高考数学选做题精编WORD版

题组层级快练(七十七)1．不等式x 2－|x|－2<0(x ∈R )的解集是( ) A ．{x|－2<x<2} B ．{x|x<－2或x>2} C ．{x|－1<x<1} D ．{x|x<－1或x>1}答案 A解析 方法一：当x ≥0时，x 2－x －2<0，解得－1<x<2，∴0≤x<2. 当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1，∴－2<x<0. 故原不等式的解集为{x|－2<x<2}． 方法二：原不等式可化为|x|2－|x|－2<0， 解得－1<|x|<2.∵|x|≥0，∴0≤|x|<2，∴－2<x<2. ∴原不等式的解集为{x|－2<x<2}． 2．ab ≥0是|a －b|＝|a|－|b|的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 ` D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当ab ≥0，a<b 时，|a －b|≠|a|－|b|，故条件不充分． 当|a －b|＝|a|－|b|时，则ab ≥0且|a|≥|b|.故条件必要． 综上可知，ab ≥0是|a －b|＝|a|－|b|的必要不充分条件． 3．已知a ，b ∈R ，ab>0，则下列不等式中不正确的是( ) A ．|a ＋b|≥a －b B ．2ab ≤|a ＋b| C ．|a ＋b|<|a|＋|b| D ．|b a ＋ab|≥2答案 C解析 当ab>0时，|a ＋b|＝|a|＋|b|.4．若2－m 与|m|－3异号，则m 的取值范围是( ) A ．m>3 B ．－3<m<3 C ．2<m<3 D ．－3<m<2或m>3答案 D解析 方法一：2－m 与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－3)<0，所以(m －2)(|m|－3)>0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，（m －2）（m －3）>0或⎩⎪⎨⎪⎧m<0，（m －2）（－m －3）>0.解得m>3或0≤m<2或－3<m<0.方法二：由选项知，令m ＝4符合题意，排除B ，C 两项，令m ＝0符合题意，可排除A 项．5．(2016·四川成都模拟)对任意实数x ，若不等式|x ＋2|＋|x ＋1|>k 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．k<1 B ．k ≥1 C ．k>1 D ．k ≤1答案 A解析 由题意得k<(|x ＋2|＋|x ＋1|)min ，而|x ＋2|＋|x ＋1|≥|x ＋2－(x ＋1)|＝1，所以k<1，故选A.6．设不等式|2x －1|<1的解集为M ，且a ∈M ，b ∈M.则( ) A ．ab ＋1>a ＋b B ．ab ＋1≥a ＋b C ．ab ＋1<a ＋b D ．ab ＋1≤a ＋b答案 A解析 由|2x －1|<1得，－1<2x －1<1，解得0<x<1，∴M ＝{x|0<x<1}，∵a ，b ∈M ，∴0<a<1，0<b<1，ab ＋1－a －b ＝(a －1)(b －1)>0，∴ab ＋1>a ＋b.7．(2016·广州综合测试一)若不等式|x －a|<1的解集为{x|1<x<3}，则实数a 的值为________． 答案 2解析 由题意可得，1和3是方程|x －a|＝1的根，则有⎩⎪⎨⎪⎧|1－a|＝1，|3－a|＝1，解得a ＝2.8．(2016·重庆五区抽测)若函数f(x)＝|x ＋2|＋|x －m|－4的定义域为R ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－6]∪[2，＋∞)解析 根据题意，不等式|x ＋2|＋|x －m|－4≥0恒成立，所以(|x ＋2|＋|x －m|－4)min ≥0. 又|x ＋2|＋|x －m|－4≥|m ＋2|－4， 所以|m ＋2|－4≥0⇒m ≤－6或m ≥2.9．若关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥a 2＋a ＋1(x ∈R )的解集为空集，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(0，＋∞)解析 ∵|x －1|－|x －2|＝|x －1|－|2－x|≤|x －1－x ＋2|＝1， 若不等式|x －1|－|x －2|≥a 2＋a ＋1(x ∈R )的解集为空集， 则|x －1|－|x －2|<a 2＋a ＋1恒成立， 即a 2＋a ＋1>1，解得a<－1或a>0，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．10．(2015·重庆)若函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|的最小值为5，则实数a ＝________． 答案 －6或4解析 当a ＝－1时，f(x)＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a<－1时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a<x ≤－1，3x ＋1－2a ，x>－1，f(x)min ＝f(a)＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a>－1时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x>a ，f(x)min ＝f(a)＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4. 11．(2016·江西九江一模)已知函数f(x)＝|x －3|－|x －a|. (1)当a ＝2时，解不等式f(x)≤－12；(2)若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立，求实数a 的取值范围． 答案 (1){x|x ≥114} (2)(－∞，32]解析 (1)当a ＝2时，f(x)＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x<3，－1，x ≥3，f(x)≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧2<x<3，5－2x ≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，－1≤12，解得114≤x<3，或x ≥3， 所以原不等式的解集为{x|x ≥114}．(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x －3|－|x －a|≤|(x －3)－(x －a)|＝|a －3|.所以若存在实数x ，使得f(x)≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32，故实数a 的取值范围是(－∞，32]．12．(2016·山西忻州四校二次联考)已知函数f(x)＝|x ＋2|＋|2x －4|. (1)求f(x)<6的解集；(2)若关于x 的不等式f(x)≥m 2－3m 的解集是R ，求m 的取值范围． 答案 (1){x|0<x<83} (2)－1≤m ≤4解析 (1)由题设知，当x ≥2时，不等式等价于x ＋2＋2x －4<6，即2≤x<83；当－2<x<2时，不等式等价于x ＋2＋4－2x<6，即0<x<2； 当x ≤－2时，不等式等价于－x －2＋4－2x<6，即无解． 所以不等式的解集是{x|0<x<83}．(2)由图像或者分类讨论可得f(x)＝|x ＋2|＋|2x －4|的最小值为4，则m 2－3m ≤4，解得－1≤m ≤4.13．(2016·辽宁大连双基考试)设函数f(x)＝|x －1|＋12|x －3|.