF∥BC，且EF=，在底面BEFC中，过F作FG∥EB，交BC于G，在平面A′BC中，过G作GH∥A′B交A′C于H，连接FH，由面面平行的判定可得平面HGF∥面A′BE，从而得到FH∥平面A′BE，且；（2）由题意可得三棱锥A′﹣EBC的三个侧面和底面均为直角三角形，求解个直角三角形面积，作和后可得三棱锥A′﹣EBC的表面积；在直角三角形EBC中，取EC中点K，则KE=KB=KC，过K作KO∥A′E交A′C于O，则O为A′C的中点，此时OA′=OE=OB=OC，即OA′为三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径，求解直角三角形得三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，∴AC=5，∵AE=2EB，AF=2FC，∴EF∥BC，且EF=，在底面BEFC中，过F作FG∥EB，交BC于G，在平面A′BC中，过G作GH∥A′B交A′C于H，连接FH，∵FG∥EB，BE⊂面A′BE，FG⊄面A′BE，∴FG∥面A′BE．∵GH∥A′B，A′B⊂面A′BE，HG⊄面A′BE，∴HG∥面A′BE，又HG∩FG=G，∴平面HGF∥面A′BE，则FH∥平面A′BE，由EF=BG=，可得；（2）A′E=2，BE=1，BC=4，∵∠EBC=90°，∴，，由A′EF⊥平面EFCB，且A′E⊥EF，可得A′E⊥平面EFCB，∴△A′EB，△A′EC为Rt△，由面A′EB⊥平面EFCB，BC⊥BE，可得A′B⊥BC，则△A′BC，△EBC为Rt△，∴三棱锥A′﹣EBC的表面积为=；在直角三角形EBC中，取EC中点K，则KE=KB=KC，过K作KO∥A′E交A′C于O，则O为A′C的中点，此时OA′=OE=OB=OC，即OA′为三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径，等于．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．23．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取CD的中点E，连结BE，证明BE⊥CD，可得CD⊥AD，利用AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥CD，即可证明CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，利用直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，建立方程，即可求k的值．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连结BE．∵AB∥DE，AB=DE=3k，∴四边形ABED为平行四边形，…∴BE∥AD且BE=AD=4k．在△BCE中，∵BE=4k，CE=3k，BC=5k，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，即BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．…∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴AA1⊥CD．又AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．…（Ⅱ）解：以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1），所以=（﹣4k，6k，0），=（0，3k，1），=（0，0，1）．设平面AB1C的法向量=（x，y，z），则取y=2，得=（3，2，﹣6k）（k＞0）．…设AA1与平面AB1C所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，解得k=1，故所求k的值为1．…24．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出a的值．（2）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．【解答】解：（1）l1⊥l2 时，a×1+2×（a﹣1）=0，解得a=．∴a=．（2）∵a=1时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔，解得a=﹣1．2017年1月1日。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线a 、b 是异面直线，α、β是平面，若a ⊂α，b ⊂β，α∩β=c ，则下列说法正确的是（ ）A ．c 至少与a 、b 中的一条相交B ．c 至多与a 、b 中的一条相交C ．c 与a 、b 都相交D ．c 与a 、b 都不相交【答案】A考点：空间中点、线、面的位置关系.2.直线ax+by ﹣a ﹣b=0（a ≠0）与圆x 2+y 2﹣2=0的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交或相切 D ．相交【答案】C【解析】试题分析：由已知得，圆的圆心为()00，，半径为2，圆心到直线的距离为22b a ba ++，其中()()2222b a b a +≤+，所以圆心到直线的距离为222≤++b a b a ，所以直线与圆相交或相切；故选：C ．考点：直线与圆的位置关系. 3.直线3x ﹣y=0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到直线的方程为（ ）A ．x+3y ﹣3=0B ．x+3y ﹣1=0C ．3x ﹣y ﹣3=0D ．x ﹣3y+3=0【答案】B【解析】试题分析：∵直线x y 3=绕原点逆时针旋转 90，∴直线斜率互为负倒数，∴直线x y 3=变为x y 31-=，∵向右平移1个单位，∴()131--=x y ，即：013=-+y x ，故选：B ． 考点：直线的方程.4.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（ ）A ．πB ．4πC ．23π D ．43π 【答案】D考点：由三视图求面积、体积.5.将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】B【解析】试题分析：由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个求面积，πππ31421122=⨯⨯⨯+⨯=S ，故选：B ．考点：几何体体积.6.直线倾斜角的范围是（ ）A ．（0，2π] B ．[0，2π] C ．[0，π） D ．[0，π]【答案】C【解析】试题分析：直线倾斜角的范围是：[)π,0，故选C.考点：直线的倾斜角.7.已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为的正三角形，PA ⊥平面ABC ，若三棱锥P ﹣ABC 的体积为，则球O 的表面积为（ ）A ．18πB ．20πC ．24πD ．π【答案】B考点：球的表面积.