(1)求不等式f(x)>2的解集；(2)若不等式f(x)≤a(x ＋12)的解集非空，求实数a 的取值范围．答案 (1)(－∞，13)∪(3，＋∞) (2)(－∞，－32)∪[47，＋∞)解析 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧32x －52>2，x>3，解得不等式的解集为(－∞，13)∪(3，＋∞)．(2)f(x)＝|x －1|＋12|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋52，x ≤1，12x ＋12，1<x ≤3，32x －52，x>3.f(x)图像如图所示，其中A(1，1)，B(3，2)，直线y ＝a(x ＋12)绕点(－12，0)旋转，由图可得不等式f(x)≤a(x ＋12)的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－32)∪[47，＋∞)．14．(2015·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x ＋1|－2|x －a|，a>0. (1)当a ＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 答案 (1){x|23<x<2} (2)(2，＋∞)解析 (1)当a ＝1时，f(x)>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x<1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x<1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集为{x|23<x<2}．(2)由题设可得，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x<－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x>a.所以函数f(x)的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A(2a －13，0)，B(2a ＋1，0)，C(a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a>2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．1．(2016·天津南开区上学期一模)已知函数f(x)＝|mx|－|x －n|(0<n<1＋m)，若关于x 的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为( ) A ．3<m<6 B ．1<m<3 C ．0<m<1 D ．－1<m<0答案 B解析 不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3个，即|mx|<|x －n|(0<n<1＋m)的解集中的整数恰有3个．|mx|<|x －n|可化为(mx)2－(x －n)2<0，即[(m ＋1)x －n]·[(m －1)x ＋n]<0，由于不等式解集中整数恰有3个，所以m －1>0，m>1，不等式的解为－n m －1<x<n m ＋1<1，从而解集中的3个整数为－2，－1，0，－3≤－n m －1≤－2，即2<nm －1≤3，2m －2<n ≤3m －3，结合0<n<1＋m ，得2m －2<m ＋1，m<3，即1<m<3，选B.2．关于x 的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d 有解时，d 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 因为|2 014－x|＋|2 015－x|≥|(2 014－x)－(2 015－x)|＝1，所以当不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d 有解时，只需d ≥1即可． 3．不等x ＋3>|2x －1|的解集为________． 答案 {x|－23<x<4}解析 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋3>2x －1或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x ＋3>1－2x ， 解得12≤x<4或－23<x<12，故不等式的解集为{x|－23<x<4}．4．(2016·河南郑州质量预测)设函数f(x)＝|x －4|＋|x －a|(a<4)． (1)若f(x)的最小值为3，求a 的值； (2)求不等式f(x)≥3－x 的解集． 答案 (1)1 (2)R解析 (1)因为|x －4|＋|x －a|≥|(x －4)－(x －a)|＝|a －4|， 又a<4，所以当且仅当a ≤x ≤4时等号成立． 故|a －4|＝3，所以a ＝1为所求．(2)不等式f(x)≥3－x 即不等式|x －4|＋|x －a|≥3－x(a<4)，①当x<a 时，原不等式可化为4－x ＋a －x ≥3－x ，即x ≤a ＋1. 所以，当x<a 时，原不等式成立．②当a ≤x ≤4时，原不等式可化为4－x ＋x －a ≥3－x. 即x ≥a －1.所以，当a ≤x ≤4时，原不等式成立． ③当x>4时，原不等式可化为x －4＋x －a ≥3－x ， 即x ≥a ＋73，由于a<4时，4>a ＋73.所以，当x>4时，原不等式成立．综合①②③可知：不等式f(x)≥3－x 的解集为R .。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，若f(2) = f(0)，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 22. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则第10项a10的值为：A. 19B. 20C. 21D. 223. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的几何意义是：A. 位于实轴上B. 位于虚轴上C. 位于坐标原点D. 位于第一象限4. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 无法确定5. 若log2(3x - 1) = log2(2x + 1)，则x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数y = (x - 1)^2 + 1的图像开口方向为：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右7. 已知等比数列{an}的公比q = 2，若a1 + a2 + a3 = 24，则a4的值为：A. 32B. 48C. 64D. 968. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1, 3]上单调递增，则f(2)的值小于：A. 0B. 1C. 2D. 39. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为：A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 110. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，若f(x)在x = 1处有极值，则极值为：A. 0B. -1C. 2D. -2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知等差数列{an}的公差d = 3，若a1 + a2 + a3 + a4 = 12，则a1的值为______。

12. 若复数z = 1 + i，则|z|^2的值为______。

13. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则cosC的值为______。

高中数学选修精品教学资料选修1-1 第三章 3.1 3.1.3一、选择题1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是导学号 92600557( ) A ．在点x 0处的斜率B ．在点(x 0,f (x 0))处的切线与x 轴所夹的锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率D ．点(x 0,f (x 0))与点(0,0)连线的斜率 [答案] C[解析] 由导数的几何意义可知函数y ＝f (x )在x ＝x 0的导数f ′(x 0),即为曲线在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率．2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3,则点P 的坐标为导学号 92600558( ) A ．(－2,－8) B ．(1,1),(－1,－1) C ．(2,8) D ．(－12,－18)[答案] B [解析] ∵y ＝x 3,∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·ΔxΔx＝lim Δx →(Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2)＝3x 2. 令3x 2＝3,得x ＝±1,∴点P 的坐标为(1,1),(－1,－1)．3．(2016·重庆一中高二月考)已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8,则f (5)及f ′(5)分别为导学号 92600559( )A ．3,3B ．3,－1C ．－1,3D ．－1,－1[答案] B[解析] 由已知得f (5)＝－5＋8＝3,f ′(5)＝－1,故选B.4．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为导学号 92600560( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2[答案] A [解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 (Δx ＋x )3－2(Δx ＋x )＋1－x 3＋2x －1Δx＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·Δx －2ΔxΔx＝lim Δx →(Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2－2) ＝3x 2－2,∴f ′(1)＝3－2＝1,∴切线的方程为y ＝x －1.5．已知曲线f (x )＝12x 2＋2x 的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为导学号 92600561( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D[解析] Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝12(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－12x 2－2x ＝x ·Δx ＋12(Δx )2＋2Δx ,∴Δy Δx ＝x ＋12Δx ＋2,∴f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx＝x ＋2. 设切点坐标为(x 0,y 0),则f ′(x 0)＝x 0＋2. 由已知x 0＋2＝4,∴x 0＝2,故选D.6．(2016·山东临沂一中高二检测)已知函数f (x )的图象如图所示,f ′(x )是f (x )的导函数,则下列结论正确的是导学号 92600562( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)[答案] B[解析] 从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大,且均为正数,所以有0<f ′(3)<f ′(2),此两点处的斜率f (3)－f (2)3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小,比f (x )在x ＝3处的切线的斜率大,所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2),故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2,则f ′(2)＝________.导学号 92600563 [答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]Δx＝lim Δx →[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 8．设函数y ＝f (x ),f ′(x 0)>0,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处切线的倾斜角的范围是________.导学号 92600564[答案] (0,π2)[解析] 由于f ′(x 0)>0,说明y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率大于0,故倾斜角为锐角．9．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切,则m ＝________.导学号 92600565 [答案] 1[解析] 设切点为P (x 0,y 0),易知,y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＝－2y 0＝x 20,得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1,即P (－1,1),又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上, 故2×(－1)＋1＋m ＝0,即m ＝1. 三、解答题10．已知曲线方程为y ＝x 2,求过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程.导学号 92600566 [解析] ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 2Δx ·x ＋Δx 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ,又点A(2,4)在曲线y ＝x 2上,∴f ′(2)＝4,∴所求切线的斜率k ＝4, 故所求切线的方程为y －4＝4(x －2), 即4x －y －4＝0.一、选择题1．设曲线y ＝ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于导学号 92600567( )A ．1B ．12C ．－12D ．－1[答案] A[解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →1 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 2aΔx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋aΔx )＝2a ,∴2a ＝2,∴a ＝1.2．(2016·天津南开中学检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2与直线y ＝2x ＋b 相切,若f ′(x 0)＝2,则x 0＝导学号 92600568( )A ．－1B ．2C ．－12D ．1 [答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋by ＝x 2消去y ,得x 2－2x －b ＝0,①∵抛物线y ＝x 2与直线y ＝2x ＋b 相切,∴Δ＝4＋4b ＝0,解得b ＝－1.此时,方程①的根为x ＝1,∴切点坐标为(1,1)．由导数的几何意义得f ′(1)＝2,∴x 0＝1.3．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直,则ab 为导学号 92600569( )A.23 B ．－23C.13 D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2,∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3, 由条件知,3×a b ＝－1,∴a b ＝－13.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为导学号 92600570( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4) [答案] C [解析]f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0(3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4,设P 0(x 0,y 0),有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4.解得x 0＝±1,这时P 0点的坐标为(1,0)或(－1,－4)． 二、填空题5．(2016·山东青岛期末)曲线f (x )＝x 2＋1在点P (1,2)处的切线方程为________.导学号 92600571[答案] y ＝2x[解析] 设曲线f (x )＝x 2＋1在点P (1,2)处的切线的斜率为k ,则k ＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 (1＋Δx )2＋1－(12＋1)Δx＝lim Δx →02Δx ＋(Δx )2Δx ＝2.所以切线方程为y －2＝2(x －1),即y ＝2x .6．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、x ＝2所围成的三角形的面积为________.导学号 92600572[答案] 83[解析] y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2,所以k ＝y ′|x ＝1＝3×1＝3,所以在点(1,1)处的切线方程为y ＝3x －2,它与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23，0,与x ＝2的交点为(2,4),所以S ＝12×⎝⎛⎭⎫2－23×4＝83. 三、解答题7．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标；(2)求a 的值.导学号 92600573[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于P (x 0,y 0)点． f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx＝3x 2－2x .由题意知,k ＝1,即3x 20－2x 0＝1,解得x 0＝－13或x 0＝1. 当x 0＝1时,y 0＝1,此时a ＝0(舍去) 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327. (2)当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时,2327＝－13＋a ,a ＝3227. ∴a 的值为3227.8．已知曲线C ：y ＝1t －x 经过点P (2,－1),求(1)曲线在点P 处的切线的斜率.导学号 92600574(2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [解析] (1)将P (2,－1)代入y ＝1t －x 中得t ＝1,∴y ＝11－x.∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x ),∴lim Δx →Δy Δx ＝1(1－x )2, ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2), 即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上,设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0,y 0),则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2,由于y 0＝11－x 0,∴x 0＝12,∴切点M (12,2),切线斜率k ＝4,切线方程为y －2＝4(x －12),即y ＝4x .。

2020届高考数学查漏补缺之选做题题型专练1、在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2+x t y kt==⎧⎨⎩ (t 为参数),直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+=⎧⎪⎨⎪⎩(m 为参数),设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时, P 的轨迹为曲线 C . (1)写出 C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()3:cos sin 0l ρθθ+=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径.2、设函数()()11f x ax x x =++-∈R ．（1）当1a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）对任意实数[]2,3x ∈，都有()23f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围．3、在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=1.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；2.直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点, ||AB =,求l 的斜率。