【方法点睛】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何 特征求出球的半径是解题的关键．由三棱锥ABC P -的体积为32，求出PA ，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d 等于三棱柱的高PA 的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积．8.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．6C ．4D ．2【答案】D【解析】试题分析：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是()2222131=⨯+，故选D ．考点：由三视图求面积、体积.【方法点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小，容易出错．几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2， 侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上底虚线部分，根据体积公式得到结果．9.已知a ，b 是两条直线，α是一个平面，则下列判断正确的是（ ）A ．a ⊥α，b ⊥α，则a ⊥bB ．a ∥α，b ⊂α，则a ∥bC ．a ⊥b ，b ⊂α，则a ⊥αD ．a ∥α，b ⊂α，a ⊄α，则a ∥α【答案】D考点：空间中的线面关系.10.已知直线2x+my ﹣1=0与直线3x ﹣2y+n=0垂直，垂足为（2，p ），则p ﹣m ﹣n 的值为（ ）A ．﹣6B ．6C ．4D ．10【答案】C【解析】试题分析：∵直线012=-+my x 与直线023=+-n y x 垂直，∴()0232=-+⨯m ，解得3=m ，由垂直在两直线上可得⎩⎨⎧=+-=-+0260134n p p ，解得1-=p 且8-=n ，∴4=--n m p ，故选：C ．考点：直线与直线的位置关系.11.如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，以下四个命题：①点H 是△A 1BD 的垂心；②AH 垂直平面CB 1D 1③直线AH 和BB 1所成角为45°；④AH 的延长线经过点C 1其中假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B考点：空间中直线与直线的位置关系.【思路点晴】本题重点考查空间中点线面的位置关系，属于中档题．首先，判断三棱锥D BA A 1-为正三棱锥，然后，得到D BA 1∆为正三角形，得到H 为A 在平面BD A 1内的射影，故①正确,然后，根据平面BD A 1与平面11D CB 平行，得到②正确，根据异面直线所成角的定义AH A 1∠就是直线AH 和1BB 所成角，解直角三角形得解，最后，结合线面角和对称性求解．12.若直线l ：mx+ny=4和圆O ：x 2+y 2=4没有交点，则过点（m ，n ）的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ）A ．0个B ．至多有一个C ．1个D ．2个【答案】D【解析】 试题分析：由题意可得：240022>+-+n m ，即422<+n m ，∴点()n m P ,是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆422=+n m 内切于椭圆，∴点P 是椭圆内的点，∴过点()n m P ,的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D ．考点：直线与圆锥曲线的位置关系.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若直线()0,01>>=+b a by a x 过点（2，1），则3a+b 的最小值为 ． 【答案】627+考点：基本不等式.14.已知圆x 2+y 2+2x ﹣4y+a=0关于直线y=2x+b 成轴对称，则a ﹣b 的取值范围是 ．【答案】()1,∞-【解析】试题分析：圆的方程变为()()a y x -=-++52122，∴其圆心为()2,1-，且05>-a ，即5<a ．又圆关于直线b x y +=2成轴对称，∴b +-=22，∴4=b ．∴14<-=-a b a ．故答案为：()1,∞-． 考点：圆关于直线对称.15.已知点A （﹣4，﹣5），B （6，﹣1），则以线段AB 为直径的圆的方程为 ．【答案】()()293122=++-y x考点：圆的标准方程.【方法点晴】本题主要考查了圆的标准方程，注重对基础的考查，难度不大；由点A 和点B 的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB 的中点C 的坐标，因为线段AB 为所求圆的直径，所以求出的中点C 的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C 的坐标和点A 的坐标，利用两点间的距离公式求出AC 的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．16.，则该三棱锥的外接球的表面积为 .【答案】π3【解析】试题分析：此三棱锥是正四面体，当正四面体棱长为a 时，外接球的为a r 46=，因此23246=⨯=r ，πππ3234422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==r S 表．考点：几何体的表面积.【方法点晴】本题主要考查了几何体的外接球问题，关键是找到外接球球心，由于球心到各个顶点的距离相等，根据球截面的性质：球心与截面圆圆心连线与截面圆所在平面垂直，在找球心时要首先找几何体各个面的外接圆圆心，过此外心作这个面的垂线，球心一定在这条垂线上．由此可得球心位置，当球心位置确定后，球面上任意一点到球心的距离均为半径，进而可得表面积. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C 是矩形，侧面AA 1C 1C ⊥侧面AA 1B 1B ，且AB=4AA 1=4，∠BAA 1=60°，D 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：AC 1∥平面CDB 1；（Ⅱ）求证：DA 1⊥平面AA 1C 1C ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.（2）∵441==AA AB ，D 是AB 中点，∴11=AA ，2=AD ，∵ 601=∠BAA ，∴360cos 212121=⋅-+=AA AD AA AD D A ． ∴22121AD D A AA =+，∴11AA D A ⊥，考点：（1）线面平行的判定；（2）线面垂直的判定.18.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，， O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P ﹣EAD 的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）22. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得PD AC ⊥，BD AC ⊥，由此能证明平面⊥EAC 平面PBD ；（Ⅱ）由已知得OE PD //，取AD 中点H ，连结BH ，由此利用PAD B PAD E EAD P V V V ---==21，能求出三棱锥EAD P -的体积．考点：（1）面面垂直的判定；（2）几何体的体积.【方法点睛】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．在证明垂直的过程中，注意线线垂直于线面垂直的相互转化，得到线线垂直的常见两种方式利用线面垂直定义得到的性质，即线垂直于面线垂直于面内所有直线及勾股定理；在求三棱锥的体积中等体积法的应用相当广泛.19.已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线x ﹣3y=0上，且被直线y=x 截得的弦长为，求圆C 的方程．【答案】()()91322=-+-x x 或()()91322=+++x x .考点：圆的标准方程.20.已知圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3=0．（1）求过点M （﹣6，﹣5）的圆C 的切线方程；（2）过点N （1，3）作直线与圆C 交于A 、B 两点，求△ABC 的最大面积及此时直线AB 的斜率．【答案】（1）6-=x 或0243=--y x ；（2）22±.【解析】试题分析：（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点M 在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为3=x ．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k ，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ，可得切线方程；（2）当直线AB 的斜率不存在时，ABC ∆的面积73=S ，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()13-=-x k y ，即03=-+-k y kx ，圆心()3,2-到直线AB 的距离132+=k kd ，线段AB 的长度2162d AB -=，由此能求出OAB ∆的最大面积和此时直线AB 的斜率．考点：（1）圆的切线方程；（2）直线与圆的位置关系.21.如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC⊥平面ABC，四边形CBED为矩形，CD=1，AB=4．（1）求证：ED⊥平面ACD；（2）当三棱锥E ﹣ADC 体积取最大值时，求此刻点C 到平面ADE 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）322.（2）解：由（1）知，()341216121313122=+≤⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--BC AC BC AC DE CD AC DE S V V ACD ACD E ADE C 三棱锥三棱锥， 当且仅当22==BC AC 时等号成立； ∴当22==BC AC 时，三棱锥ADE C -的体积最大，为34； 此时，()322122=+=AD ，2321=⋅⋅=∆DE AD S ADE ， 设点C 到平面ADE 的距离为h ，则3431=⋅⋅=∆-h S V ADE ADE C 三棱锥；∴322223134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯÷=h ． 考点：（1）线面垂直的判定；（2）三棱锥的体积.22.如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，DC AB //，60,4,3,5,=∠===⊥PAD AD DC BC AD AB ．（1）若M 为PA 的中点,求证://DM 平面PBC ；（2）求三棱锥PBC D -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）38．考点：（1）线面平行的判定；（2）三棱锥的体积.【方法点晴】本题主要考查的是线面平行、三棱锥的体积及空间想象力，属于中档题．解题时一定要注意中点这个条件的暗示作用，一般要利用中位线得到直线平行，如果中位线不行，考虑构造平行四边形，利用平行四边形得线线平行，从而得线面平行，也可考虑面面平行得线面平行．在求三棱锥体积时，如果高不易寻找，可考虑变换三棱锥顶点，从而易于求高．23.如图，棱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ABCD ⊥平面，且FD =．（1）求证：EF ABCD ∥平面；（2）若60CBA ∠=，求二面角A FB E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）87-． 【解析】试题分析：（1）依据线面平行的判定定理，需要在平面ABCD 找到一条直线与直线EF 平行即可．因为平面⊥ABCD 平面BEC ，则过点E 作BC EH ⊥于H ，连接HD ，证明四边形EHDF 为平行四边形即可；（2）由（1）知⊥EH 平面ABCD ，又 60=∠CBA ，ABC ∆为等边三角形，BC HA ⊥∴，分别以HE HA HB ,,所在直线为z y x ,,轴建立如图所示空间直角坐标系xyz H -，分别求出平面AFB 和平面FBE 的法向量即可．考点：（1）线面平行的判定定理；（2）利用空间向量求二面角．24.如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，12D 2AA =AB =A =，E 为AB 的中点，F 为1D E 上的一点，1D F 2F =E ．（1）证明：平面DFC ⊥平面11D C E ；（2）求二面角DF C A --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2） 120. 设()z y x ,,=是平面DFC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DF n ，⎪⎩⎪⎨⎧==++020323232y z y x ， 取1=x 得平面FDC 的一个法向量()1,0,1-=， 设()z y x ,,=是平面C ED 1的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011D F D p ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+0220343232z y z y x ，考点：空间向量的数量积公式的坐标形式与代数形式的运用.高考一轮复习：。