4、已知函数12f x x x =+--（）．（1）求不等式1f x ≥（）的解集；（2）若不等式2–f x x x m ≥+（）的解集非空，求m 的取值范围5、在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,0a >).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ=.1.说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程;2.直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a.6、已知函数11()22f x x x =++-,不等式()2f x <的解集为M . 1.求M;2.当,a b M ∈时,证明: 1a b ab +<+.7、在平面直角坐标系中,已知曲线:2sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(a 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线():2cos sin 6l ρθθ-=.(1)写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，求最大距离及此时P 点的坐标。

⾼考选做题⾼考选做题22. （本⼩题满分10分）选修4-1：⼏何证明选讲如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、的延长线相交于点E 。

EF 垂直BA 的延长线于点F 。

求证：（1）DEA DFA ∠=∠；（2）2AB BE BD AE AC =?-?23. （本⼩题满分10分）选修4-4：坐标系与参数⽅程 1O 和2O 的极坐标⽅程分别为4cos ,4sin ρθρθ==-。

（1）写出1O 和2O 的圆⼼的极坐标；（2）求经过1O 和2O 交点的直线的极坐标⽅程24. （本⼩题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|1||2|f x x x =-+-。

（1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()()||||||,0,a b a b a f x a a b R ++-≥≠∈、恒成⽴，求实数x 的范围。

22．（选修4—1：⼏何证明选讲）如图，AD 是△ABC 的内⾓平分线，延长AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，过C 、D 、E 三点的圆O 1交AC 的延长线于点F ，连结EF 、DF ．（1）求证：△AEF ∽△FED ；（2）若AD=6，DE=3，求EF 的长． 23．（选修4—4：坐标系与参数⽅程）已知直线l 的参数⽅程,()12,x t t y t =??=+?为参数和圆C 的极坐标⽅程)4πρθ=+．（1）将直线l 的参数⽅程化为普通⽅程，将圆C 的极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程；（2）判断直线l 和圆C 的位置关系． 24．（选修4—5：不等式选讲）已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且a 1＞b 1，x ＞y ．求证：a x x +＞by y+ 22．（本⼩题满分10分）选修4—1：⼏何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 是⊙O 上的点，OC 垂直于直径AB ，过F 点作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ．连结CF 交AB 于E 点．（I ）求证：2DE DB DA =?；（II ）若⊙O的半径为OB，求EF 的长．AB OC DE已知曲线C 的极坐标⽅程是4cosρθ=．以极点为平⾯直⾓坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建⽴平⾯直⾓坐标系，直线l 的参数⽅程是：2x m y ?=+??=（t 是参数）．（I ）将曲线C 的极坐标⽅程和直线l参数⽅程转化为普通⽅程；（II ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||AB m 值． 24．（本⼩题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|1|||(0)f x x x a a =++->．（I ）作出函数()f x 的图象；（II ）若不等式()5f x ≥的解集为][(,23,)-∞-+∞ ，求a 值．22．（选修4-1⼏何证明选讲）（本⼩题满分10分）如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，求BD 的长．23．（选修4-4极坐标与参数⽅程）（本⼩题满分10分）已知直线l 的参数⽅程为+=+=t y t x 232213（t 为参数），曲线C 的参数⽅程为??==θθsin 4cos 4y x （θ为参数）．（1）将曲线C 的参数⽅程化为普通⽅程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 24．（选修4-5不等式选讲）（本⼩题满分10分）设函数()412--+=x x x f ．（1）求不等式()2>x f 的解集；（2）求函数()x f 的最⼩值．22．（本⼩题满分10分）选修4-1：⼏何证明选讲已知：如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3， BD ＝6，求PB 的长。

一、选择题1、在复平面内，复数z2i （ i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）1 iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【分析与答案】 z2i 1i ， z 1 i 。

应选 D 【有关知识点】复数的运算1 i1x2、已知全集为 R ，会合 Ax1 ，Bx | x 2 6x 8 0 ，则AI C R B （）2A. A. x | x 0B. x 2 x 4B.C.x | 0 x 2或 x 4D. x | 0 x2或 x 4【分析与答案】 A0,， B 2,4 ，AI C R B 0,2 U 4,。

应选 C【有关知识点】不等式的求解，会合的运算3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲下降在指定范围” ， q 是“乙下降在指定范围” ，则命题“起码有一位学员没有下降在指定范围”可表示为（ ）A.p q B. p qC.p q D. p q【分析与答案】“ 起码有一位学员没有下降在指定范围” 即：“ 甲或乙没有下降在指定范围内” 。

应选 A 。

【有关知识点】命题及逻辑连结词4、将函数 y3 cosx sin x x R 的图像向左平移 m m0 个长度单位后， 所获得的图像对于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ）A.B.C.56D.1236【分析与答案】 y 2cos x的图像向左平移 m m 0 个长度单位后变为6y 2cosxm ，因此 m 的最小值是 。

应选 B 。

【有关知识点】三角函数图象及其变换 6 6x 2 y 2 y 2x 25、已知 04 ，则双曲线 C 1 : cos 2sin 21与C2:sin 2sin 2tan 21的（ ）A. 实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等C 1 的离心率是 e 11【分析与答案】双曲线 ，双曲线 C 2 的离心率是cose 2sin 2 1 tan 21sin，应选 D 【有关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形cosuuur uuur6、已知点 A 1,1 、B 1,2 、C 2, 1 、 D3,4 ，则向量 AB 在 CD 方向上的投影为（）3 2 3 15 3 2 3 15 A.B.C.2D.222uuuruuuruuur uuur 15 3 2 【分析与答案】5,5 ，ABgCDAB2,1 ， CDuuur5 22 ，应选 A 。

2019 高考数学“3＋2 选 1”规范练(六)(时间：45 分钟 满分：46 分)1．(12 分)已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ，a ＝2 S 10 S 5 5.n n 1 ， 且 ＝ ＋ 10 5 (1) 求{a n }的通项公式；(2) 若 ，求数列{b n }的前 n 项和 T n .[规范解答及评分标准] (1)解法一：设等差数列{a n }的公差为 d .S 10 S 5 10(a 1＋a 10) 2 5(a 1＋a 5)2 ∵ ＝ ＋5，∴ － ＝5，(2 分)10 5 10 5∴a 10－a 5＝10，∴5d ＝10，解得 d ＝2.(4 分)∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n .(5 分)解法二：设等差数列{a n }的公差为 d .10 × 9 5 × 4 S 10 S 5 10a 1＋ 2 d 5a 1＋ 2 d ∵ ＝ ＋5，∴－ ＝5，(2 分) 10 55d 10 5∴ ＝5，解得 d ＝2.(4 分) 2 ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n .(5 分)(2)由(1)知，a ＝2n ，∴S n (2＋2n ) n 2＋n .(6 分) n n ＝ ＝ 2(7 分)∴T n ＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n ·2n ＋2，①2T n ＝1×24＋2×25＋3×26＋…＋(n －1)·2n ＋2＋n ·2n ＋3，②(8 分) ①－②，得－T ＝23＋24＋…＋2n ＋2－n ×2n ＋3 23(1－2n )－n ×2n ＋3＝2n ＋3－8n－n ×2n ＋3＝(1－n )2n ＋3－8.(11 分)∴T n ＝(n －1)2n ＋3＋8.(12 分)＝ 1－ 22．(12 分)如图，在四棱锥 P —ABCD 中，AD ⊥平面 PCD ，PD ⊥CD ，底面 ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2AB ，Q 为棱 PC 上一点．(1) 若点 Q 是 PC 的中点，证明：BQ ∥平面 PAD ；(2)→ ＝λ → ，试确定 λ 的值使得二面角 Q —BD —P 的大小为 60°. PQ PC[规范解答及评分标准] (1)证明：如图，取PD 的中点M ，连接AM ，MQ .∵点Q 是PC 的中点，∴MQ ∥CD ， MQ 1CD .(1 分) ＝2又 AB ∥CD ，AB ＝1 ，∴MQ ∥AB ，MQ ＝AB ，∴四边形 ABQM 是平行四 CD 2 边形．∴BQ ∥AM .(3 分)又 AM ⊂平面 PAD ，BQ ✪平面 PAD ，∴BQ ∥平面 PAD .(4 分)( )＝ ， (2)由 AD ⊥平面 PCD ，PD ⊥CD ，可得 DA ，DC ，DP 两两垂直，以 D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)．(5 分) 设 Q (x ，y ，z )，则→ ＝(x ，y ，z －1)， → ＝(0,2，－1)． 0 0 0PQ 0 0 0 PC ∵ → ＝λ → ，∴(x ，y ，z －1)＝λ(0,2，－1)，∴Q (0,2λ，1－λ)．(7 分)PQ PC 0 0 0又易证 BC ⊥平面 PBD ，∴n ＝(－1,1,0)是平面 PBD 的一个法向量．(8 分)设平面 QBD 的法向量为 m ＝(x ，y ，z )，则Error!即Error!解得Error!令 y ＝1，则 m ＝(－1，1， 2λ ).(9 分)λ－1 ∵二面角 Q —BD —P 的大小为 60°，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |＝ 2 1 解得 λ＝3± |m ||n | 6.(11 分)2λ 2 2· 2＋ λ－1 2 ∵点 Q 在棱 PC 上，∴0≤λ≤1，∴λ＝3－ 6.(12 分)3．(12 分)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取 200 件，测量这些产品的一项质量指标值(记为 Z )，由测量的结果得到如下的频率分布直方图：(1) 公司规定：当 Z ≥95 时，产品为正品；当 Z <95 时，产品为次品．公司每x x 生产一件这种产品，若是正品，则盈利 90 元；若是次品，则亏损 30 元．记 ξ 为生产一件这种产品的利润，求随机变量 ξ 的分布列和数学期望；(2) 由频率分布直方图可以认为，Z 服从正态分布 N (μ，σ2)，其中 μ 近似为样－ 2 2本平均数 x ，σ 近似为样本方差 s (同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．①利用该正态分布，求 P (87.8<Z <112.2)；②某客户从该公司购买了 500 件这种产品，记 X 表示这 500 件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)的产品件数，利用①的结果，求 E (X )．附： 150≈12.2.若 Z ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.9544.[规范解答及评分标准] (1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋ 0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67.(2 分)所以随机变量 ξ 的分布列为(3 分)所以 E (ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(4 分)(2)①由频率分布直方图知，抽取的产品的该项质量指标值的样本平均数－和 样 本 方 差 s 2 分 别 为 －＝ 70×0.02＋ 80×0.09＋ 90×0.22＋ 100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100.(5 分)s 2＝(－ 30)2×0.02＋ (－ 20)2×0.09＋ (－ 10)2×0.22＋ 02×0.33＋ 102×0.24＋ 202×0.08＋302×0.02＝150.(6 分)所以 Z ～N (100,150)，所以 P (87.8<Z <112.2)＝P (100－12.2<Z <100＋12.2)＝0.6826.(8 分)②由①知，一件产品的该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)的概率为 0.6826. 依题意知，X ～B (500,0.6826)，(10 分)2 所以E(X)＝500×0.6826＝341.3.(12 分)选考题：共10 分．请考生在第4、5 题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(π)＝4 2，曲线C 的参数方程为Error!(α为参数)．θ－4(1)将曲线C 上各点的纵坐标伸长到原来的2 倍，得到曲线C1，写出C1的极坐标方程；(2)射线θπC ，l 的交点分别为M，N，射线θ2π与C ，l 的交点分别＝与1＝13 3为A，B，求四边形ABNM 的面积．[规范解答及评分标准] (1)设曲线C1上的任意一点为(x，y)，则点(x，y)在曲线 C 上，所以Error!(α 为参数)，则曲线C1的普通方程为x2＋y2＝16.(2 分)所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝4.(4 分)(2)将θπθ＝2π＝，分别代入直线的极坐标方程，得3 3ρN＝π，ρB5π.(6 分)sin12所以Ssin121 π 1△OBN＝ρB·ρN·sin ＝×××＝32 3.(8 分)2 3 2 5πsin12π 2sin12因为S△OAM1 π＝×4×4×sin ＝4 3，2 3所以S 四边形ABNM＝S△OBN－S△OAM＝283.(10 分)4 2 4 2 35．[选修4－5：不等式选讲](10 分)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－1|.(1)当a＝0 时，求不等式f(x)>x2＋|x－1|的解集；(2)当x∈R 时，有f(2x)＋a≥3 成立，求a 的取值范围．[规范解答及评分标准] (1)当a＝0 时，原不等式等价于|x|>x2，即Error!或Error!解得－1<x<0 或0<x<1.所以原不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．(4 分)(2)因为当x∈R 时，有f(2x)＋a≥3 成立，所以当x∈R 时，有|2x＋a|＋|2x－1|≥3－a 成立．(6 分)又因为|2x＋a|＋|2x－1|≥|2x＋a－(2x－1)|＝|a＋1|，(8 分)所以|1＋a|≥3－a，解得a≥1.故a 的取值范围是[1，＋∞)．(10 分)。

一、选择题（本大题共25小题，每小题4分，共100分）1. 若函数f(x) = x^2 - 3x + 2在区间[1, 2]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a < 1B. a ≥ 1C. a < 2D. a ≥ 22. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积是（）A. 1B. -1C. 7D. -73. 若等差数列{an}的公差d > 0，且首项a1 = 3，则第10项a10与第5项a5的和为（）A. 18B. 21C. 24D. 274. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(5, 1)在直线y = kx + b上，则直线AB的斜率k和截距b分别是（）A. k = -2，b = 7B. k = 2，b = 7C. k = -2，b = -7D. k = 2，b = -75. 若复数z满足|z - 3i| = 5，则复数z的实部取值范围是（）A. -2 ≤ Re(z) ≤ 2B. -5 ≤ Re(z) ≤ 5C. -5 ≤ Re(z) ≤ 2D. -2 ≤ Re(z) ≤ 56. 函数y = log2(x - 1)的图像与直线y = x相交于点P，则点P的坐标是（）A. (2, 1)B. (3, 2)C. (4, 3)D. (5, 4)7. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 18. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|在区间[-1, 2]上的最小值为4，则实数x的取值范围是（）A. -1 ≤ x ≤ 2B. -1 < x < 2C. -1 ≤ x < 2D. -1 < x ≤ 29. 若等比数列{an}的公比q > 0，且首项a1 = 2，则第5项a5与第3项a3的积为（）A. 16B. 32C. 64D. 12810. 在平面直角坐标系中，点P(1, 2)关于直线y = x的对称点为Q，则点Q的坐标是（）A. (2, 1)B. (1, 2)C. (2, 2)D. (1, 1)11. 若函数y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在区间[0, 2]上有极值点，则实数a的取值范围是（）A. a < 0B. a > 0C. a ≤ 0D. a ≥ 012. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 75°，则sinC的值为（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 113. 若函数y = 2^x在区间[0, 1]上单调递增，则函数y = log2(x + 1)在区间[-1, 0]上（）A. 单调递增B. 单调递减C. 有极值点D. 不是单调函数14. 在平面直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(4, 5)在直线y = kx + b上，则直线AB的斜率k和截距b分别是（）A. k = 1，b = 1B. k = 1，b = 3C. k = -1，b = 1D. k = -1，b = 315. 若复数z满足|z - 3i| = 5，则复数z的虚部取值范围是（）A. -2 ≤ Im(z) ≤ 2B. -5 ≤ Im(z) ≤ 5C. -5 ≤ Im(z) ≤ 2D. -2 ≤ Im(z) ≤ 516. 函数y = log2(x - 1)的图像与直线y = x相交于点P，则点P的坐标是（）A. (2, 1)B. (3, 2)C. (4, 3)D. (5, 4)17. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则cosC的值为（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 118. 若函数y = |x - 2| + |x + 1|在区间[-1, 2]上的最大值为5，则实数x的取值范围是（）A. -1 ≤ x ≤ 2B. -1 < x < 2C. -1 ≤ x < 2D. -1 < x ≤ 219. 若等比数列{an}的公比q > 0，且首项a1 = 2，则第5项a5与第3项a3的积为（）A. 16B. 32C. 64D. 12820. 在平面直角坐标系中，点P(1, 2)关于直线y = x的对称点为Q，则点Q的坐标是（）A. (2, 1)B. (1, 2)C. (2, 2)D. (1, 1)21. 若函数y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1在区间[0, 2]上有极值点，则实数a的取值范围是（）A. a < 0B. a > 0C. a ≤ 0D. a ≥ 022. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 75°，则cosC的值为（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 123. 若函数y = log2(x + 1)在区间[-1, 0]上单调递增，则函数y = 2^x在区间[0, 1]上（）A. 单调递增B. 单调递减C. 有极值点D. 不是单调函数24. 在平面直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(4, 5)在直线y = kx + b上，则直线AB的斜率k和截距b分别是（）A. k = 1，b = 1B. k = 1，b = 3C. k = -1，b = 1D. k = -1，b = 325. 若复数z满足|z - 3i| = 5，则复数z的实部取值范围是（）A. -2 ≤ Re(z) ≤ 2B. -5 ≤ Re(z) ≤ 5C. -5 ≤ Re(z) ≤ 2D. -2 ≤ Re(z) ≤ 5二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）26. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(2) = 1，则x的值为______。

【创新设计】2021-2021版高中数学 1.2子集、全集、补集同步训练苏教版必修1双基达标限时15分钟1．以下说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④假设∅A，那么A≠∅.其中正确的序号有________．解析①空集是其自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是空集的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．答案④2．以下关系中正确的选项是________．①∅∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．解析∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a，b)}与{(b，a)}是两个不相等的点集，④错误．故正确的选项是②.答案②3．设全集U＝R，M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤a}，假设∁U M∁U N，那么a的取值范围是________．解析因为∁U M＝{x|x≥2}，∁U N＝{x|x>a}，于是由∁U M∁U N，得a<2，所以a的取值范围是a<2.答案a<24．集合A＝{x|0≤x＜3且x∈Z}的真子集有________个．解析∵A＝{x|0≤x＜3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A有3个元素，故集合A有23－1＝7个真子集．答案75．集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{y|y＝x2}，那么P________Q.解析∵P＝{x|y＝x2}＝R，Q＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，∴P Q.答案6．设集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．解∵B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上得实数m 的取值范围是{m |m ≥－1}．综合提高 限时30分钟7．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，假设∁U A ＝{1,2}，那么实数m ＝________.解析 ∵U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴m ＝－3.答案 －38．设集合M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{x |x －k ≤0}，假设M ⊆N ，那么k 的取值范围是______． 解析 N ＝{x |x ≤k }，又M ⊆N ，∴k ≥2.答案 k ≥29．集合U 、S 、T 、F 的关系如下图，以下关系错误的有________． ①S U ；②F T ；③S T ；④S F ；⑤S F ；⑥F U .解析 根据子集、真子集的Venn 图，可知S U ，S T ，F U 正确，其余错误． 答案 ②④⑤10．假设集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0}⊆{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，那么b ＝________. 解析 {(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0}＝{(0,2)}⊆{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，∴2＝3×0＋b ，∴b ＝2.答案 211．假设集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，求满足B A 时，m 的取值． 解析 A ，B 均是方程的解集，方程mx ＋1＝0的解集可能是单元素集，也可能是空集． 解 ∵A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，B A ，∴mx ＋1＝0的解为2，－3或无解，即B ＝{2}或{－3}或∅.当B ＝{2}时，由2m ＋1＝0，得m ＝－12； 当B ＝{－3}时，由－3m ＋1＝0，得m ＝13；当B ＝∅时，mx ＋1＝0无解，得m ＝0.∴m 的取值为－12，13，0. 12．非空集合A 满足：①A ⊆{1,2,3,4,5}；②假设a ∈A ，那么(6－a )∈A ，符合上述条件的非空集合A 有多少个？并写出这些集合．解析 假设a ∈A ，那么6－a ∈A ，所以集合A 中的元素成对出现，因此令a ＝1,2,3,4,5讨论即可．解 ∵A ⊆{1,2,3,4,5}，A ≠∅，∴集合A 中元素为1,2,3,4,5这5个元素的一局部或全部．又∵假设a ∈A ，那么6－a ∈A ，∴集合A 中同时含有元素a 与6－a .当a ＝1时，那么6－a ＝5∈A ；当a ＝2时，那么6－a ＝4∈A ；当a ＝3时，那么6－a ＝3∈A ；当a ＝4时，那么6－a ＝2∈A ；当a ＝5时，那么6－a ＝1∈A .故符合条件的非空集合A 为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．13．(创新拓展)集合A ＝{2,4,6,8,9}，B ＝{1,2,3,5,8}，是否存在集合C ，使C 中每个元素都加上2就变成了A 的一个子集，且C 中的每个元素都减去2就变成了B 的一个子集？假设存在，求出集合C ；假设不存在，说明理由．解 假设存在集合C 满足条件，那么C ≠∅，将A 中元素都减2，B 中元素都加2，于是C ⊆{0,2,4,6,7}且C ⊆{3,4,5,7,10}．注意到两个集合有共同元素，故存在满足条件的C ，即C ＝{4,7}或C ＝{4}或C ＝{7}.。

高考解答题专项三数列中的综合问题1.(2021湖北荆门高三月考)在①等比数列{a n}为递增数列,S3=7,且3a2是a1+3和a3+4的等差中项;②S n=2n-1这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的实数k存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.已知数列{a n}的前n项和为S n,,b n=a n+1,设数列{b n}的前n项和为T n,是否存在实数k,使S n S n+1得T n<k恒成立?2.(2021全国乙,文19)设数列{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b n=na n.已知a1,3a2,9a3成等差3数列.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;.(2)记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和.证明:T n<S n23.(2021广东揭阳高三适应性考试)在数列{a n}中,a1=0,a2=1,且a n+2=a n+1+2a n,记b n=a n+1+a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)记数列{b n}的前n项和为S n,若c n=|S n-15|,求数列{c n}的前n项和T n.4.(2021湖南衡阳高三模拟)已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,2√S n=a n+1.(1)求a n;(2)将数列{a n}分组:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,a8,a9,a10),…,记第n组的和为b n.①求数列{b n}的通项公式;前2n项的和.②求数列(-1)n b nn5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a2=1,S7=14.在数列{b n}中,b1b2b3…b n=2n2+n 2.(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式;(2)若数列{c n}满足c n=b n cos(a nπ),求数列{c n}的前2n项和T2n.6.(2021山东淄博高三一模)将n2(n∈N*)个正数排成n行n列:a11a12a13a14 (1)a21a22a23a24 (2)a31a32a33a34 (3)a41a42a43a44 (4)………………a n1a n2a n3a n4…a nn其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且各列的公比都相等,若a11=1,a13a23a33=1,a32+a33+a34=32.(1)求a1n;(2)设S n=a11+a22+a33+…+a nn,求S n.高考解答题专项三数列中的综合问题1.解若选①.设数列{a n}的公比为q.由题可得{a1+a2+a3=7,6a2=(a1+3)+(a3+4),解得a2=2,所以2q+2+2q=7,故q=2或12.又a2>0,数列{a n}为递增数列,所以q=2, 所以a n=2n-1,S n=2n-1,所以b n=a n+1S n S n+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1−12n+1-1,所以T n=1-13+13−17+…+12n-1−12n+1-1=1-12n+1-1<1.当k≥1时,使得T n<k恒成立,故k的最小值为1.若选②.因为S n=2n-1,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1,当n=1时a1=1,适合上式,所以a n=2n-1(n∈N*),所以b n=a n+1S n S n+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1−12n+1-1,所以T n=1-13+13−17+…+12n-1−12n+1-1=1-12n+1-1<1.当k≥1时,使得T n<k恒成立,故k的最小值为1.2.(1)解设{a n}的公比为q,则a n=q n-1.因为a1,3a2,9a3成等差数列,所以1+9q2=2×3q,解得q=13,故a n=(13)n-1.由b n=na n3,得b n=n3·(13)n-1=n·(13)n.(2)证明由(1)可知S n=1-13n1-13=321-13n.又b n=n3n ,则T n=131+232+333+…+n-13n-1+n3n, ①两边同乘13,得13T n =132+233+334+…+n -13n +n 3n+1, ②①-②,得23T n =13+132+133+134+…+13n−n 3n+1,即23T n =13(1-13n )1-13−n 3n+1=12(1-13n )−n3n+1, 整理得T n =34(1-13n )−n2×3n=34−2n+34×3n, 则2T n -S n =2(34-2n+34×3n )−32(1-13n )=-n3n <0. 故T n <Sn2.3.(1)证明 由a n+2=a n+1+2a n ,得b n+1=a n+2+a n+1=2(a n+1+a n )=2b n .又b 1=a 1+a 2=1>0,所以数列{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列. (2)解 由(1)知,b n =2n-1,S n =1-2n 1-2=2n-1,则c n =|2n-16|,故c n ={16-2n (1≤n ≤4),2n -16(n >4),则当1≤n ≤4时,T n =(16-21)+(16-22)+…+(16-2n ) =16n-(21+22+…+2n)=16n-2(1-2n )1-2=16n-2n+1+2.当n>4时,T n =(16-21)+(16-22)+…+(16-24)+(25-16)+(26-16)+…+(2n -16) =2T 4+(21+22+…+2n )-16n=2×34+2(1-2n )1-2-16n=2n+1-16n+66,则T n ={16n -2n+1+2(1≤n ≤4),2n+1-16n +66(n >4).4.解 (1)因为2√S n =a n +1,所以a 1=1. 因为2√S n =a n +1,所以S n =(a n +1)24. ① 当n ≥2时,S n-1=(a n -1+1)24,②①-②得,2a n +2a n-1=a n 2−a n -12,所以a n -a n-1=2, 所以数列{a n }是首项为1,公差为2的等差数列, 所以a n =2n-1.(2)①由题意可知,b 1=a 1=S 1,b 2=a 2+a 3=S 3-S 1,b 3=a 4+a 5+a 6=S 6-S 3,b 4=a 7+a 8+a 9+a 10=S 10-S 6,…,所以b n =S n (n+1)2−S n (n+1)2-n,而S n =(1+2n -1)n 2=n 2, 所以b n =S n (n+1)2−S n (n+1)2-n=n (n+1)22-n (n+1)2-n 2=n 3.②由①可得(-1)n bnn =(-1)n n 2,所以T 2n =(-1+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+[-(2n-1)2+(2n )2]=3+7+…+(4n-1)=n (3+4n -1)2=n (2n+1). 5.解(1)设{a n }的公差为d ,由a 2=1,S 7=14得{a 1+d =1,7a 1+21d =14,解得{a 1=12,d =12, ∴a n =n2.∵b 1b 2b 3…b n =2n 2+n2=2n (n+1)2,∴b 1b 2b 3…b n-1=2n (n -1)2(n ≥2),两式相除得b n =2n (n ≥2).当n=1时,b 1=2符合上式, ∴b n =2n (n ∈N *).(2)∵c n =b n cos(a n π)=2n cos (n2π),∴T 2n =2cos π2+22cos π+23cos 3π2+24cos(2π)+…+22n-1cos (2n -1)π2+22n cos(n π)=22cos π+24cos(2π)+…+22n cos(n π)=-22+24-…+(-1)n ·22n=-4[1-(-4)n]1+4=-4+(-4)n+15.6.解 (1)设第一行数的公差为d ,各列的公比为q.由题意可知a 13a 23a 33=a 233=1,解得a 23=1.由a 32+a 33+a 34=3a 33=32,解得a 33=12,则q=a 33a 23=12.由a 23=a 13q=(a 11+2d )q=(1+2d )·12=1,解得d=12,因此a 1n =a 11+(n-1)d=1+n -12=n+12.(2)由a nn =a 1n q n-1=n+12·12n-1=n+12n , 可得S n =221+322+423+…+n+12n, 两边同时乘以12可得,12S n =222+323+…+n 2n+n+12n+1,上述两式相减可得,12S n =1+122+123+…+12n -n+12n+1=1+122(1-12n -1)1-12−n+12n+1=32−n+32n+1,因此S n =3-n+32n.。